1、已知集合，则（ ）.A. B. C. D. 2. 已知复数 z 满足，则在复平面内复数 z 对应的点在（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 以边长为 2 的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（ ）.A. B. C. D.5. 已知，且，则（ ）.A. B. C. D. 6. 如图，某建筑物白色波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在 y 轴上
2、的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点 F 到下顶点的距离为 36， F 到渐近线的距离为 12，则该双曲线的离心率为（ ）.A. B. C. D. 的4Ax yx1,2,3,4,5B AB 2,31,2,31,2,3,42,3,4345izz0a 3aaa3a 2823830,23cos2sin12sin 32cos 3 5sin23 5cos23 222210,0yxabab53544345 学科网（北京）股份有限公司7. 第十三届冬残奥会于 2022 年 3 月 4 日至 3 月 13 日在北京举行.现从 4 名男生，2 名女生中选 3 人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，
3、且至多有 1 名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ）.A. 72 种B. 84 种C. 96 种D. 124 种8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ）.A. 1B. C. D. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9. 某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶
4、图.则下列说法中正确的是（ ）.A. 甲得分的 30%分位数是 31B. 乙得分众数是 48C. 甲得分的中位数小于乙得分的中位数D. 甲得分的极差等于乙得分的极差10. 已知向量，将绕原点 O 旋转30，30，60到的位置，则（ ）.A. B. C. D. 点坐标为11. 已知圆，一条光线从点射出经 x 轴反射，下列结论正确是（ ）.A. 圆 C 关于 x 轴的对称圆的方程为B. 若反射光线平分圆 C 的周长，则入射光线所在直线方程为C. 若反射光线与圆 C 相切于 A，与 x 轴相交于点 B，则的的sin 23yx,4t t 1gt 2gt 12gtgt222122221,2OP OP 1
5、23,OP OP OP 130OP OP 12PPPP 312OP OPOP OP 1P31 12 3,2222:430C xyy2,1P22430 xyy3240 xy2PBBA 学科网（北京）股份有限公司D. 若反射光线与圆 C 交于 M、N 两点，则面积的最大值为12. 已知同底面两个正三棱锥和均内接于球 O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（ ）.A. 平面 QBCB. 设三棱锥和的体积分别为和，则C. 平面 ABC 截球 O 所得的截面面积是球 O 表面积的倍D. 二面角的正切值为三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5
6、分，共分，共 20 分分.13. 抛物线的焦点坐标为，则 C 的准线方程为_.14. 已知函数则_.15. 2022 年北京冬奥会开幕式始于 24 节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为 24 个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为 13.5尺，芒种日晷长为 2.5 尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为_尺.16. 已知定义在R上的函数满足， 且为偶函数， 当时，若关于 x 的方程有 4 个不同实根，则实数 a 的取值范围是_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共
7、 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列的前 n 项和为，且，.（1）求数列的通项公式；的CNM12PABCQABCPABC4/PAQABCPABCQ ABCVP ABCV4Q ABCP ABCVV425PABQ532:4C xay0,2 212log1,1,3,1,xxxf xx 31log 12ff( )f x( )()0f xfx(1)f x01x( )f xx|( )|(|)f xfxax nanS12a 336Sa na 学科网（北京）股份有限公司（2）设，求数列的前 n 项和.18. 在
8、，AC 边上的高为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.问题：记内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，_.（1）求 c 的值；（2）设 AD 是的角平分线，求 AD 的长.19. 根据国家部署，2022 年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程 3D 模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 10 个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从 10 个不同的题目中随机选择 3
9、 个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中 2 个及以上程序正确即为闯关成功.现已知 10 个程序中，甲只能正确完成其中 6 个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数 X 的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.20. 图 1 是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，N 为的中点.将其沿 AC，AB 折起使得与重合，连结，BN，如图 2.（1）证明：在图 2 中，且 B，C，四点共面；（2）在图 2 中，若二面角的大小为，且，求直线 AB 与平面所成角的正弦值.21. 已知椭圆的焦距为 2，
