1、已知 ，是虚数单位，复数1= 2 + ，2= 1 2，若12为纯虚数，则复数12的虚部为( ) A. B. 0 C. 25 D. 1 2. 已知集合 = *|0 3+，集合 = *| 0时，有() () 0成立，则不等式() 0的解集是( ) A. (,2) (2,+) B. (2,0) (2,+) C. (,2) (0,2) D. (2,+) 8. 已知直线1： = 1 + = 1 + (为参数)与圆2： = 2交于、两点，当|最小时，的取值为( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 1 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分） 9. 设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正
2、确的有( ) A. 2= | |2 B. 2= C. ( )2= 2 2 D. ( )2= 2 2 + 2 10. 在 中， = ， = ， = ，下列命题为真命题的有( ) 第 2 页，共 16 页 A. 若| | | |，则 B. 若 0，则 为锐角三角形 C. 若 = 0，则 为直角三角形 D. 若( + ) ( + ) = 0，则 为直角三角形 11. 对于函数() =22，下列说法正确的有( ) A. ()在 = 处取得极大值1 B. ()只有一个零点 C. (2) () D. 若() 12. 为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田这块地的亩产量(单位：)分别为1，2，下面给出
3、的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A. 1，2，的平均数 B. 1，2，的标准差 C. 1，2，的方差 D. 1，2，的中位数 三、单空题（本大题共 3 小题，共 15 分） 13. 设函数1() = 2，2() = 2( 2)，3() =13|2|，取=2019， = 0，1，2，2019，= |(1) (0)| + |(2) (1)| + + |(2019) (2018)|， = 1，2，3，则1，2，3的大小关系为_.(用“ ； ()求证：1311+12+13+ +1 1 (23)( ) 19. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅
4、读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：,0,10)，,10,20)，,20,30)，,30,40)，,40,50-，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 (1)写出的值； (2)试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； (3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望 第 4 页，共 16 页 20. 正三棱柱 111底边长为2，分别为1，的中点 ()已知为线段11上的点，且11= 41
5、，求证：/面1； ()若二面角 1 所成角的余弦值为277，求1的值 21. 已知椭圆：22+22= 1( 0)的短轴长为2.离心率为32.设点(,0)( 0, )是轴上的定点，直线： =2:22，设过点的直线与椭圆相交于、两点，在上的射影分别为， (1)求椭圆的方程； (2)判断| |是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 22. 已知函数() = ln + 1 (1)求函数()单调区间； (2)若 1时，函数() 恒成立，求实数的取值范围 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 复数12的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为 + 的形式，通
6、过虚部不为0，实部为0，即可得到复数的虚部 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力 【解答】 解：12=2:1;2=(2:)(1:2)(1;2)(1:2)=2;2:(:4)5=2;25+:45， 因为复数是纯虚数，所以 = 1，满足题意 故选： 2.【答案】 【解析】解：集合 = *|0 3+，集合 = *| 1+， = *| 0成立设() =()， 则() = ,()- =();()2 0，即 0时()是增函数， 当 2时，() (2) = 0，此时() 0； 0 2时，() (2) = 0，此时() 0 又()是奇函数，所以2 0； 2时() = () 0等价为 0(
7、) 0或 0() 2或 0的解集是(,2) (2,+)， 故选： 构造函数() =()，求函数的导数，判断函数()的单调性，将不等式进行转化即可 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断构造函数函数解决本题的关键 8.【答案】 【解析】解：圆2： = 2化为直角坐标方程为：2+ 2= 4 把直线1： = 1 + = 1 + ，化为普通方程为： + 1 = ( + 1)， 由于直线1过定点(1,1)在圆的内部， 因此当 时，|取得最小值 = 1， 1 = 1， 解得 = 1 故选： 圆2： = 2化为直角坐标方程为： 2+ 2= 4.把直线1： = 1 +
8、 = 1 + ， 化为普通方程为： + 1 = ( + 1)，由于直线1过定点(1,1)在圆的内部， 因此当 时，|取得最小值利用 = 1，即可得出 本题考查了直线与圆的相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查空间向量数量积的定义与运算法则，考查运算求解能力，属于基础题 根据空间向量数量积的运算法则逐一检验选项，即可 【解答】 第 8 页，共 16 页 解：选项 A， 2= | | | |0 = | |2，即 A正确； 选项 B， 2=| | |cos| |2=| |cos| | ，即 B错误； 选项 C，(
9、)2= (| | | |cos )2= | |2 | |2cos2= 2 2cos2 2 2，即 C 错误； 选项 D，( )2= 2 2 + 2，即 D 正确 故答案选： 10.【答案】 【解析】解：若| | | |，由正弦定理得2 2， ，A 正确， ： 若 0， cos( ) 0， cos 0，()单调递增， 当 (,+)时，() 0，()单调递减， 所以()在 = 处取得最大值() =1.故 A正确； 对于， 令() = 0，解得 = 1，所以()只有一个零点，故 B正确； 对于， 因为 (2)，故 C 错误； 对于， () 1:22，令() =1:22，则() =;23， 当 (0,
