1、第17讲 零点问题高考预测一：三次函数零点问题 1已知函数（1）若函数在处取得极值2，求，的值；（2）求试讨论的单调性；（3）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值2已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数高考预测二：含超越函数的零点问题3已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点4已知函数（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线5已知函数是自然对数的底数，（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2
2、）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线6已知函数（1）若函数在处取得极值，求曲线在点，（2）处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数7已知函数，为常数），且为的一个极值点（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若的图象与轴有且只有3个交点，求的取值范围8已知函数，（）求在区间，上的最大值；（）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由9已知函数（）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求的单调区间；（）若函数没有零点，求的取值范围10已知关于的函数（1）当时，求函数
3、在点处的切线方程；（2）设，讨论函数的单调区间；（3）若函数没有零点，求实数的取值范围11已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围12已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围13已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围14已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求15已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）求证：或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件16设函数（1）设，求的极值；（2）在（1）的条件下，若在上不是单调函数，求的范围；（3）求的单调递增区间17设常数，
4、函数（）当时，求的最小值；（）求证：有唯一的极值点18已知函数，为自然对数的底数）若图象过点，求的单调区间；若在区间，上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；函数（a），当时，函数过点的切线至少有2条，求实数的值19在平面直角坐标系中，已知函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数（1）求实数的值；（2）设函数在区间，内有两个极值点求实数的取值范围；设函数的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围第17讲 零点问题高考预测一：三次函数零点问题 1已知函数（1）若函数在处取得极值2，求，的值；（2）求试讨论的单调性；（3）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值
5、【解析】解：（1），若函数在处取得极值2，则，解得：；（2），时，令，解得：或，在递增，在，递减，在递增，时，在递增，时，令，解得：或，在递增，在递减，在，递增；（3）由（2）得：函数有2个极值，分别是：，则函数有3个零点等价于，或，又，时，或时，设（a），函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，上，（a），在，上，（a）均恒成立，从而，且，故；此时，有3个零点，则有2个异于的不等实根，且，解得：，综上：2已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数【解析】解：（1）设曲线与轴相切与点，则，即，当时，轴为曲线的切线（2）令，则，由，得，当
6、时，为增函数；当，时，为减函数，当，即时，有一个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有三个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有一个零点，综上，或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当，有三个零点高考预测二：含超越函数的零点问题3已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【解析】证明：（1）的定义域为，令，则在恒成立，在上为减函数，又，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，单调递减；当时，单调递增，单调递增；由于在，上单调递减，且，由零点存在定
7、理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，单调递增；当时，单调递减，单调递减当，时，于是，单调递减，其中，于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，则恒成立，因此函数在，上无零点综上，有且仅有2个零点4已知函数（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线【解析】解析：（1）函数定义域为：，；，且，在和上单调递增，在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，在有且仅有一个零点，在区间
8、，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，又（e），（e），在上有且仅有一个零点，故在定义域内有且仅有两个零点；（2）是的一个零点，则有，曲线，则有；由直线的点斜式可得曲线的切线方程，曲线在点，处的切线方程为：，即：，将代入，即有：，而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，将代入化简，即：，故曲线在点，处的切线也是曲线的切线故得证5已知函数是自然对数的底数，（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线【解析】解：（1）的定义域为所以在，上单调递增又，所以在区间有唯一零点，即，又，所以在区间有唯一零点综上所述，有且仅有两个零点（2）因为，
9、所以点在曲线上由题设所以直线的斜率因为曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线6已知函数（1）若函数在处取得极值，求曲线在点，（2）处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数【解析】解：（1），由已知有（1），即，所以（经验证成立），切点为，故切线方程为：；（2）的定义域为，若，则当时，故在上单调递增，若，则当；当，故在上单调递增，在上单调递减；综上：时，在上单调递增，时，在上单调递增，在上单调递减；（3）证明：，因为在上递增，在递减，所以在上递增，又，故存在唯一使得，所以在上递减，在，上递增，又
10、，所以在，内存在唯一根，由，得：，又，故是在上的唯一零点，综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数7已知函数，为常数），且为的一个极值点（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若的图象与轴有且只有3个交点，求的取值范围【解析】解：（1），又是的一个极值点（2），则（2）函数的定义域为由（1）知由可得或，由可得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，（3）由（2）可知函数在单调递增，在，单调递减，在单调递增且当或时，的极大值为，的极小值为（2）当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需（2），即，解得：8已知函数，（）求在区间，上的最大值；（）是否存在实数
