2022年高考一轮复习《第4讲等差数列与等比数列的综合》专题练习（含答案）

1、第4讲 等差数列与等比数列的综合高考预测一：等差等比的证明 1已知数列和满足，对都有，成立（）证明：是等比数列，是等差数列；（）求和的通项公式；（3），求证：2已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和3已知数列的前项和，其中（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求4已知等比数列的公比（1）若，求数列的前项和；（2）证明，对任意，成等差数列高考预测二：等差等比的交汇问题5在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和6已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列

2、（1）若，是否存在、，有？说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切，并说明理由；（3）若，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明7已知数列中，且且（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值8设数列的前项和为，（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（3）设，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由第4讲 等差数列与等比数列的综合高考预测一：等差等比的证明 1已知数列和满足，对都有，成立（）证明：是等比数列，是等差数列；（）求和的

3、通项公式；（3），求证：【解析】证明：对都有，成立，数列是等比数列，公比为；是等差数列，公差为2解：由可得：解：，2已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【解析】（1）证明：，即，数列是首项为，公比为3的等比数列，即，（2）由（1）知，又数列是首项为1的等差数列，的公差为1，3已知数列的前项和，其中（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求【解析】解：（1）根据题意，若，当时，两式相减，得，即，即，即，是等比数列，公比，当时，即，；（2）若，则，即，则，得4已知等比数列的公比（1）若，求数列的前项和；（2）证明，

4、对任意，成等差数列【解析】（1）解：由，以及可得数列的前项和（2）证明：对任意， 把代入可得，故，故，成等差数列高考预测二：等差等比的交汇问题5在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和【解析】解：（1）设等差数列的公差为，解得，（2）由，得，数列中落入区间，内的项的个数，6已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列（1）若，是否存在、，有？说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切，并说明理由；（3）若，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明【解析】解：（1）由，得，整理后，可得，、，为整数，不存在、，使等式成

5、立（2）设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，对都成立，若，则，若，则，（常数），即，则，矛盾综上所述，有，使对一切，（3），设，、，、，取，由二项展开式可得整数、，使得，存在整数满足要求故当且仅当，命题成立7已知数列中，且且（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值【解析】解：（1）因为且,所以,则,上式对也成立，故；（2）等价为,数列的前项和为,令,其前项和为,则有,故,当时，,则有,综上可得,不等式成立的或28设数列的前项和为，（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（3）设，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】（1）证明：由，得当时，即，故数列是以1为首项，以4为公差的等差数列于是，；（2）解：由，得，又令，得，即存在满足条件的自然数；（3）解：，要使总成立，需成立，即且，故适合条件的的最大值为7