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    江苏省无锡市2022届高考模拟数学试题(含答案解析)

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    江苏省无锡市2022届高考模拟数学试题(含答案解析)

    1、江苏省无锡江苏省无锡市市 2022 届高三数学模拟试题届高三数学模拟试题 一、单选题(本大题共 8 小题,共 40 分) 1. 已知全集 = *0,1,2,3,4+,集合 = *1,2,3+, = *2,4+,则() 为( ) A. *1,3+ B. *2,3,4+ C. *0,1,2,3+ D. *0,2,3,4+ 2. 已知复数 =:2:3:20191:,;是的共轭复数,则; = ( ) A. 0 B. 12 C. 1 D. 2 3. 从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌,抽到牌“”的概率是( ) A. 154 B. 127 C. 118 D. 227 4. 已知函数() = 3(2 +6)

    2、,则下列说法正确的是( ) A. 图象关于点(6,0)对称 B. 图象关于点(3,0)对称 C. 图象关于直线 =6对称 D. 图象关于直线 =3对称 5. 矩形中, = 4, = 3, 沿将三角形折起, 得到的四面体 的体积的最大值为( ) A. 43 B. 125 C. 245 D. 5 6. 已知实数, 满足如下两个条件: (1)关于的方程32 2 = 0有两个异号的实根; (2)2+1= 1,若对于上述的一切实数,不等式 + 2 2+ 2恒成立,则实数的取值范围是( ) A. (4,2) B. (2,4) C. (,4- ,2,+) D. (,2- ,4,+) 7. 等差数列*+中,若

    3、2= 1,6= 13,则公差 = ( ) A. 3 B. 6 C. 7 D. 10 8. 下列函数中,定义域是且为增函数的是( ) A. = + B. = ; C. = D. = | 二、多选题(本大题共 4 小题,共 20 分) 9. 已知双曲线1:212212= 1(1 0,1 0)的一条渐近线的方程为 = 3,且过点(1,32),椭圆2:22+22= 1的焦距与双曲线1的焦距相同,且椭圆2的左、右焦点分别为1,2,过点1的直线交2于,两点,若点(1,1),则下列说法中正确的有( ) A. 双曲线1的离心率为2 B. 双曲线1的实轴长为12 C. 点的横坐标的取值范围为(2,1) D. 点

    4、的横坐标的取值范围为(3,1) 10. 甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示,以下说法正确的是( ) A. 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数 B. 甲同学的平均分比乙同学的平均分高 C. 甲同学的平均分比乙同学的平均分低 D. 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差 11. 已知是抛物线:2= 的焦点,是抛物线上的两点,为坐标原点,则( ) A. 若| =54,则 的面积为18 B. 若垂直的准线于点,且| = 2|,则四边形周长为3:54 C. 若直线过点,则|的最小值为1 D. 若 = 14,则直线恒过定点(12,0) 12. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们

    5、的高都与一个球的直径2相等,下列结论正确的是( ) A. 圆柱的侧面积为42 B. 圆锥的侧面积为22 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍 三、单空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 13. 写出一个最小正周期为1的偶函数() =_ 14. (1)若数列*+的通项公式为= 7,则该数列中的最小项的值为_ (2)若(2 3).6+1/的展开式中含有常数项,则的最小值等于_ (3)如图所示的数阵中,用(,)表示第行的第个数,则以此规律(8,2)为_ (4)的内角, , 所对的边分别为, , .已知sin:sin:sin = ln2:ln4:ln, 且 = 2,

    6、有下列结论: 2 8; 29 2; = 4, = ln2时,的面积为15228; 当25 成立, 则实数的取值范围是_ 16. 在 中, + = 2 , | | = 1, 点在上且满足 = 2 , 则 ( + ) = _ 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. 某学校共有1500名学生, 为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况, 采用分层抽样的方法, 收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位:小时).根据这100个样本数据,得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:,0,2-,(2,4-,(4,6-,(6,8-,(8,10-,(10,12

    7、- (1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表); (2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率; (3)将每周使用手机上网时间在(4,12-内的定义为“长时间使用手机上网”;每周使用手机上网时间在(0,4-内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中,有25名学生不近视请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2 2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关” 近视 不近视 合计 长时间使用手机 不长时间使用手机 15 合计 25 附:2=(;)2(:)(:)(:)(:) (2 0) 0.1 0.05 0.010

    8、0.005 0 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 在 中,内角,所对的边分别是,已知2 = 2 (1)求; (2)若 = ,是 外的一点,且 = 2, = 1,则当为多少时,平面四边形的面积最大,并求的最大值 19.已知数列an的前 n 项和 Sn1an,其中 0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S53132,求 . 19. 如图, 在几何体中,平面,平面, 又, (1)求与平面所成角的正弦值; (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 20. 已知右焦点为的椭圆:22+23= 1( 3)与直线 =37相交于,两点,且 (1)求椭圆的方程: (2)

