1、 2021 年天津市和平区中考数学二模试卷年天津市和平区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）目要求的） 1 （3 分）计算 0（6）的结果等于（ ） A6 B0 C16 D6 2 （3 分）2cos45的值等于（ ） A12 B22 C62 D1 3 （3 分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）2020 年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至
2、2019 年末，全国农村贫困人口减少至 551 万人，累计减少 9348 万人将 9348 万用科学记数法表示为（ ） A0.9348108 B9.348107 C9.348108 D93.48106 5 （3 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 6 （3 分）估计58的值是（ ） A7 和 8 之间 B6 和 7 之间 C5 和 6 之间 D4 和 5 之间 7 （3 分）下列四个选项中是方程组2 = 53 + 4 = 2解的是（ ） A = 3 = 1 B = 2 = 1 C = 1 = 2 D = 4 = 3 8 （3 分）计算3:13
3、:1的结果为（ ） A3 B3 C3;3:1 D3;3:1 9 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点 A，B，C，D 的坐标分别是（0，a） ，（3，2） ， （b，m） ， （c，m） ，则点 E 的坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （3，2） D （3，2） 10 （3 分）若点（3，y1） ， （2，y2） （3，y3）都在反比例函数 y= 10的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y3y2 By2y3y1 Cy3y2y1 Dy1y2y3 11 （3 分）如图，以点 C 为旋转中心，把ABC 顺时针旋转得DEC，记旋转角为
4、 ，连接 AE，AED为 ，则BAE 的度数为（ ） A B2+ C2 D2 12 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的对称轴是直线 x1，且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，其中点 A 在点（3，0）的右侧，直线 y= 12x+c 经过 A、B 两点，有下列结论： c32； 2a+2b+c0； 12a0 其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每个题小题，每个题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）计算 53+4 的结果等于 14 （3 分）计算（3 + 6） （3 6）结果等于 15
5、 （3 分）不透明袋子中装有 12 个球，其中有 3 个红球、4 个黄球和 5 个绿球，这些球除颜色外无其他差 别从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 16 （3 分）直线 y4x+1 与 x 轴交点坐标为 17（3 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， ABC90， AB3， BC4， CD5， DA52， 则 BD 的长为 18 （3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点 D 均在格点上，并且在同一个圆上，取格点 M，连接 AM 并延长交圆于点 C （）四边形 ABCD 外接圆的半径为 ； （）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 AP，使
6、 AP 平分CAD，且点 P 在圆上，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解不等式组 2 4 + 33 + 2 4，请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ；解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 20 （8 分）在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5 元、10 元、15 元、20 元四种情况李老师在全校范围
