1、1下列事件中，是必然事件的是（ ） A明天一定要下雨 B一个不透明的袋子中只有 7 个红球，摸出一个白球 C任意三条线段可以组成一个三角形 D过平面内的一点作已知直线的垂线，只能作一条 2抛物线 yx22x+4 的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 3如图，O 的半径为 5，弦 AB8，点 C 是 AB 的中点，连接 OC，则 OC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 4如图，ABC 中，内切圆 I 和边 BC、AC、AB 分别相切于点 D、E、F，若B65，C75，则EDF 的度数是（ ） A65 B140 C55 D70 5已知二次函数 y（
2、x1）2+h 的图象上有三点，A（0，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y2y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 6小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 5 位，后三位由 5，2，0 这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（ ） A B C D 7如下表是二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与 2 x 轴（ ） x 1 0 1 2 y 4 0.5 2 0.5 A只有一个公共点 B有两个公共点，分别位于 y 轴的两侧 C有
3、两个公共点，都位于 y 轴同侧 D没有公共点 8德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知 AB 是O 的直径，分别以 A，B 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧交于点 C，D 两点，若设 AB 长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 9如图，AB 是O 的直径，点 C、D 都在O 上，ADOC，若 CD4，AC2，则O 的半径为（ ） A10 B2 C D5 10我们约定：在平面直角坐标系中，存在横、纵坐标互为相反数的点为“反量点” ，顶点是“反量点”的二次函数为“反量函数” ，若“反量函
4、数”yx22x+c 与正方形 ABCD 的边有公共点，其中点 A（t，0） ，B（t+3，0） ，C，D 两点在 x 轴上方，则 t 的取值范围为（ ） A1t3 B4t6 C4t3 D1t6 二、 填空题 （本大题共二、 填空题 （本大题共 8 小题， 第小题， 第 1112 题每题题每题 3 分， 第分， 第 1318 题每题题每题 4 分， 共分， 共 30 分分.不需写出解答过程，不需写出解答过程， 3 请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 。请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 。 11二次函数 yx23x+5 的对称轴为 12我国太空空间站天宫上的机械臂是我国目前智能程
5、度最高、规模与技术难度最大，系统最复杂的空间智能制造系统，它展开长度为 10.2 米，最大作业半径为 9.5 米某次天宫机械臂作业时，一端 A 固定在天宫上，另一端 B 以最大作业半径在某平面绕点 A 旋转 72，则点 B 的运动路径长为 （结果保留 ） 13一个正多边形的中心角是 30，则这个多边形是正 边形 14如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，BC5，若把 RtABC 绕直线 AC 旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于 15有两组扑克牌各三张，牌面数字分别都是 1，2，3，随意从每组中个抽出一张数字和是偶数的概率是 16如图，在平面直角坐标系中，以 M（2，3）为圆心，AB 为直
6、径的圆与 x 轴相切，与 y 轴交于 A，C 两点，则点 B 的坐标是 17某超市购进一批单价为 8 元的生活用品，如果按每件 9 元出售，那么每天可销售 20 件经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 4 件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大 18如图，点 D 是等腰直角ABC 斜边 AB 上一点，点 E 是 BC 上一点，AB2，DADE，则 AD 的取值范围是 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤）或演算步骤） 19 （10 分） 小明和小亮两位同学做掷骰子 （质地均匀的正方体） 游戏， 他们共做了 100 次试验， 结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 （1）计算“3 点朝上”的频率和“5 点朝上”的频率； （2）小亮说： “根据这次投掷实验，3 点朝上的频率大于 5 点朝上的频率，所以 3 点朝上的概率大于 5点朝上的概率 ”小亮的说法正确吗？如果你认为正确，请说明理由；如果你认为不正确，请求出“3 点朝上”的概率和“5 点朝上”的概率，并比较大小 20 （10 分）如图，点 C 在以 AB