    9、为坐标原点,是椭圆上不同三点,并且为 的重心,试探究 的面积是否为定值,若是,求出这个定值;若不是说明理由 21. 已知函数() = 3+ 2 4 ()若()在 = 2处取得极值,且关于的方程() = 在,1,1-上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围; ()若存在0 (0,+),使得不等式(0) 0成立,求实数的取值范围 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题 根据补集与并集的定义,计算即可 【解答】 解:全集 = *0,1,2,3,4+,集合 = *1,2,3+, = *2,4+, 则 = *0,1,3+, () = *0,1,2

    10、,3+ 故选: 2.【答案】 【解析】解: + 2+ 3+ + 2019=(1;2019)1;=(1:)1;=(1:)2(1;)(1:)= 1, =:2:3:20191:=;11:=;1:2, ; = |2= (12)2+ (12)2)2=12, 故选: 利用等比数列前项和化简复数的分子,代入后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由; = |2求解 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查等比数列的前项和,考查复数模的求法,是基础题 3.【答案】 【解析】解:一副扑克共54张,有4张, 正好为的概率为454=227, 故选 D 用的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率 此题考查概率的求法:如果一

    11、个事件有种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件出现种结果,那么事件的概率() = 4.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了正弦函数的对称性,属于基础题 利用正弦函数的对称轴以及对称中心的性质即可求解 【解答】 解:令2 +6=2+ , , 解得 =6+2, ,所以当 = 0时,函数的对称轴为 =6, 故 C 正确,D错误; 因为(6) = 3(2 6+6) = 32= 3 0所以 A错误; (3) = 3(2 3+6) = 356=32 0,故 B错误 故选: 5.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查四面体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能

    12、力,考查函数与方程思想,是中档题 当平面 平面时,得到的四面体 的体积取最大值,由此能求出四面体 的体积的最大值 【解答】 解:矩形中, = 4, = 3,沿将三角形折起, 当平面 平面时, 得到的四面体 的体积取最大值, 此时点到平面的距离 =4316:9=125, =12 4 3 = 6, 四面体 的体积的最大值为: =13 =13 6 125=245 故选: 6.【答案】 【解析】解:设方程32 2 = 0的两个异号的实根分别为1,2, 则12= 3 0, 0, 则 + 2 = ( + 2)(2+1) = 4 +4 4 + 24= 8(当且仅当 = 4, = 2时取“=”), 由不等式

    13、+ 2 2+ 2恒成立,得2+ 2 8,解得:4 0, 0,结合2+1= 1求得 + 2的最小值,代入 + 2 2+ 2转化为关于的不等式得答案 本题考查命题的真假判断与应用,考查了方程根的个数的判断,训练了基本不等式求最值,考查了数学转化思想方法,考查不等式的解法,是中档题 7.【答案】 【解析】解:由等差数列的通项公式可得6= 2+ 4, 代入数据可得13 = 1 + 4, 解得 = 3 故选: 把已知数据代入等差数列的通项公式可得的方程,解方程可得 本题考查等差数列的通项公式,属基础题 8.【答案】 【解析】 解: 对于, 函数 = + 的定义域是, 且 = 1 0, 是上的增函数, 满

    14、足题意; 对于,函数 = ;= (1)是上的减函数,不满足题意; 对于,函数 = 的定义域是(0,+),不满足题意; 对于,函数 = | = , 0, 0,1 0)的一条渐近线的方程为 = 3, 则可设双曲线1的方程为223= ,过点(1,32), 1 34= ,解得 =14, 双曲线1的方程为42432= 1,即214234= 1, 可知双曲线1的离心率 = 2,实轴的长为1,故选项 A正确,选项 B 错误; 由14+34= 1可知椭圆2:22+22= 1的焦点1(1,0),2(1,0), 不妨设(1,1)(1 0),代入22+22= 1得12+122= 1, 1=2, 直线的方程为 =22

    15、( + 1),联立 =22( + 1)22+22= 1,消去并整理得(2+ 3)2+ 2(2 1) 32 1 =0, 根据韦达定理可得1 = 32:12:3, 可得= 32:12:3= 3 +82:3, .又2 1, 2+ 3 4, 1 82:3 2, 3 0),可得直线的方程为 =22( + 1),联立 =22( + 1)22+22= 1,根据韦达定理可得= 32:12:3= 3 +82:3,即可求解 本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的离心率及直线与椭圆的位置关系,考查推理论证能力和函数与方程思想,考查数学运算、逻辑推理核心素养,属于中档题 10.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查命题

