1、2021 年湖南省娄底市涟源市中考数学二模试卷年湖南省娄底市涟源市中考数学二模试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A12021 B12021 C2021 D2021 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A23=23 B93=3 C23 = 5 D22 + 2 =
2、32 3 （3 分）设 x1，x2是方程 x23x+30 的两个实数根，则 x12x2+x1x22的值为（ ） A9 B9 C1 D1 4 （3 分）若 x2+（m1）x+1 可以用完全平方公式进行因式分解，则 m 的值为（ ） A3 B1 C3，1 D1，3 5 （3 分）不等式组2( + 1)60.5 + 1 0.5的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 6 （3 分）已知弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）之间的函数关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度为（ ） A12cm B11cm C10cm D9cm 7 （3 分）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则D
3、FB 的度数为（ ） A145 B155 C165 D175 8 （3 分）下面的四个图案分别是“T 型路口” 、 “步行” 、 “注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 9 （3 分）三个正方形的面积如图所示，则 S 的值为（ ） A3 B4 C9 D12 10 （3 分）如图，A 是反比例函数 =( 0)图象上第二象限内的一点，若ABO 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A4 B2 C2 D4 11 （3 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形 ABCD内概率是（ ） A12 B2 C2 D2
4、 12 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，BAC90，AB6，AC8，E 是 BC 的中点，ADBC，AEDC，EFCD 于点 F下列结论错误的是（ ） A四边形 AECD 的周长是 20 BABCFEC CB+ACD90 DEF 的长为245 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）已知点 M（4，y）与点 N（x，3）关于 x 轴对称，则（x+y）2021的值为 14 （3 分）已知 m、n 满足方程组 + 5 = 73 = 9，则 m+n 的值是 15 （3 分）在同一平面内，设 a、b、c 是三条互相平
5、行的直线，a 与 b 之间的距离为 5，b 与 c 之间的距离为 2，则 a 与 c 之间的距离为 16 （3 分）数组 3，5，6，7，9 的方差是 17 （3 分）某校七年级三个班男生人数与女生人数的比为 3：2，各班的男，女学生人数统计图如图所示，则 2 班的学生人数是 18 （3 分）如图所示，一系列图案均是长度相同的火柴棒按一定的规律拼搭而成：第 1 个图案需 7 根火柴棒 ， 第 2 个 图 案 需 13 根 火 柴 棒 ， ， 依 此 规 律 ， 第 n 个 图 案 需 要 根 火 柴棒 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12
6、分）分） 19 （6 分）计算： （2 ）0（12）2+3tan30+|3 2| 20 （6 分）先化简，再求值；（x+y） （xy）+（xy）2x，其中|x3|+（y+12）20 四解答题（本大题共四解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 21 （8 分）学校在“2019 中华经典诵读”活动中，对全校学生用 A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）共抽取了 名学生进行调查； （2）调查中 B 等级有多少人？将图甲中的折线统计图补充完整； （3）求出图乙中 B 等级
7、所占圆心角的度数 22 （8 分）如图，在东西方向海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在 A 处测得轮船 M 在它的北偏东 45方向，同一时刻在 C 处测得轮船 M 在它的北偏东 37方向，点 C 在 AB 上，且 AC50 米如果轮船 M沿着南偏东 22的方向航行，那么轮船 M 能否行至码头 AB 靠岸？请说明理由 （参考数据：sin370.60，tan370.75，sin220.37，tan220.40） 五解答题（本大题共五解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 23 （9 分）兴隆水果店第一次用 2000 元购进沃柑若干千克，并以 8
8、 元/千克的价格全部销售完；第二次由于沃柑畅销，每千克的进价比第一次提高了 20%，用 2496 元购进的沃柑比第一次多 20 千克，以 9 元/千克的价格卖出 300 千克后，因天气原因不易保鲜，便降价 50%销售完剩余的沃柑 （1）第一次沃柑的进价是每千克多少元？ （2）该店在这两次沃柑购销中共盈利多少元？ 24 （9 分）如图，AC 与O 相切于点 C，AB 经过O 上的点 D，BC 交O 于点 E，DEOA，CE 是O的直径 （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BD8，CE12，求 AC 的长 六解答题（本大题共六解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，