8、为直径的半圆 O 上，且 C 是的中点以 B 为圆心，BC 的长为半径画圆弧交 AB 于点 D （1）求ABC 的度数； （2）若 AB4，求阴影部分的面积 21 （12 分）为有效防范疫情风险，保障广大市民身体健康和生命安全，我市在 8 月 7 日11 日进行了全员核酸检测实战演练某检测点从早上 7：30 开始等待检测，检测人数 y（人）与时间 x（分钟）的关系如图所示 （图象 ABC 段是抛物线，CD 段在 x 轴上） （1）请观察图象，7：30 时等待检测的居民有 人； （2）当 0 x30 时，求 y 与 x 的函数关系式； （3）何时开始，居民可以随到随测？ 5 22 （
9、10 分）为庆祝建党 100 周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动规律是：将编号为A，B，C 的 3 张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取 1 张，按照卡片上的曲目演唱 （1）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，抽到 C 卡片的概率为 ； （2）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取 1 张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率 23 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦 AE 的延长线与过点 C 的切线互相垂直，
10、垂足为 D，连接 BC （1）若CAD35，求B 的度数； （2）若 CD5，DE2，求O 的半径 24 （12 分）已知抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）连接 AC，BC，抛物线上是否存在一点 E，使得 SABESABC？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 6 25 （13 分）已知抛物线 yax22ax+a4（a0）的顶点为 A，与 x 轴相交于 B，C 两点 （1）求点 A 的坐标； （2）若 BC4，求抛物线的解析式； （3）对于抛物线 yax22ax+a
11、4（a0）上的任意一点 M（x1，y1） （x10） ，在函数 yx+2a5 的图象上总能找到一点 N（x2，y2） （x20）使得 y1y2，请结合函数图象，求出 a 的取值范围 26 （13 分）如图，平面上存在点 P、点 M 与线段 AB若线段 AB 上存在一点 Q，使得点 M 在以 PQ 为直径的圆上，则称点 M 为点 P 与线段 AB 的共圆点 已知点 P（0，1） ，点 A（2，1） ，点 B（2，1） （1）在点 O（0，0） ，C（2，1） ，D（3，0）中，可以成为点 P 与线段 AB 的共圆点的是 ； （2）点 K 为 x 轴上一点，若点 K 为点 P 与线段 AB 的共圆
12、点，请求出点 K 横坐标 xK的取值范围； （3）已知点 M（m，1） ，若直线 yx+3 上存在点 P 与线段 AM 的共圆点，请直接写出 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项序号填涂在答题纸上。要求的，请将正确的选项序号填涂在答题纸上。 1下列事件中，是必然事件的是（ ） A明天一定要下雨 7 B一个不透明的袋子中只有 7 个红球，摸出一个白球 C任意三条线段可以组成一个
13、三角形 D过平面内的一点作已知直线的垂线，只能作一条 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解：A、明天一定要下雨，是随机事件，不符合题意； B、一个不透明的袋子中只有 7 个红球，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； C、任意三条线段可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意； D、过平面内的一点作已知直线的垂线，只能作一条，是必然事件，符合题意； 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件 不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件， 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 2抛物线
14、 yx22x+4 的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标 【解答】解：抛物线 yx22x+4（x1）2+3， 该抛物线的顶点坐标为（1，3） ， 故选：A 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式 3如图，O 的半径为 5，弦 AB8，点 C 是 AB 的中点，连接 OC，则 OC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据题意和垂径定理，可以得到 OCAB 且平分 AB，然后根据勾股定理即可得到 OC 的长 【解答】解：O 的半径为 5，弦 A
