1、2021 年广东省肇庆市高考数学第二次检测试卷（二模）年广东省肇庆市高考数学第二次检测试卷（二模） 一、选择题（每题一、选择题（每题 5 分）分） 1图中阴影部分所对应的集合是 （ ） A（AB）（UB） BU（AB） C（U（AB）（AB） D（U（AB）（AB） 2在复平面内，复数 （i 为虚数单位），则 z 对应的点的坐标为（ ） A（3，4） B（4，3） C（，） D（，） 3已知函数 f（x）为奇函数，则 a（ ） A1 B C D1 4牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高明代曹昭在格古要论珍奇鬼工毬 中写道： “尝有象牙圆毬儿一箇， 中直通一窍，
2、内车数重， 皆可转动， 故谓之鬼工毬” 现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为 100cm2和 64cm2的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点 A，在内球表面上有一点 B，连接线段 AB若线段 AB 不穿过小球内部，则线段 AB长度的最大值是（ ） Acm B9cm C3cm D2cm 5二项式（ax2）6的展开式的常数项为 60，则 a 的值为（ ） A2 B2 C2 D3 6曲线 f（x）lnx在（1，f（1）处的切线方程为（ ） A2xy30 B2xy10 C2x+y30 D2x+y10 7已知角 的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边与以
3、 O 为圆心的单位圆相交于 A 点若 A 的横坐标为，则（ ） Asin Bcos2 Csin2 Dtan2 8已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a00）的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线 C 上存在点 M，使得 2|OM|F1F2|设F1MF2的面积为 S若 16S（|MF1|+|MF2|）2，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。全部分。在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2
4、 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了 100 件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成 6 组：90，91），91，92），92，93），93，94），94，95），95，96，得到如图所示的频率分布直方图，则对这 100 件产品，下列说法中正确的是（ ） Ab0.25 B长度落在区间93，94）内的个数为 35 C长度的众数一定落在区间93，94）内 D长度的中位数一定落在区间93，94）内 10函数 f（x）Asin（x+）（A0）的部分图象如图所示，则 f（x）（ ） A2sin（2x+） B2sin（2x） C2cos（
5、2x） D2cos（x） 11已知两种不同型号的电子元件（分别记为 X，Y）的使用寿命均服从正态分布，XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（ ） 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545 AP（11X1+21）0.8186 BP（Y2）P（Y1） CP（X2）P（X1） D对于任意的正数 t，有 P（Xt）P（Yt） 12在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，P 是线段 BC1上的一动点，则下列说法中正确的（ ） AA1P平面 AD1C BA1P 与平面 BCC1B1所成角的正切值的
6、最大值是 CA1P+PC 的最小值为 D以 A 为球心，为半径的球面与侧面 DCC1D1的交线长是 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13写出一个与向量 （2，1）共线的向量： 14设函数 f（x），若 f（f（）4，则 a 15已知点 P 是抛物线 x28y 上的一个动点，则点 P 到点 A（2，0）的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 16斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在实际生活中，很多花朵（如梅花