10、点在 C 上.（1）求 C 的方程；（2）若过动点 P 的两条直线，均与 C 相切，且，的斜率之积为-1，点，问是否存在定2lognnbanna bnT7a 3 3221sin7B ABC60A1cbABC3511ACC AABC12ABB A2AB 121AAAA11AC1AA2AA11BCACBN1C1B1AACB1tan2 11BCC B2222:10 xyCabab2(1,)21l2l1l2l3,0A 学科网（北京）股份有限公司点 B，使得？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由.22. 已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）当时，令证明：当时，；若数列满足，证明：.0PA
11、 PB exf xaxaaR f x1a 22 f xg xx0 x 1g x *nxnN113x 1enxng x2e11nxn学科网（北京）股份有限公司潍坊市高考模拟考试数学潍坊市高考模拟考试数学一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合 A，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，所以 ，故选：C2. 已知复数 z 满足，则在复
12、平面内复数 z 对应的点在（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】设出复数 z 的代数形式，再利用复数相等求出复数 z 即可作答.【详解】设，则，由得：，即，于是得，解得，则有对应的点为，所以在复平面内复数 z 对应的点在第一象限.故选：A3. 已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】对的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.4Ax yx1,2,3,4,5B AB 2,31,2,31,2,3,42,3,444Ax
13、 yxx x1,2,3,4,5B AB 1,2,3,4345izzizxy,Rx yizxy345izz(i)34(i)5ixyxy(3)i4(54 )ixyxy3454xxyy1xy1 iz (1,1)0a 3aaa3a a3aaa学科网（北京）股份有限公司【详解】若，由可得，此时；若，则，不合乎题意；若，由可得，此时.因此，满足的的取值范围是或，因为或，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4. 以边长为 2 的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件结合几何体是圆柱，再由圆柱的体积公式直接计算作答.
14、【详解】以边长为 2 的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以 2 为底面圆半径，高为 2 的圆柱，由圆柱体积公式得：，所以所得到的几何体的体积为.故选：B5. 已知，且，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式化简方程，解方程可得，进而可得，然后利用诱导公式即可判断.【详解】，的01a3aaa3a 01a1a 3aaa1a 3aaa3a 3a 3aaaa01aa3a 01aa3a 3a a 3aaa3a 2823832228V80,23cos2sin12sin 32cos 3 5sin23 5cos23 2sin35cos3=3cos2sin10,2学
15、科网（北京）股份有限公司，即，或（舍去） ，.故选：A.6. 如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在 y 轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点 F 到下顶点的距离为 36， F 到渐近线的距离为 12，则该双曲线的离心率为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由点到直线的距离公式可得 b，已知结合双曲线的几何性质列方程组直接求解.【详解】点的到渐近线，即的距离，又由题知，解得，所以.故选：B7. 第十三届冬残奥会于 2022 年 3 月 4 日至 3
16、 月 13 日在北京举行.现从 4 名男生，2 名女生中选 3 人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有 1 名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ）.A. 72 种B. 84 种C. 96 种D. 124 种23 1 2sinsin126sinsin202sin31sin2 5cos3=2sin sin35cos cos3 5sincos232cossin23 222210,0yxabab53544345(0, )Fcayxb0axby2212bcdbab2223612acac1620ac205164cea学科网（北京）股份有限公司【答案】C【解析】【分析】先分有一名女生和没有
17、女生两种情况选出自愿者，然后再排列.【详解】第一步，选出的自愿者中没有女生共种，只有一名女生共种；第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有.所以，不同的选择方案共有种.故选：C8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ）.A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦函数的性质得当区间关于函数的图象对称轴对称时，取得最小值，不妨设 y 取得最大值，求得，再代入求得函数的最小值，由此可得答案.【详解】解：因为函数，所以其最小正周期为，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，因为函数在区间上的最大值为，最小值为，所以当区间关于它的图象对称轴对称时，取得最小值，对称轴为，
18、此时函数有最值，不妨设 y 取得最大值，则有，所以，344C214212C C 336A (124) 696sin 23yx,4t t 1gt 2gt 12gtgt22212222,4t tsin 23yx 12gtgt 11gt ,24tkkZsin 23yx22T,4t t14sin 23yx,4t t 1gt 2gt,4t t 12gtgt+ +4+28t ttsin 23yx 11gt sin 2+183t7sin 2 +112t学科网（北京）股份有限公司解得，得，所以，所以的最小值为，故选：D.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分
