1、2022 年四川省绵阳市游仙区中考模拟年四川省绵阳市游仙区中考模拟数学数学试卷（试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）使方程 2x25mx+2m25 的二根为整数的整数 m 的值共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 3 （3 分）某药品经过两次降价，由每盒 72 元调至 56 元，若设平均每次降低的百分率为 x，根据题意，可得方程（ ） A72（1x）256 B72（1x2）56 C72（12x）56 D72（1+x）256 4
2、（3 分）在平面直角坐标系中，将函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位后，得到的图象的函数表达式是（ ） Ay（x+1）2+5 By（x1）2+5 Cy（x+1）25 Dy（x1）25 5 （3 分）如图，ABC 中，ACB90，ABC40将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到ABC，使点 C 的对应点 C恰好落在边 AB 上，则CAA的度数是（ ） A50 B70 C110 D120 6 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 放入平面直角坐标系后，若顶点 A，B，C，E 的坐标分别是（0，a） ， （b，m） ， （2，1） ， （e，m） ，则点 D 的坐标是（ ）
3、A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 7 （3 分）如图，在O 中，所对的圆周角ACB55，若 P 为上一点，AOP73，OPCB，则OBC 的度数为（ ） A30 B35 C37 D55 8 （3 分）在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共 36 个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A5 B9 C15 D24 9 （3 分）一个圆锥的底面周长是 31.4cm，高是 9cm，它的体积为（ ）cm3 （ 取 3.14） A2826 B942 C706.5 D235.5 10 （3 分）二次
4、函数 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，且 a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： x 1 0 1 2 y m 2 2 n 且当 x时，对应的函数值 y0有以下结论：abc0；m+n；关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在和 0 之间；P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数 t时，y1y2 其中正确的结论是（ ） A B C D 11 （3 分）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30后得到正方形 BEFG，EF 与 AD 相交于点 H，延长DA 交 GF 于点 K若正方形 ABCD 的边长为，则 HD 的长为（ ）
5、 A1 B1 C1 D1 12 （3 分）如图，二次函数 yax2bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P若点 P 的横坐标为1，则一次函数 y（ab）x+（a+b）的图象大致是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）若点 P（3m1，2+m）关于原点的对称点 P在第四象限，则 m 的取值范围是 14 （4 分）如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣” ，其中ABC90，AC5cm，AB3cm，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是 15 （4 分）小敏在今年的校运动
6、会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数 h3.5t4.9t2（t 的单位：s，h 的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 s 16 （4 分）已知三角形的三边分别为 41、40、9，则这个三角形的内切圆半径是 17 （4 分）已知抛物线 y1x2+4x（如图）和直线 y22x我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1和 y2若 y1y2，取 y1和 y2中较大者为 M；若 y1y2，记 My1y2，当 x2 时，M的最大值为 4；使 My2的 x 的取值范围是 0 x2；使 M3 的 x 的值是 x11；M 随 x 的增大而增大上述结论正确
7、的是 （填写所有正确结论的序号） 18 （4 分）如图，已知等边三角形 ABC 的边长为，点 D 为平面内一动点，且 DA1，将点 D 绕点 C 按逆时针方向转转 60，得到点 E，连接 AE，则 AE 的最大值是 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （8 分）解方程： （1） （2x1）23 （2x1） （2）3x2+8x30 20 （8 分）如图 1，用长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 28m，设垂直于墙的一边长为 xm，平行于墙的一边长为 ym （1）直接写出 y 与 x 满足的函数关系式及 x 的取值范围 ； （2）求菜园面积
