1、 第第 4 讲讲 反比例函数反比例函数 知识点 1 反比例函数的概念及用待定系数法求反比例 1反比例函数的概念 一般地，函数xky （k 是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 【典例】【典例】 例 1（2019 秋诸城市期末）若函数 ym2+31是反比例函数，则 m 例 2（2020 秋兴国县期末）已知函数 y（k+2）25是
2、反比例函数，则 k 例 3（2020 秋雁塔区校级期中）已知 M（a+4，2）和 N（2，2）是同一个反比例函数图象上的两个点，求a 的值以及这个反比例函数的表达式 例 4（2020 秋永定区期中）已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x2 时，y4 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x6 时，求 y 的值 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020新田县一模）若函数 y（m2）25是反比例函数，则 m 2 （2020柘城县模拟）已知函数 y（m+1）22是反比例函数，则 m 的值为 3 （2020 春丽水期末）已知反比例函数 y=（k0） ，当 x3 时，y4 （1）求 y
3、关于 x 的函数表达式； （2）当 y43且 y0 时，求自变量 x 的取值范围 4 （2020 春徐州期末）已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x4 时，y1， （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）求当3x 12时，y 的取值范围； （3）求当 x1 时，y 的取值范围 知识点 2 反比例的图象及其性质 （1）反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以，它的图象不 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达丌到坐标轴。 （2）反
4、比例函数的性质 【典例】 例 1 （2020 秋锦江区校级期中） 如图是三个反比例函数的图象的分支， 其中 k1， k2， k3的大小关系是 例 2（2020 秋金塔县期末）如图，关于 x 的函数 ykxk 和 y= （k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D 【随堂练习】 1 （2020 秋岳阳期中）已知函数 y（m2）210是反比例函数，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的值是 2 （2020广西）在同一平面直角坐标系中，函数 ykx+k 与 y=（k0）的图象可能是（ ） A B C D 知识点 3 一次函数与反比例函数的综合应用 1.求反比例函数不
5、一次函数的交点坐标， 把两个函数关系式联立成方程组求解， 若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。 2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。 【典例】 例 1（2020 秋乐亭县期末）如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y=（x0）的图象交于点 A（1，6） ，B（3，n）两点与 x 轴交于点 C （1）求一次函数的表达式； （2）若点 M 在 x 轴上，且AMC 的面积为 6，求点 M 的坐标 （3）结合图形，直接写出 kx+b0 时 x 的取值范围 例 2（2020 秋大东区期末）如图，一次函数的图象 yax+b（a0）与反比
6、例函数 y=（k0）的图象交于点 A（12，4） ，点 B（m，1） （1）求这两个函数的表达式； （2）若一次函数图象与 y 轴交于点 C，点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点，点 P 是反比例函数图象上的一点，当 SOCP：SBCD1：3 时，请直接写出点 P 的坐标 【随堂练习】 1 （2020 秋荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y2x 与反比例函数 y=的图象交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 2，ACx 轴于点 C，连接 BC （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 是反比例函数 y=图象上的一点，且满足OPC 与ABC 的面积相等，请直接写出
7、点 P 的坐标 2 （2020 秋会宁县期末）点 A 是双曲线 =与直线 yx（k+1）在第二象限的交点，AB 垂直 x 轴于点 B，且 SABO=32； （1）求两个函数的表达式； （2）求直线与双曲线的交点坐标和AOC 的面积 3 （2020 秋新华区月考） 已知反比例函数 y=（x0） 的图象与一次函数 y= 12x+4 的图象交于 A （2， b）和 B（6，n）两点 （1）求 k 和 n 的值； （2）若点 C（x，y）也在反比例函数 y=（x0）图象上，求当 2x6 时，函数值 y 的取值范围； （3）直接写出关于 x 的不等式（x0）12x+4 的解集 知识点 4 反比例函数与几
8、何的综合应用 1、反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义及其应用 反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义是：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，两垂线不坐标轴围成的矩形的面积等于| |； 或以该点、 垂足不坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于12| |。 | |越大，图象越远离坐标原点，反之亦然。 2、 运用 k 的几何意义解决反比例函数中有关面积的问题， 往往能化繁为简、 化难为易。 主要题目类型如下： 、已知面积，求 k（或求反比例函数表达式） 、已知反比例函数表达式（即已知 k），求面积。 、过双曲线（两分支）上任意一点，作两坐标（或一条坐标）轴的垂线，该点不垂足、坐
9、标原点构成矩形（或直角三角形）面积的大小。 【典例】 例 1（2020 秋兰州期末）如图，一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 = 的图象在第一象限交于 A、B 两点，A 点的坐标为（m，4） ，B 点的坐标为（3，2） ，连接 OA、OB，过 B 作 BDy 轴，垂足为 D，交 OA 于 C若 OCCA， （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）在直线 BD 上是否存在一点 E，使得AOE 是以 AO 为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E 点坐标 例 2（2020 秋昌图县期末）如图，一次函数 y1kx+b 的图象与反比例函数 y2=6的图象交于 A
