1、2021 年江苏省扬州市江都年江苏省扬州市江都区三校联考区三校联考中考数学三模试卷中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1（3 分） 下面四个图形分别是低碳、 节水、 节能和绿色食品标志， 在这四个标志中， 是轴对称图形的是 （ ） A B C D 2 （3 分）下列计算，正确的是（ ） A （2x2）38x6 Ba
2、6a2a3 C3a22a26a2 D(13)0 3 = 0 3 （3 分） 小明， 小亮分别统计了近 5 次数学测试成绩， 下列统计量中能反映两人成绩波动大小的是 （ ） A频率 B平均数 C方差 D中位数 4 （3 分）如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 5 （3 分） 若点 A （2020， y1） 、 B （2021， y2） 都在双曲线 =3+2上， 且 y1y2， 则 a 的取值范围是 （ ） Aa0 Ba0 C32 D32 6 （3 分）如图，BC 是O 的直径，A，D 是O 上的两点，连接 AB，AD，BD，若ADB70，则ABC 的度数是（ ） A20 B70 C
3、30 D90 7（3 分） 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容： 设铁塔顶端到地面的高度 FE 为 xm， 根据以上条件，可以列出的方程为（ ） 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量目标示意图 相关数据 CD10m，45，50 Ax（x10）tan50 Bx（x10）cos50 Cx10 xtan50 Dx（x+10）sin50 8 （3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若 BC1，则 AB 的长度为（ ） A2 B2+12 C5+12 D43 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
4、，共 30 分）分） 9 （3 分）已知一种细菌的半径是 0.0000032 厘米，用科学记数法表示为 厘米 10 （3 分）分解因式：m34m 11 （3 分）若式子2 + 6在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12 （3 分）一个正多边形的每一个内角都等于 160，则这个正多边形的边数是 13 （3 分）已知 a 是方程 x2+x20210 的一个实数根，则 2a2+2a4000 的值为 14 （3 分）如图，直线 ab，三角板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两边分别交直线 b 于 B、C 两点若142，则2 的度数是 15 （3 分） 如图， 边长为 23cm 的正六边形螺帽，
5、中心为点 O， OA 垂直平分边 CD， 垂足为 B， AB17cm，用扳手拧动螺帽旋转 90，则点 A 在该过程中所经过的路径长为 cm 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD4，AB8分别以点 B，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和 F作直线 EF 分别与 DC，DB，AB 交于点 M，O，N，则 MN 17 （3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm， 在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚
6、度不计） 18 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2cm，AD5cm，动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AD 向终点 D 移动，设移动时间为 t（s） 连接 PC，以 PC 为一边作正方形 PCEF，连接 DE、DF，则DEF 面积最小值为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 个小题，共个小题，共 96 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算或化简 （1）|2 3|2sin45+8 +（12）2； （2）324（a+252） 20 （8 分）解不等式组：35 + 6+
7、1612，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解 21 （8 分）黄桥初中用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了统计图（不完整） （1）此次共调查了 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若黄桥初中九年级共有 1200 名学生，请你估计其中“非常喜欢”网课的人数 22 （8 分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有论语 ， 三字经 ， 弟子规 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三个诵读材料） ，将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上小明和小
