2022年天津市普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试卷（含答案解析）

1、2022年天津市普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试卷第卷参考公式：如果事件与事件互斥，那么如果事件与事件相互独立，那么球的表面积公式，其中表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，则（）ABCD2设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3函数的图象大致为（）A B C D4在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在之间的学生人数是（）A150B200C250D3005已知，则、的大小关系为（）ABCD6设P，A，

2、B，C为球O表面上的四个点，两两垂直，且，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（）.ABCD7若，且，则（）ABCD8已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的离心率为（）ABC2D9已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）ABCD第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10若为虚数单位，复数=_.11在的展开式中，x的系数是_（用数字作答）.12经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则

3、的值为_.13已知，则的最小值为_.14甲乙两队参加普法知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响，则乙队至少得一分的概率为_，用表示甲队的总得分随机变量的数学期望为_.15在菱形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，点M在线段EF上，且满足，则x=_；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为_.三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，的面积为.(1)求的值；(2)求的

4、值；(3)求的值.17（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，点为中点.(1)证明：若，直线平面；(2)求二面角的正弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.18（本小题满分15分）已知椭圆C：的焦距为，且过点(1)求椭圆C的方程；(2)设Q在椭圆C上，且与x轴平行，过P作两条直线分别交椭圆C于A，B两点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积19（本小题满分15分）已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若），求数列的前n项和；(3)若数列满足（且），且，证明.2

5、0（本小题满分16分）设函数有两个极值点，且(1)求a的取值范围;(2)讨论的单调性；(3)证明:2022年天津市普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试卷参考公式：如果事件与事件互斥，那么如果事件与事件相互独立，那么球的表面积公式，其中表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，则（）ABCD【解析】.因为，所以.故选：D2设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】由解得，设 由解得或,设或由,则“”是“”的充分不必要条件，故选： A3函数的图象大致为（）ABCD【解析】函数定义域是，函数为偶函数，排

6、除AB，又时，排除D.故选：C4在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在之间的学生人数是（）A150B200C250D300【解析】由频率分布直方图，所以得分在之间的频率为，人数为故选：B5已知，则、的大小关系为（）ABCD【解析】，由为上增函数，可知，即，故选：D6设P，A，B，C为球O表面上的四个点，两两垂直，且，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（）.ABCD【解析】，是球表面上的四个点，两两垂直，则球的直径等于以，长为棱长的长方体的对角线长，因为，三棱锥的体积为18，所以，即，所以，所以，所以，

7、故球的体积，故选：D7若，且，则（）ABCD【解析】因为，于是得，又因为，则有，即，因此，而，解得，所以.故选：D8已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的离心率为（）ABC2D【解析】由，由双曲线的定义知，设，易得，化简得：，同时除以，则，求出或（舍去）.故选：C.9已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）ABCD【解析】当时，则，等式两边平方得，整理得，所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，直线过定点，当直线过点时，则，可得；当直线与圆相切，且切点位于第四象限

8、时，此时，解得由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点因此，实数取值范围是故选：B第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10若为虚数单位，复数=_.【解析】设.11在的展开式中，x的系数是_（用数字作答）.【解析】的展开式的通项为：，当，即时，展开式x的系数为：.当显然不成立；故答案为：24012经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为_.【解析】由已知条件得设直线的方程为，圆：的圆心为，半径为，由勾股定理得圆心到直线的距离为，

9、即圆心为到直线的距离为，解得或.故答案为：或.13已知，则的最小值为_.【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为214甲乙两队参加普法知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响，则乙队至少得一分的概率为_，用表示甲队的总得分随机变量的数学期望为_.【解析】乙队得零分的概率为，所以乙队至少得一分的概率为， 由题意可得可能的取值为，所以，故答案为：；.15在菱形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，点M在线段EF上，且满足，则x=_；若点N为线段BD上一动点，则

10、的取值范围为_.【解析】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图所示：则，由题知，且，设，则，由，则，解得，设，则，则三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，的面积为.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【解析】(1)，由正弦定理得，又的面积为，解得，；(2)由余弦定理有，.由正弦定理.(3)B150，A90，由sinA得，.17（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，点为中点.(1)证明：若，直线平面；(2)求二面角的正弦值；(

11、3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.【解析】(1)如图所示，在线段上取一点，使，连接，又，四边形为平行四边形，又，所以平面平面，平面，平面；(2)如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，又是中点，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，则二面角的正弦值为；(3)存在，或，假设存在点，设，即，由（2）得，且平面的法向量，则，则，解得或，故存在点，此时或.18（本小题满分15分）已知椭圆C：的焦距为，且过点(1)求椭圆C的方程；(2)设Q在椭圆C上，且与x轴平行，过P作两条直线分别交椭圆C于A，B两

12、点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积【解析】(1)因为椭圆C：的焦距为，所以，又椭圆经过点，所以，因为，解得，所以椭圆方程为：；(2)因为Q在椭圆C上，且与x轴平行，所以,因为直线过点，且斜率存在，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，设，则，因为与x轴平行，且直线平分，所以，即，整理得，将韦达定理代入化简得，解得，所以，则，所以四边形的面积是.19（本小题满分15分）已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若），求数列的前n项和；(3)若数列满足（且），且，证明.【解析】(1)设等比数列的公比为，前n项和为.由题意，得，即，解得，或（舍）.由，得，解得.(2)由（1）可得，.两式相减得，.(3)由（1）可得，即.，.以上各式相加得，.又，.当时，适合上式.故.20（本小题满分16分）设函数有两个极值点，且(1)求a的取值范围;(2)讨论的单调性；(3)证明:【解析】(1)，令，其对称轴为，由题意知是方程的两个均大于的不相等实根，所以，解得，所以a的取值范围为；(2)当时，所以在区间上为增函数；当时，所以在区间上为减函数；当时，所以在区间上为增函数；(3)证明：由（1）知，设，则，当时，所以在单调递增，所以，即