1、 南京市、盐城市南京市、盐城市 20222022 届高三第届高三第二二次模拟考试数学次模拟考试数学试卷试卷 一一 单项选择题单项选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的) ) 1已知集合 Ax|yln(x2)，Bx|x24x30，则 AB A1，3 B(2，3 C1，) D(2，) 2若(2i)zi，其中 i为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 a，b 为单位向量若|a2
2、b| 5，则|a2b| A 3 B 5 C 7 D5 4利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为 090之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到下表为部分锐角的正弦值，则 tan1600的值为(小数点后保留 2 位有效数字) 10 20 30 40 50 60 70 80 sin 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A0.42 B0.36 C0.36 D0.42 5已知圆锥的顶点和底面圆周均在球 O的球面上若该圆锥的底面半径为 2 3，高为 6， 则球 O的表面积 为 A32 B48 C
3、64 D80 6泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出泊松分布的概率分布列为P(Xk)kk!e(k0，1，2，)，其中 e为自然对数的底数， 是泊松分布的均值已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为 （0）的泊松分布若每周销售 1 件该商品与每周销售 2件该商品的概率相等，则两周共销售 2 件该商品的概率为 A2e4 B4e4 C6e4 D8e4 7已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，过点 F与 x轴垂直的直线与直线 AB交于点 P若线段 OP的中点在椭圆 C上，则椭圆 C的离心率为 A 712 B 713 C
4、512 D513 8已知实数 a，b(1，)，且 2(ab)e2a2lnb1，e为自然对数的底数，则 A1ba Bab2a C2abea Deabe2a 二二多项选择题多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得求全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0分分) 9我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高 “三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力20
5、17年2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示根据下面图表，下列说法一定正确的是 A该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民 B对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大 C对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大 D2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比 2020年有所上升 10已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过原点 O 的动直线 l 交抛物线于另一点 P，交抛物线的准线于点 Q，下列说法正确的是 A若 O为线段 PQ中点，则 PF2 B若 PF4，则 OP2 5 C存在直线 l，使得 PFQF DPF
6、Q 面积的最小值为 2 11设函数 f(x)2sin(x3)，0，下列说法正确的是 A当 2 时，f(x)的图象关于直线 x12对称 B当 12时，f(x)在0，2上是增函数 C若 f(x)在0，上的最小值为2，则 的取值范围为 76 D若 f(x)在，0上恰有 2 个零点，则 的取值范围为 43 12在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，且 PA2若点 E，F，G分别为棱 AB，AD，PC的中点，则 AAG平面 PBD B直线 FG和直线 AB所成的角为4 C当点 T在平面 PBD内，且 TATG=2时，点 T的轨迹为一个椭圆 (第 9题图)
7、D过点 E，F，G的平面与四棱锥 PABCD表面交线的周长为 2 2 6 三三 填空题填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13实数 a，b 满足 lgalgblg(a2b)，则 ab 的最小值为_ 142022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融” ，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱某商店有 4 个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和 3 个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为_ （用数字作答） 15已知定义在 R 上的奇函数 f(x