15、B8，点 C 是 AB 的中点， OCAB，ACBC4，OA5， OC3， 故选：C 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确垂径定理的内容，求出 AC 的长，利用数形结合的思想解答 8 4如图，ABC 中，内切圆 I 和边 BC、AC、AB 分别相切于点 D、E、F，若B65，C75，则EDF 的度数是（ ） A65 B140 C55 D70 【分析】连接 IE、IF，如图，根据切线的性质得到AEIAFI90，利用四边形的内角和得到A180EIF，再利用圆周角定理得到EDF90A，然后根据三角形内角和求出A，从而可计算出EDF 【解答】解：连接 IE、IF，如图，
16、 内切圆 I 和边 AC、AB 分别相切于点 E、F， OEAC，OFAB， AEIAFI90， A180EIF， EDFEIF， EDF90A， B65，C75， A180BC180657540， EDF904070 故选：D 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了切线的性质 5已知二次函数 y（x1）2+h 的图象上有三点，A（0，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y2y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 9 【分
17、析】将 x 值代入函数关系式计算 y1，y2，y3，再比较大小可求解 【解答】解：当 x0 时，y11+h， 当 x2 时，y21+h， 当 x3 时，y34+h， 1+h1+h4+h， y1y2y3， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键 6小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 5 位，后三位由 5，2，0 这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（ ） A B C D 【分析】首先根据题意可得：可能的结果有：502，520，052，025，250，210，然后利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：她只记得号码的前 5
18、位，后三位由 5，0，2 这三个数字组成， 可能的结果有：502，520，052，025，250，205， 他第一次就拨通电话的概率是： 故选：D 【点评】此题考查了列举法求概率的知识注意概率所求情况数与总情况数之比 7如下表是二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x 轴（ ） x 1 0 1 2 y 4 0.5 2 0.5 A只有一个公共点 B有两个公共点，分别位于 y 轴的两侧 C有两个公共点，都位于 y 轴同侧 D没有公共点 【分析】利用二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值，判断出顶点坐标，开口方向
19、即可解决问题 【解答】解：根据表中的二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可以发现当 x0，x2时，y 的值都等于0.50， 根据二次函数的图象对称性可得：x1 是二次函数 yax2+bx+c 的对称轴，此时 y 有最小值2， 因此判断该二次函数的图象的开口向上，与 x 轴有两个交点，分别位于 y 轴的两侧， 10 故选：B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，根据点的坐标确定函数的性质是关键 8德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知 AB
20、 是O 的直径，分别以 A，B 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧交于点 C，D 两点，若设 AB 长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】连接 AC、BC，如图，先判断ACB 为等边三角形，则BAC60，由于 S弓形BCS扇形BACSABC，所以图中阴影部分的面积4S弓形BC+2SABCSO，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算 【解答】解：连接 AC、BC，如图， 由作得 ACBCAB2， ACB 为等边三角形， BAC60， S弓形BCS扇形BACSABC， 图中阴影部分的面积4S弓形BC+2SABCSO 4（S扇形BACSABC）+2SA
