1、重难点重难点 0 04 4 一元二次方程的解法及判别式一元二次方程的解法及判别式 第第 1616 天代数式的变形计天代数式的变形计 1.（1）已知实数, x y满足2350 xxy,求xy的最大值; (2)已知, ,a b c为正实数,且满足220aacabb和220bbacac,试判断以, ,b c ab的长为三边的三角形的形状,并说明理由. 解:(1)由2350 xxy得235 yxx. 223525( xyxxxxxx21)6 当1x时,xy取得最大值,最大值为 6; 解法二:由2350 xxy得225(xxx)0y,移项,得 2225(1)6 xyxxx. 当1x时,xy取得最大值,最
2、大值为 6; (2)以, ,b c ab的长为三边的三角形是等腰直角三角形,理由如下: 由220bbacac得22()0bcabac, ()()()0,()()bc bca bcbc abc0, ,Q a b c都为正数, 0,0 abcbc, bc, 即 以, ,b c ab为 三 边 的 长 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 ,220Q aacabb(1),220bbacac(2),由(1)+(2),得2220,aabc 2 a22222220,()abbbcbcab. 即以, ,b c ab为三边的长的三角形是直角三角形,以, ,b c ab长为三边的三角形是等腰直角三角形. 北极
3、熊:你怎么不来找我玩啊,企鹅:我太南了. 思想方法简介 配方法:数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数恒等变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题. 第第 1717 天巧换变量代整体天巧换变量代整体 2.（2020 甘肃兰州市区级期中)解方程2(1)5140 xx时,我们可以将1x看成一个整体,设1 xy,则原方程可化为2540yy,解得121,4yy.当1y时,即1 1 x,解得2x;当4y时,即14 x,解得5x,所以原方程的解为122,xx=5.请利用这种方法解下列方程: (1)2(25)2
4、520 xx; (2)234 330 xx. 解:(1)设25xy,则原方程可化为22yy0,解得122,1 yy. 当2y时,即252 x,解得32 x; 当1 y时,即251 x,解得3x, 原方程的解为123,32 xx; (2)原方程可变形为234 330 xx,末知数在指数上,没学过呀!别怕,依照题干中的 方法试一下. 设3 xt,则原方程可化为2430tt,解得121,3tt. 当1t时,即31x,解得0 x; 当3t时,即33x,解得1x, 原方程的解为120,1xx. 思想方法简介 换元法:指引人一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量,求出结果之后,返回去求原变量的结果.换
5、元法通过引人新的元素将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换 第第 1818 天读懂新义旧法破天读懂新义旧法破 3.定义:若关于x的一元二次方程200 axbxca的两个实数根为1212,x xxx,分别以12,x x为横坐标和纵坐标得到点12,M x x,则称点M为该一元二次方程的衍生点.已知关于x的一元二次方程为222120 xmxmm. (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)求衍生点M的轨迹的解析式; (3)直线1:5lyx与x轴交于点A,直线2l过点1,0B,且1l与2l相交于点1,4C
6、,若衍生点M在VABC的内部,求m的取值范围; (4)若无论0k k为何值,关于x的方程20axbxc的衍生点M始终在直线22ykxk的图象上,求, b c满足的关系. 解:(1)证明:2224 2(1)4 Q bacmm2 )40m 不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)222(1)20 xmxmm, 解得122,xmxm, 方程222(1)20 xmxmm的衍生点为(2,)M mm 令2,mx my,得2yx. 衍生点M的轨迹的解析式为2yx; 这种求动点轨迹解析式的方法学习-下. (3)如解图,Q直线1:5lyx与x轴交于点A,( 5,0)A, 由点(1,0),( 1,4)