8、)满足 f(1x) f(1x)2，当 x 0，1时，f(x)2xx2 若 f(x) xb对一切 xR 恒成立，则实数 b 的最大值为_ 16某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径如图，将三个半径为 20cm 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切利用“十”字尺测得小球的高度差 h 为8cm，则圆弧的半径为_cm 四四解答题解答题(本大题共本大题共 6小题，共小题，共 70分解答时应写出文字说明分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10分) 在平面四边形 ABCD中，已知ABC23，ADC6，AC平分BAD （1）若
9、BAD3，AC2，求四边形 ABCD的面积； （2）若 CD2 3AB，求 tanBAC的值 18(本小题满分 12分) 已知数列an，当 n2k1，2k)时，an2k， kN*记数列an的前 n 项和为 Sn （1）求 a2，a20； （2）求使得 Sn2022成立的正整数 n 的最大值 19(本小题满分 12分) h (第 16题图) 如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD是边长为 2 的菱形，PAB是边长为 2的等边三角形，PDAB，PD 6 （1）求证：平面 PAB平面 ABCD； （2）求平面 PAB和平面 PCD所成锐二面角的大小 20(本小题满分 12分) 最新研发的某产
10、品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为 p(0p1)现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验 10 次记 X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为 a(a0)元 （1）写出 X的分布列； 证明：E(X)1p； （2）某公司意向投资该产品若 p0.25，且试验成功则获利 5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由. 21(本小题满分 12分) 双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0) 经过点( 3，1)，且渐近线方程为 yx （1）求 a，b 的值； （2）点 A，B，D 是双曲线 C 上不同的三点，且 B，D 两点关于 y
11、 轴对称，ABD 的外接圆经过原点O 求证：直线 AB与圆 x2y21相切 A C D B P (第 19题图) 22(本小题满分 12分) 设函数 f(x)aexsinx3x2，e为自然对数的底数，aR （1）若 a0，求证：函数 f(x)有唯一的零点； （2）若函数 f(x)有唯一的零点，求 a的取值范围 参考答案参考答案 一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1C 2A 3B 4B 5C 6D 7A 8D 二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对
12、的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分) 9BCD 10AD 11AC 12ABD 三填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 138 14144 1514 16120 四、解答题(本大题共 6小题，共 70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本题满分 10分) 解： （1）因为BAD3，AC平分BAD，所以BACCAD6 在ABC中，因为ABC23，所以ACB6， 又因为 AC2，由ACsinABCABsinACB，得 AB2 33， 2分 所以 SABC12ABACsinBAC33 在ACD中，因为ADCCAD6，所以 CACD2， 所以SACD12C
13、ACDsinACD 3， 所以S四边形ABCDSABCSACD4 33 4分 （2）因为 AC平分BAD，所以BACCAD， 在ACD中，由ADC6， ACsinADCCDsinCAD，得 AC12CDsinCAD E AA CC DD BB PP (第 19题图) 在ABC中，由ABC23， ACsinABCABsinACB，得 AC32ABsinACB 6分 由得CDsinCAD3ABsinACB 又因为CD2 3AB，所以 2sinACBsinCAD 设BAC，则 sin2sin(3)， 8分 所以 sin2(32cos12sin)，即 2sin 3cos 因为(0，3)，所以 cos0
14、， 所以 tan32，即 tanBAC32 10分 18(本题满分 12分) 解： （1）因为 221，22)，所以 a2224， 2分 因为 2024，25)，所以 a202532 4分 （2）an2k的项数为 2k2k12k1 6分 又因为 2021222k12k1，所以数列an的前 2k1项和为 S2k12120222123222k2k1 21232522k1 23(4k1) 8分 当 k5时，S3123(451)6822022， S51S312620682128019622022， 10分 S52S512619626420262022 又因为 Sn1Sn， 所以使得 Sn2022成立的
15、正整数 n 的最大值为 51 12分 19(本题满分 12分) 解： （1）取 AB中点 E，连接 PE，DE 因为PAB是边长为 2的等边三角形， 所以 ABPE，PE 3，AE1 又因为 PDAB，PDPEP，PD，PE平面 PDE， 所以 AB平面 PDE 2分 因为 DE面 PDE，所以 ABDE (第 19题图) y x z P A D E C B 在 RtAED中，AD2，AE1，所以 DE 3 在PDE中，PD 6，DE 3，PE 3，所以 PE2DE2PD2，所以 DEPE 4分 又因为 ABPEE，AB，PE平面 PAB， 所以 DE平面 PAB 又因为 DE平面 ABCD，