10、1)时，() 0，()单调递增， 当 (1,+)时，() 1，故 D 错误 故选： 对于，先利用单数求函数()单调性，进而求最值； 对于，直接求方程() = 0的解得个数即()的零点个数； 对于，结合单调性可判断； 对于，() 1:22，令() =1:22，利用导数求函数()的最值即可求的取值范围 本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，考查分离参数法处理恒成立问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题 12.【答案】 【解析】解：在中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标， 故 A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在中，标
11、准差能反映一个数据集的离散程度，故 B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在中，方差能反映一个数据集的离散程度，故 C 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”， 故 D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 故选： 利用平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义直接求解 本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义的合理运用 13.【答案】2 1 3 【解析】解：对于1，因为1() = 2在区间,0,1-上单调递增， 所以|1(:1)
12、 1()| = 1(:1) 1()， 则1= |1(1) 1(0)| + |1(2) 1(1)| + +|1(2019) 1(2018)| = 1(2019) 1(0) = 1； 对于2，因为2() = 2( 2)在区间,0,12-上单调递增，在区间,12,1-上单调递减，且关于直线 =12对称， 所以当0 1009时，|2(:1) 2()| = 2(:1) 2()， 当1010 2019时，|2(:1) 2()| = 2() 2(:1)， 则2= |2(1) 2(0)| + |2(2) 2(1)| + +|2(2019) 2(2018)| = 2(2019) 2(0) + |2(1010)
13、2(1009)| + 2(1010) 2(1009)， 第 10 页，共 16 页 又2(1009) = 2(1010)，2()=12，2(0) = 2(2019) = 0， 所以2 1； 对于3，因为3() =13|2|的周期为12，关于直线 =14, =34对称， 且在区间,0,14-上单调递增，在,14,12-上单调递减，在区间,12,34-上单调递增，在区间,34,1-上单调递减， 所以当0 504时，|3(:1) 3()| = 3(:1) 3()， 当505 1009时，|3(:1) 3()| = 3() 3(:1)， 当1010 1514时，|3(:1) 3()| = 3(:1)
14、3()， 当1515 2019时，|3(:1) 3()| = 3() 3(:1)， 其中3(504) 3(1515)， 则3= |3(1) 3(0)| + |3(2) 3(1)| + +|3(2019) 3(2018)| = 3(505) 3(0)+ 3(505) 3(1009) + 3(1514) 3(1010) + 3(1514) 3(2019) = 43(505) 23(1009) =23(210102019 sin20182019) 23(2512 sin12) =6:326 1， 所以3 1， 则2 1 3 故答案为：2 1 3 先分析三个函数在区间,0,1-上的单调性、对称性以及周
15、期性，然后利用绝对值的定义结合函数的性质分别表示出1，2，3，然后通过中间值1进行比较，即可得到答案 本题考查了数列与函数的综合应用，函数性质的应用，涉及了函数的单调性、周期性以及对称性的判断与应用，裂项相消法的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题 14.【答案】1 【解析】解：设() = 3 62+ 9 10，则() = 32 12 + 9， 令() = 0，得 = 1或 = 3， 1时，()单调递增，最大值为6； 当1 3时，()单调递增，最小值为10， 由上分析知 = ()的图象如图，与轴只有一个公共点， 所以方程3 62+ 9 10 = 0只有一个实根 故答案为：1
16、 应用导数的几何意义易判断函数的增减性，然后根据极值判断实根的个数 本题考查导数知识的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题 15.【答案】(2,0) = 3 【解析】解：双曲线223= 1，可得 = 1， = 3， = 2， 所以双曲线的焦点坐标是(2,0) 渐近线方程是： = 3 故答案为：(2,0)； = 3 直接利用双曲线方程求解焦点坐标以及渐近线方程即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标以及渐近线方程的求法，是基础题 16.【答案】2 829 【解析】解：如图，以为原点，过垂直于底面的直线分别为， ， 轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，则 ， ， (1,1,
17、0)，(1,1,2)，设 = ，则(0,0)， = 4 ， 由 = ， 得1 + (1 )2+ 2 = 4 ， 解得 = 2， 故 B = 2， 同理，可得 =43，故 E = 2 43=23， 四棱锥 的体积为13 2 (23+ 2) 2 12=829， 故答案为：2；829 建立空间直角坐标系，求出，的坐标，求出四棱锥 的体积即可 考查求棱椎的体积，折叠问题中的不变性问题，中档题 17.【答案】解：()因为22=36 由正弦定理可得， 1;2=36， 第 12 页，共 16 页 1 =33， 即 +33 = 1， 所以233(32 +12) =233sin( +3) = 1， 所以sin(
