1、2022年中考数学复习专题15:方程的根与函数的零点问题函数零点存在性判断1、函数零点存在性判断:(此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数)若函数yf(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内,函数yf(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数解2、求函数零点所在区间的方法:(1)解方程法:当对应方程f(x)0易解时,可先解方程,再看解得的根是否落在给定区间上(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断1. 例题【例1】设f(x)ln xx2,则函数f(
2、x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【解析】法一:f(1)ln 11210,f(2)ln 20,f(1)f(2)0,函数f(x)ln xx2的图象是连续的,函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)法二:函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x,h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)答案:B【例2】函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()A(0,1)B(1,2) C(2,3) D(3,4)【解析】函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标,即为函数f(x)ln(x1)的零点,
3、f(x)在(0,)上为增函数,且f(1)ln 210,f(2)ln 30,f(x)的零点所在区间为(1,2)答案:B【例3】函数()的导函数的图象如图所示:(1)求的值并写出的单调区间;(2)若函数有三个零点,求的取值范围【解析】 (2)由(1)得f(x)x3x22xc,函数f(x)在(,1),(2,)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以函数f(x)的极大值为f(1)c,极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点,故必有解得c.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是. 2.巩固提升综合练习【练习1】函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n,n1)(nN)内,则n_【解析
4、】求函数f(x)3x7ln x的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)1ln 2,由于ln 2ln e1,所以f(2)0,f(3)2ln 3,由于ln 31,所以f(3)0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n2答案:2【练习2】若abc,则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a,b)和(b,c) B(,a)和(a,b) C(b,c)和(c,) D(,a)和(c,)【解析】本题考查零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0,f(b)(bc)(ba)0,f(c)(cb)(ca)0,因此由零点的存在性定理知f(
5、x)的零点位于区间(a,b)和(b,c)内答案:A答案:D【练习3】已知函数.(1)证明:,;(2)判断的零点个数,并给出证明过程.【解析】(1),则该函数为偶函数,只需证,其中.,.当时,令,得.当时,此时,函数单调递减;当时,此时,函数单调递增.,当时,此时,函数单调递减,则,因此,对任意的,;(2)三个零点,证明如下:由(1)可知,当时,函数有一个零点.当时,此时,函数无零点;当时,.此时,函数单调递增,.由零点存在定理可知,存在,使得.当时,此时,函数单调递减;当时,此时,函数单调递增.,.由零点存在定理知,函数在区间上无零点,在区间上有且只有一个零点,即函数在区间上有且只有一个零点.
6、由于函数为偶函数,所以,函数在上无零点,在上有且只有一个零点.综上所述,函数有三个零点.方程的根与函数零点个数1、方程的根与函数零点的关系:函数yf(x)有零点 方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与函数y0(即x轴)有交点2、求方程的根与函数零点个数的方法:(1)解方程法:令f(x)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个
7、函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点1.例题【例1】已知函数f(x)满足f(0)1,且f(0)2f(1)0,那么函数g(x)f(x)x的零点个数为_【解析】f(0)1,c1,又f(0)2f(1)0,f(1)1b1,b当x0时,g(x)2x20有唯一解x1;当x0时,g(x)x2x1,令g(x)0得x或x2(舍去),综上可知,g(x)f(x)x有2个零点答案:2【例2】函数的零点个数为()A1B2C3 D4【解析】由f(x)2x|log0.5x|10,可得|log05x|x设g(x)|log0.5x|,h(x)x,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(
8、x)的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点答案:B【例3】已知函数 . (1)求在处的切线方程;(2)试判断在区间上有没有零点?若有则判断零点的个数.【解析】(1)由已知得 ,有,在处的切线方程为:,化简得 .2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)函数g(x)3f(2x),则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2B3C4 D5【解析】分别画出函数f(x),g(x)的草图,观察发现有2个交点答案:A【练习2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x0,1时,f(x)x,则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_【解析】由题意知,f(
9、x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象,如下:观察图象可以发现它们有4个交点,即函数yf(x)log3|x|有4个零点答案:4【练习3】已知函数(,)(1)若在上单调递减,求的取值范围;(2)当时,判断关于的方程的解的个数【解析】(1),由题意得在恒成立,即在恒成立,设,则,在上单调递增,在上单调递减,令,则,令,则,在上单调递减,在上单调递增, 又,存在,使得 时, 单调递减;【练习4】已知函数.()求函数在区间上的最小值;()判断函数在区间上零点的个数.【解析】()因为, 当时,所以在上是增函数,无最小值; 当时,又得,由得在上是减函数,在上是增函数
10、, 若,则在上是减函数,则;若,则在上是减函数,在上是增函数,综上:当时,的最小值为; 当时,的最小值为()由得令,则,由得,由得,所以在上是减函数,在上是增函数,且,且,当时,所以,当时,无有零点;当或时,有1个零点;当时,有2个零点.利用函数的零点求参数范围已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解1.例题【例1】已知方程|x2a|x20(a0)有两个不等