7、内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图和图解答下列问题： （）本次抽取的学生人数为 ，图中 m 的值为 ； （）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数； （）根据统计的学生捐款的样本数据，若该校共有 800 名初中学生，估计该校学生共捐款的钱数 21 （10 分）已知 DA、DC 分别与O 相切于点 A，C，延长 DC 交直径 AE 的延长线于点 P （）如图，若 DCPC，求P 的度数； （）如图，在O 上取一点 B，连接 AB，BC，BE，当四边形 ABCD 是平行四边形时，求P 及AEB 的大小 22 （10 分）如图，A、B 两地之间有一座山
8、，汽车原来从 A 地到 B 地需经 C 地沿折线 ACB 行驶，全长 39km现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知A30，B53，求隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地的路程（结果精确到 0.1km）参考数据：sin530.8，tan531.3，3 1.73 23 （10 分）甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行程中，甲车离开 A 城的距离 y1km 与甲车离开 A 城的时间 xh 的对应关系如图所示，乙车比甲车晚出发12h，以 60km/h 的速度匀速行驶 （）填空： A、B 两城相距 km； 当 0 x2 时，甲车的速度为 km/h； 乙车比甲车晚 h 到达 B 城； 甲
9、车出发 4h 时，距离 A 城 km； 甲，乙两车在行程中相遇时，甲车离开 A 城的时间为 h； （）当 0 x5“m“：mathxmlns：dsihttp：/wwwdesscicom/uri/2003/MathMLdsi：zoomscale150dsi：_mathzoomed1styleCURSOR：pointer；DISPLAY：inlineblock2323时，请直接写出 y1关于 x 的函数解析式 （）当 312x5 时，两车所在位置的距离最多相差多少 km？ 24 （10 分）如图，将一个直角三角形纸片 AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点 O（0，0） ，点 B 在 y轴的正半轴
10、上，OA2，ABO90，AOB30，D、E 两点同时从原点 O 出发，D 点以每秒3个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，E 点以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动连接 DE，交OA 于点 F，将OEF 沿直线 DE 折叠得到OEF设 D，E 两点的运动时间为 t 秒 （）求点 A 的坐标及OED 的度数； （）若折叠后OEF 与AOB 重叠部分的面积为 S 当折叠后OEF 与AOB 重叠部分的图形为三角形时，请写出 S 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围； 当重叠部分面积最大时，若OEO绕点 E 旋转，得到PEQ，点 O，O的对应点分别为 P，Q，连接AP，AQ，求
11、APQ 面积的最大值（直接写出结果即可） 25 （10 分）抛物线 y= 12x2+kx+c 过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D （）求点 C、D 的坐标 （）点 E 是线段 OB 上一动点，过点 E 作直线 lx 轴，交抛物线于点 M，连接 BM 并延长交 y 轴于点N，连接 AM，OM若AEM 的面积是MON 面积的 2 倍，求点 E 的坐标； （）抛物线上一点 T，点 T 的横坐标是3，连接 BT，与 y 轴交于点 P，点 Q 是线段 AT 上一动点（不与点 A，点 T 重合） 将BPQ 沿 PQ 所在直线翻折，得到FPQ当FPQ 与TPQ 重叠部
12、分的面积是TBQ 面积的14时，求线段 TQ 的长度 答案与解析答案与解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）目要求的） 1 （3 分）计算 0（6）的结果等于（ ） A6 B0 C16 D6 【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 【解答】解：0（6）0+66 故选：D 2 （3 分）2cos45的值等于（ ） A12 B22 C62 D1 【分析】直接代入特殊角的三角函数值即可 【解答】解：原式= 2 22
13、=1 故选：D 3 （3 分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：B 4 （3 分）2020 年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至 2019 年末，全国农村贫困人口减少至 551 万人，累计减少 9348 万人将 9348 万用科学记数法表示为（ ） A