8、亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片， 记录下卡片上的内容， 放回后洗匀， 再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛 （1）小明诵读论语的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率 23 （10 分）市面上有 A、B 两种类型的口罩，小明用 12 元买 A 型口罩，小丽用 21 元买 B 型口罩已知每个 B 型口罩比 A 型口罩贵 1.2 元，小明和小丽能买到相同数量的口罩吗？ 24 （10 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DEAC，AEBD （1）求证：四边形 AODE
9、 是矩形； （2）若 AB2，DE1，求四边形 AODE 的面积 25 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点（与点 A，B 不重合） ，过点 C 作直线 PQ，使得ACQABC （1）求证：直线 PQ 是O 的切线 （2）过点 A 作 ADPQ 于点 D，交O 于点 E，若O 的半径为 2，sinDAC=12，求图中阴影部分的面积 26 （10 分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M0，对于任意的函数值 y，都满足MyM，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1 （1） 分别判断函数
10、y=1（x0） 和 yx+1 （4x2） 是不是有界函数？若是有界函数， 求其边界值； （2）若函数 yx+1（axb，ba）的边界值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围； （3）将函数 yx2（1xm，m0）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界值是 t，当 m 在什么范围时，满足34t1？ 27 （12 分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表： 售价 x（元/件） 60 70 80 周销售量 y（件） 100 80 60 周销售利润 w（元） 200
11、0 2400 2400 【注：周销售利润周销售量（售价进价） 】 （1）直接写出：此商品进价 元，y 关于 x 的函数解析式是 （不要求写出自变量的取值范围） 当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润 （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0） ，物价部门规定该商品售价不得超过 70 元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1600 元，求 m 的值 28 （12 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，AB= 65，tanABC2，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动
12、时间为 t（秒） ，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转一个角 （BCD） ，得到对应线段 CF （1）求证：BEDF； （2）当 t 秒时，DF 的长度有最小值，最小值等于 ； （3）如图 2，连接 BD、EF、BD 交 EC、EF 于点 P、Q，当 t 为何值时，EPQ 是直角三角形？ 答案与答案与解析解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡
13、相应位置上） 1（3 分） 下面四个图形分别是低碳、 节水、 节能和绿色食品标志， 在这四个标志中， 是轴对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 2 （3 分）下列计算，正确的是（ ） A （2x2）38x6 Ba6a2a3 C3a22a26a2 D(13)0 3 = 0 【分析】幂的乘方，底数不变
14、指数相乘；根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加 【解答】解：A、 （2x2）38x6，幂的乘方，底数不变指数相乘；故本选项正确； B、a6a2a3，同底数幂的除法，底数不变指数相减；故本选项错误； C、3a22a26a4，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；故本选项错误； D、(13)0 3 = 1 3 = 3，任何数的零次幂（0 除外）都是 1；故本选项错误； 故选：A 3 （3 分） 小明， 小亮分别统计了近 5 次数学测试成绩， 下列统计量中能反映两人成绩波动大小的是 （ ） A频率 B平均数 C方差 D中位数 【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集
15、中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定要比较两位同学在五次数学测试中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差 【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差 故选：C 4 （3 分）如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从上面看，是一行三个相邻的矩形， 故选：D 5 （3 分） 若点 A （2020， y1） 、 B （2021， y2） 都在双曲线 =3+2上， 且 y1y2， 则 a 的取值范围是 （ ） Aa0 Ba0 C32 D32 【分析】根据已知得 3+2a0，从而得出 a