7、BC可得直线BC的解析式为22 yx 由(2)知点M的轨迹的解析式为2yx, 联立22,2. yxyx解得0,2.xy 直线2yx和直线BC的交点坐标是(0,2).令20yx,解得x2 若要使衍生点M在VABC的内部,需满足220 m 02; m (4)Q直线2(2)(2)4ykxkk x过定点(2,4)M 方程20axbxc的两个根为122,4xx, 420,1640abcabc消去a,得430bc. 即, b c满足的关系为430bc. KO!此局做题人完胜. 第第 1 19 9 天天 利用共解求特解利用共解求特解 4.( 全 国 初 中 数 学 竟 赛 ) 已 知 三 个 不 同 的 实
8、 数 a,b,c 满 足a3b c , 方 程210 xax 和20 xbxc有一个相同的实根,方程20 xxa和20 xcxb也有一个相同的实根.求, ,a b c的值. 解:依次将题设中所给的四个方程编号为(1),(2),(3),(4). 设1x是方程(1)和方程(2)的一个相同的实根, 则2111211101,.0 xaxcxabxbxc 设2x是方程(3)和方程(4)的一个相同的实根,则2222122220,110 xxaabxx xcxcxb 又Q方程(1)的两根之积等于 1, 2x也是方程(1)的根,22210 xax (5) 又2220 xxaQ(6) (5)-(6),得2(1)
9、1axa. 若1a ,则方程(1)无实根,与方程(1)有实根矛盾,故1a , 21.1 10,102,1 3xacbabcabc Q又 解得3,2bc . 综上所述,a的值是2,b的值是3,c的值是 2. 常说一口吃不成胖子,但是一口接一口却可以,就像解题,一步解不出来,但是一步接一步是不是就很容易了? 第第 2 20 0 天天 字母配方看正负字母配方看正负 5.（万唯原创）若实数(0),a ab满足3,10abab ,判断方程210axbx 的根的情况. 解:由3ab,得3ab, 0,3ab Q 将3ab代人10ab ,得310bb ,2.2bb 且3b 方程210axbx 的根的判别式为2
10、4ba224(3)(2)16bbb 碰到这种带末知数的式子判断正负,我们常用完全平方式把末知数藏起来,你 get 到了吗? 2 3,24bbb Q且 22(2)16.(2)160bb 方程210axbx 有两个不相等的实数根. 综合强化训练综合强化训练 4 4 1.2020江苏南京外国语学校自主招生)已知关于x的一元二次方程222310 xxm 的两个实数根是12,x x,且12113xx,求m的取值范围. 解:Q关于x的一元二次方程222310 xxm 的两个实数根是12,x x, 2121231444 2(31) 0,12mbacmxxxx ， 知道了根与系数的关系,那求解就没有什么难度了
11、. 由44 2(31) 0m ,得12112mxxQ 1212311)3,13.2mx xxx 1 13 ,解得53m .故m的取值范围是-5132m 2. (全国初中数学竞赛改编)如果方程2(1)20 xxxm的三根可以作为一个三角形的三边之长,求实数m的取值范围. 解:2(1)20 xxxmQ1x 或220 xxm. 设, 是方程220 xxm的两个根,则 224( 2)4440,2,.1,1bacmmmm 厔 该三角形的两边之和大于第三边,只需要这两边之差小于第三边即可,即需满足| 1. 2()1 绝对值的处理方式记一下22222224()41441m 解得3.4m 综上所述,m的取值范
12、围是34m1 3.已知关于x的两个一元二次方桯： 方程：21(2)102kxkx ; 方程:2(21)230 xkxk . (1)若方程有两个相等的实数根,求k的值; (2)若方程和只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根; (3)若方程和有一个公共根a,求代数式224235aakaa的值. 解:(1)Q方程(1)有两个相等的实数根, 2102, 4;(2)4 102kkkk 解得 (2)Q对于方程(2),2(21)4 1 ( 23)kk 2(23)40k 无论k为何值时,方程(2)总有实数根, Q方程(1)、(2)只有一个方程有实数根, 此时方程(1)没有实数根; 你可以去算一下方程(1)的根的判别式,看是啥情况. (3)根据a是方程(1)和(2)的公共根, 21(2)10(3)2kaka 2(21)230(4)akak 2 (3) 2, (2)(24)20(5)k aka得 2 (5) + (4), (3)(45)25k akak得 2224235(3)(45)25aakaak akak 故代数式224235aakaa的值为 5. 为什么友谊的小船说翻就翻呢?还不是因为你不好好做题耽揢了扬帆起航.
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