14、0.9348108 B9.348107 C9.348108 D93.48106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：9348 万934800009.348107， 故选：B 5 （3 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：左视图应该是： 故选：D 6 （3 分）估计58的
15、值是（ ） A7 和 8 之间 B6 和 7 之间 C5 和 6 之间 D4 和 5 之间 【分析】用夹逼法估算无理数的范围即可得出答案 【解答】解：495864， 7588， 故选：A 7 （3 分）下列四个选项中是方程组2 = 53 + 4 = 2解的是（ ） A = 3 = 1 B = 2 = 1 C = 1 = 2 D = 4 = 3 【分析】求出方程组的解，再选出即可 【解答】解：2 = 53 + 4 = 2， 4+得：11x22， x2， 把 x2 代入得：4y5， 解得：y1， 即方程组得解为 = 2 = 1， 故选：B 8 （3 分）计算3:13:1的结果为（ ） A3 B3
16、C3;3:1 D3;3:1 【分析】通过观察知分母一样，而对于同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 【解答】解：原式=33+1， 故选：C 9 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点 A，B，C，D 的坐标分别是（0，a） ，（3，2） ， （b，m） ， （c，m） ，则点 E 的坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （3，2） D （3，2） 【分析】由题目中 A 点坐标特征推导得出平面直角坐标系 y 轴的位置，再通过 C、D 点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出 E 点坐标了 【解答】解：点 A 坐标为（0，a） ， 点 A 在该平面
17、直角坐标系的 y 轴上， 点 C、D 的坐标为（b，m） ， （c，m） ， 点 C、D 关于 y 轴对称， 正五边形 ABCDE 是轴对称图形， 该平面直角坐标系经过点 A 的 y 轴是正五边形 ABCDE 的一条对称轴， 点 B、E 也关于 y 轴对称， 点 B 的坐标为（3，2） ， 点 E 的坐标为（3，2） 故选：C 10 （3 分）若点（3，y1） ， （2，y2） （3，y3）都在反比例函数 y= 10的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y3y2 By2y3y1 Cy3y2y1 Dy1y2y3 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各
18、点横坐标的大小进行解答即可 【解答】解：k100， 反比例函数的图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大 30，320， 点（3，y1）在第二象限，点（2，y2） ， （3，y3）在第四象限， y10，y2y30 y2y3y1 故选：B 11 （3 分）如图，以点 C 为旋转中心，把ABC 顺时针旋转得DEC，记旋转角为 ，连接 AE，AED为 ，则BAE 的度数为（ ） A B2+ C2 D2 【分析】根据旋转的性质得到DBAC，ACD，根据三角形的内角和定理得到D+AEDCAE+ACD，得到BACCAE，于是得到结论 【解答】解：把ABC 顺时针旋转得DEC
19、，记旋转角为 ， DBAC，ACD， D+AEDCAE+ACD， BAC+CAE+， BACCAE， BAEBACCAE， BAE， 故选：A 12 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的对称轴是直线 x1，且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，其中点 A 在点（3，0）的右侧，直线 y= 12x+c 经过 A、B 两点，有下列结论： c32； 2a+2b+c0； 12a0 其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】把 A（3，0）代入 y= 12 +c，求得 c 的值，即可判断；由 2a+2b+c 整理得到 2a4a+c2a+c 即可判断；根据图象
20、点的坐标特征即可判断 【解答】解：直线 y= 12x+c 经过点 A，点 A 在点（3，0）的右侧， 12 3 +c0， c32，故正确； 2=1， b2a， 2a+2b+c2a4a+c2a+c0，故正确； 由题意可知，抛物线开口向下，a0， 当 x3 时，9a+3b+c32+c， 9a+3b32， 3a32， a12， 12a0，故正确； 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每个题小题，每个题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）计算 53+4 的结果等于 6 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 【解答