21、BCSO 4S扇形BAC2SABCSO 422212 2 故选：A 11 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了扇形的面积公式 9如图，AB 是O 的直径，点 C、D 都在O 上，ADOC，若 CD4，AC2，则O 的半径为（ ） A10 B2 C D5 【分析】作直径 DT，连接 CT证明DCT90，ACCT2，利用勾股定理求出 DT 即可 【解答】解：作直径 DT，连接 CT DT 是直径， DC
22、T90， ODOC， ODCOCD， ADOC， ADCOCD， 12 ADCCDT， ， ACCT2， CD4， DT10， O 的半径为 5， 故选：D 【点评】本题考查圆周角定理平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 10我们约定：在平面直角坐标系中，存在横、纵坐标互为相反数的点为“反量点” ，顶点是“反量点”的二次函数为“反量函数” ，若“反量函数”yx22x+c 与正方形 ABCD 的边有公共点，其中点 A（t，0） ，B（t+3，0） ，C，D 两点在 x 轴上方，则 t 的取值范围为（ ） A1t3 B4t6 C4t3 D
23、1t6 【分析】现根据二次函数是“反量函数” ，求出函数解析式，再根据正方形的边长为 3，利用数形结合找到 t 的取值范围 【解答】解：yx22x+c（x1）21+c， 顶点坐标为（1，c1） ， 二次函数 yx22x+c 是“反量函数” ， c11， c0， 二次函数为 yx22x， 四边形 ABCD 是正方形，且 A（t，0） ，B（t+3，0） ， ABAD3， yx22x+c 与正方形 ABCD 的边有公共点， 如图所示： 令y3，则 x22x3， 解得：x3 或 x1， 13 A（3，0） ，B（1，0） ，A（4，0） ， 4t3， 故选：C 【点评】本题考查抛物线与
24、x 轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质等知识，关键是利用数形结合找到 t 的取值范围 二、 填空题 （本大题共二、 填空题 （本大题共 8 小题， 第小题， 第 1112 题每题题每题 3 分， 第分， 第 1318 题每题题每题 4 分， 共分， 共 30 分分.不需写出解答过程，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 。请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 。 11二次函数 yx23x+5 的对称轴为 x 【分析】根据二次函数对称轴计算公式 x计算即可 【解答】解：二次函数 yx23x+5 的对称轴为：x， 故答案为：x 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数
25、 yax2+bx+c（a0）的对称轴计算公式 x是解题关键 12我国太空空间站天宫上的机械臂是我国目前智能程度最高、规模与技术难度最大，系统最复杂的空间智能制造系统，它展开长度为 10.2 米，最大作业半径为 9.5 米某次天宫机械臂作业时，一端 A 固定在天宫上， 另一端 B 以最大作业半径在某平面绕点 A 旋转 72， 则点 B 的运动路径长为 米 （结果保留 ） 【分析】根据题意点 B 的运动路径长即为以点 A 为圆心，AB 长为半径的弧长 【解答】解：根据题意，得 点 B 的运动路径长为：（米） 故答案为：米 【点评】本题考查了轨迹，解决本题的关键是理解轨迹定义 13 （4 分）一个正
26、多边形的中心角是 30，则这个多边形是正 十二 边形 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解 【解答】解：一个正多边形的中心角是 30， 14 这个多边形是：3603012，即正十二边形 故答案为：十二 【点评】本题考查了正多边形的性质，熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键 14 （4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，BC5，若把 RtABC 绕直线 AC 旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于 15 【分析】易得圆锥的底面半径长和母线长，那么圆锥的侧面积2底面半径母线长，把相应数值代入即可求解 【解答】解：AB3， 底面的周长是：6 圆锥的侧面积等
27、6515， 故答案为：15 【点评】本题考查圆锥侧面积的求法注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形 15 （4 分）有两组扑克牌各三张，牌面数字分别都是 1，2，3，随意从每组中个抽出一张数字和是偶数的概率是 【分析】列举出所有情况，让数字和是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率 【解答】解：列表得： 1 2 3 1 1+12 2+13 3+14 2 1+23 2+24 3+25 3 1+34 2+35 3+36 一共有 9 种情况，和为偶数的有 5 种情况； 数字和是偶数的概率是 【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数