9、共 20 分）分） 25 （10 分）如图，点 E 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，点 F 在 BE 延长线上，且 EFBE，EF 与CD 交于点 G （1）求证：DFAC； （2）连接 DE、CF，若 ABBF，且点 G 是 CD 的中点，则四边形 CFDE 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若四边形 CFDE 是正方形，求证：AE2EC 26 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的表达式； （2）若 P 是直线 BC 下方的抛物线上一个动点，当PBC 的
10、面积最大时，求点 P 的坐标 （3）设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 在抛物线的对称轴上，点 N 在 y 轴上，当以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形时，求点 M 的坐标 2021 年湖南省娄底市涟源市中考数学二模试卷年湖南省娄底市涟源市中考数学二模试卷 答案与解析答案与解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相
11、应题号下的方框里） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A12021 B12021 C2021 D2021 【分析】根据相反数的概念解答即可 【解答】解：2021 的相反数是 2021， 故选：C 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A23=23 B93=3 C23 = 5 D22 + 2 =32 【分析】直接利用二次根式的加减、二次根式的乘除运算法则计算得出答案 【解答】解：A、23=233，故此选项错误； B、93无法化简，故此选项错误； C、23 = 6，故此选项错误； D、22 + 2 =32，故此选项正确； 故选：D 3 （3 分）设 x1，x2是方程 x23x+30 的两个
12、实数根，则 x12x2+x1x22的值为（ ） A9 B9 C1 D1 【分析】利用根与系数的关系求出 x1+x2，x1x2，原式变形后代入计算即可求出值 【解答】解：x1，x2是方程 x23x+30 的两个实数根， x1+x23，x1x23， 则原式x1x2 （x1+x2）339 故选：A 4 （3 分）若 x2+（m1）x+1 可以用完全平方公式进行因式分解，则 m 的值为（ ） A3 B1 C3，1 D1，3 【分析】利用完全平方公式判断即可 【解答】解：x2+（m1）x+1 可以用完全平方公式进行因式分解， m12， 解得：m1 或 m3 故选：D 5 （3 分）不等式组2( + 1)
13、60.5 + 1 0.5的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以求得所求不等式组的解集，然后即可判断哪个选项是正确的，从而可以解答本题 【解答】解：2( + 1)60.5 + 1 0.5， 由不等式，得 x2， 由不等式，得 x1， 故原不等式组的解集是1x2， 故选：A 6 （3 分）已知弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）之间的函数关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度为（ ） A12cm B11cm C10cm D9cm 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）之间的函数关
14、系式，然后将 x0 代入函数解析式求出相应的 y 的值，即可得到弹簧不挂物体时的长度，本题得以解决 【解答】解：设弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）之间的函数关系式为 ykx+b， 该函数经过点（6，15） ， （20，22） ， 6 + = 1520 + = 22， 解得 = 0.5 = 12， 即弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）之间的函数关系式为 y0.5x+12， 当 x0 时，y12， 即弹簧不挂物体时的长度为 12cm， 故选：A 7 （3 分）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则DFB 的度数为（ ） A145 B155 C165 D175
15、【分析】利用三角形的外角性质可求出AFD 的度数，再利用邻补角互补可求出DFB 的度数 【解答】解：CDFA+AFD， AFDCDFA453015 又DFB+AFD180， DFB180AFD18015165 故选：C 8 （3 分）下面的四个图案分别是“T 型路口” 、 “步行” 、 “注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意
16、故选：A 9 （3 分）三个正方形的面积如图所示，则 S 的值为（ ） A3 B4 C9 D12 【分析】由正方形的性质可得 AB4，AC5，由勾股定理可求解 【解答】解：如图， 由题意可得：AB4，AC5， AC2AB2+BC2， BC225169， S9， 故选：C 10 （3 分）如图，A 是反比例函数 =( 0)图象上第二象限内的一点，若ABO 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A4 B2 C2 D4 【分析】根据反比例函数 k 的几何意义可得12|k|2，再根据图象所在的象限，得出 k 的值 【解答】解：由反比例函数 k 的几何意义可得， 12|k|2， k4， 又图象在第二象限，