16、 的取值范围 【解答】解：点 A（2020，y1） ，B（2021，y2）两点在双曲线 y=3+2上，且 y1y2， 3+2a0， a32， a 的取值范围是 a32， 故选：D 6 （3 分）如图，BC 是O 的直径，A，D 是O 上的两点，连接 AB，AD，BD，若ADB70，则ABC 的度数是（ ） A20 B70 C30 D90 【分析】连接 AC，如图，根据圆周角定理得到BAC90，ACBADB70，然后利用互余计算ABC 的度数 【解答】解：连接 AC，如图， BC 是O 的直径， BAC90， ACBADB70， ABC907020 故选：A 7（3 分） 下表是小红填写的实践活
17、动报告的部分内容： 设铁塔顶端到地面的高度 FE 为 xm， 根据以上条件，可以列出的方程为（ ） 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量目标示意图 相关数据 CD10m，45，50 Ax（x10）tan50 Bx（x10）cos50 Cx10 xtan50 Dx（x+10）sin50 【分析】 过 D 作 DHEF 于 H， 则四边形 DCEH 是矩形， 根据矩形的性质得到 HECD10， CEDH，求得 FHx10，得到 CEx10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论 【解答】解：过 D 作 DHEF 于 H， 则四边形 DCEH 是矩形， HECD10，CEDH， FHx10， FDH4
18、5， DHFHx10， CEx10， tantan50=10， x（x10）tan 50， 故选：A 8 （3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若 BC1，则 AB 的长度为（ ） A2 B2+12 C5+12 D43 【分析】先判断出ADE45，进而判断出 AEAD，利用勾股定理即可得出结论 【解答】 解：由折叠补全图形如图所示， 四边形 ABCD 是矩形， ADABCA90，ADBC1，CDAB， 由第一次折叠得：DAEA90，ADE=12ADC45， AEDADE45， AEAD1， 在 RtADE 中，根据勾股定理得，DE= 2A
19、D= 2， 由第二次折叠知，CDDE= 2， AB= 2 故选：A 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9 （3 分）已知一种细菌的半径是 0.0000032 厘米，用科学记数法表示为 3.2106 厘米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000032 厘米，用科学记数法表示为 3.2106厘米 故答案为：3.2106 10 （3 分）分解因式
20、：m34m m（m2） （m+2） 【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：m34m， m（m24） ， m（m2） （m+2） 11 （3 分）若式子2 + 6在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解 【解答】解：由题意可得 2x+60， 解得：x3， 故答案为：x3 12 （3 分）一个正多边形的每一个内角都等于 160，则这个正多边形的边数是 18 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案 【解答】解：设多边形为 n 边形，由题意，得 （n2） 180160n， 解
21、得 n18， 故答案为：18 13 （3 分）已知 a 是方程 x2+x20210 的一个实数根，则 2a2+2a4000 的值为 42 【分析】首先由已知可得 a2+a20210，即 a2+a2021然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值 【解答】解：把 xa 代入得到 a2+a20210， 则 a2+a2021 又2a2+2a2（a2+a） ， 把 a2+a2021 代入 2a2+4a40002（a2+a）400022021400042， 故答案为：42 14 （3 分）如图，直线 ab，三角板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两边分别交直线 b 于 B、C 两点若142，则2
22、的度数是 48 【分析】先根据两角互余的性质求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】解：BAC90，142， 3901904248 直线 ab， 2348 故答案为：48 15 （3 分） 如图， 边长为 23cm 的正六边形螺帽， 中心为点 O， OA 垂直平分边 CD， 垂足为 B， AB17cm，用扳手拧动螺帽旋转 90，则点 A 在该过程中所经过的路径长为 10 cm 【分析】求出 OA 的长，利用弧长公式计算即可 【解答】解：连接 OD，OC DOC60，ODOC， ODC 是等边三角形， ODOCDC23（cm） ， OBCD， BCBD= 3（cm） ， OB= 3
23、BC3（cm） ， AB17cm， OAOB+AB20（cm） ， 点 A 在该过程中所经过的路径长=9020180=10（cm） ， 故答案为 10 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD4，AB8分别以点 B，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和 F作直线 EF 分别与 DC，DB，AB 交于点 M，O，N，则 MN 25 【分析】连接 DN，在矩形 ABCD 中，AD4，AB8，根据勾股定理可得 BD 的长，根据作图过程可得，MN 是 BD 的垂直平分线，所以 DNBN，在 RtADN 中，根据勾股定理得 DN 的长，在 RtDON 中，根据勾股定理