    16、真假的判断,考查茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 利用茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义直接求解 【解答】 解:甲的中位数为:80:822= 81, 乙的中位数为:87:882= 87.5, 甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数,故 A 错误; 甲的平均数为:16(72 + 76 + 80 + 82 + 86 + 90) = 81, 乙的平均分为:16(69 + 78 + 87 + 88 + 92 + 96) = 85, 甲同学的平均分比乙同学的平均分低,故 B 错误,C正确; 由茎叶图得甲的成绩比乙的成绩稳定, 甲同学成绩的方差小于乙同

    17、学成绩的方差,故 D 正确 故选: 11.【答案】 【解析】 解: 对于选项 A, 设(1,1), 由焦半径公式得1+14=54,解得1= 1,所以1= 1,从而=1214 1 =18,选项 A 正确; 对于选项 B,由题意知| =14,根据抛物线的定义可知| = | =12.设与轴的交点为,易知| = | =12,| =14, 故| = (12)2+ (14)2=54,所以四边形的周长为14+12+12+54=5:54,选项 B 错误; 对于选项 C,若直线过点,则当 轴时,|最小,且最小值为1,选项 C正确; 对于选项 D,设直线: = + ,(1,1),(2,2), 联立直线与抛物线方程

    18、得2 = 0,则12= , 所以12= 1222= 2, 由 = 14可得12+ 12= 14, 即2 = 14,解得 =12, 故直线的方程为 = +12, 即直线恒过定点(12,0),选项 D正确 故选: 根据焦半径公式和三角形额的面积公式即可判断; 根据抛物线的定义和两点之间的距离公式可得周长,即可判断; 根据当 轴时,|最小,即可判断; 设直线: = + ,根据韦达定理和向量的数量积,即可判断 本题考查了抛物线的性质,直线和抛物线的位置关系,考查了运算求解能力,转化与化归能力,属于中档题 12.【答案】 【解析】解:对于,圆柱的底面直径和高都等于2, 所以圆柱的侧面积圆柱= 2 2 =

    19、 42,选项 A 正确; 对于,圆锥的底面直径和高等于2, 所以圆锥的侧面积为圆锥侧= 2+ 42= 52,选项 B 错误; 对于,圆柱的侧面积为圆柱侧= 2 2 = 42, 球的表面积球= 42,故圆柱的侧面积与球的表面积相等,选项 C正确; 对于,球的体积为球=433, 圆锥的体积为圆锥=132 2 =233, 所以球的体积是圆锥体积的两倍,选项 D正确 故选: 根据题意,分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积,然后逐一判断四个选项得答案 本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及体积计算问题,考查运算求解能力,是基础题 13.【答案】2 【解析】解:一个最小正周期为1的偶函数() = 2, 故答案

    20、为:2 由题意利用余弦函数的周期性和奇偶性,得出结论 本题主要考查余弦函数的周期性和奇偶性,属于基础题 14.【答案】(1)12 143; (2)215; (3)1122; (4) 【解析】 (1)【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性求解数列的最小值,属于基础题 【解答】 解:由题意得,考察函数() = 7的单调性( 0), () = 1 72,令() = 0,解得 =494,当且仅当 = 12时,数列*+取得最小值12 143, 故答案为12 143 (2)【分析】 本题主要考查二项式定理的应用,是高考中常见的题型,属于中档题 【解答】 解:由题意得, .6+1/的展开式的项为:1=

    21、 (6);.1/= 6;6;32= 6;152, 令6 152= 0,则的最小值等于215, 故答案为215 (3)【分析】 本题考查归纳推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础 【解答】 解:由题意,观察每一行分母与上一行的关系,发现第6行个分母为28,58,81,81,58,28; 第7行分母为36,86,139,162,139,86,36, 第8行的分母为21 + 7 + 8 + 9 = 45,122,225,301,301,225,122,45, 故答案为1122 (4)【分析】 本题主要考查解三角形的应用,属于中档题 【解答】 解:由题意得, : = 2:4:, = 2 4 cos

    22、 = 2, 解得2 8,29 2,当25 ,所以 当0 时, , 当0 时, (0,1-, 当 =2时,取得最大值1 即有 1 故答案为:(,1) 求出函数的导数,由题意可得当0 时, 3.841, 有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关” 【解析】(1)根据频率分布直方图,计算平均数即可; (2)由频率分布直方图求得对应的频率值; (3)根据题意填写2 2列联表,计算观测值,对照临界值得出结论 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题,是基础题 18.【答案】解:(1) 在 中,内角,所对的边分别是,已知2 = 2 由正弦定理得:2 = 2 , 又 = ( +