17、即 k0， k4， 故选：A 11 （3 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形 ABCD内概率是（ ） A12 B2 C2 D2 【分析】 在这个圆面上随意抛一粒豆子， 落在圆内每一个地方是均等的， 因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可 【解答】解：设正方形的边长为 a， O 的半径为2=22， S圆（22a）2=22， S正方形a2， 在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形 ABCD 内的概率是222=2， 故选：C 12 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，BAC90，AB6，AC8，E 是 BC 的中点，A
18、DBC，AEDC，EFCD 于点 F下列结论错误的是（ ） A四边形 AECD 的周长是 20 BABCFEC CB+ACD90 DEF 的长为245 【分析】根据平行四边形和菱形的判定即可证明 A 选项；根据菱形的性质和三角形的面积公式即可证明C 选项和 D 选项；根据ABC 与FEC 的三边长即可证明 B 选项 【解答】解：BAC90，AB6，AC8， BC= 2+ 2=10， ADBC，AEDC， 四边形 AECD 是平行四边形， BAC90，E 是 BC 的中点， AECE=12BC5， 四边形 AECD 是菱形， 菱形 AECD 的周长是 20， 故 A 选项正确，不符合题意； 四边
19、形 AECD 是菱形， ACBACD， B+ACB90， B+ACD90， 故 C 选项正确，不符合题意； 如图，过 A 作 AHBC 于点 H， SABC=12BCAH=12ABAC， AH=6810=245， 点 E 是 BC 的中点，BC10，四边形 AECD 是菱形， CDCE5， SAECDCEAHCDEF， EFAH=245 故 D 选项正确，不符合题意； 在 RtEFC 中，EF=245，EC5， FC= 2 2=75， 在 RtCAB 中，AB6，AC8，BC10， =21，=53，=307， ABC 与FEC 不相似，故 B 选项错误，符合题意 故选：B 二填空题（本大题共二
20、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）已知点 M（4，y）与点 N（x，3）关于 x 轴对称，则（x+y）2021的值为 1 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出，x,y 的值，进而得出答案 【解答】解：点 M（4，y）与点 N（x，3）关于 x 轴对称， x4,y3, 则（x+y）2021(4+3)20211 故答案为：1 14 （3 分）已知 m、n 满足方程组 + 5 = 73 = 9，则 m+n 的值是 4 【分析】把方程组中的两个方程相加可得 4m+4n16，进而得出 m+n 的值 【解答】解： + 5 = 73 =
21、 9， +，得 4m+4n16， 即 4（m+n）16， 所以 m+n4 故答案为：4 15 （3 分）在同一平面内，设 a、b、c 是三条互相平行的直线，a 与 b 之间的距离为 5，b 与 c 之间的距离为 2，则 a 与 c 之间的距离为 7 或 3 【分析】方两种情况讨论，分别画出图形，根据图形进行计算即可 【解答】解：有两种情况： 如图所示，直线 a 与 c 之间的距离是 5+27； 如图所示，直线 a 与 c 之间的距离是 523； 综上所述，a 与 c 之间的距离为 7 或 3 故答案为：7 或 3 16 （3 分）数组 3，5，6，7，9 的方差是 4 【分析】根据方差的定义求
22、解即可 【解答】解：3，5，6，7，9 的平均数为3+5+6+7+95=6， 这组数据的方差为15（36）2+（56）2+（66）2+（76）2+（96）24， 故答案为：4 17 （3 分）某校七年级三个班男生人数与女生人数的比为 3：2，各班的男，女学生人数统计图如图所示，则 2 班的学生人数是 57 人 【分析】先根据条形图，计算出七年级的女生数，再根据已知条件算出该年级的男生人数和 2 班的男生数，最后计算出 2 班的学生人数 【解答】解：由条形图知，七年级共有女生 20+22+2466（人） 因为七年级男生人数与女生人数的比为 3：2， 所以七年级共有男人 6623=99（人） 所以
23、 2 班有男生 99323235（人） 所以 2 班共有学生 35+2257（人） 故答案为：57 人 18 （3 分）如图所示，一系列图案均是长度相同的火柴棒按一定的规律拼搭而成：第 1 个图案需 7 根火柴棒 ， 第 2 个 图 案 需 13 根 火 柴 棒 ， ， 依 此 规 律 ， 第 n 个 图 案 需 要 273 根 火 柴棒 【分析】根据第 1 个图案需 7 根火柴，71（1+3）+3，第 2 个图案需 13 根火柴，132（2+3）+3，第 3 个图案需 21 根火柴，213（3+3）+3，得出规律：第 n 个图案需n（n+3）+3根火柴，即可解决问题 【解答】解：第 1 个图