24、得 ON 的长，进而可得 MN 的长 【解答】解：如图，连接 DN， 在矩形 ABCD 中，AD4，AB8， BD= 2+ 2=45， 根据作图过程可知： MN 是 BD 的垂直平分线， DNBN，OBOD25， ANABBNABDN8DN， 在 RtADN 中，根据勾股定理，得 DN2AN2+AD2， DN2（8DN）2+42， 解得 DN5， 在 RtDON 中，根据勾股定理，得 ON= 2 2= 5， CDAB， MDONBO， DMOBNO， ODOB， DMOBNO（AAS） ， OMON= 5， MN25 故答案为：25 17 （3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为
25、 32cm， 在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20 cm（杯壁厚度不计） 【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A， 连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB= 2+ 2= 162+ 122=20（cm） 故答案为 20 18 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2cm，AD5cm，动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的
26、速度沿 AD 向终点 D 移动，设移动时间为 t（s） 连接 PC，以 PC 为一边作正方形 PCEF，连接 DE、DF，则DEF 面积最小值为 32 【分析】 由题意得： APt， PD5t， 根据三角形面积公式可得PCD 的面积 y 与 t 的关系式， 由图得：SDEF+SPDC=12S正方形EFPC，代入可得结论 【解答】解：设PCD 的面积为 y， 由题意得：APt，PD5t， y=12 =12 2 (5 ) =5t， 四边形 EFPC 是正方形， SDEF+SPDC=12S正方形EFPC， PC2PD2+CD2， PC222+（5t）2t210t+29， SDEF=12（t210t+
27、29）（5t）=12t24t+192=12（t4）2+32， 当 t 为 4 时，DEF 的面积最小，且最小值为32 故答案为：32 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 个小题，共个小题，共 96 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算或化简 （1）|2 3|2sin45+8 +（12）2； （2）324（a+252） 【分析】 （1）先算绝对值，代入特殊角的三角函数值，进行二次根式的化简，负整数指数幂的运算，再算乘法，最后进行加减运算即可； （2）能分解的进行分解，通分，把除法转化为乘法，
28、再约分即可 【解答】解： （1）|2 3|2sin45+8 +（12）2 32 222+22 +4 32 2 +22 +4 7； （2）324（a+252） =(3)2(2)（24252） =(3)2(2)292 =(3)2(2)2(3)(+3) =12(+3) = 12+6 20 （8 分）解不等式组：35 + 6+1612，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解 【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集 方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分解集的规律：同大取
29、大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 【解答】解：35 + 6+1612 解不等式，x3， 解不等式，x2， 3x2， 解集在数轴上表示如下： x 的整数解为2，1，0，1，2 21 （8 分）黄桥初中用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了统计图（不完整） （1）此次共调查了 50 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若黄桥初中九年级共有 1200 名学生，请你估计其中“非常喜欢”网课的人数 【分析】 （1）根据不喜欢的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据（1）中的结果，可以计算出“喜欢”的人数，从而可以将条形统计
30、图补充完整； （3）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出其中“非常喜欢”网课的人数 【解答】解： （1）此次共调查了 510%50 名学生， 故答案为：50； （2）选择“喜欢”的学生有：5024%12（人） ， 补充完整的条形统计图如右图所示； （3）12002650=624（人） ， 即其中“非常喜欢”网课的有 624 人 22 （8 分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有论语 ， 三字经 ， 弟子规 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三个诵读材料） ，将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面朝上
31、洗匀后放在桌面上小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片， 记录下卡片上的内容， 放回后洗匀， 再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛 （1）小明诵读论语的概率是 13 ； （2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率 【分析】 （1）利用概率公式直接计算即可； （2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可 【解答】解： （1）诵读材料有论语 ， 三字经 ， 弟子规三种， 小明诵读论语的概率=13， 故答案为：13； （2）列表得： 小明 小亮 A B C A （A，A） （A，B）