21、】解：53+4 （53+4） 6 故答案为：6 14 （3 分）计算（3 + 6） （3 6）结果等于 3 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案 【解答】解：原式36 3 故答案为：3 15 （3 分）不透明袋子中装有 12 个球，其中有 3 个红球、4 个黄球和 5 个绿球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 14 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】解：袋子中共有 12 个小球，其中红球有 3 个， 摸出一个球是红球的概率是312=14， 故答案为：14 16 （3 分）直线 y4x
22、+1 与 x 轴交点坐标为 （14，0） 【分析】令 y0 求出 x 的值即可 【解答】解：令 y0，则 x= 14， 直线 y4x+1 与 x 轴交点坐标为（14，0） ， 故答案为： （14，0） 17 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，AB3，BC4，CD5，DA52，则 BD 的长为 65 【分析】作 DMBC，交 BC 延长线于 M，由勾股定理得出 AC2AB2+BC225，求出 AC2+CD2AD2，由勾股定理的逆定理得出ACD 是直角三角形，ACD90，证出ACBCDM，得出ABCCMD，由全等三角形的性质求出 CMAB3，DMBC4，得出 BMBC+CM7，再
23、由勾股定理求出BD 即可 【解答】解：作 DMBC，交 BC 延长线于 M，如图所示： 则M90， DCM+CDM90， ABC90，AB3，BC4， AC2AB2+BC225， AC5， AD52，CD5， AC2+CD2AD2， ACD 是直角三角形，ACD90， ACB+DCM90， ACBCDM， ABCM90， 在ABC 和CMD 中 = = = = 5 ABCCMD， CMAB3，DMBC4， BMBC+CM7， BD= 2+ 2= 72+ 42= 65， 故答案为：65 18 （3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点 D 均在格点上，并且在同一个圆
24、上，取格点 M，连接 AM 并延长交圆于点 C （）四边形 ABCD 外接圆的半径为 13 ； （）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 AP，使 AP 平分CAD，且点 P 在圆上，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点 E，F，连接 EF 交 CD 于点 G，连接 OG，延长 OG 交O 于点 P，线段 OP 即为所求 【分析】 （）利用勾股定理求出直径 KJ 的长，可得结论； （）取格点 E，F，连接 EF 交 CD 于点 G，连接 OG，延长 OG 交O 于点 P，线段 OP 即为所求 【解答】解： （）四边形 ABCD 外接圆的直径 KJ= 42+ 62=
25、213， 四边形 ABCD 外接圆的半径为13 故答案为：13； （）如图，线段 AP 即为所求 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解不等式组 2 4 + 33 + 2 4，请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 x3 ；解不等式，得 x2 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 3x2 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： 2 4 + 33 + 2 4， （）解不等式，得 x3， 解不
26、等式，得 x2， （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： ； （）原不等式组的解集为3x2， 故答案为：x3，x2，3x2 20 （8 分）在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5 元、10 元、15 元、20 元四种情况李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图和图解答下列问题： （）本次抽取的学生人数为 50 人 ，图中 m 的值为 36 ； （）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数； （）根据统计的学生捐款的样本数据，若该校共有 800 名初中学生，估计该校学生共捐款的钱数 【分析】 （