24、案需 7 根火柴，71（1+3）+3， 第 2 个图案需 13 根火柴，132（2+3）+3， 第 3 个图案需 21 根火柴，213（3+3）+3， ， 则第 n 个图案需n（n+3）+3根火柴， 第 15 个图案需：15（15+3）+3273（根） ， 故答案为：273 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分）分） 19 （6 分）计算： （2 ）0（12）2+3tan30+|3 2| 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后合并同类项，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （2 ）0（1
25、2）2+3tan30+|3 2| 14+333+23 3+3 +23 1 20 （6 分）先化简，再求值；（x+y） （xy）+（xy）2x，其中|x3|+（y+12）20 【分析】根据平方差公式和完全平方公式和多项式除以单项式可以将题目中的式子化简，然后根据|x3|+（y+12）20，可以得到 x、y 的值，再代入化简后的式子计算即可 【解答】解：（x+y） （xy）+（xy）2x （x2y2+x22xy+y2）x （2x22xy）x 2x2y， |x3|+（y+12）20， x30，y+12=0， 解得 x3，y= 12， 当 x3，y= 12时，原式232（12）6+17 四解答题（本大
26、题共四解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 21 （8 分）学校在“2019 中华经典诵读”活动中，对全校学生用 A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）共抽取了 50 名学生进行调查； （2）调查中 B 等级有多少人？将图甲中的折线统计图补充完整； （3）求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数 【分析】 （1）从两个统计图中可知，C 等级有 10 人，占调查人数的 20%，可求出调查人数； （2）调查人数为 50，即 A、B、C、D 等级的频数和为 50，即可求出
27、 B 等级的频数； （3）求出 B 等级所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数 【解答】解： （1）1020%50（名） ， 故答案为：50； （2）B 等级人数为：501510520（人） ， 补全的折线统计图如图所示： （3）图乙中，B 等级所占圆心角的度数为 3602050=144， 答：图乙中 B 等级所占圆心角的度数为 144 22 （8 分）如图，在东西方向海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在 A 处测得轮船 M 在它的北偏东 45方向，同一时刻在 C 处测得轮船 M 在它的北偏东 37方向，点 C 在 AB 上，且 AC50 米如果轮船 M沿着南偏东 22的方向航行
28、，那么轮船 M 能否行至码头 AB 靠岸？请说明理由 （参考数据：sin370.60，tan370.75，sin220.37，tan220.40） 【分析】过点 M 作 MDAC 交 AC 的延长线于 D，设 DMx，解直角三角形即可得到结论；作DMF22，交 l 于点 F解直角三角形即可得到结论 【解答】解：该轮船能行至码头靠岸， 理由：过点 M 作 MDAC 交 AC 的延长线于 D，设 DMx， 在 RtCDM 中，CDDMtanCMDxtan37， 又在 RtADM 中，MAC45， ADDM， ADAC+CD50+xtan37， 50+xtan37x， x=501375010.75=
29、200， DM200 米， 作DMF22，交 l 于点 F， 在 RtDMF 中，DFDMtanFMDDMtan22 2000.4080（米） ， AFAC+CD+DFDM+DF200+80280 米300 米， 所以该轮船能行至码头靠岸 五解答题（本大题共五解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 23 （9 分）兴隆水果店第一次用 2000 元购进沃柑若干千克，并以 8 元/千克的价格全部销售完；第二次由于沃柑畅销，每千克的进价比第一次提高了 20%，用 2496 元购进的沃柑比第一次多 20 千克，以 9 元/千克的价格卖出 300 千克后，因天气
30、原因不易保鲜，便降价 50%销售完剩余的沃柑 （1）第一次沃柑的进价是每千克多少元？ （2）该店在这两次沃柑购销中共盈利多少元？ 【分析】 （1） 设第一次沃柑的进价为每千克 x 元， 则第二次沃柑的进价为每千克 （1+20%） x 元， 由题意：第一次用 2000 元购进沃柑若干千克，第二次用 2496 元购进的沃柑比第一次多 20 千克，列出分式方程，解方程即可； （2）分别求出两次的盈利，即可得出答案 【解答】解： （1）设第一次沃柑的进价为每千克 x 元，则第二次沃柑的进价为每千克（1+20%）x 元， 依题意得：2000=2496(1+20%)20， 解得：x4， 经检验，x4 是方
31、程的根，且符合题意， 答：第一次沃柑的进价是每千克 4 元； （2）20004500（千克） ，第一次售完沃柑的盈利为： （84）5002000（元） ， 第二次售完水果盈利为： （941.2）300+（950%41.2）（500+20300）1113（元） ， 2000+11133113（元） ， 答：该店在这两次沃柑购销中共盈利 3113 元 24 （9 分）如图，AC 与O 相切于点 C，AB 经过O 上的点 D，BC 交O 于点 E，DEOA，CE 是O的直径 （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BD8，CE12，求 AC 的长 【分析】 （1）连接 OD，根据平行线的性质得出