19、，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9. 某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图.则下列说法中正确的是（ ）.A. 甲得分的 30%分位数是 31B. 乙得分的众数是 48C. 甲得分的中位数小于乙得分的中位数D. 甲得分的极差等于乙得分的极差【答案】BCD【解析】【分析】根据茎叶图中数据，逐一分析各个选项，计算判断作答.【详解】对于 A，甲得分从小到大排列为：27，
20、28，31，39，42，45，55，55，58，66，而，所以甲得分的 30%分位数是 35，A 不正确；对于 B，乙的得分中有两个 48，其余分数值均只有一个，因此，乙得分的众数是 48，B 正确；对于 C，甲得分的中位数是 43.5，乙得分的中位数是 45，C 正确；对于 D，甲得分的极差、乙得分的极差都是 39，D 正确.故选：BCD10. 已知向量，将绕原点 O 旋转30，30，60到的位置，则（ ）.A. B. 72 +2,122tkkZ,24tkkZ 2gt2sin 2 +sin 2sin 2+324342tkk 12gtgt22210 30%31,2OP OP 123,OP OP
21、 OP 130OP OP 12PPPP 学科网（北京）股份有限公司C. D. 点坐标为【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的夹角判断 A，再由全等三角形可判断 B，根据向量的数量积的定义判断 C，根据向量的模相等判断 D.【详解】因为绕原点 O 旋转30，30，60到，所以与的夹角为，故，A 选项正确；由题意知，,所以，即，故 B 正确；因为,所以由数量积的定义知，故 C 正确；若点坐标，则，故 D 不正确.故选：ABC11. 已知圆，一条光线从点射出经 x 轴反射，下列结论正确的是（ ）.A. 圆 C 关于 x 轴的对称圆的方程为B. 若反射光线平分圆 C 的周长，则入射光线所在直线方程为
22、C. 若反射光线与圆 C 相切于 A，与 x 轴相交于点 B，则D. 若反射光线与圆 C 交于 M、N 两点，则面积的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，由对称的性质直接求解即可，对于 B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于 C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于 D，设，表示弦长和弦心距，可表示出面积，从而可求出其最大值为312OP OPOP OP 1P31 12 3,22OP 123,OP OP OP 1OP3OP90130OP OP 12OPPOPP12PPPP12PPPP 312,60 ,60OP OP
23、OP OP 312| | | |OPOPOPOP312OP OPOP OP 1P31 12 3,221172 3|52OPOP22:430C xyy2,1P22430 xyy3240 xy2PBBACNM122,1P(0, 2)(2, 1)PPBBAP BBAP AP APBBACMN0,2CNM学科网（北京）股份有限公司【详解】由，得，则圆心，半径为 1，对于 A，圆关于 x 轴的对称圆的方程为，所以 A 正确，对于 B，因为反射光线平分圆 C 的周长，所以反射光线经过圆心，所以入射光线所在的直线过点，因为入射光线过点，所以入射光线所在的直线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为，即，所以 B
24、 正确，对于 C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，因为，所以，所以 C 错误，对于 D，设，则圆心到直线的距离为，所以，所以当，即时，面积取得最大值，所以 D 正确，故选：ABD12. 已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球 O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（ ）.A. 平面 QBCB. 设三棱锥和的体积分别为和，则22430 xyy22(2)1xy(0,2)C22:430C xyy22430 xyy(0,2)C(0, 2)2,1P1 ( 2)3202k 322yx3240 xy(2, 1)PPBBAP BBAP A2221(20)( 1 2)12 3P AP
25、C 2 3PBBACMN0,2(0,2)C1(2)yk x sind2cosMN11sincossin222CMNSd MNsin214CNM12PABCQABCPABC4/PAQABCPABCQ ABCVP ABCV4Q ABCP ABCVV学科网（北京）股份有限公司C. 平面 ABC 截球 O 所得的截面面积是球 O 表面积的倍D. 二面角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】由题可得 PQ 为球 O 的直径，设 P 到底面的距离为 h，球的半径为 R，结合条件可得，可得，然后逐项分析即得.【详解】同底面的两个正三棱锥和均内接于球 O，PQ 为球 O 的直径，取 AB 的中点 M，连接
26、PM、QM，则 PMAB，CMAB，QMAB，PMC 为侧面 PAB 与底面 ABC 所成二面角的平面角，QMC 为侧面 QAB 与底面 ABC 所成二面角的平面角，又正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，设底面的中心为 N，P 到底面的距离为 h，球的半径为 R，则 PN=h，OP=R，ON=Rh，MN=h，CN=2h，QN=4h，PN=h，P、C、Q、M 四点共面，又 CN=2MN，QN=4h，PN=h，PA 与 QM 不平行，故 PA 与平面 QBC 不平行，故 A 错误；由 QN=4PN，可得，故 B 正确；平面 ABC 截球 O 所得的截面面积为，球 O 表面积为，425PABQ532
27、222RhRh52RhPABCQABCPABC42222RhRh52Rh4Q ABCP ABCVV2224hh222544252hRh学科网（北京）股份有限公司平面 ABC 截球 O 所得的截面面积是球 O 表面积的倍，故 C 正确；，即二面角的正切值为，故 D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13. 抛物线的焦点坐标为，则 C 的准线方程为_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的标准方程及焦点坐标直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以 C 的准线方程为.故答案为：14. 已知函数则_.
