1、第18讲 恒成立问题与存在性问题高考预测一：不等式的恒成立问题 1已知函数，在点，处的切线方程为（1）求的解析式；（2）求证：当时，；（3）设实数使得对恒成立，求的最大值2已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围3已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围4已知函数，其中实数（）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（）若在区间，上恒成立，求的取值范围5设函数若对所有的，都有成立，求实数的取值范围6已知函数，为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，（1）求的值；（2）对任意，证明：；（3）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围7设函数（）求函数在点， 处的切线方程；（）求
2、的极小值；（）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围8设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围9设函数，（）证明：；（）若对所有的，都有，求实数的取值范围10设函数，其中常数（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围11已知函数，（1）证明为奇函数，并在上为增函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）设，当时，求的最大值12设函数且（1）求函数的单调区间；（2）已知对任意成立，求实数的取值范围13设函数，（）判断函数的单调性；（）当上恒成立时，求的取值范围；（）证明：14已知函数的定义域是（1）求函数在，上的最小值；（2），不等式恒成立，求实数
3、的取值范围15已知，（）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；（）当时，对于任意，均有恒成立，试求参数的取值范围16已知函数 是实数）（1）当时，求函数在定义域上的最值；（2）若函数在，上是单调函数，求的取值范围17设函数，（）当为自然对数的底数）时，求的极小值；（）讨论函数零点的个数；（）若对任意，恒成立，求的取值范围18已知函数，（）当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数单调性；（）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由高考预测二：不等式存在性问题19设函数，且，曲线在点，（1）处切线的斜率为0（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围
4、20设函数，曲线在点，（1）处的切线的斜率为0（1）求的值；（2）设，若存在，使得且，求的取值范围21已知函数（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间，上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围22已知函数（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在区间，上存在一点，使得成立，求的取值范围，23（1）若函数的单调递减区间求，的值；（2）设，若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（3）已知函数，若函数的图象在点，（2）处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围24已知函数，（）当时，若函数是上的增函数，求的最小值；（）当，时，函数在上存
5、在单调递增区间，求的取值范围高考预测三：恒成立与存在性的综合问题25已知函数（）当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围对于任意，都有，求的取值范围26已知函数（）求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围27已知函数为常数，（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当在处取得极值时，若关于的方程在，上恰有两个不同的相等的实数根，求实数的取值范围；（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围第18讲 恒成立问题与存在性问题高考预测一：不等式的恒成立问题 1已知函数，在点，处的切线方程为（1）求的解析式；（2）求证：当时，；（3）设实数使得对恒
6、成立，求的最大值【解析】解：（1），故，由，得，由，得，解得：，故；（2）原命题等价于，设，当时，函数在递增，故，；（3）对恒成立，故，时，且，恒成立，即时，函数在递增，当时，令，解得：，取，的变化如下：，0递增极大值递减，显然不成立，综上，满足条件的的最大值是22已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围【解析】解：（1），时，在恒成立，故在单调递减，时，由，解得：，由，解得：，故在单调递增，在单调递减；（2）由（1）可得，当时，在单调递减，当时，在单调递增，在单调递减，（a），令（a），易知函数（a）在单调递增，又（1），当时，（a），即，满足题意，当时，（a），即，不满足题意，
7、综上所述的取值范围为，3已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围【解析】解：（1），当时，又，故，递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；（2），即，时，递增，恒成立，时，故，令（a），（a），故（a）递减，又，故，综上：，4已知函数，其中实数（）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（）若在区间，上恒成立，求的取值范围【解析】解：（）由可得函数定义域为，令，经验证（1），因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以1是的异号零点，所以是函数的极值点（）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间，上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间，上，所
8、以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间，恒成立5设函数若对所有的，都有成立，求实数的取值范围【解析】解法一：令，对函数求导数：令，解得，当时，对所有，所以在，上是增函数，又，所以对，都有，即当时，对于所有，都有当时，对于，所以在是减函数，又，所以对，都有，即当时，不是对所有的，都有成立综上，的取值范围是，解法二：令，于是不等式成立即为成立对函数求导数：令，解得，当时，为增函数，当，为减函数，所以要对所有都有充要条件为由此得，即的取值范围是，6已知函数，为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，（1）求的值；（2）对任意，证明：；（3）若对所有的，都有成立，求实数的取值范