8、 S 的最大值； （3）如图 2，在菜园内修建两横一竖且宽均为 am 的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随 x 的增大而减小，则 a 的取值范围为 21 （12 分）针对新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成） 除了 60 到 70 之间学生成绩尚未统计，还有 6 名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99 班长根据情况画出的扇形图如下： 类别 分数段 频数（人数） A 60 x70 a B 70 x80 16 C 80 x90 24 D 90 x100 b （1）完成频数分布
9、表，a ，b ； （2）补全频数分布直方图； （3）全校共有 720 名学生参加初赛，估计该校成绩 90 x100 范围内的学生有多少人？ （4）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率 22 （12 分）如图，在边长为 1 小正方形组成的正方形网格中，有一个ABC，作出ABC 绕点 O 顺时针旋转 90的图形ABC（不写作法，但要标出字母） ，并求出线段 OA 扫过的扇形面的面积 23 （12 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2（k+8）x+80 （1）求证：无论 k 取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为 4
10、，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的 k 值 24 （12 分）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形 ABCD，为美化环境，用总长为 90m 的篱笆围成四块矩形，其中 S1S2S3S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计） （1）若 AEx，用含有 x 的式子表示 BE 的长； （2）求矩形 ABCD 的面积 y 关于 x 的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE 的长 25 （12 分）ABC 内接于O，I 为其内心，AI 的延长线交O 于 D，连 OD 交 BC 于 E （1）求证：ODBC； （2）若BOCBIC，求BAC 的度数； （3）若 DE2，BE
11、4， 求O 的半径 r 当点 A 在优弧上移动时，OI 是否有最小值，如有请求出最小值，如没有请说明理由 26 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 过点 M 和坐标原点 O，一次函数 ymx4m 与 x 轴交于点 M （1）求出抛物线的对称轴； （2）如图 1，以线段 OM 为直径作C，在第一象限内的圆上存在一点 B，使得OBC 为等边三角形，求C 过点 B 的切线 l 的函数解析式； （3）如图 2，在（2）的条件下，当 a0 时，若抛物线上有且只存在三点 D1、D2、D3，使得OD1MOD2MOD3M60，过点 B 的切线与抛物线交于 P、Q 两点，试问：在直线 PQ 下方的抛物线
12、上是否存在一点 N，使得PNQ 的面积最大？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意； B是中心对称图形，故本选项符合题意； C不是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 2 （3 分）使方程 2x25mx+2m25 的二根为整数的整数 m 的值共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D0 个
13、 【解答】解：方程可以变为（x2m） （2xm）5， 而 551（5）（1） ， 并且方程的两根为整数，m 也为整数， x2m5，2xm1； x2m1，2xm5； x2m5，2xm1； x2m1，2xm5； m1 或 m3 经检验：m1 或 m3 都不符合题意 故选：D 3 （3 分）某药品经过两次降价，由每盒 72 元调至 56 元，若设平均每次降低的百分率为 x，根据题意，可得方程（ ） A72（1x）256 B72（1x2）56 C72（12x）56 D72（1+x）256 【解答】解：第一次降价后的售价为 72（1x） ， 则第二次降价后的售价为 72（1x） （1x）72（1x）25
14、6， 72（1x）256 故选：A 4 （3 分）在平面直角坐标系中，将函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位后，得到的图象的函数表达式是（ ） Ay（x+1）2+5 By（x1）2+5 Cy（x+1）25 Dy（x1）25 【解答】解：将函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位，得到的函数关系式为 y（x1）2+5 故选：B 5 （3 分）如图，ABC 中，ACB90，ABC40将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到ABC，使点 C 的对应点 C恰好落在边 AB 上，则CAA的度数是（ ） A50 B70 C110 D120 【解答】解：ACB9