7、、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用斐波那契数列an满足：a1a21，an+2an+1+an（nN*），则 1+a3+a5+a7+a9+a2021是斐波那契数列an中的第 项 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a（sinAsinB）+bsinBcsinC （1）求角 C； （2）若 c3，a+b6，求ABC 的面积 18已知数列an的前 n 项和
8、为 Sn，a1，Sn+1（2Sn）1 （1）求证：是等差数列； （2）求数列中最接近 2020 的数 19为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛规定每一局比赛中获胜方记 2 分，失败方记 0 分，没有平局，谁先获得 10 分就获胜，比赛结束假设每局比赛小明获胜的概率都是 （1）求比赛结束时恰好打了 7 局的概率； （2）若现在是小明以 6：2 的比分领先，记 X 表示结束比赛还需打的局数，求 X 的分布列及期望 20如图，在四边形 PDCB 中，PDBC，BAPD，PAABBC1，AD沿 BA 将PAB 翻折到SB
9、A 的位置，使得 SD （1）作出平面 SCD 与平面 SBA 的交线 l，并证明 l平面 CSB； （2）点 Q 是棱 SC 上异于 S，C 的一点，连接 QD，当二面角 QBDC 的余弦值为时，求此时三棱锥 QBCD 的体积 21已知椭圆 C1：1（ab0）的离心率为，C1的长轴是圆 C2：x2+y22 的直径 （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆 C1的左焦点 F 作两条相互垂直的直线 l1，l2，其中 l1交椭圆 C1于 P，Q 两点，l2交圆 C2于M，N 两点，求四边形 PMQN 面积的最小值 22已知函数 f（x）x2a（xlnxx）+（a+1）lnx （1）当 a2 时，讨论
10、 yf（x）的单调性； （2）设 yf（x）是函数 f（x）的导函数，讨论函数 yf（x）在1，e上的零点个数 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。 1图中阴影部分所对应的集合是 （ ） A（AB）（UB） BU（AB） C（U（AB）（AB） D（U（AB）（AB） 解：阴影部分在集合 A 中或在集合 B 中，但不在 AB 中即在 AB 补集中， 故阴影部分表示的集合是U（AB）（AB）， 故选：C 2在复平
11、面内，复数 （i 为虚数单位），则 z 对应的点的坐标为（ ） A（3，4） B（4，3） C（，） D（，） 解：因为 ， 所以 z，对应的点（） 故选：D 3已知函数 f（x）为奇函数，则 a（ ） A1 B C D1 解：根据题意，函数 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x）， 即，变形可得：（a1）x0， 必有 a1， 故选：D 4牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高明代曹昭在格古要论珍奇鬼工毬 中写道： “尝有象牙圆毬儿一箇， 中直通一窍， 内车数重， 皆可转动， 故谓之鬼工毬” 现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为 100cm2和 64cm2
12、的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点 A，在内球表面上有一点 B，连接线段 AB若线段 AB 不穿过小球内部，则线段 AB长度的最大值是（ ） Acm B9cm C3cm D2cm 解：过球心作截面圆如图， 外层与内层的表面积分别为 100cm2和 64cm2，大球与小球的半径分别为 5 与 4， 则|AB|的最大值为cm 故选：C 5二项式（ax2）6的展开式的常数项为 60，则 a 的值为（ ） A2 B2 C2 D3 解：二项式（ax2）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）ra6rx12r， 令 123r0，求得 r4，可得常数项为a260，则 a2， 故选：C 6曲线
13、f（x）lnx在（1，f（1）处的切线方程为（ ） A2xy30 B2xy10 C2x+y30 D2x+y10 解：由 f（x）lnx，得 f（x），所以 f（1）2，f（1）1， 所以曲线 f（x）lnx在（1，f（1）处的切线方程为 y+12（x1）， 即 2xy30 故选：A 7已知角 的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边与以 O 为圆心的单位圆相交于 A 点若 A 的横坐标为，则（ ） Asin Bcos2 Csin2 Dtan2 解：由三角函数的定义可知 cos，sin，故 A 错误； 则 cos22cos21，故 B 正确； sin22sincos，故