9、围【解析】解：（1）所以（3分）（2）证明：令，当，所以当时单调递增，从而有，；所以，所以当，；（8分）（3）令，则，令，解得，当时，所以，从而对所有，；在，上是增函数故有，即当时，对于所有，都有当时，对于，所以在上是减函数，所以对于有，即，所以，当，不是所有的都有成立，综上，的取值范围是，（14分）7设函数（）求函数在点， 处的切线方程；（）求的极小值；（）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围【解析】解：（）的定义域为，又，切点为，所求切线方程为（2分）（）设，得，得；，得，得；，得，得；则（6分）（）令，则令，得，得；，得，得；，得，得；（1）当时，对所有时，都有，于是恒成立，在，上是增
10、函数又，于是对所有，都有成立故当时，对所有的，都有成立（2）当时，对所有，都有恒成立，在上是减函数又，于是对所有，都有故当时，只有对仅有的，都有即当时，不是对所有的，都有综合（1），（2）可知实数的取值范围，（12分）8设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围【解析】解：（）（2分）当时，即；当时，即因此在每一个区间是增函数，在每一个区间是减函数（6分）（）令，则故当时，又，所以当时，即（9分）当时，令，则故当，时，因此在，上单调增加故当时，即于是，当时，当时，有因此，的取值范围是（12分）9设函数，（）证明：；（）若对所有的，都有，求实数的取值范围【解析】（）证明：令，由，
11、解得：，在，递减，在，递增，即成立（）解：记，在，恒成立，在，递增，又，当时，成立，即在，递增，则，即成立；当时，在，递增，且，必存在使得，则时，即时，与在，恒成立矛盾，故舍去综上，实数的取值范围是10设函数，其中常数（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围【解析】解：（1），由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数；当时，故在区间是增函数综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数（2）由（1）知，当时，在或处取得最小值，由假设知，即，解得，故的取值范围是，11已知函数，（1）证明为奇函数，并在上为增函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）设，
12、当时，求的最大值【解析】解：（1），所以为奇函数，而，在上恒成立，所以在上增，（2）由得，变形得，只要大于或等于右边式子的最大值即可令得，；（3），当时，等号仅当时成立，所以在上单调递增而，所以对任意，当时，若满足，即时，而，因此当时，不满足要求综上，故的最大值为212设函数且（1）求函数的单调区间；（2）已知对任意成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）函数的导数为，由，由，即函数在上单调递增，在，及上单调递减（2）因为时，由得，即求函数的最大值即可由（1）知，函数在上单调递增，在，上单调递减，所以函数在上，当时取得最大值为，所以，即实数的取值范围13设函数，（）判断函数的单调性；（）当上恒
13、成立时，求的取值范围；（）证明：【解析】解：（2分）（）所以当时，在是增函数（4分）当时，在上在上，故在上是增函数，在上是减函数（6分）（）由（）知当时，在上不恒成立；（8分）当时，在处取得最大值为，因此，即时，在上恒成立，即在上恒成立所以当在上恒成立时，的取值范围为（10分）（）由（）知当时，的最大值为所以（当且仅当时等号成立），令，则得，即，（12分）从而得，由函数的单调性得（14分）14已知函数的定义域是（1）求函数在，上的最小值；（2），不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1），当时，在，上递减；当时，在，上递增当时，在，上递增，；当时，在，上递减，在，上递增，（1）（2），恒
14、成立，即恒成立由（1）可知，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号，当且仅当时，有15已知，（）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；（）当时，对于任意，均有恒成立，试求参数的取值范围【解析】解：（）函数的定义域为，对于任意上，满足，即，而，当且仅当时，取最大值5，所以（），令，可得或，所以函数在单调递增，在，单调递减，所以，恒成立，满足，即，所以的取值范围是，16已知函数 是实数）（1）当时，求函数在定义域上的最值；（2）若函数在，上是单调函数，求的取值范围【解析】解：（1）时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，因此时函数取得极小值即最小值，时，函数在定义域上有最小值为，无最大值（
15、2），当时，恒成立，在，上是单调函数当时，在，上是单调函数时恒成立，解得，综上所述的取值范围为，17设函数，（）当为自然对数的底数）时，求的极小值；（）讨论函数零点的个数；（）若对任意，恒成立，求的取值范围【解析】解：（）的定义域为，当时，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，时，取得极小值（e），的极小值为2；（）由题设，令，得，设，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，是的唯一极值点，且是极大值点，也是的最大值点，的最大值为（1）又，结合的图象（如图所示），可知当时，函数无零点；当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有且只有一个零点，综上所述，当时，函数无
16、零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；（）对任意的，恒成立，等价于恒成立，设，等价于在上单调递减，由在上恒成立，得恒成立，（对，仅在时成立），的取值范围是，18已知函数，（）当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数单调性；（）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【解析】解：（）当时，当或时，单调递增；当时，单调递减，所以时，；时，（2）（）当时，当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减；当，即时，在上恒成立，此时单调递增；当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减综上：当时，增区间为，减区间为；当时，增区间