28、与总情况数之比 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，以 M（2，3）为圆心，AB 为直径的圆与 x 轴相切，与 y 轴交于 A，C 两点，则点 B 的坐标是 （4，3） 15 【分析】连接 MD，BC，根据切线的性质得到 MDx 轴，根据圆周角定理得到 ACBC，根据垂径定理求出 BE，根据勾股定理求出 ME，进而求出 DE，根据坐标与图形性质解答即可 【解答】解：设以 AB 为直径的圆与 x 轴相切于点 D，连接 MD，BC， 则 MDx 轴， 点 M 的坐标为（2，3） ， CEBE2，BMDM3， AB 为圆的直径， ACBC， BCx 轴， MDBC， BC2CE4，
29、CEBE2， 在 RtBME 中，由勾股定理得：ME， DEMDME3， 点 B 的坐标为（4，3） ， 故答案为： （4，3） 【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 17 （4 分）某超市购进一批单价为 8 元的生活用品，如果按每件 9 元出售，那么每天可销售 20 件经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 4 件，那么将销售价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大 16 【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】解：设销售单价定为 x 元（x9）
30、 ，每天所获利润为 y 元， 则 y204（x9） （x8） 4x2+88x448 4（x11）2+36， 所以将销售定价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大， 故答案为 11 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答 18 （4 分）如图，点 D 是等腰直角ABC 斜边 AB 上一点，点 E 是 BC 上一点，AB2，DADE，则 AD的取值范围是 22AD1 【分析】以 D 为圆心，AD 的长为半径画圆，当圆与 BC 相切时，AD 最小，与线段 BC 相交且交点为 B或 C 时，AD 最大，分别求出即可得到范围 【解答】
31、解：以 D 为圆心，AD 的长为半径画圆 如图，当圆与 BC 相切时，DEBC 时， ABC 是等腰直角三角形， ABC45， BDDE， AB2，DADE， AD+AD2， AD22； 如图，当圆与 BC 相交时，若交点为 B 或 C，则 ADAB1， 17 AD 的取值范围是 22AD1 故答案为：22AD1 【点评】此题考查了点与圆的位置关系以及等腰三角形的性质注意根据题意画出图形，利用边 BC 与圆的位置关系解答，分清 AD 最小和最大的两种情况是解决本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
32、文字说明、证明过程分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）或演算步骤） 19 （10 分） 小明和小亮两位同学做掷骰子 （质地均匀的正方体） 游戏， 他们共做了 100 次试验， 结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 （1）计算“3 点朝上”的频率和“5 点朝上”的频率； （2）小亮说： “根据这次投掷实验，3 点朝上的频率大于 5 点朝上的频率，所以 3 点朝上的概率大于 5点朝上的概率 ”小亮的说法正确吗？如果你认为正确，请说明理由；如果你认为不正确，请求出“3 点朝上”的概率和“5 点朝上”的概率，
33、并比较大小 【分析】 （1）由共做了 100 次试验， “1 点朝上”和“6 点朝上”的次数分别为 16，13，即可求得“1 点朝上”的频率和“6 点朝上”的频率 （2）由于任意投掷一枚骰子，一共有 6 种等可能结果，故“3 点朝上”的概率和“5 点朝上”的概率都是 【解答】解： （1） “3 点朝上”的频率为：0.25； “5 点朝上”的频率为0.12； （2）小亮的判断是错误的； 任意投掷一枚骰子，一共有 6 种等可能结果， P（3 点朝上）， P（5 点朝上）， “3 点朝上”的概率和“5 点朝上”的概率相等 【点评】本题主要考查了用频率估计概率，掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数
34、之比是解决问 18 题的关键 20 （10 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上，且 C 是的中点以 B 为圆心，BC 的长为半径画圆弧交 AB 于点 D （1）求ABC 的度数； （2）若 AB4，求阴影部分的面积 【分析】 （1）证明ACB 是等腰直角三角形即可解决问题 （2）根据阴影部分的面积SABCS扇形BCD计算即可解决问题 【解答】解： （1）AB 为半圆O 的直径， ACB90， C 是的中点， ACBC， ABC45 （2）ACB90，AB4， ACBC2， 阴影部分的面积SABCS扇形BCD224 【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的