32、（A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格可知，共有 9 种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有 6 种 所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=69=23 23 （10 分）市面上有 A、B 两种类型的口罩，小明用 12 元买 A 型口罩，小丽用 21 元买 B 型口罩已知每个 B 型口罩比 A 型口罩贵 1.2 元，小明和小丽能买到相同数量的口罩吗？ 【分析】设 A 型口罩每个 x 元，则 B 型口罩每个（x+1.2）元，根据题意列出分式方程解之并检验 【解答】解：小明和小丽不能买到相同数量的口罩，理由如下： 设 A 型口
33、罩每个 x 元，则 B 型口罩每个（x+1.2）元， 根据题意得：12=21+1.2 解得：x1.6 经检验，x1.6 是分式方程的解， 但按此价格，他们都买了 7.5 个口罩，不符合实际意义； 答：小明和小丽不能买到相同数量的口罩 24 （10 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DEAC，AEBD （1）求证：四边形 AODE 是矩形； （2）若 AB2，DE1，求四边形 AODE 的面积 【分析】 （1） 根据题意可判断出四边形 AODE 是平行四边形， 再由菱形的性质可得出 ACBD， 即AOD90，继而可判断出四边形 AODE 是矩形； （2）由菱
34、形的性质和勾股定理求出 OB，得出 OD，由矩形的面积公式即可得出答案 【解答】 （1）证明：DEAC，AEBD， 四边形 AODE 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， AOD90， 四边形 AODE 是矩形； （2）解：四边形 AODE 是矩形， AODE1， AB2， BO= 2 2= 3， ODBO= 3， 四边形 AODE 的面积AOOD1 3 = 3 25 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点（与点 A，B 不重合） ，过点 C 作直线 PQ，使得ACQABC （1）求证：直线 PQ 是O 的切线 （2）过点 A 作 ADPQ 于点 D，交O
35、 于点 E，若O 的半径为 2，sinDAC=12，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OC，由直径所对的圆周角为直角，可得ACB90；利用等腰三角形的性质及已知条件ACQABC，可求得OCQ90，按照切线的判定定理可得结论 （2）由 sinDAC=12，可得DAC30，从而可得ACD 的 度数，进而判定AEO 为等边三角形，则AOE 的度数可得；利用 S阴影S扇形SAEO，可求得答案 【解答】解： （1）证明：如图，连接 OC， AB 是O 的直径， ACB90， OAOC， CABACO ACQABC， CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即 OCPQ， 直线 PQ 是O 的切
36、线 （2）连接 OE， sinDAC=12，ADPQ， DAC30，ACD60 ABCACD60， CAB906030， EAODAC+CAB60， 又OAOE， AEO 为等边三角形， AOE60 S阴影S扇形SAEO S扇形12OAOEsin60 =6036022122232 =23 3 图中阴影部分的面积为233 26 （10 分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M0，对于任意的函数值 y，都满足MyM，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1 （1） 分别判断函数 y=1（x0） 和 yx+1 （4
37、x2） 是不是有界函数？若是有界函数， 求其边界值； （2）若函数 yx+1（axb，ba）的边界值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围； （3）将函数 yx2（1xm，m0）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界值是 t，当 m 在什么范围时，满足34t1？ 【分析】 （1） 根据有界函数的定义即可得出函数 y=1 （x0） 不是有界函数、 函数 yx+1 （4x2）是有界函数，再代入 x4 和 x2 即可得出其边界值； （2）根据一次函数的性质可得出函数 yx+1 是单减函数，结合函数的最大值为 2 即可得出 a 的值，再代入 b 的值结合有界函数的定义以及该函数的
38、边界值即可得出关于 b 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出 b 的取值范围； （3）当 m1 时，代入 x0 即可得出 ym，由34t1 可得出此种情况不存在，从而得出 m1，结合二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征找出原函数横坐标为1 和 0 时，y 的值，根据平移的性质即可得出平移后的函数的最值，根据有界函数的定义以及其边界值34t1，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出 m 的取值范围，此题得解 【解答】解： （1）根据有界函数的定义知，函数 y=1 （x0）不是有界函数； 函数 yx+1（4x2）是有界函数 4+13，2+13， yx+1（4x2）边界值