16、 所以平面 PAB平面 ABCD 6分 （2）由（1）知，以EA，EP，ED为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz， 则 E(0，0，0)，D(0，0， 3)，C(2，0， 3)，P(0， 3，0) 则DC(2，0，0)，PD(0， 3， 3) 8分 设平面 PCD的法向量为 n(x，y，z)， 则nDC0， nPD0，即2x0， 3y 3z0 取 x0，y1，z1 所以 n(0，1，1)是平面 PCD的一个法向量10分 因为 DE平面 PAB， 所以ED(0，0， 3)为平面 PAB的一个法向量 所以 cosn，EDnEDnED22， 所以平面 PAB和平面 PCD 所成锐二面角
17、的大小为4 12分 20(本题满分 12分) 解： （1）当 1X9时，P(Xi)(1p)i1p，i1，2，9 当 X 10时，P(X10)(1p)9 所以 P(Xi)(1p)i1p ，i1，2，9，(1p)9 ，i10 4分 E(X)9i1i(1p)i1p10(1p)9p9i1i(1p)i110(1p)9 令 S9i1i(1p)i1，则 E(X)pS10(1p)9 则 S12(1p)3(1p)28(1p)79(1p)8， (1p)S(1p)2(1p)27(1p)78(1p)89(1p)9， 两式相减，得 pS1(1p)(1p)2(1p)7(1p)89(1p)9 6分 1(1p)9p9(1p)
18、9， 所以 E(X)1(1p)9p(1p)91p1(1p)10 因为 0p1，所以 01(1p)101， 所以 E(X)1p 9分 （2）当 p0.25时，由（1）得 E(X)4， 则 aE(X) 4a5a， 即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利， 所以该公司可以考虑投资该产品 12分 21(本题满分 12分) 解： （1）因为双曲线 C渐近线方程为 yx，所以ba1 又因为双曲线 C经过点( 3，1)，所以3a21b21 2分 解得 ab 2 4分 （2）方方法法 1 当 AB斜率不存在时，由双曲线对称性知 AD经过原点，此时与题意不符 设 AB方程为 ykxm(k0)，A(x1，y1)
19、，B(x2，y2)，AB中点 E(x3，y3)，则 D(x2，y2) 由 ykxm， x22y221，消去 x，得 (1k2)x22kmxm220， 所以 x1x22km 1k2，x1x2m221k2， 6分 则 x3x1x22km 1k2，y3kx3mm 1k2，则 AB的中垂线方程为 ym 1k21k(xkm 1k2)， 当 x0时，y2m1k2 因为 B，D两点关于 y轴对称，则ABD的外接圆圆心在 y轴上， 记圆心为点 F，则 F(0，2m1k2) 8分 因为ABD的外接圆经过原点，则 OFFA，即|2m1k2|x12(y12m1k2)2 又因为x122y1221，所以 y122m1k
20、2 y110 同理，由 OFFB，得 y222m1k2 y210， 所以 y1，y2是方程 y22m1k2y10 的两个根，所以 y1y21 10分 则(kx1m)(kx2m)1，即 k2x1x2km(x1x2)m21，所以 k2(m221k2)km2km 1k2m21， 化简得 k21m2， 所以原点 O到直线 AB距离 d|m|k211， 所以直线 AB与圆 x2y21相切 12分 方方法法 2 设直线 AB方程为 xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 D(x2，y2) 又因为 B，D两点关于 y轴对称，则ABD的外接圆的圆心在 y轴上，设为 P(0，t)， 则 PAPB，即
21、x12(y1t)2x22(y2t)2 由x122y1221，x222y2221，化简得 ty1y2 6分 因为ABD的外接圆经过原点 O，所以 PAPO|t|，即 x12y1(y1y2)2|y1y2|， 化简得 y1y21 8分 联立直线 AB及双曲线方程 xmyn，x22y221，消去 x，得 (m21)y22mnyn220， 所以 y1y2n22m21 10分 又因为 y1y21，所以n22m211，即 m21n2， 所以原点 O到直线 AB距离 d|n|m211， 所以直线 AB与圆 x2y21相切 12分 22(本题满分 12分) 解： （1）由 f(x)aexsinx3x2，得 f(
22、x)aexcosx3 因为 a0，所以 f(x)aexcosx3cosx30，所以 f(x)在(，)单调递减 2分 又因为 f(0)a20，f(a2)aea2sin(a2)3a4a(ea23)0， 因此 f(x)有唯一的零点 4分 （2）由（1）知，a0 符合题意 （i）当 a2时， 由 f(x)2exsinx3x2，得 f(x)2excosx3 当 x0时，f(x)2ex20，所以 f(x)单调递减； 6分 当 x0时，f(x)2exsinx2ex10，所以 f(x)在(0，)上单调递增， 从而，当 x0 时，f(x)f(0)0，所以 f(x)单调递增， 于是 f(x)f(0)0，当且仅当
23、x0时取等号， 故此时 f(x)有唯一的零点 x0 8分 （ii）当 a2 时，f(x)2exsinx3x20，此时 f(x)无零点； 9分 （iii）当 0a2时， 首先证明：当 x0 时，exx22 设 g(x)exx22，x0， 则 g(x)exx，g(x)ex10，所以 g(x)在0，)上单调递增， 故 g(x)g(0)10，所以 g(x)在0，)上单调递增， 因此 g(x)g(0)10，即当 x0时，exx22 10分 当 x0时，f(x)aex3x3a2x23x3， 令a2x23x30，得 x3 96aa 取 x03 96aa0，则 f(x0)0 又 f(0)a20，f(1)ae11sin10， 因此，当 0a2 时，f(x)至少有两个零点，不合题意 综上，a2或 a0 12分
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