35、关键是学会用分割法取阴影部分面积，属于中考常考题型 21 （12 分）为有效防范疫情风险，保障广大市民身体健康和生命安全，我市在 8 月 7 日11 日进行了全员核酸检测实战演练某检测点从早上 7：30 开始等待检测，检测人数 y（人）与时间 x（分钟）的关系如图所示 （图象 ABC 段是抛物线，CD 段在 x 轴上） （1）请观察图象，7：30 时等待检测的居民有 65 人； （2）当 0 x30 时，求 y 与 x 的函数关系式； （3）何时开始，居民可以随到随测？ 19 【分析】 （1）根据图象信息交流得到结论； （2）设 y 与 x 的函数关系式为 ya（x30）2+245
36、，把（0，65）代入得到方程，解方程即可得到结论； （3）由（2）知，抛物线的解析式为 y（x30）2+245；当 y0 时，即 0（x30）2+245，解方程即可得到结论 【解答】解： （1）观察图象得，7：30 时等待检测的居民有 65 人， 故答案为：65； （2）抛物线的顶点坐标为（30，245） ， 设 y 与 x 的函数关系式为 ya（x30）2+245， 把（0，65）代入得，65a（030）2+245， 解得：a， y 与 x 的函数关系式为 y（x30）2+245； （3）由（2）知，抛物线的解析式为 y（x30）2+245； 当 y0 时，即 0（x30）2+245， 解得
37、：x165，x25（不合题意舍去） ， 从 8：35 时，居民可以随到随测 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键 22 （10 分）为庆祝建党 100 周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动规律是：将编号为A，B，C 的 3 张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取 1 张，按照卡片上的曲目演唱 （1）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，抽到 C 卡片的概率为 ； 20 （2）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，记
38、下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取 1 张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）小明随机抽取 1 张卡片，抽到卡片编号为 C 的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有 3 种结果， 所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件
39、用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 23 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦 AE 的延长线与过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，连接 BC （1）若CAD35，求B 的度数； （2）若 CD5，DE2，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OC，如图，利用切线的性质得到 OCPE，则判断 OCAE，所以DACOCA，然后利用OCAOAC 得到DACOAC； （2）过 O 点作 OHAD 于 H，如图，设O 的半径为 r，利用垂径定理得到 AHEH，再证明四边形 21 OHDC 为矩形得到 DHOCr，OHCD5，则 AHHEr2，接着利用勾股定理
40、得到（r2）2+52r2，然后解方程即可 【解答】解： （1）连接 OC，如图， CD 是O 的切线， OCCD， AECD， OCAE， CADOCA， OAOC， OCAOAC， CADOAC35， AB 为O 的直径， ACB90， OAC+B90， B90OAC903555； （2）过 O 点作 OHAD 于 H，如图，设O 的半径为 r， OHAE， AHEH， OHDADCOCD90， 四边形 OHDC 为矩形， DHOCr，OHCD5， DHHE+DEHE+2， HE+2r，即 HEr2， AHr2， 在 RtOAH 中， （r2）2+52r2， 解得 r， 即O 的半径为 22
41、 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理 24 （12 分）已知抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）连接 AC，BC，抛物线上是否存在一点 E，使得 SABESABC？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x+1） （x3）a（x22x3） ，故3a3，易得答案； （2）由 SABESABC得到方程，利用方程求解即可 【解答】解： （1）设抛物线