27、）取捐款 5 元的人数以及百分比求出总人数，再根据百分比的定义求解即可； （）根据平均数，众数，中位数的定义求解即可； （）利用样本估计总体的思想解决问题 【解答】解： （）抽取的学生人数612%50（人） ，m%=1850=36%， m36 故答案为：50 人，36； （） =56+1018+1516+201050=13， 这组数据的平均数为 13 值这组数据中，10 出现了 18 次，出现的次数最多， 这组数据是众数是 10， 将这组数据从小到大排列，其中处于中间位置的两个数都是 15，15:152=15， 这组数据的中位数为 15； （）1380010400（元） ， 答：估计该校学生共
28、捐款的钱数是 10400 元 21 （10 分）已知 DA、DC 分别与O 相切于点 A，C，延长 DC 交直径 AE 的延长线于点 P （）如图，若 DCPC，求P 的度数； （）如图，在O 上取一点 B，连接 AB，BC，BE，当四边形 ABCD 是平行四边形时，求P 及AEB 的大小 【分析】 （1）根据切线的性质得到 DADC，OAAD，根据特殊角的三角函数值求出P； （2）连接 OC、AC，根据菱形的判定定理得到平行四边形 ABCD 为菱形，根据菱形的性质得到ABCADC，DADCBABC，根据圆周角定理、四边形内角和等于 360求出P，根据等边三角形的性质、圆周角定理求出AEB 【
29、解答】解： （1）DA、DC 是O 的切线， DADC，OAAD， DCPC， ADDCCP， 在 RtDAP 中，sinP=12， P30； （2）如图，连接 OC、AC， DA、DC 是O 的切线， DADC，OADOCD90， AOC+ADC180， 四边形 ABCD 为平行四边形， 平行四边形 ABCD 为菱形， ABCADC，DADCBABC， OAC2ABC， ADC60， P30， BABC，ABC60， ABC 为等边三角形， ACB60， 由圆周角定理得：AEBACB60， 答：P30，AEB60 22 （10 分）如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地
30、需经 C 地沿折线 ACB 行驶，全长 39km现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知A30，B53，求隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地的路程（结果精确到 0.1km）参考数据：sin530.8，tan531.3，3 1.73 【分析】在直角三角形中，利用锐角三角函数关系得出 CD，AD，BD 的长，进而求出隧道开通后汽车从A 地到 B 地行驶的路程 【解答】解：经过点 C 作 CDAB，垂足为 D， 在 RtACD 中，A30， AC2CD， 在 RtBCD 中，B53，sinB=， BC=53， AC+BC39， 2CD+53=39， 2CD+1.25CD39， CD12， 在
31、RtACD 中，A30，tanA=， AD=30=123， 在 RtBCD 中，B53，tanB=， BD=53=12013， ABAD+BD123 +1201329.9930.0， 答：汽车从 A 地到 B 地的路程约 30.0 千米 23 （10 分）甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行程中，甲车离开 A 城的距离 y1km 与甲车离开 A 城的时间 xh 的对应关系如图所示，乙车比甲车晚出发12h，以 60km/h 的速度匀速行驶 （）填空： A、B 两城相距 360 km； 当 0 x2 时，甲车的速度为 60 km/h； 乙车比甲车晚 56 h 到达 B 城； 甲车出发 4
32、h 时，距离 A 城 6803 km； 甲，乙两车在行程中相遇时，甲车离开 A 城的时间为 52或196 h； （）当 0 x5“m“：mathxmlns：dsihttp：/wwwdesscicom/uri/2003/MathMLdsi：zoomscale150dsi：_mathzoomed1styleCURSOR：pointer；DISPLAY：inlineblock2323时，请直接写出 y1 关于 x 的函数解析式 （）当 312x5 时，两车所在位置的距离最多相差多少 km？ 【分析】 （）根据图表信息，即可求出相应结果 （）根据图像可知 0 x523，被分为三部分，分别是 0 x2、
33、2x223、223x523，找到对应点求出解析式即可 （）当 312x5 时，设两车所在位置的距离相差 km，则 y（80 x2803）（60 x30）20 x1903根据 x 的取值范围确定 y 的最大值 【解答】解： （）根据图像可以读出距离为 360km； 120260； 乙车需要 360606 小时，6+12523=56； 360;1203（4223）+120=6803； 第一次相遇：12060+12=52； 第二次相遇：360;1203x+2803=60（x12） ，解得 x=196 （）当 0 x2 时，y160 x； 当 2x223时，y1120； 当 223x523时，代入（2