11、，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【解析】解：当，即时，在，上单调递增，；当，即时，（4）；当时，在，上单调递减，综上，函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点，当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当，或时，（1），（3）当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为9已知函数（）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求的单调区间；（）若函数没有零点，求的取值范围【解析】解：当时，（1）
12、，（1），曲线在点，（1）处的切线方程为；函数，当时，在时，的单调增区间是；当时，函数与在定义域上的情况如下：的单调减区间为，单调增区间为当时的单调增区间是；当时，的单调减区间为，单调增区间为由可知，当时，是函数的单调增区间，且有，（1），此时函数有零点，不符合题意；当时，函数，在定义域上没零点；当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，当，即时，函数没有零点综上所述，当时，没有零点10已知关于的函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）设，讨论函数的单调区间；（3）若函数没有零点，求实数的取值范围【解析】解：（1）当时，即在处的切线方程为（2），当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，令，解
13、得，令，解得，在单调递增，在单调递减（3）没有零点，即无解，与两图象无交点，设两图象相切于两点，两图象无交点，11已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1）由，可得，当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增；当时，由，解得或，若，则恒成立，即有在上递增；若时，由，可得或；由，可得；即有在，递增，在，递减；若，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；综上：当时，在递减；在递增；当时，时，在上递增；时，在，递增，在，递减；时，在，递增；在，递减（2）由（1）可得，当时，在递减；在递增，且（1），（2），故在上存在1个零点，取满足，且，则（b），故在是也
14、存在1个零点，故时，有2个零点；当时，所以只有一个零点，不合题意；当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；若，在递增，又当时，不存在2个零点，不合题意，当时，在单调增，在，递减，在，递增，极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；综上，有两个零点时，的取值范围为12已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1）的定义域为，且，当时，此时在上单调递增；当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递
15、减，则，当时，函数至多有一个零点，不合题意；当时，由于，且，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，由于，且（由于，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为13已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，当时，当时，当，且远远大于和，当，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，即，设，
16、则，求导，由（1），解得：，的取值范围方法二：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，由（1）可知：当时，取得最小值，当，时，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点的取值范围14已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【解析】解：（1）证明：当时，函数则，令，则，令，得当时，当时，在，单调递增，（2）方法一
17、：在只有一个零点方程在只有一个根，在只有一个根，即函数与的图象在只有一个交点，当时，当时，在递减，在递增，当时，当时，在只有一个零点时，（2）方法二：当时，在没有零点当时，设函数在只有一个零点在只有一个零点，当时，当时，在递减，在递增，当（2）时，即，由于，当时，可得在有2个零点当（2）时，即，在没有零点，当（2）时，即，在只有一个零点，综上，在只有一个零点时，15已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）求证：或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件【解析】解：（1）若，则，由于，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间（2），在区间上不单调，由
18、题意知，当，时，且，函数的对称轴为直线，当，即时，由（3），得，由得，此时解集为空集；当，即时，由得，由（3）得，此时解集为空集； ，由（3），得，由，得或，此时解集为；若，由得，由得或，此时解集为综上可得，的取值范围是（3）证明：当，即时函数在上单调递增故在上不可能有三个不同零点若在上有三个不同零点，则必有，即或是在上有三个不同零点的必要条件；而当，时，满足或但即此时只有两个不同零点同样，当时，满足或，但即此时也只有两个不同零点，或是在上有三个不同零点的不充分条件，故或是在上有三个不同零点的必要不充分条件16设函数（1）设，求的极值；（2）在（1）的条件下，若在上不是单调函数，求的范围；（3
19、）求的单调递增区间【解析】解：（1）当，（2分）的单调递减区间为，单调递增区间为，（4分），的极小值是（6分）（2），（8分）在区间上不是单调函数，且，（10分），即：故的取值范围（12分）（3），令，解得即函数单调递增区间为17设常数，函数（）当时，求的最小值；（）求证：有唯一的极值点【解析】解：（）的定义域是，时，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，时，最小，最小值是（1）；（）由（）得：，令，要证有唯一的极值点，即证在有唯一的变号零点，而，令，解得：，其中，且的图象开口向上，故在区间上，递减，在区间，上，递增，即在上有唯一零点，即在上有唯一的极值点且是极小值点18已知函数，为自然对数
20、的底数）若图象过点，求的单调区间；若在区间，上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；函数（a），当时，函数过点的切线至少有2条，求实数的值【解析】解：（）由已知，又过点，所以，且定义域为，令，解得：，令，解得：，故在上是减函数，在，上是增函数；（）函数的定义域为，令，则，当时，在恒成立，故在上是增函数，而，故当，时，恒成立，故在区间，上单调递增，故在区间，上没有极值点；当时，由（）知，在区间，上没有极值点；当时，令，解得，；故在上是增函数，在，上是减函数，当（e），即时，在，上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，令，得，不成立；令（e），得，所以，而，又，所以在，上有且只有一个零点，且在该零
21、点两侧异号，综上所述，实数的取值范围是，（）函数（a），由函数过点的切线，所以，据题意，原命题等价于关于的方程至少有2个不同的解设，因为，所以，当和，时，为增函数；当时，为减函数；所以的极大值为（1），的极小值为，设，则原命题等价于对恒成立，所以由对恒成立，得； （1）记，所以时，的最大值为（4），由对恒成立，得 （2）由（1）（2）得，综上，当，实数的值为时，函数过点的切线至少有2条19在平面直角坐标系中，已知函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数（1）求实数的值；（2）设函数在区间，内有两个极值点求实数的取值范围；设函数的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围【解析】解：（1），设切点，则，所以过原点的切线方程为：，且，所以，由题意：与是同一条直线，所以；（2）由（1）知，设函数在区间，内有两个极值点分别为，由题意则，所以只需，所以因为，所以，由，且，所以，设，令，所以在，单调递减，从而（1），所以实数的取值范围
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