1、第6讲 数列的综合高考预测一：数列不等式的证明 1（1）当时，求证：；（2）当时，求证：2若为正整数），求证：不等式对一切正整数恒成立3已知正项数列的前项和为，且，（）求，的值，并写出数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求证：4等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上（1）求的值；（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立5已知曲线，2，从点向曲线引斜率为的切线，切点为，（1）求数列与的通项公式；（2）证明：6已知函数（）当曲线在，（1）处的切线与直线垂直时，求的值；（）求函数的单调区间求证：7已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
2、（3）证明：，8已知函数（1）求的极值；（2）求证：且9已知函数（）讨论的单调性；（）求证：10设数列的前项和为，已知，（）求数列的通项公式；（）证明：对一切正整数，有11已知二次函数的图象过点，且（1）求的解析式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）对于（2）中的数列，求证：12已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值13已知函数，（1），令，（1）求数列的通项公式；（2）证明14已知函数，数列满足条件：，试比较与1的大小，并说明理由15设数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：16已知数列满足：且
3、，且（1）求数列的通项公式；（2）当时，记，设数列的前项和为，求证：17设二次函数满足：的解集为；对任意都有成立数列满足：，（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求证：第6讲 数列的综合高考预测一：数列不等式的证明 1（1）当时，求证：；（2）当时，求证：【解析】解：（1）证明：，故不等式成立 （2）证明：，即2若为正整数），求证：不等式对一切正整数恒成立【解析】证明：即：不等式对一切正整数恒成立3已知正项数列的前项和为，且，（）求，的值，并写出数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求证：【解析】解：（）解：当时，即，又，解得，由，可得，即，又，是首项为1，公差为1的等差数列，；（）证明：由
4、（）得：，当时，将上式对从1到求和，得，注意到：，将上式对从1到求和，得，所以经验证，当时，上式也成立4等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上（1）求的值；（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立【解析】解：（1）由题意，当时，且，所以时，是以为公比的等比数列，又，即，解得，的值；（2）证明：当时，由（1）知，因此，不等式为当时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设时结论成立，即，则当时，要证当时结论成立，只需证成立，只需证：成立，显然成立，当时，成立，综合可知不等式成立5已知曲线，2，从点向曲线引斜率为的切线，切点为，（1）求数列与的通项公式；（2）证明：【解
5、析】解：（1）设直线，联立，得，则，（负值舍去），可得，；（2）证明：，由，即为，即有，可得；由，设，由，可得，即，在，递增，由，可得，即有，即，则6已知函数（）当曲线在，（1）处的切线与直线垂直时，求的值；（）求函数的单调区间求证：【解析】解：，（2分）由题意可得（1），即解得，（3分）由知：（5分）当时，在区间和上，；在区间上，（6分）故的单调递减区间是和，单调递增区间是（7分）当时，在区间上；在区间上（8分）故的单调递增区间是，单调递减区间是（9分）综上所述：当时，函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是（10分）由及知：当时，且即当，时，恒有成
6、立由知：；得，即（14分）7已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明：，【解析】解：（1）函数的定义域为，当时，在上是增函数；当时，若时，有，若，时，有，则在上是增函数，在，上是减函数（2）由（1）知时，在上是增函数，而（1），不成立，故，又由（1）知的最大值为，要使恒成立，则即可，即，得（3）由（2）知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，（1），即在，上恒成立，令，则，即，从而，则，8已知函数（1）求的极值；（2）求证：且【解析】解：（1）的定义域为，令，解得：，当时，在是增函数，当时，在，是减函数，在处取得极大值，无极小值（2）证明：由（1），取，当
7、时取等号，令，故故；9已知函数（）讨论的单调性；（）求证：【解析】（本小题满分12分）解：（）的定义域为，（1分）当时，在上单调递减；（2分）当时，由解得；由解得；（4分）所以在上单调递增，在上单调递减（5分）（）证明：由（）得当时，（1），即当且仅当时等号成立（6分）所以，（7分），（9分）所以，（11分）即（12分）10设数列的前项和为，已知，（）求数列的通项公式；（）证明：对一切正整数，有【解析】（）解：，当时，由，得，数列是以首项为，公差为1的等差数列，当时，上式显然成立；（）证明：由（）知，当时，原不等式成立当时，原不等式亦成立当时，当时，原不等式亦成立综上，对一切正整数，有11已知
8、二次函数的图象过点，且（1）求的解析式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）对于（2）中的数列，求证：【解析】解：（1）由，解之得，即；（2），由累加得，；（3），当时，显然成立；当时，12已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【解析】解：（1）因为函数，所以，且（1）所以当时恒成立，此时在上单调递增，这与矛盾；当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），若，则（a）（1），从而与矛盾；所以；（2）由（1）可知当时，即，所以当且仅当时取等号，所以，即；因为为整数，且对于任意正整数，成立，当时，所以的最小值为313已知函数，（1），令，（1）
9、求数列的通项公式；（2）证明【解析】（1）解：函数，（1），联立解得：令，两边取倒数可得：，变形为：，数列是等比数列，首项为1，公比为，（2）证明：，数列单调递增，14已知函数，数列满足条件：，试比较与1的大小，并说明理由【解析】解：，函数在区间，上单调递增，于是由，得，由此猜想：以下用数学归纳法证明这个猜想：当时，结论成立；假设时结论成立，即，则当时，由在区间，上单调递增知，即时，结论也成立由、知，对任意，都有即，15设数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：【解析】证明：（1），时，相减可得，化为：，数列为等比数列，首项与公比都为，化为：（2），数列的前项和为，16已知数列满足：且，且（1）求数列的通项公式；（2）当时，记，设数列的前项和为，求证：【解析】解：（1）当时，当时，故；当时，；故；（2）证明：当时，可验证，故，故证毕17设二次函数满足：的解集为；对任意都有成立数列满足：，（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求证：【解析】（1）解：由于对任意都有成立，则令，得，则；（2）解：由于的解集为，可设，由，可得，则；（3）证明：，则，即有，令，则，由于，则有，即有，则，则，则由于，则上式，则原不等式成立
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