18、 +3) =32， 13 +13 43， +3=23， 故 B=3， ()由题意可得，0 20 23 2，解可得，6 2， 由正弦定理可得，=432=833， 故 =833， =833， + =833, + sin(23 )- =833(32 +32) = 8( +6) (43.8-, 所以，43 + 4 0， ( 2)2 (1 2)2= 1 0 :1 ()由题意，可知： 2:1= 2 2+ 4， 2:1 4 = 2 2 即：2(:1 2) = ( 2) 12(:1 2)=1( 2)=12(1 21) 1=1;21+1;2 11+12+13+ +1 =11 212 2+12 213
19、 2+ + 1 21:1 2 =11;21+1;2= 1 1+1;2 ，又由()，知：:1 2=72， 11+12+13+ +1= 1 1+1;213； 又由2(:1 2) = ( 2)，得： 1:1 2=21 2231 2 (23)11;2= (23)， 11+12+13+ +1= 1 1+1;2 1 (23) 1311+12+13+ +1 1 (23)( ). 命题得证 【解析】本题主要考查利用作差法来判断数列的大小以及利用放缩法证明不等式，属于较难题 ()可根据递推式的特点选择作差法来判断:1与的大小关系； ()首先对递推式进行整理重新组合，化成:1与的倒数关系式，这可以根据求证的不等式
20、进行思考，然后可采用相消法使式子变得更简单，再利用放缩法便能证出不等式成立 19.【答案】解：(1)由频率直方图的性质，(0.005 + 0.02 + + 0.04 + 0.005) 10 = 1， = 0.03， (2)由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名， 初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03 + 0.005) 10 = 0.25， 所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25 1800 = 450人， 同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03 + 0.005) 10 = 0.035， 学生人数约为0.35 1200 = 420人
21、， 所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450 + 420 = 870， (3)初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005 10 = 0.05，样本人数为0.05 60 = 3人， 第 14 页，共 16 页 同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005 10 40 = 2， 故的可能取值为：1，2，3， ( = 1) =312253=310，( = 2) =322153=35，( = 3) =3353=110， 的分布列为： 1 2 3 310 35 110 () = 1 310+ 2 35+ 3 110=95 【解析】(1)根据频率频率直方图的性质，可求得
22、的值； (2)由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和； (3)分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出的取值及概率，写出分布列和数学期望 本题考查频率分布直方图的应用，分布列和期望求法，考查计算能力，属于中档题 20.【答案】 证明： ()取11中点为， 连结， 则/1，又11= 41， 则/，所以/1， 因为 面1，1 面1， 故 E/面1 解：()如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设1= 则(0,0,0),1(1,0,),(1,0,2),(0,3,0)， = (1,3,2), = (0,3,0),1
23、 =(2,0,2),1 = (1,3,)， 设平面1法向量为 = (,)， 设平面1法向量为 = (,) 则1 = + 3 = 0 = 3 = 0，取 = 1，得 = (,0,1)， 1 = + 3 = 01 = 2 2 = 0，取 = 1，得 = (,3,4)； 设二面角 1 的平面角为， 二面角 1 所成角的余弦值为277， = cos =2:52:142:16=277， 设2= ，则92+ 10 111 = 0，得 = 3， 即2= 3， 1= 3 【解析】 ()取11中点为， 连结， 推导出/1， 从而/， 进而/1， 由此能证明/面1 ()以为坐标原点建立空间直角坐标系，
24、设1= ，利用向量法能求出结果 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 21.【答案】解：(1)由题意可知 = 1，=32， 又2 2= 2， = 2， = 1， = 3 椭圆的标准方程为：24+ 2= 1 (2)当直线斜率为0时，分别为椭圆的左右顶点， 则| | = |2:22+ | |2:22 | = |4:4:22242 2| =(2;2)242=(4;2)242， 当直线斜率不为0时，设直线的方程为 = + ， 联立方程组 = + 24+ 2= 1， 消去得：(4 + 2)2 8 + 42 42= 0， 设(1,1)，(2,
25、2)， 则1+ 2=84:2，12=42;424:2， | | = |14 + 22| |24 + 22| = |124 + 22(1+ 2) +(4 + 2)242| = |4 +(4:2)242| =(4;2)242 综上，| |为定值(4;2)242 【解析】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系和定值问题，属于中档题 (1)根据题意列方程得出，的值即可得出椭圆方程； 第 16 页，共 16 页 (2)讨论直线斜率是否为0，当直线斜率不为0时，设直线的方程为 = + ，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系计算| |得出结论 22.【答案】(1) () = + 1， 0。 () = 1 + ， 当 时，() 0。 所以函数()在上单调递减，在上单调递增。 (2)由于 1，() 恒成立， 1时， 0恒成立。 所以()在(1,+)上单调递增， () (1) = 1。 所以 1。 【解析】(1)利用导数即可求出单调区间； (2)分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可；
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