32、ODEAOD，DEOAOC，根据等腰三角形的性质得出OEDODE，即可得出AOCAOD，进而证得AODAOC（SAS） ，得到ADOACB90，即可证得结论； （2）在 RtODB 中，根据勾股定理求得 BO，得到 BC16，然后，在 RtACB 中，根据勾股定理列出关于 AC 的方程，解方程即可 【解答】 （1）证明：连接 OD OEOD， OEDODE， DEOA， OEDAOC，ODEAOD， AOCAOD 在AOD 和AOC 中， = = = ， AODAOC（SAS） ， ADOACO AC 与O 相切于点 C， ADOACO90， 又OD 是O 的半径， AB 是O 的切线； （2
33、）解：CE12， OEODOC6， 在 RtODB 中，BD8，OD6，BD2+OD2BO2， BO10， BCBO+OC16 O 与 AB 和 AC 都相切， ADAC 在 RtACB 中，AC2+BC2AB2， 即：AC2+162（AC+8）2， 解得：AC12 六解答题（本大题共六解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25 （10 分）如图，点 E 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，点 F 在 BE 延长线上，且 EFBE，EF 与CD 交于点 G （1）求证：DFAC； （2）连接 DE、CF，若 ABBF，且点 G 是 CD
34、的中点，则四边形 CFDE 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若四边形 CFDE 是正方形，求证：AE2EC 【分析】 （1）连接 BD，交 AC 于点 O，证出 OE 是BDF 的中位线，得 OEDF，即 DFAC； （2）先证DFGCEG（AAS） ，得 FGEG，则四边形 CFDE 是平行四边形，再证 CDBF，即可得出结论； （3）先由正方形的性质得 CD= 2DECE，再证出 AE= 2AB，则可得出结论 【解答】 （1）证明：连接 BD，交 AC 于点 O，如图所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， BODO， BEEF， OE 是BDF 的中位线，
35、 OEDF，即 DFAC； （2）解：四边形 CFDE 是菱形 证明：如图所示： 由（1）得：DFAC， DFGCEG，GDFGCE， G 是 CD 的中点， DGCG， DFGCEG（AAS） ， FGEG， 四边形 CFDE 是平行四边形， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， 又ABBF， CDBF， 平行四边形 CFDE 是菱形； （3）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD，CDAB2， 四边形 CFDE 是正方形， CD= 2DE= 2CE，BEEFCD， BEAB， ABBF， ABE90， AE= 2AB= 2， AE2CE 26 （10 分）如图，已知抛物线
36、 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的表达式； （2）若 P 是直线 BC 下方的抛物线上一个动点，当PBC 的面积最大时，求点 P 的坐标 （3）设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 在抛物线的对称轴上，点 N 在 y 轴上，当以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形时，求点 M 的坐标 【分析】 （1）将 A，B 的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法可求； （2）设出点 P 的坐标（m，m24m+3） ，用含有 m 的式子求得PBC 的面积，应用二次函数的性质可求PBC 面积的最大值时的 m 的值，P 点坐标可
37、求； （3）利用分类讨论的思想，分以 CE 为边和以 CE 为对角线两种情形讨论利用菱形的四条边相等和对角线垂直平分的性质可求点 M 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 经过 A（1，0）和 B（3，0） ， + + 3 = 09 + 3 + 3 = 0 解得： = 1 = 4 抛物线的表达式为 yx24x+3； （2）如图，过点 P 作 PDx 轴交 BC 于点 D，设 P（m，m24m+3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+n， 点 B（3，0） ，点 C（0，3） ， 3 + = 0 = 3 解得： = 1 = 3 直线 BC 的解析式为 yx+3 D（m，m+
38、3） PD（m+3）（m24m+3）m2+3m = + =12 = 322+92 = 32( 32)2+278 320， 当 m=32时，SPBC有最大值 当 m=32时，2 4 + 3 = 34 P（32，34） （3）抛物线 yx24x+3 的对称轴为直线 x2，直线 BC 的解析式为 yx+3， 点 E 的坐标为（2，1） C（0，3） ， EC= 22 当以 EC 为边时，所得的菱形为 CEM1N1和 CEM2N2，如下图， 根据菱形的四条边相等， 1= 2= = 22 点 M 在对称轴 x2 上， 1(2，1 + 22)，2(2，1 22) 当以 EC 为对角线时，所得的菱形为 CEM3N3，如下图， CE 与 M3N3互相垂直平分，又BCO45，记 CE 与 M3N3的交点为 F， CN3F 是等腰直角三角形 3= 3= 2 = 2 则点 M3的坐标为（2，3） 综上，M 点的坐标为（2，1+22）或（2，122）或（2，3）
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