    23、 ), 2 = 2( + ) = 2 + 2 , 2 = , 0, =12, 0 , =3 (2) = , =3, 是等边三角形, 设 = , = , = 2, = 1, =342, =12 = , 由余弦定理得2= 2= 1 + 4 4 = 5 4, = + =342+ =34(5 4) + =534+ 3 =534+ 2( 3), 0 , 3 323, 当sin( 3) = 1,即 =56时, 平面四边形的面积取最大值=534+ 2 【解析】(1)由正弦定理得:2 = 2 ,推导出2 = ,从而 =12,由此能求出 (2)由 = , =3, 得 是等边三角形, 设 = , = , 则=34

    24、2, =12 = , 由余弦定理得2= 2= 1 + 4 4 = 5 4, 从而 = + =342+ =534+ 2( 3),由此能求出平面四边形的面积取最大值 本题考查三角形内角的求法,考查平面四边形的面积的最大值的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题 19.已知数列an的前 n 项和 Sn1an,其中 0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S53132,求 . 10.(1)证明 由题意得 a1S11a1,故 1,a111,a10. 由 Sn1an,Sn11an1,得 an1an1an,即 an1(1)an, 由 a10,0 得 an0,所以an1an1

    25、.因此an是首项为11, 公比为1的等比数列,于是 an111n1. (2)解 由(1)得 Sn11n.由 S53132得 1153132, 即15132.解得 1. 【解析】利用等比数列的定义及其通项公式即可的得出 本题考查了等比数列的定义及其通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 20.【答案】(1)(2) 21.【答案】解:(1)设(,0),(,37),(,37), 代入椭圆方程可得22+37= 1,即2=472 且 ,可得37;37;= 1, 即2 2= 97, 由可得2=47297 又2 2= 3, 解得 = 2, = 1, 即有椭圆方程为24+23= 1; (2)当直线的斜

    26、率存在时, 设直线的方程为 = + , 代入椭圆方程32+ 42= 12, 可得(3 + 42)2+ 8 + 42 12 = 0, 设(1,1),(2,2), 则12=42;123:42,1+ 2= 83:42,1+ 2= (1+ 2) + 2 =63:42, 由为 的重心,可得 = ( + ) = (83:42,63:42), 由在椭圆上,则有3(83:42)2+ 4(63:42)2= 12, 化简可得42= 3 + 42, | = 1 + 2 (1+ 2)2 412= 1 + 2(83 + 42)2 4 42 123 + 42 =41:23:42 9 + 122 32, 点到直线的距离等于

    27、点到直线的距离的3倍, =|3|1:2, =12| =6|3:42 9 + 122 32=6|42 122 32=92 当直线的斜率不存在时,| = 3, = 3,=12| =92 综上可得, 的面积为定值92 【解析】本题考查椭圆方程的求法,注意运用点满足椭圆方程和两直线垂直的条件:斜率之积为1,考查三角形的面积的计算,注意联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,化简整理,考查运算能力,属于中档题 (1)设(,0), (,37), (,37), 代入椭圆方程, 由两直线垂直的条件: 斜率之积为1, 解方程可得 = 2, = 1,即可得到所求椭圆方程; (2)设直线的方程为 = + ,

    28、 代入椭圆方程, 运用韦达定理, 由为 的重心, 可得 = ( + ),可得的坐标,代入椭圆方程,可得42= 3 + 42,由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积,化简整理,可得定值;再验证直线的斜率不存在,即可得到 的面积为定值 22.【答案】解:()() = 32+ 2由题意得(2) = 0,解得 = 3-(2分) 经检验 = 3满足条件-(3分) () = 3+ 32 4,则() = 32+ 6-(4分) 令() = 0,则 = 0, = 2(舍去)-(5分) 当变化时,(),()的变化情况如下表: 1 (1,0) 0 (0,1) 1 () 0 + () 0 4 2 -(7分)

    29、关于的方程() = 在,1,1-上恰有两个不同的实数根, 4 0即可 () = 3+ 2 4,() = 32+ 2 = 3( 23) 若 0,则当 0时,() 0, ()在(0,+)单调递减 (0) = 4 0时,() 4 0-(10分) 当 0时(),()随的变化情况如下表: (0,23) 23 (23,+) () + 0 () 4327 4 当 (0,+)时,()= (23) =4327 4 由4327 4 0得 3-(12分) 综上得 3 另:第2小题可以分离参数,可按步得分 【解析】 ()求出导函数, ()在 = 2处取得极值, 求出, 然后求解函数的极值, 通过关于的方程() = 在,1,1-上恰有两个不同的实数根,求解实数的取值范围; ()求出函数的最大值,利用最大值大于0,即可满足条件,利用函数的导数判断函数的单调性,结合的取值讨论,求解即可 本题考查函数的导数的综合应用,函数的极值以及函数的最值,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,难度比较大


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