28、【答案】7【解析】【分析】根据函数每段的定义域求解.【详解】因为函数所以，所以7，故答案为：715. 2022 年北京冬奥会开幕式始于 24 节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为 24 个节气，如图所示，425,2224175PMh QMhhh QPhcos22221753221734hhhPMQhh sin534PMQtan53PMQ PABQ532:4C xay0,22y 2:4C xay0,22y 2y 212log1,1,3,1,xxxf xx 31log 12ff 212log1,13,1xxxf xx 212log1,1,
29、3,1,xxxf xx 3312log 12log 43log 1212log 23,334ff31log 12ff学科网（北京）股份有限公司相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为 13.5尺，芒种日晷长为 2.5 尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为_尺.【答案】84【解析】【分析】根据给定条件可得以冬至日晷长为首项，芒种日晷长为第 12 项的等差数列，求出公差即可列式计算作答.【详解】依题意，冬至日晷长为 13.5 尺，记为，芒种日晷长为 2.5 尺，记为，因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得
30、等差数列，数列的公差，因夏至与芒种相邻，且夏至日晷长最短，则夏至的日晷长为，又大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，则大雪的日晷长为，显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为 1.5 尺，末项为 12.5 尺，共 12 项，所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为(尺).故答案为：8416. 已知定义在R上的函数满足， 且为偶函数， 当时，若关于 x 的方程有 4 个不同实根，则实数 a 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据给定条件探讨函数性质，进而探求出函数的性质，并作出其图象，113.5a 122.5a,N ,12nannna1212.5 13.5112 112 1aad 1
31、1.5ad1212.5ad1.5 12.512842( )f x( )()0f xfx(1)f x01x( )f xx|( )|(|)f xfxax222 2(,)( , )599 5( )f x( ) |( )|(|)g xf xfx 学科网（北京）股份有限公司数形结合求出 a 的范围.【 详 解 】 依 题 意 ， 当时 ， 则 当时 ，又偶函数，即，即，当，即时，当，即时，因此，当时，显然有，于是得是周期为 4周期函数，当时，当时，令，则，函数是 R 上的偶函数，的图象关于 y 轴对称，讨论的情况，再由对称性可得的情况，当时，则时，当时，当时，函数的图象、性质与的的图象、性质一致，关于
32、x 的方程有 4 个不同实根，即直线与的图象有 4 个公共点，当时，函数的部分图象如图，观察图象知，当直线过原点及点，即时，直线与的图象有 5 个公共点，当直线过原点及点，即时，直线与的图象有 3 个公共点，为的 R,xfxf x 01x( )f xx10 x-( )()f xfxx (1)f x(1)(1) fxf x( )(2)f xfx12x021x( )2f xx23x120 x ( )(2)f xx 1,3x , 10,01( )2,122,23xxxxf xxxxx (2)()( )(2)(2)fxfxf xfxf x ( )f x02x 01f x24x 10f x ( ) |(
33、 )|(|)g xf xfx() |()|(|) |( )|(|) |( )|(|)( )gxfxfxf xfxf xfxg x ( )g x( )yg x0 x 0 x 0 x ( ) |( )|(|) |( )|( )g xf xfxf xf x02x( )2 ( )g xf x24x( )0g x 4 ,44,Nxkkk( )yg x0,4x|( )|(|)f xfxaxyax( )yg x0 x ( )yg xyax(0,0)(9,2)29a 29yx( )yg xyax(0,0)(5,2)25a 25yx( )yg x 学科网（北京）股份有限公司当直线绕原点逆时针旋转到直线时，旋转过
34、程中的每个位置的直线(不含边界)与的图象总有 4 个公共点，于是得，当时，关于 x 的方程有 4 个不同实根，有，由对称性知，当时，关于 x 的方程有 4 个不同实根，有，所以实数 a 的取值范围是：.故答案为：【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出 f(x)=0 的解；(2)图象法：作出函数 f(x)的图象，观察与 x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17
35、. 已知等比数列的前 n 项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 n 项和.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】 （1）设数列的公比为 q，然后由已知条件列方程求出，从而可求出通项公式，（2）由（1）可得，从而得，然后利用错位相减法求【小问 1 详解】设数列的公比为 q，由，得，解得，所以；【小问 2 详解】由（1）可得，所以，29yx25yxyax( )yg x0 x |( )|(|)f xfxax2295a0 x |( )|(|)f xfxax2259a 222 2(,)( , )599 5222 2(,)( , )599 5 nanS12a 336Sa na2lo