14、 C 错误； tan2故 D 错误 故选：B 8已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a00）的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线 C 上存在点 M，使得 2|OM|F1F2|设F1MF2的面积为 S若 16S（|MF1|+|MF2|）2，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 解：由 2|OM|F1F2|可得F1AF2， 设|MF1|m，|MF2|n， 由 16S（|MF1|+|MF2|）2可得：8mn（m+n）2（mn）2+4mn4a2+4mn， 所以 mna2， 又因为 m2+n24c2，即（mn）2+2mn4c2， 所以 4a2+2a24c2， 可得离心率 e， 故选：A 二、选
15、择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。全部分。在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了 100 件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成 6 组：90，91），91，92），92，93），93，94），94，95），95，96，得到如图所示的频率分布直方图，则对这 100 件产品，下列说法中正确的是（ ） Ab0.25 B长度落在区间93
16、，94）内的个数为 35 C长度的众数一定落在区间93，94）内 D长度的中位数一定落在区间93，94）内 解：对于 A：由频率之和为 1，得（0.35+b+0.15+0.12+0.05）11，解得 b0.25，所以选项 A 正确， 对于选项 B：长度落在区间93，94）内的个数为 1000.3535，所以选项 B 正确， 对于选项 C：对这 100 件产品，长度的众数不一定落在区间93，94）内，所以选项 C 错误， 对于选项 D：对这 100 件产品，因为 0.1+0.1+0.250.5，而 0.1+0.1+0.25+0.350.5，所以长度的中位数一定落在区间93，94）内，所以选项 D
17、 正确， 故选：ABD 10函数 f（x）Asin（x+）（A0）的部分图象如图所示，则 f（x）（ ） A2sin（2x+） B2sin（2x） C2cos（2x） D2cos（x） 解：由函数 f（x）Asin（x+）（A0）的部分图象知，A2， 设 f（x）的最小正周期为 T，则T（），解得 T，所以 2， 将最低点的坐标（，2）代入 f（x）2sin（2x+）中，得 2sin（2+）2， 所以+2k，kZ，解得 2k，kZ， 所以 f（x）2sin（2x+2k），k0， 即 f（x）2sin（2x） 2sin（2x） 2cos（2x） 2cos（2x） 故选：BC 11已知两种不同型号
18、的电子元件（分别记为 X，Y）的使用寿命均服从正态分布，XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（ ） 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545 AP（11X1+21）0.8186 BP（Y2）P（Y1） CP（X2）P（X1） D对于任意的正数 t，有 P（Xt）P（Yt） 解：对于 A，P（11X1+21）（0.6827+0.9545）0.8186，故 A 正确； 对于 B，由正态分布密度曲线，可知 12，则 P（Y2）P（Y1），故 B 正确； 对于 C，由正态分布密度曲线，可知12，则 P（X2）P（
19、X1），故 C 错误； 对于 D，对于任意的正数 t，有 P（Xt）P（Yt），故 D 正确 故选：ABD 12在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，P 是线段 BC1上的一动点，则下列说法中正确的（ ） AA1P平面 AD1C BA1P 与平面 BCC1B1所成角的正切值的最大值是 CA1P+PC 的最小值为 D以 A 为球心，为半径的球面与侧面 DCC1D1的交线长是 解： 对于 A， 由于平面 A1BC1平面 AD1C， 所以 A1P平面 AD1C， 所以 A 正确； 对于 B，当 B1PBC1时，A1P 与 BCC1B1所成角的正切值最大，最大值是，所以 B 正确