15、0，ABC40， CAB90ABC904050， 将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到ABC，使点 C 的对应点 C恰好落在边 AB 上， ABAABC40，ABAB， BAABAA（18040）70， CAACAB+BAA50+70120 故选：D 6 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 放入平面直角坐标系后，若顶点 A，B，C，E 的坐标分别是（0，a） ， （b，m） ， （2，1） ， （e，m） ，则点 D 的坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 【解答】解：如图所示： A（0，a） ， 点 A 在 y 轴上， B，E 的坐标分别是（b，m）
16、， （e，m） ， B，E 点关于 y 轴对称， C，D 点关于 y 轴对称， C 的坐标是： （2，1） ， 点 D 的坐标是： （2，1） 故选：A 7 （3 分）如图，在O 中，所对的圆周角ACB55，若 P 为上一点，AOP73，OPCB，则OBC 的度数为（ ） A30 B35 C37 D55 【解答】解：ACB55， AOB2ACB110， AOP73， POBAOBAOP1107337， OPCB， OBCPOB37， 故选：C 8 （3 分）在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共 36 个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红
17、球的个数最有可能是（ ） A5 B9 C15 D24 【解答】解：设袋子中红球有 x 个， 根据题意，得：0.25， 解得 x9， 袋子中红球的个数最有可能是 9 个， 故选：B 9 （3 分）一个圆锥的底面周长是 31.4cm，高是 9cm，它的体积为（ ）cm3 （ 取 3.14） A2826 B942 C706.5 D235.5 【解答】解：半径31.43.1425cm，圆锥体积cm3 故选：D 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，且 a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： x 1 0 1 2 y m 2 2 n 且当 x时，对应的函数值 y
18、0有以下结论：abc0；m+n；关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在和 0 之间；P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数 t时，y1y2 其中正确的结论是（ ） A B C D 【解答】解：将（0，2） ， （1，2）代入 yax2+bx+c 得：， 解得， 二次函数为：yax2ax+2， 当 x时，对应的函数值 y0， aa+20， a， a，即 b， a0，b0，c0， abc0，故不正确； x1 时 ym，x2 时 yn， ma+a+22a+2，n4a2a+22a+2， m+n4a+4， a， m+n，故正确； 抛物线过（0，2） ， （1
19、，2） ， 抛物线对称轴为 x， 又当 x时，对应的函数值 y0， 根据对称性：当 x时，对应的函数值 y0， 而 x0 时 y20， 抛物线与 x 轴负半轴交点横坐标在和 0 之间， 关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在和 0 之间，故正确； P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上， y1a（t1）2a（t1）+2，y2a（t+1）2a（t+1）+2， 若 y1y2，则 a（t1）2a（t1）+2a（t+1）2a（t+1）+2， 即 a（t1）2a（t1）a（t+1）2a（t+1） ， a0， （t1）2（t1）（t+1）2（t+1） ， 解得 t，故正
20、确， 故选：D 11 （3 分）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30后得到正方形 BEFG，EF 与 AD 相交于点 H，延长DA 交 GF 于点 K若正方形 ABCD 的边长为，则 HD 的长为（ ） A1 B1 C1 D1 【解答】解：连接 BH，如图所示： 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， BAHABCBEHF90， 由旋转的性质得：ABEB，CBE30， ABE60， 在 RtABH 和 RtEBH 中， ， RtABHRtEBH（HL） ， ABHEBHABE30，AHEH， AHABtanABH1， HDADAH1 故选：A 12 （3 分）如图，二次
21、函数 yax2bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P若点 P 的横坐标为1，则一次函数 y（ab）x+（a+b）的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：由二次函数的图象可知， a0，b0， ab0， 当 x1 时，ya+b0， y（ab）x+（a+b）的图象在第二、三、四象限， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分） 若点 P （3m1， 2+m） 关于原点的对称点 P在第四象限， 则 m 的取值范围是 2m 【解答】解：点 P（3m1，2+m）关于原点的对称点 P（3m+1，2m）在第四象限， ，
22、 解得：2m 故答案为：2m 14 （4 分）如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣” ，其中ABC90，AC5cm，AB3cm，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是 【解答】解：ABC90，AC5cm，AB3cm， 由勾股定理得：BC4cm， SABCABBC346（cm2） ， S阴影S正方形4SABC52461（cm2） ， 他击中阴影部分的概率是 故答案为： 15 （4 分）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数 h3.5t4.9t2（t 的单位：s，h 的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 s 【解