36、gnnbanna bnT2nna 11 22nnTn naq2lognnban2nnna bnnT na12a 336Sa221116aqqq a2q =2nna 2lognnban2nnna bn学科网（北京）股份有限公司，所以，所以.18. 在，AC 边上的高为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.问题：记内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，_.（1）求 c 的值；（2）设 AD 是的角平分线，求 AD 的长.【答案】 （1）3 （2）【解析】【分析】 （1）选条件：利用余弦定理直接求得；选条件：利用三角形的面积公式直接求得；选条件：先求出，利用和差角公式及正弦
37、定理即可求得.（2）选条件：求出，利用正弦定理即可求得；选条件；求得，利用正弦定理即可求得；选条件：利用正弦定理即可求得；【小问 1 详解】选条件：，由余弦定理，选条件；AC 边上的高为，由三角形的面积公式，解得，.选条件：，231 22 23 22nnTn 23121 22 21 22nnnTnn 212222nnnTn12 1 221 2nnn 11222nnn11 22nnTn7a 3 3221sin7B ABC60A1cbABC6 352 7cos7B 30BAD30BAD7,1acb22221cos6021322bcaAbbbcbbc 3 3213 31 sin24b bAb2b 3
38、c 21sin7B 学科网（北京）股份有限公司由题意可知，所以，因为，由正弦定理，解得，.【小问 2 详解】选条件：因 AD 是的角平分线，所以，则，由正弦定理，.选条件；因 AD 是的角平分线，所以，则，由正弦定理，.选条件：因为 AD 是的角平分线，所以，BC232 7cos1 sin177BBABC32 71213 21sinsinsincoscossin272714CABABABsinsinBbCc21713 2114bb2b 3c ABC30BAD2227942 7cos27273acbBac2421sin1 cos177BB2132 715 7sinsin30727214ADBB
39、sinsinADABBADB213sin6 37sin55 714ABBADADBABC30BAD2227942 7cos27273acbBac2421sin1 cos177BB2132 715 7sinsin30727214ADBB sinsinADABBADB213sin6 37sin55 714ABBADADBABC30BAD学科网（北京）股份有限公司则，由正弦定理，.19. 根据国家部署，2022 年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程 3D 模拟编程闯关
40、活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 10 个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从 10 个不同的题目中随机选择 3 个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中 2 个及以上程序正确即为闯关成功.现已知 10 个程序中，甲只能正确完成其中 6 个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数 X 的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】 （1） （2）分布列见解析，甲比乙闯关成功的可能性大【解析】【分析】 （1）可分析出“乙闯关”属于独立重复
41、实验，直接求概率；（2）直接求出甲编写程序正确的个数 X 的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.【小问 1 详解】记乙闯关成功为事件 A，所以.【小问 2 详解】由题意知随机变量 X 是所有可能取值为 0，1，2，3，2132 715 7sinsin30727214ADBB sinsinADABBADB213sin6 37sin55 714ABBADADB358112595E X 232332381555125P AC343101030CP XC12643103110CCP XC2164310122C CP XC36310136CP XC学科网（北京
42、）股份有限公司故 X 的分布列为X0123P所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.20. 图 1 是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，N 为的中点.将其沿 AC，AB 折起使得与重合，连结，BN，如图 2.（1）证明：在图 2 中，且 B，C，四点共面；（2）在图 2 中，若二面角的大小为，且，求直线 AB 与平面所成角的正弦值.【答案】 （1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】(1)取 AC 的中点 M，证明平面 BMN 及即可推理作答.(2)在平面 BMN 内作，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【小问 1 详解】取 AC 的中点 M