34、23，120） ， （523，360） ，得 y180 x2803 （）当 312x5 时， 由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差 ykm， 则 y（80 x2803）（60 x30）20 x1903， 200，y 随 X 的增大而增大， 当 x5 时，y 取得最大值1103 答：两车所在位置的距商最多相差1103km 24 （10 分）如图，将一个直角三角形纸片 AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点 O（0，0） ，点 B 在 y轴的正半轴上，OA2，ABO90，AOB30，D、E 两点同时从原点 O 出发，D 点以每秒3个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，E 点以每秒
35、1 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动连接 DE，交OA 于点 F，将OEF 沿直线 DE 折叠得到OEF设 D，E 两点的运动时间为 t 秒 （）求点 A 的坐标及OED 的度数； （）若折叠后OEF 与AOB 重叠部分的面积为 S 当折叠后OEF 与AOB 重叠部分的图形为三角形时，请写出 S 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围； 当重叠部分面积最大时，若OEO绕点 E 旋转，得到PEQ，点 O，O的对应点分别为 P，Q，连接AP，AQ，求APQ 面积的最大值（直接写出结果即可） 【分析】 （）利用勾股定理求得 OB 的长，可求得点 A 的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求
36、得OED60； （）分点 O落在线段 OA 上和点 O落在线段 OA 延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三角函数值以及三角形面积公式即可求解； 利用的方法求得OEF 与AOB 重叠部分是四边形时， 函数的解析式， 再比较求得重叠部分面积最大时，t 的值，当 PQ 垂直 AE 的延长线时，点 A 到直线 PQ 的距离 AH 最长，AAPQ 面积取得最大值，根据面积公式即可求解 【解答】解： （）ABO90，AOB30，OA2， AB=12OA1， OB= 2 2= 3； A（1，3） ； EOD90，OEt，OD= 3t， tanOED= 3， OED60； （）OED60，AOB30， OFE
37、90，即 OADE， 将OEF 沿直线 DE 折叠得到OEF，折叠后的点 O落在直线 OA 上， 如图，当点 O落在线段 OA 上，OEF 与AOB 重叠部分是三角形， 此时OEFOEF， OEOEt，EOFEOF30， EF=12OE=12t， OF=32t， S=12EFOF=38t2（0 233） ； 如图，当点 O落在线段 OA 的延长线上时，OEF 与AOB 重叠部分是三角形， 设 AB 与 EF 交于点 M， OEOEt，EFO90，EOF30， cosEOF=32， OF=32OE=32t， AFOAOF232t， ABOEFO90， AOB+BAOAMF+BAO90， AMF3
38、0， MFA90，AMF30， tanAMF=33， MF= 3AF23 32t， S=12AFMF=32（232t）2=338t23t+23（3 t433） S= 382(0 233)3382 3 + 23(3 433) 当点 O落在线段 OA 上，OEF 与AOB 重叠部分是四边形时，设 AB 与 OE 交于点 G， OEOEt，EFO90，EOF30， EF=12OE=12t，OFOF=32t，BEG60，BGE30， BE= 3 t，BG= 3（3 t） ， S=12 12OFEF12BEBG =12 3 11232t12t12 （3 t） 3（3 t） = 538t2+3t3（233
39、t3） ， 对称轴为直线 t=435， 5380， 当 t=435时，S 有最大值35； 由知，S=38t2（0 233）时，对称轴为 t0， 当 t=233时，S 有最大值36； S=338t23t+23（3 t433） ，对称轴为直线 t=433， 当 t= 3时，S 有最大值38； 综上，当 t=435，即 OE=435时，S 有最大值35； 当 PQ 垂直 AE 的延长线时，点 A 到直线 PQ 的距离 AH 最长，APQ 面积取得最大值，如图， OE=435， BEBOOE=35， AE=275， 由旋转的性质可得，QEOE=435，EQHEOF30， EH=12QE=235，QH=
40、 3EH=65，PQ2QH=125， AHAE+EH=27+235， APQ 的面积=12PQAH=1212527+235=127+12325 25 （10 分）抛物线 y= 12x2+kx+c 过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D （）求点 C、D 的坐标 （）点 E 是线段 OB 上一动点，过点 E 作直线 lx 轴，交抛物线于点 M，连接 BM 并延长交 y 轴于点N，连接 AM，OM若AEM 的面积是MON 面积的 2 倍，求点 E 的坐标； （）抛物线上一点 T，点 T 的横坐标是3，连接 BT，与 y 轴交于点 P，点 Q 是线段 AT 上一动