11、的实数根,则实数a的取值范围是()A(0,4)B(4,) C(0,2)D(2,)【解析】依题意,知方程|x2a|x2有两个不等的实数根,即函数y|x2a|的图象与函数yx2的图象有两个不同交点如图,则2,即a4答案:B【例2】已知是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,若函数在区间3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是_【解析】当x0,3)时,f(x),由f(x)是周期为3的函数,作出f(x)在3,4上的图象,如图函数yf(x)a在区间3,4上有互不相同的10个零点,即函数yf(x),x3,4与ya的图象有10个不同交点,在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图,
12、可知当0a时满足题意答案:【例3】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若函数恰有2个零点,求实数的取值范围.【解析】(2)由题意得,所以.由,解得,故当时,在上单调递减;当时,在上单调递增.所以.又,结合函数的图象可得,若函数恰有两个零点,则解得. 所以实数的取值范围为.2.巩固提升综合练习【练习1】若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点,则实数a的取值为()A0B C0或D2【解析】当a0时,函数f(x)x1为一次函数,则1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a0时,函数f(x)ax2x1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2x10有两个相等实根14a0,解得a综上,当
13、a0或a时,函数仅有一个零点答案:C【练习2】已知函数,若实数是方程的解,且,则的值为()A恒为负 B等于零 C恒为正 D不小于零【解析】在同一坐标系中作出ylog2x和yx的图象,由图象知f(x1)0答案:A【练习3】已知xR,符号x表示不超过x的最大整数,若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是()A B C D【解析】当0x1时,f(x)aa;当1x2时,f(x)aa;当2x3时,f(x)aa;f(x)a的图象是把y的图象进行纵向平移而得到的,画出y的图象,如图所示,通过数形结合可知a答案:A【练习4】【2018年理数全国卷II】已知函数(1)若,证明:当时,;(2)若
14、在只有一个零点,求(2)设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点(i)当时,没有零点;(ii)当时,当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增故是在的最小值若,即,在没有零点;若,即,在只有一个零点;若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当时,所以故在有一个零点,因此在有两个零点综上,在只有一个零点时,【练习5】 11.已知函数,. ()当时,求的单调区间和极值;()若关于的方程恰有两个不等实根,求实数的取值范围;【解析】()解:当时,函数,则. 令,得,当变化时,的变化情况如下表: +-+极大值极小值在和上单调递增,在上单调递减. 当时,当时,. ()依题意,即. 则令,则. 当时,故
15、单调递增(如图), 且;当时,故单调递减,且.函数在处取得最大值. 故要使与恰有两个不同的交点,只需.实数的取值范围是.课后自我检测1已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4) D(4,)【解析】因为f(1)6log2160,f(2)3log2220,f(4)log240,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)答案:C2方程的根所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】法一:方程log3xx3的根即是函数f(x)log3xx3的零点,由于f(2)log3223log3210且函数f(x)在(0,)上为单调增函数函数f(
16、x)的零点即方程log3xx3的根所在区间为(2,3)法二:方程log3xx3的根所在区间即是函数y1log3x与y23x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示由图知方程log3xx3的根所在区间为(2,3)答案:C3设a1,a2,a3均为正数,123,则函数f(x)的两个零点分别位于区间()A(,1)和(1,2)内B(1,2)和(2,3)内C(2,3)和(3,)内D(,1)和(3,)内【解析】本题考查函数与方程利用零点存在定理求解当x(1,2)时,函数图象连续,且x1,f(x),x2,f(x),所以函数f(x)在(1,2)上一定存在零点;同理当x(2,3)时,函数图象连续,且x2,f(x),
17、x3,f(x),所以函数f(x)在(2,3)上一定存在零点,故选B答案:C6已知函数,则函数的零点为()A,0B2,0C D0【解析】当x1时,由f(x)2x10,解得x0;当x1时,由f(x)1log2x0,解得x,又因为x1,所以此时方程无解综上,函数f(x)的零点只有0解析:D7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点,则实数m的取值范围是_【解析】画出f(x)的图象,如图由函数g(x)f(x)m有3个零点,结合图象得:0m1,即m(0,1)答案:(0,1)8已知函数f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是_【解析】要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x0时,方程2xa
18、0,即2xa必有一根,此时0a1;当x0时,方程x23axa0有两个不等实根,即方程x23axa0有2个不等正实根,于是a,故a1答案:9.已知函数的两个零点为(1)求实数m的取值范围;(2)求证:【解析】(2)令,则,由题意知方程有两个根,即方程有两个根,不妨设,令,则当时,单调递增,时,单调递减,综上可知,要证,即证,即,即证,令,下面证对任意的恒成立,又,则在单调递增,故原不等式成立10、已知函数.(1)当时,求证:;(2)讨论函数零点的个数.【解析】证明:当时,.令则当时,;当时,时,所以在上单调递减,在单调递增,所以是的极小值点,也是最小值点,即故当时,成立, ,由得.当时,;当时,
19、所以在上单调减,在单调增,所以是函数得极小值点,也是最小值点,即当,即时,没有零点,当,即时,只有一个零点,当,即时,因为所以在上只有一个零点;由,得,令,则得,所以,于是在在上有一个零点;因此,当时,有两个零点.综上,时,没有零点;时,只有一个零点;时,有两个零点.11.【2017课标1,理21】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求a的取值范围.【解析】12.已知函数f(x)=.(1)当a为何值时,x轴为曲线 的切线;(2)用 表示m,n中的最小值,设函数 ,讨论h(x)零点的个数.【解析】()当时,从而,在(1,+)无零点.当=1时,若,则,,故=1是的零点;若,则,,故=1不是的零点.当时,所以只需考虑在(0,1)的零点个数.()若或,则在(0,1)无零点,故在(0,1)单调,而,所以当时,在(0,1)有一个零点;当0时,在(0,1)无零点.()若,则在(0,)单调递减,在(,1)单调递增,故当=时,取的最小值,最小值为=.若0,即0,在(0,1)无零点.若=0,即,则在(0,1)有唯一零点;若0,即,由于,所以当时,在(0,1)有两个零点;当时,在(0,1)有一个零点.10分综上,当或时,由一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点.