20、； 对于 C，将A1C1B 沿 BC1翻折与BCC1在同一个平面，且点 A1，C 在直线 BC1的异侧， 此时 cosA1C1C，此时 A1C，所以 A1P+PC 的最小值为，所以 C 正确； 对于 D， 由于 AD平面 DCC1D1， 所以交线为以 D 为圆心， 半径为 1 的四分之一圆周， 所以交线长为，所以 D 正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13写出一个与向量 （2，1）共线的向量： （4，2） 解：与向量 （2，1）共线的向量可以表示为 （2，1）（2，），R， 2 时， （4，2） 故答案为：
21、（4，2）（答案不唯一，写出其中一个即可） 14设函数 f（x），若 f（f（）4，则 a 解：根据题意，函数 f（x）， 则 f（）2aa， 当a1，即 a，则 f（f（）f（a）2（a）a13a4， 解可得：a1，不符合题意， 当a1，即 a，则 f（f（）f（a）4， 解可得：a，符合题意， 综合可得：a， 故答案为： 15已知点 P 是抛物线 x28y 上的一个动点，则点 P 到点 A（2，0）的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 2 解：设点 P 在抛物线的准线的投影为点 M， 抛物线的焦点 F 的坐标为（0，2）， 由抛物线的定义可知点 P 到抛物线的准线的距离为|PM|PF
22、|， 则点 P 到点 A（2，0）的距离与到准线的距离之和为 d|PA|+|PF|AF|， 当且仅当点 P，A，F 三点共线时取等号， 故答案为：2 16斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用斐波那契数列an满足：a1a21，an+2an+1+an（nN*），则 1+a3+a5+a7+a9+a2021是斐波那契数列an中的第 2022 项 解：依题意，得
23、1+a3+a5+a7+a9+a2021 a2+a3+a5+a7+a9+a2021 a4+a5+a7+a9+a2021 a6+a7+a9+a2021 a2020+a2021 a2022， 故答案为：2022 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a（sinAsinB）+bsinBcsinC （1）求角 C； （2）若 c3，a+b6，求ABC 的面积 解：（1）由正弦定理知， a（sinAsinB）+bsinBcs
24、inC， a（ab）+b2c2，即 a2+b2c2ab， 由余弦定理知，cosC， C（0，）， C （2）由（1）知，a2+b2c2ab，即（a+b）22abc2ab， c3，a+b6， 3693ab，解得 ab9， ab3， ABC 的面积 SabsinC33sin 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1，Sn+1（2Sn）1 （1）求证：是等差数列； （2）求数列中最接近 2020 的数 【解答】（1）证明：2， 由 Sn+1（2Sn）1，得 Sn+1， 因为1， 所以是以2 为首项，1 为公差的等差数列 （2）解：由（1）得2+（n1）（1）（n+1）， 即 Sn， 则 anSn
25、Sn1（n2）， 当 n1 时，an也成立， 所以 an（nN*）， 则n（n+1）， 当 n44 时，44451980； 当 n45 时，45462070， 所以数列中最接近 2020 的数是 1980 19为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛规定每一局比赛中获胜方记 2 分，失败方记 0 分，没有平局，谁先获得 10 分就获胜，比赛结束假设每局比赛小明获胜的概率都是 （1）求比赛结束时恰好打了 7 局的概率； （2）若现在是小明以 6：2 的比分领先，记 X 表示结束比赛还需打的局数，求 X 的分布列及期望
26、解：（1）恰好打了 7 局小明获胜的概率是 P1， 恰好打了 7 局小亮获胜的概率为 P2， 比赛结束时恰好打了 7 局的概率为 PP1+P2， （2）X 的可能取值为 2，3，4，5， P（X2）， P（X3）， P（X4）+， P（X5）， X 的分布列如下： X 2 3 4 5 P E（X）2+4+5 20如图，在四边形 PDCB 中，PDBC，BAPD，PAABBC1，AD沿 BA 将PAB 翻折到SBA 的位置，使得 SD （1）作出平面 SCD 与平面 SBA 的交线 l，并证明 l平面 CSB； （2）点 Q 是棱 SC 上异于 S，C 的一点，连接 QD，当二面角 QBDC 的