43、，连接 NM，BM，如图，13031012161311901233010265E X 112263+=812125311ACC AABC12ABB A2AB 121AAAA11AC1AA2AA11BCACBN1C1B1AACB1tan2 11BCC B64AC 11/ /BBCCMzMB学科网（北京）股份有限公司因为矩形，N 为的中点，则，又因 ABC 为等边三角形，则，平面 BMN，则有平面 BMN，又平面 BMN，所以；矩形中，平行四边形中，因此，所以 B，C，四点共面.【小问 2 详解】由(1)知，则为二面角的平面角，在平面 BMN 内过 M 作，有，以 M 为坐标原点建立如图所示的空间
44、直角坐标系，设平面的法向量为，则，令，得，由得，设直线 AB 与平面所成角为，于是得，11ACC A11ACACMNACMBMNMBM,MN MB AC BN ACBN11ACC A11/ /AACC11ABB A11/ /AABB11/ /BBCC1C1BMNACBMACNMB1CACBNMB MzMBACMz1(1,0,0), (0, 3,0),( 1,0,0),(0,cos ,sin ),( 1,cos ,sin )ABCNC(1, 3,0)CB 1(0,cos ,sin )CC 11BCC B, ,nx y z130cossin0CB nxyCC nyz 1y 1( 3, 1,)tan
45、n1tan2 ( 3, 1, 2)n 1, 3,0AB 11BCC B|2 36sin|cos,|4|2 22n ABn ABnAB 学科网（北京）股份有限公司所以直线 AB 与平面所成角的正弦值是.21. 已知椭圆的焦距为 2，点在 C 上.（1）求 C 的方程；（2）若过动点 P 的两条直线，均与 C 相切，且，的斜率之积为-1，点，问是否存在定点 B，使得？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）； （2）存在，点.【解析】【分析】(1)根据给定条件可得椭圆 C 的二焦点坐标，利用椭圆定义求出椭圆的长轴长即可计算作答.(2)设出过点的直线方程，与椭圆 C 的方程
46、联立，由判别式探求出的关系即可推理作答.【小问 1 详解】由题意知，椭圆 C 的半焦距，焦点分别为，由椭圆定义得：椭圆长轴长，即，所以椭圆 C 的方程为.【小问 2 详解】设点，显然，过点 P 的直线方程为，由消去 y 并整理得：，因为直线 l 与 C 相切，则，得，11BCC B642222:10 xyCabab2(1,)21l2l1l2l3,0A 0PA PB 2212xy3,0B00(,)P xy0 00,xy1c 1,01,02222222(1 1)()(1 1)()2 222a 2a 2211ba2212xy00(,)P xy02x 00yyk xx002222yyk xxxy 22
47、20000124220kxk ykxxykx22220000168 1210kykxkykx 220012ykxk 学科网（北京）股份有限公司即，设直线，的斜率分为，显然，是上述关于 k 的一元二次方程的两个根，则，化简得，即点 P 到坐标原点 O 的距离，故点 P 在以 O 为圆心，为半径的圆上，并且是动点，而点 A 为该圆上一定点，则当满足时，AB 为圆 O 的直径，即点，所以存在点满足题意.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，设出直线方程并与圆锥曲线方程联立，结合已知条件及韦达定理推理求解.22. 已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）当时，令.证明：当时，；若
48、数列满足，证明：.【答案】 （1）答案见解析； （2）证明见解析；证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导函数，再讨论的符号即可计算作答.(2)等价变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性即可；由已知证明，由分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可作答.【小问 1 详解】函数定义域为 R，求导得，22200002210 xkx y ky 1l2l1k2k1k2k201220112yk kx 22003xy3PO 30PA PB 3,0B3,0B exf xaxaaR f x1a 22 f xg xx0 x 1g x *nxnN113x 1enxng x2e11nxn f x
49、fx fx 21121exxxF x11e12x 2 e12xxh xx exf xaxa exfxa学科网（北京）股份有限公司当时，恒成立，即在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问 2 详解】当时，当时，令，恒成立，则在上单调递减，因此，成立，所以当时，.由可知，当时，由得，即，由，可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，令，恒成立，则在上单调递增，在0a 0fx f x, 0a e0 xfxalnxa e0 xfxalnxa f x,lnaln , a 0a f x, 0a f x,lnaln , a 1a 22 e1xxg xx0 x 222112 e121e1e12xxxxxxxxx 21121exxxF x0 x 2120exxFx F x0, 01010eF xF 21121exxx0 x 1g x 0,x 1g x 113x 21e1xg x20 x 1enxng x0nx 113e
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