39、为 3 （2）k10， 函数 yx+1 的图象是 y 随 x 的增大而减小， 当 xa 时，ya+12， 解得：a1； 当 xb 时，yb+1， 2 + 1 2 = 1， 1b3； （3）若 m1，函数向下平移 m 个单位后，x0 时，函数值小于1， 此时函数的边界 t1，与题意不符，故 m1 当 x1 时，y1，函数 yx2过点（1，1） ； 当 x0 时，y最小0，函数 yx2过点（0，0） 都向下平移 m 个单位，则函数 yx2m 过点（1，1m） 、 （0，m） ， 34t1， 34 1 1 1 或1 341 ， 解得：0m14 或 34m1 故当 0m14 或 34m1 时，满足34
40、t1 27 （12 分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表： 售价 x（元/件） 60 70 80 周销售量 y（件） 100 80 60 周销售利润 w（元） 2000 2400 2400 【注：周销售利润周销售量（售价进价） 】 （1）直接写出：此商品进价 40 元，y 关于 x 的函数解析式是 y2x+220 （不要求写出自变量的取值范围） 当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润 （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0） ，物价部门规定该商品
41、售价不得超过 70 元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1600 元，求 m 的值 【分析】 （1）该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx+b，用待定系数法求解即可； 根据周销售利润周销售量（售价进价） ，列出 w 关于 x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （2）根据周销售利润周销售量（售价进价） ，列出 w 关于 x 的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于 m 的方程，求解即可 【解答】解： （1）该商品进价是 60200010040（元/件）
42、 ； 设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx+b，将（60，100） ， （70，80）分别代入得： 100 = 60 + 80 = 70 + ， 解得：k2，b220 y 关于 x 的函数解析式为 y2x+220； 故答案为：40，y2x+220； 由题意得：wy（x40）（2x+220） （x40）2x2+300 x88002（x75）2+2450， 二次项系数20，抛物线开口向下， 当售价是 75 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 2450 元； （2）由题意得： w（2x+220） （x40m） 2x2+（300+2m）x8800220m， 二次项系数20，抛物线开口向下，对称轴
43、为：x= 300+24=75+12， 又x70， 当 x75+12时，w 随 x 的增大而增大， 当 x70 时， w 有最大值： （270+220） （7040m）1600， 解得：m10 周销售最大利润是 1600 元时，m 的值为 10 28 （12 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，AB= 65，tanABC2，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t（秒） ，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转一个角 （BCD） ，得到对应线段 CF （1）求证：BEDF； （2）当 t （65 +6） 秒时，DF 的长度有最小值，最小值等
44、于 12 ； （3）如图 2，连接 BD、EF、BD 交 EC、EF 于点 P、Q，当 t 为何值时，EPQ 是直角三角形？ 【分析】 （1） 由ECFBCD 得DCFBCE， 结合 DCBC、CECF 证DCFBCE 即可得； （2）作 BEDA 交 DA 的延长线于 E当点 E 运动至点 E时，由 DFBE知此时 DF 最小，求得 BE、AE即可得答案； （3）EQP90时，由ECFBCD、BCDC、ECFC 得BCPEQP90，根据 ABCD65，tanABCtanADC2 即可求得 DE； EPQ90时，由菱形 ABCD 的对角线 ACBD 知 EC 与 AC 重合，可得 DE65；
45、【解答】解： （1）ECFBCD，即BCE+DCEDCF+DCE， DCFBCE， 四边形 ABCD 是菱形， DCBC， 在DCF 和BCE 中， = = = ， DCFBCE（SAS） ， DFBE； （2）如图 1，作 BEDA 交 DA 的延长线于 E 当点 E 运动至点 E时，DFBE，此时 DF 最小， 在 RtABE中，AB65，tanABCtanBAE2， 设 AEx，则 BE2x， AB= 5x65，x6， 则 AE6 DE65 +6，DFBE12， 故答案为：65 +6，12； （3）CECF， CEQ90， 当EQP90时，如图 2， ECFBCD，BCDC，ECFC， CBDCEF， BPCEPQ， BCPEQP90， ABCD65，tanABCtanADC2， DE6， t6 秒； 当EPQ90时，如图 2， 菱形 ABCD 的对角线 ACBD， EC 与 AC 重合， DE65， t65秒， 综上所述，t6 秒或 65秒时，EPQ 是直角三角形
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