17、为，无减区间；当时，增区间为，减区间为（）假设存在实数，对任意的，且，有恒成立，不妨设，则由恒成立可得：恒成立，令，则在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，又，在时恒成立，当时，对任意的，且，有恒成立高考预测二：不等式存在性问题19设函数，且，曲线在点，（1）处切线的斜率为0（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围【解析】解：（1）函数，且，导数，曲线在点，（1）处的切线斜率为0，（1），解得（2）函数的定义域为，由（1）可知：，当时，则，则当时，函数在单调递增，存在，使得的充要条件是（1），即，解得；当时，则，则当时，函数在上单调递减；当，时，函数在，上单调递增存在，使得的充要
18、条件是，而，不符合题意，应舍去若时，（1），成立综上可得：的取值范围是，20设函数，曲线在点，（1）处的切线的斜率为0（1）求的值；（2）设，若存在，使得且，求的取值范围【解析】解：（1），曲线在点，（1）处的切线斜率为0，（1），解得（2）由于，则令，函数的定义域为，当时，则，则当时，函数在单调递增，存在，使得的充要条件是（1），即，解得；当时，则，则当时，函数在上单调递减；当，时，函数在，上单调递增存在，使得的充要条件是，而，不符合题意，应舍去若时，（1），成立综上可得：的取值范围是，21已知函数（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间，上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围【
19、解析】解：（1）因为，（2分）当，令，得，（3分）又的定义域为，随的变化情况如下表：10极小值所以时，的极小值为1（5分）的单调递增区间为，单调递减区间为；分（2），令，得到，若在区间，上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间，上的最小值小于0即可当，即时，对成立，在区间，上单调递减，故在区间，上的最小值为（e），由，得；当，即时，若，则对，成立，在区间，上单调递减，在区间，上的最小值为（e），显然，在区间，上的最小值小于0不成立若，即时，则有，0极小值在区间，上的最小值为，由，得，解得，即综上，由（1）（2）可知：，22已知函数（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）
20、若在区间，上存在一点，使得成立，求的取值范围，【解析】解：（1）的定义域为，（1分）当时，（2分）10极小（3分）所以在处取得极小值1（4分）（2），（6分）当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；（7分）当，即时，在上，所以，函数在上单调递增（8分）（3）在，上存在一点，使得成立，即在，上存在一点，使得，即函数在，上的最大值小于零（9分）由（2）可知即，即时，在，上单调递减，所以的最小值为（e），由（e）可得，因为，所以；（10分）当，即时，在，上单调递增，所以最小值为（1），由（1）可得；（11分）当，即时，可得最小值为，因为，所以，故此时，不成立（12分）综上讨论可得所求
21、的范围是：或（13分）23（1）若函数的单调递减区间求，的值；（2）设，若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（3）已知函数，若函数的图象在点，（2）处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围【解析】解：（1），因为的单调递减区间，所以方程的两根分别为，2，即，所以；（2），函数的导数为，若函数在，上存在单调递增区间，即在，上有解，只需即可，由，解得，当时，则当时，恒成立，即此时函数在，上为减函数，不满足条件（3）由（2），令得，故两个根一正一负，即有且只有一个正根，函数在区间上总不是单调函数，在上有且只有实数根，（3），故，而在，单调减，综合得24已知函数，（）当
22、时，若函数是上的增函数，求的最小值；（）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围【解析】解：（）因为函数是上的增函数，所以在上恒成立则有，即设为参数，则当，且时，取得最小值（）当，时，当时，是开口向上的抛物线，显然在上存在子区间使得，所以的取值范围是当时，显然成立当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足或解得则的取值范围是高考预测三：恒成立与存在性的综合问题25已知函数（）当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围对于任意，都有，求的取值范围【解析】解：（）函数的定义域为，因为，所以当时，令得，所以此时函数在上是增函数，在是减函数；（2分）当时，所以
23、此时函数在是减函数；当时，令，解得，此时函数在是增函数，在上是减函数；（4分）当，令，解得，此时函数在是增函数，在上是减函数；（6分）当，由于，令，解得，此时函数在是增函数，在上是减函数（8分）（）当时，在上是减函数，在上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是（12分）不妨设，由函数在，上是增函数，函数在，是减函数，等价于，所以设是减函数，所以在，上恒成立，即，解得（16分）26已知函数（）求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围【解析】解：（）当时，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是当时，在区间
24、和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是当时，故的单调递增区间是当时，在区间和上，；区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是（）设，为增函数，由已知，（2）由可知，当时，在，上单调递增，故（2），所以，解得，故当时，在上单调递增，在上单调递减，故由可知，所以，综上27已知函数为常数，（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当在处取得极值时，若关于的方程在，上恰有两个不同的相等的实数根，求实数的取值范围；（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）时，于是（1），又（1），即切点为，切线方程为；（2），即，此时，上递减，上递增，又，（2），；（3），即，在，上递增，（1），问题等价于对任意的，不等式成立，设（a），则（a），又（1），（a）在1右侧需先增，（1），设（a），对称轴，又，（1），所以在上，（a），即（a），（a）在上单调递增，（a）（1），即，于是，对任意的，总存在，使不等式成立，
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