23、答】解：h3.5t4.9t24.9（t）2+， 当 t时，h 取得最大值， 故他起跳后到重心最高时所用的时间是s， 故答案为： 16 （4 分）已知三角形的三边分别为 41、40、9，则这个三角形的内切圆半径是 4 【解答】解：92+402412， 三角形为直角三角形， 这个三角形的内切圆半径4 故答案为 4 17 （4 分）已知抛物线 y1x2+4x（如图）和直线 y22x我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1和 y2若 y1y2，取 y1和 y2中较大者为 M；若 y1y2，记 My1y2，当 x2 时，M的最大值为 4；使 My2的 x 的取值范围是 0 x2；使
24、 M3 的 x 的值是 x11；M 随 x 的增大而增大上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号） 【解答】解：当 x2 时，y14，y24， M 的最大值为 4，故正确 由，解得或， 两个函数图象的交点坐标为（0，0）和（2，4） ， 观察图象可知，使 My2的 x 的取值范围是 0 x2，故正确， M3 时，y13， x2+4x3， 解得 x1 或 3， y23 时，32x，解得 x，也符合条件， 故错误， 由图象可知直线 y2x 经过原点和抛物线的顶点， M 随 x 的增大而增大，故正确 故答案为 18 （4 分）如图，已知等边三角形 ABC 的边长为，点 D 为平面内一动点，且 DA
25、1，将点 D 绕点 C 按逆时针方向转转 60，得到点 E，连接 AE，则 AE 的最大值是 1+ 【解答】解：如图，连接 DE，BE， 将点 D 绕点 C 按逆时针方向旋转 60， CDCE，DCE60ACB， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， ADBE1， 点 E 在以点 B 为圆心，1 为半径的圆上， 当点 E 在 AB 的延长线上时，AE 有最大值为 1+， 故答案为：1+ 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （8 分）解方程： （1） （2x1）23 （2x1） （2）3x2+8x30 【解答】解： （1）
26、 （2x1）2+3（2x1）0 （2x1） （2x1+3）0 2x10 或 2x+20， 解得 x1，x21 （2） （x+3） （3x1）0 x+30 或 3x10， 解得 x13，x2 20 （8 分）如图 1，用长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 28m，设垂直于墙的一边长为 xm，平行于墙的一边长为 ym （1）直接写出 y 与 x 满足的函数关系式及 x 的取值范围 y602x（16x30） ； （2）求菜园面积 S 的最大值； （3）如图 2，在菜园内修建两横一竖且宽均为 am 的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随 x 的增大而减小，则 a 的取值范围为 0
27、a 【解答】解： （1）由题意得：y602x， 墙长为 28m，篱笆长为 60m， 0y28， 0602x28， 602x32， 16x30， y602x（16x30） ； （2）y602x， Sxy x（602x） 2x2+60 x 2（x15）2+450， a20 开口向下， 对称轴为 x15， 当 16x30 时，S 随 x 增大而减小 当 x16 时，S 有最大值，最大值为 448m2； （3）由题意得：S路2ay+ax2a2， S种SS路 2x2+60 x2a（602x）+ax2a2 2x2+60 x120a+4axax+2a2 2x2+（3a+60）x+2a2120a， 种菜部分的
28、面积随 x 的增大而减小，且 16x30， 16， 3a+6064， 3a4， a， 又a0， 0a 21 （12 分）针对新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成） 除了 60 到 70 之间学生成绩尚未统计，还有 6 名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99 班长根据情况画出的扇形图如下： 类别 分数段 频数（人数） A 60 x70 a B 70 x80 16 C 80 x90 24 D 90 x100 b （1）完成频数分布表，a 2 ，b 6 ； （2）补全频数分布直方图
29、； （3）全校共有 720 名学生参加初赛，估计该校成绩 90 x100 范围内的学生有多少人？ （4）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率 【解答】解： （1）调查的总人数为：2450%48（人） ，b6，a48162462， 故答案为：2，6； （2）补全频数分布直方图为： （3）D 类所占百分比， 72012.5%90（人） ， 即估计该校成绩 90 x100 范围内的学生有 90 人； （4）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中恰好选中甲，两位同学的结果数为 2， 恰好选中甲，乙两位同学的概率为 22 （12 分）如图，
