1、高三第二次统测试题（理科数学）（满分 150 分，考试用时 120 分钟）命题人： 审题人： 1、选择题 (本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 （提示： 2.718），则 的子集的个数为（ ）eA. 1 B. 2 C. 3 D. 42. （ ）2(sin4)xdxA. B. C. D. 3.设随机变量 X服从正态分布2(,)N，若 (4)(0)Px，则 （ ）A1 B2 C3 D44.下列有关命题的说法错误的是（ ）A.若“ pq”为假命题，则 p与 q均为假命题；B.在 中，“ ”是“ ”的必要不充分条件；sin2iABAC.若命题 00Rx： ， ，则命题2R0x
2、： ，；D.“1sin2”的必要不充分条件是“ ”.565.欧拉公式iecosinxx（ i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位特别是当 x时，ie10被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”根据欧拉公式可知，4ie表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6已知数阵 中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为（ ）A. 18 B. 27 C. 45 D. 547函数 （ ）的图象大致是（ ）
3、cos()3xfA. B. C. D. 8设 a，b，m 为整数(m )，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为0ab(mod m)若 aC 200C 2012C 20222C 2020220，ab(mod 10)，则 b 的值可以是( )A2018 B2019 C2020 D20219已知函数 是奇函数，其中 ，则函数 的2sin(3)fxx(0,)2cos(2)gx图象( )A关于点 对称 (,0)12B可由函数 的图象向右平移 个单位得到 fx3C可由函数 的图象向左平移 个单位得到 f6D可由函数 的图象向左平移 个单位得到 fx310. 某两个
4、三口之家，拟乘“红旗”、“比亚迪”两辆出租车一起外出郊游，每辆车最多只能坐 4个，其中两个小孩（另 4 个为两对夫妇）不能独坐一辆车，则不同的乘车方法共有（ ）A58 种 B50 种 C48 种 D40 种11. 函数 是偶函数，且 时， ，若 ，则 的取值范围是（ ）)1(xf 1xxf2)(1)(0f0xA B0, 2,C D),2()0,(),3()0,(12.如图，点 为 的边 上一点， ，ABC4BCD *()nEN为边 上的一列点，满足 ，11(3)4nnnEaE若，则 （ ）13anA. B. C. D. (2)3nn(2)n3na第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题（本
5、题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13定义在 R 上的函数 满足 时，fx,4(1,0)fxfxfx， 且 当则 2log()fx， 1.14已知函数 的部分图象如图所示，则函数的解析式为_ _ _15. 已知两个非零向量 a与 b，定义 sinab，其中 为 a与 b的夹角若 3,4a=， 0,2，则 的值为 16已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为 1()lnxf2()xge()gmfnm三、解答题（本题共有 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），其中 .以原点为极点， 轴正半轴为
6、极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知曲线 与 交于 两点，记点 相应的参数分别为 ，当 时，求 的,AB,ABAB值.18（12 分）已知不等式 的解集 .（1）求 ；（2）若 ，求证： .19（12 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为.（1）求 ；（2）求 的值.20、（12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 70 元，每单抽成 2元；乙公司无底薪，40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 4 元，超出 40 单的部分每单抽成 6 元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公
7、司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100天的送餐单数，得到如下频数表：（1）现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为 X(单位：元),求 X的分布列和数学期望；（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 20 20 40 1021.（12
8、 分）设正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， .(1)求数列 的通项公式；(2)若正项等比数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 .求 ；若对任意 ， ，均有 恒成立，求实数 的取值范围.22、（12 分）已知函数 .()ln3(1)fxax(1)若 ，试判断函数 的零点个数；2a(2)若函数 在 上为增函数，求整数 的最大值，(可能要用的数1()()3gxfaxa据: ； ).高三第二次统测试题理科数学答案一、选择题：1-5BDBDC 6-10CBDCC 1112CB二、填空题： 13. 1 14. 15. 6 16. 12.【解析】 因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，且 ，所以 ，得 ，
9、所以 ，又 ，所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，故选 B.16.【解析】不妨设 ， ，故，令 ， ，易知 在 上是增函数，且，当 时， ，当 时， ，即当 时， 取得极小值同时也是最小值，此时 ，即 的最小值为三、解答题：17.解：（1） 的普通方程： ，其中 ；2 分的直角坐标方程： . 4 分（2）由题知直线恒过定点 ，又 ，由参数方程的几何意义知 是线段 的中点，曲线 是以 为圆心，半径 的圆，且.由垂径定理知： .10 分18.解：（1）当 时，不等式即为 ，解得 ；当 时，不等式即为 ，解得 ；当 时，不等式即为 ，此时无解，综上可知，不等式解集 .6 分（2） ，
10、欲证 ，需证 ，即证 ，即 ，即证 ，因为 ，所以 显然成立.所以 成立. 12 分19.解：（1）由 的面积为 ，得 .因 ，所以 ，所以 ，得 ，又 ，由余弦定理得： ，所以 .6 分（2）法一：由（1）中 .解得 ，由正弦定理得： ，所以 ，法二：由（1）有 ，所以 .由正弦定理得 ，所以 .12 分20、解： (1)记“抽取的 2 天送餐单数都大于 40”为事件 M，则 P(M) .4 分C202C1002 19495(2)设乙公司送餐员送餐单数为 a，则当 a38 时，X384152；当 a39 时，X394156：当 a40 时，X404160；当 a41 时，X40416166；
11、当 a42 时，X40426172.所以 X 的所有可能取值为 152，156，160，166，172.故 X 的分布列为X 152 156 160 166 172P 110 15 15 25 110所以 E(X)152 156 160 166 172 162. 9 分110 15 15 25 110依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5.所以甲公司送餐员日平均工资为 70239.5149(元)由得乙公司送餐员日平均工资为 162 元因为 149162，故推荐小明去乙公司应聘12 分21.解：(1) ， ， ， 且各项为正，又 ，所以 ，再由 得 ，所以 是首项为 1，公差为 3 的等差数列， 4 分(2) ， ， ， 8 分恒成立 ，即 恒成立.设 ，当 时， ； 时， ， .12 分22.解：(1)因为 ，易知 在 上为增函数，则 ，故 在 上为增函数，又 ， ，所以函数 在 上的零点有且只有 1 个. 4 分(2)因为 ，由题意 在 上恒成立，5 分因为 显然成立，故只需 在 上恒成立，令 ，则因为由(1)可知: 在 上为增函数，故 在 上有唯一零点记为 ， ，则 ， ，9 分则 在 为减函数，在 为增函数，故 时， 有最小值 .令 ，则 最小值有 ，因 ，则 的最小值大约在 之间，故整数 的最大值为 6. 12 分a
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