41、点（不与点 A，点 T 重合） 将BPQ 沿 PQ 所在直线翻折，得到FPQ当FPQ 与TPQ 重叠部分的面积是TBQ 面积的14时，求线段 TQ 的长度 【分析】（） 用待定系数法可得抛物线解析式是 y= 12x2+x+32， 即知 C （0，32） ， 又 y= 12x2+x+32= 12（x1）2+2，故顶点 D（1，2） ， （） 设 E （m， 0） ，（0m3） ， 则 M （m， 12m2+m+32） ， 可得直线 BM 解析式为 y= 12（m+1） x+32（m+1） ， 从而 N （0，32（m+1） ） ， 根据AEM 的面积是MON 面积的 2 倍， 得12（m+1）（
42、m2+m+32） 234m （m+1） ，解得 m27，即得 E（27，0） ； （）由抛物线上一点 T，点 T 的横坐标是3，知 T（3，6） ，设直线 BT 解析式是 yk2x+b2，待定系数法可得直线BT解析式是yx3， 故P （0， 3） ， 过T作TGy轴于G， 可得TPBP32， SBPQSTPQ， 又BPQ 沿 PQ 所在直线翻折， 得到FPQ， 故 SFPQSBPQSTPQ， 当 F 在 BT 下方时，设 FQ、 PT 交于 M， FPQ 与TPQ 重叠部分是PQM， 根据 SPQM=14SBTQ， 得 MTMP， MQMF，四边形 QTFP 是平行四边形，可知 TQBP32；
43、当 F 在 BT 上方时，设 FP 与 TQ 交于 N，FPQ与TPQ 重叠部分是PQN，同理可得四边形 FTPQ 是平行四边形，可得 BQBP32，用待定系数法得直线 AT 解析式为 y3x+3，设 Q（t，3t+3） ， （3t1） ，得( 3)2+ (3 + 3)2=32，解得Q（65，35） ，即得 TQ=(65+ 3)2+ (35+ 6)2=9105 【解答】解： （）把 A（1，0）和点 B（3，0）代入 y= 12x2+kx+c 得： 12 + = 092+ 3 + = 0，解得 = 1 =32， 抛物线解析式是 y= 12x2+x+32， 在 y= 12x2+x+32中，令 x
44、0 得 y=32， C（0，32） ， y= 12x2+x+32= 12（x1）2+2， 顶点 D（1，2） ， 答：C 坐标是（0，32） ，顶点 D 坐标是（1，2） ； （）如图： 设 E（m，0） ， （0m3） ，则 M（m，12m2+m+32） ， 设直线 BM 解析式为 yk1x+b1， 31+ 1= 01+ 1= 122+ +32， 解得1= 12( + 1)1=32( + 1)， 直线 BM 解析式为 y= 12（m+1）x+32（m+1） ， 在 y= 12（m+1）x+32（m+1）中，令 x0 得 y=32（m+1） ， N（0，32（m+1） ） ， SMON=12O
45、Nm=12m32（m+1）=34m（m+1） ， SAEM=12AEyM=12（m+1） （m2+m+32） ， AEM 的面积是MON 面积的 2 倍， 12（m+1） （m2+m+32）234m（m+1） ， 化简整理得：m2+4m30， 解得 m2+7（舍去）或 m27， m27， E（27，0） ； （）抛物线上一点 T，点 T 的横坐标是3， T（3，6） ， 设直线 BT 解析式是 yk2x+b2， 32+ 2= 632+ 2= 0，解得2= 12= 3， 直线 BT 解析式是 yx3， 当 x0 时 y3， P（0，3） ， 过 T 作 TGy 轴于 G，则 TG3，PG3， T
46、P= 2+ 2=32， 又 BP= 2+ 2=32， BPTP， P 是线段 BT 的中点， SBPQSTPQ， BPQ 沿 PQ 所在直线翻折，得到FPQ， SFPQSBPQSTPQ， 当 F 在 BT 下方时，设 FQ、PT 交于 M，如图： FPQ 与TPQ 重叠部分是PQM，连接 FT， SPQM=14SBTQ， SPQM=12STPQ=12SFPQ， MTMP，MQMF， 四边形 QTFP 是平行四边形， TQPF， PFBP， TQBP32； 当 F 在 BT 上方时，设 FP 与 TQ 交于 N，FPQ 与TPQ 重叠部分是PQN，连接 FT，如图： 同理可得四边形 FTPQ 是平行四边形， QFTPBP， QFBQ， BQBP32， 设直线 AT 解析式为 yk3x+b3， 3+ 3= 033+ 3= 6， 解得3= 33= 3， 直线 AT 解析式为 y3x+3， 设 Q（t，3t+3） ， （3t1） ， BQ= ( 3)2+ (3 + 3)2=32， 解得 t0（舍去）或 t= 65， t= 65， Q（65，35） ， TQ=(65+ 3)2+ (35+ 6)2=9105， 综上所述，TQ 的长度是 32或9105
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