27、余弦值为时，求此时三棱锥 QBCD 的体积 解：（1）如图，延长 BA，CD 相交于 E，连接 SE，则 SE 为平面 SCD 与平面 SBA 的交线 l. 证明：在SAD 中，SA1，AD，SD，则 SA2+AD2SD2，SAAD， 由 SAAD，ADAB，SAABA，得 AD平面 SAB， 又 BCAD，BC平面 SAB，则 BCSE， 由 PDBC，ABBC1，AD，得 AE1， AEABSA，可得 SESB， 又BCSBB，SE平面 CSB， 即 l平面 CSB； （2）由（1）知，SAAB，ADAB，ADSA 以点 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x，y，z 轴
28、建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）， ，设（01），则 Q（，1）， ， 设是平面 QBD 的一个法向量， 则，取 x2，可得， 是平面 CBD 的一个法向量， 由|cos|， 解得，点 Q 是 SC 的中点， 21已知椭圆 C1：1（ab0）的离心率为，C1的长轴是圆 C2：x2+y22 的直径 （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆 C1的左焦点 F 作两条相互垂直的直线 l1，l2，其中 l1交椭圆 C1于 P，Q 两点，l2交圆 C2于M，N 两点，求四边形 PMQN 面积的最小值 解：（1）由 2a2，得
29、a， 由 e，得 c1，所以 b1， 所以椭圆的方程为+y21 （2）由（1）可得 F（1，0）， 当过点 F 的直线 l1的斜率不存在时，|MN|2，|PQ|， 所以 S四边形PMQN|MN|PQ|22， 当过点 F 的直线 l1的斜率为 0 时，|MN|2，|PQ|2， 这是 S四边形PMQN|MN|PQ|222， 当过点 F 的直线 l1的斜率存在且不为 0 时，设直线 l1的方程为 xmy1，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由，得（2+m2）y22my10， 所以 y1+y2，y1y2， |PQ|， 所以 S四边形PMQN|MN|PQ|22， 直线 l2的方程为 mx+y+m0，
30、 坐标原点 O 到直线 l2的距离 d， 则|MN|22， 所以 S四边形PMQN|MN|PQ|22， 由 2+m22，得 22， 即 S四边形PMQN（2，2）， 综上所述，四边形 PMQN 的面积的最小值为 2 22已知函数 f（x）x2a（xlnxx）+（a+1）lnx （1）当 a2 时，讨论 yf（x）的单调性； （2）设 yf（x）是函数 f（x）的导函数，讨论函数 yf（x）在1，e上的零点个数 解：（1）f（x）的定义域为（0，+）， f（x）xalnx+， 令 h（x）f（x）xalnx+， 则 h（x）， 当 a2 时，h（x）， 令 h（x）0，解得 x3， 所以函数 h
31、（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+）上单调递增，且 h（3）42ln30， 所以 f（x）0 在（0，+）上恒成立，所以函数 f（x）在（0，+）上单调递增 （2）当 ae1，即 a+1e 时， 当 x（1，e）时，h（x）0，故 h（x）在（1，e）上单调递减， h（1）2+a0，h（e）e+aa（1）+e+， 当 h（e）0，即 a（1）+e+0，即 a时，h（x）0 在1，e上恒成立， 所以 e1a时，h（x）在1，e上无零点， 当 h（e）0，即 a（1）+e+0，即 a时，h（1）h（e）0， 由零点存在性定理可知，此时 h（x）在1，e上有零点， 又因为函数 h（x）在1，e
32、上单调递减，所以此时 h（x）在1，e上有一个零点 当 a0，即 a+11 时， 当 x（1，e）时，h（x）0，所以 h（x）在（1，e）上单调递增， h（1）2+a，h（e）a（1）+e+0， 当 h（1）2+a0，即 a2 时，h（1）h（e）0， 由零点存在性定理，知此时 h（x）在1，e上有零点， 因为 h（x）在1，e上单调递增，故 h（x）在1，e上仅有 1 个两点 当2a0 时，h（x）minh（1）0，此时 h（x）在1，e上无零点 当 0ae1，即 1a+1e 时， 当 x（1，a+1）时，h（x）0，当 x（a+1，e）时，h（x）0， 则函数 h（x）在（1，a+1）上单调递减，在（a+1，e）上单调递增， 故 h（x）minh（a+1）a+2aln（a+1） 令 g（a）h（a+1）a+2aln（a+1），则 g（a）ln（a+1）， 所以 g（a）在（0，e1上单调递减，且 g（0）10，g（e1）10， 所以 g（a）在（0，e1上先增后减， 又 g（0）g（e1）2， 所以 h（x）minh（a+1）2，故 h（x）0，此时 h（x）在1，e上无零点 综上所述，当 a2 或 a时，yf（x）在1，e上有 1 个零点； 当2a时，yf（x）在1，e上无零点
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