30、在边长为 1 小正方形组成的正方形网格中，有一个ABC，作出ABC 绕点 O 顺时针旋转 90的图形ABC（不写作法，但要标出字母） ，并求出线段 OA 扫过的扇形面的面积 【解答】解： （1）如图所示：ABC即为所求； （2）OAOA2，AOA90， 线段 OA 扫过的扇形面的面积为：2 23 （12 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2（k+8）x+80 （1）求证：无论 k 取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为 4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的 k 值 【解答】解： （1）由题意可知：k0， （k+8）232k k2+16k+6432k k216
31、k+64 （k8）20， 无论 k 取任何非零实数，方程总有实数根 （2）当三角形的腰长为 4 时，设底边为 a， x4 是 kx2（k+8）x+80 的一根， 16k4（k+8）+80， 16k4k32+80， k2， 由根与系数的关系可知：4a， a1， 此时 1+44，能够组成三角形，满足题意， 当底边为 4 时，设腰长为 a， kx2（k+8）x+80 有两个相同的根， （k+8）232k0， k8， 该方程的解为：x1 1+14，不能组成三角形， 综上所述，k2 24 （12 分）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形 ABCD，为美化环境，用总长为 90m 的篱笆围成四块矩形
32、，其中 S1S2S3S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计） （1）若 AEx，用含有 x 的式子表示 BE 的长； （2）求矩形 ABCD 的面积 y 关于 x 的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE 的长 【解答】解： （1）S2S3S4， NC2BH2HN， 设 EGb，则 EF4b， S2S1， BEbx4b， BE4x（0 x5） ； （2）由（1）知，AB+GH+MN+CD5x+4x+4x+5x18x， BC459x， y5x（459x）45x2+225x45（x）2+， 450， 当 x时，y 有最大值，此时最大值为m2 答：当面积有最大值时，AEm 25
33、（12 分）ABC 内接于O，I 为其内心，AI 的延长线交O 于 D，连 OD 交 BC 于 E （1）求证：ODBC； （2）若BOCBIC，求BAC 的度数； （3）若 DE2，BE4， 求O 的半径 r 当点 A 在优弧上移动时，OI 是否有最小值，如有请求出最小值，如没有请说明理由 【解答】 （1）证明：I 为ABC 的内心， BADCAD， ， ODBC； （2）解：如图所示： I 为ABC 的内心， ABICBIABC，BCIACB， CBI+BCI（ABC+ACB）（180BAC）90BAC， BIC180（CBI+BCI）180（90BAC）90+BAC， BOC2BAC，
34、2BAC90+BAC， 解得：BAC60； （3）解：在 RtBOE 中，BE4，OEODDEr2， 由勾股定理得：42+（r2）2r2， 解得：r5， 即O 的半径 r5； OI 有最小值为 52，理由如下： 当 O 在 AD 上时，OI 有最小值，如图 3 所示： 由（1）得：， BDCCADBAD， DIBBAD+ABI，DBIDBC+CBI， DIBDBI， DIDB2， OIODDI52， 即 OI 的最小值为 52 26 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 过点 M 和坐标原点 O，一次函数 ymx4m 与 x 轴交于点 M （1）求出抛物线的对称轴； （2）如图 1，以线
35、段 OM 为直径作C，在第一象限内的圆上存在一点 B，使得OBC 为等边三角形，求C 过点 B 的切线 l 的函数解析式； （3）如图 2，在（2）的条件下，当 a0 时，若抛物线上有且只存在三点 D1、D2、D3，使得OD1MOD2MOD3M60，过点 B 的切线与抛物线交于 P、Q 两点，试问：在直线 PQ 下方的抛物线上是否存在一点 N，使得PNQ 的面积最大？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）令 ymx4m0，解得 x4，故点 M（4，0） ， 抛物线 yax2+bx+c 过原点 O，则 c0， 故抛物线的表达式为 yax2+bx， 将点 M 的坐标
36、代入上式得：16a+4b0，即 b4a， 故抛物线的表达式为 yax24ax， 则抛物线的对称轴为 x2； （2）由（1）知，OC2，则OBC 为边长为 2 的等边三角形， 则该三角形的高为 2sin60，故点 B 的坐标为（1，） ， 在 RtEBC 中，BEC90ECB906030， 故 CE2BC4，则点 E 的坐标为（2，0） ， 设切线 l 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 l 的表达式为 yx+， （3）存在，理由： 抛物线上有且只存在三点 D1、D2、D3，使得OD1MOD2MOD3M60， 则有一个点 D 为抛物线的顶点，如下图， 根据函数的对称轴，则OMD 为边长为 4 的等边三角形， 同理可得，点 D（2，2） ，即抛物线的顶点为 D， 将点 D 的坐标代入得：24ax8a，解得 a， 则抛物线的表达式为 yx22x， 联立并整理得：3x214x40， 解得 x，则 xQxP， 过点 N 作 NHy 轴交 PQ 于点 H， 设点 N（x，x22x） ，则点 H（x，x+） ， 则 SPQNSHNP+SHNQHN（xQxP） （x+x2+2x） （x2+x+） ， a0， 故抛物线开口向下，PNQ 的面积存在最大值， 此时 x，则点 N 的坐标为（，）
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