42、的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x+1） （x3）a（x22x3） ， 故3a3， 解得 a1， 故抛物线的表达式为 yx2+2x+3； （2）当 x0 时，y3，则 C（0，3） SABCABOC6 SABESABC64 SABEAB|yE|4 |yE|2 把 y2 代入抛物线解析式 yx2+2x+3，得 2x2+2x+3 解得 x1 把 y2 代入抛物线解析式 yx2+2x+3，得2x2+2x+3 解得 x1 综上所述，点 E 的坐标是（1+，2）或（1，2）或（1+，2）或（1，2） 23 【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与 x 轴的交点，以及
43、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解答（2）题时，注意点 E 的纵坐标有两种情况 25 （13 分）已知抛物线 yax22ax+a4（a0）的顶点为 A，与 x 轴相交于 B，C 两点 （1）求点 A 的坐标； （2）若 BC4，求抛物线的解析式； （3）对于抛物线 yax22ax+a4（a0）上的任意一点 M（x1，y1） （x10） ，在函数 yx+2a5 的图象上总能找到一点 N（x2，y2） （x20）使得 y1y2，请结合函数图象，求出 a 的取值范围 【分析】 （1）配方得到 yax22ax+a4a（x1）24，于是得到结论； （2）根据题意求得 B、C 的坐标，把 B 或 C
44、的坐标代入 yax22ax+a4，即可求得 a 的值； （3）根据图象即可求得 【解答】解： （1）yax22ax+a4a（x1）24， 点 A（1，4） （2）顶点坐标为（1，4） ， 抛物线对称轴为直线 x1， BC4， B（1，0） ，C（3，0） ， 把 B 的坐标代入 yax22ax+a4 时，则 a+2a+a40， 解得 a1 抛物线的解析式为 yx2+4x （3）当 a0 时，如图，当 2a5a4 时符合题意， 0a1； 当 a0 时，不合题意， 故 a 的取值范围是 0a1 24 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象
45、上点的坐标特征，抛物线与 x 轴的交点，数形结合是解题的关键 26 （13 分）如图，平面上存在点 P、点 M 与线段 AB若线段 AB 上存在一点 Q，使得点 M 在以 PQ 为直径的圆上，则称点 M 为点 P 与线段 AB 的共圆点 已知点 P（0，1） ，点 A（2，1） ，点 B（2，1） （1）在点 O（0，0） ，C（2，1） ，D（3，0）中，可以成为点 P 与线段 AB 的共圆点的是 C ； （2）点 K 为 x 轴上一点，若点 K 为点 P 与线段 AB 的共圆点，请求出点 K 横坐标 xK的取值范围； （3）已知点 M（m，1） ，若直线 yx+3 上存在点 P 与线段 A
46、M 的共圆点，请直接写出 m 的取值范围 【分析】 （1）当 Q 与 A 重合时，点 C 在以 AP 为直径的圆上，所以可以成为点 P 与线段 AB 的共圆点的是 C； （2）由两点的距离公式可得 APBP2，分别画以 AP 和 BP 为直径的圆交 x 轴于 4 个点：K1、K2、K3、K4，结合图形 2 可得 4 个点的坐标，从而得结论； （3）先根据直线 yx+3，当 x0 和 y0 计算与 x 轴和 y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在 A 的左侧和右侧，先计算圆 E 与直线 yx+3 相切时 m 的值，从而根据图形可得结论 25 【解答】解： （1）如图 1，可以成为点 P
47、 与线段 AB 的共圆点的是 C， 故答案为：C； （2）P（0，1） ，点 A（2，1） ，点 B（2，1） APBP2， 如图 2，分别以 PA、PB 为直径作圆，交 x 轴于点 K1、K2、K3、K4， OPOG1，OEAB， PEAE， OEAG1， K1（1，0） ，k2（1，0） ，k3（1，0） ，k4（1+，0） ， 点 K 为点 P 与线段 AB 的共圆点， 1xk1或1xk1+； （3）分两种情况： 如图 3，当 M 在点 A 的左侧时，Q 为线段 AM 上一动点，以 PQ 为直径的圆 E 与直线 yx+3 相切于点 F，连接 EF，则 EFFH， 26 当 x
48、0 时，y3，当 y0 时，yx+30，x6， ON3，OH6， tanEHF， 设 EFa，则 FH2a，EHa， OE6a， RtOEP 中，OP1，EPa， 由勾股定理得：EP2OP2+OE2， ， 解得：a（舍）或， QG2OE2（6a）3+2， m32； 如图 4，当 M 在点 A 的右侧时，Q 为线段 AM 上一动点，以 PQ 为直径的圆 E 与直线 yx+3 相切于点 F，连接 EF，则 EFFH， 同理得 QG3+2， 27 m3+2， 综上，m 的取值范围是 m32或 m3+2 【点评】本题属于圆和一次函数综合题，考查了一次函数的应用，新定义：M 为点 P 与线段 AB 的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题，属于中考压轴题
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