10、（2，m） ，B（n，1）两点，连接 OA，OB （1）求这个一次函数的表达式； （2）求OAB 的面积； （3）问：在直角坐标系中，是否存在一点 P，使以 O，A，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【随堂练习】 1 （2020 秋太原期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 yx+2 和双曲线 y=8相交于 A、B 两点 （1）连结 AO、BO，求出AOB 的面积 （2）已知点 E 在双曲线 y=8上且横坐标为 1，作 EF 垂直于 x 轴垂足为 F，点 H 是 x 轴上一点，连结EH 交双曲线于点 I，连结 IF 并延长交 y 轴于点
11、 G，若点 G 坐标为（0，85） ，请求出 H 点的坐标 （3）已知点 M 在 x 轴上，点 N 是平面内一点，以点 O、E、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出 N 点的坐标 综合运用 1（2020 秋岳麓区校级月考） 当 k0 时， 函数 y=与 ykx 在同一平面直角坐标系内的大致图象是 （ ） A B C D 2 （2020 秋舞阳县期末）关于反比例函数 = 3的图象的性质，下面说法正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而减小 By 随 x 的增大而增大 C在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 D在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 3 （2020霍林郭勒市校级模拟）如果反比
12、例函数 =2（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么 a 的取值范围是 4（2020 春越秀区校级期中） 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象在第一象限交于点 A （3，2） ，与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OB4 （1）求函数 y=和 ykx+b 的解析式； （2）请利用两个函数的完整图象，直接写出不等式kx+b 的解集 5 （2020 春新蔡县期末）如图，已知一次函数 yx+2 与反比例函数 y=的图象交于 A，B 两点，与 x轴交于点 M，且点 A 的横坐标是2，B 点的横坐标是 4 （1）求反比例函数的解析式； （2）求AOM 的面积； （3）根据图象直接写出反比例
13、函数值大于一次函数值时 x 的取值范围 6 （2020 秋通川区校级月考）已知：如图，一次函数 y2x+10 的图象与反比例函数 y=的图象相交于A、B 两点（A 在 B 的右侧） ，点 A 横坐标为 4 （1）求反比例函数解析式及点 B 的坐标； （2）观察图象，直接写出关于 x 的不等式2x+100 的解集； （3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P，使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第第 4 讲讲 反比例函数反比例函数 知识点 1 反比例函数的概念及用待定系数法求反比例 1反比例函数的概念 一般地，函数xky
14、 （k 是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 【典例】【典例】 例 1（2020新宾县四模）下列函数是 y 关于 x 的反比例函数的是（ ） Ay=1+1 By=12 Cy= 12 Dy= 2 【解答】解：A、y=1+1是 y 与 x+1 成反比例，故此选项不合题意； B、y=12，是 y 与 x2成反比例，不符合反比例函数的
15、定义，故此选项不合题意； C、y= 12，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意； D、y= 2是正比例函数，故此选项不合题意 故选：C 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键 例 2（2020 春甘南县期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ） A正方形的边长和面积 B圆的周长一定，它的直径和圆周率 C速度一定，路程和时间 D总价一定，单价和数量 【解答】解：A、正方形的面积（边长）2，两个量不成反比例函数，故此选项不合题意； B、圆的周长 C2r，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项不合题意； C、路程速度 时间，速度一定，路程和时
16、间成正比例关系，故此选项不合题意； D、总价单价 数量，总价一定，单价和数量成反比例关系，故此选项符合题意； 故选：D 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如 y=（k 为常数，k0）的函数称为反比例函数 例 3（2020上海）已知反比例函数的图象经过点（2，4） ，那么这个反比例函数的解析式是（ ） Ay=2 By= 2 Cy=8 Dy= 8 【解答】解：设反比例函数解析式为 y=， 将（2，4）代入，得：4=2， 解得 k8， 所以这个反比例函数解析式为 y= 8， 故选：D 【方法总结】【方法总结】 本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求
17、反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式 y=（k 为常数，k0） ； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式 例 4（2020和平区模拟）已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x2 时，y6，则 y 关于 x 的函数解析式为（ ） Ay=112 By=3 Cy3x Dy=12 【解答】解：设 y=， x2，y6， 6=2，解得 k12， y 关于 x 的函数解析式为 y=12 故选：D 【方法总结】【方法总结】 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例
18、函数解析式 y=（k 为常数，k0） ，然后把一组已知的对应值代入求出 k，从而得到反比例函数解析式 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020 春泰兴市月考）下列函数：yx2，y=3，yx1，y=2+1，y 是 x 的反比例函数的个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解：yx2，y=3，yx1，y=2+1，y 是 x 的反比例函数的是：y=3，yx1，共 2 个 故选：C 2 （2020复兴区一模）下列关系式中，y 是 x 反比例函数的是（ ） Ay=13x By= 3 Cy3x2 Dy6x+1 【解答】解：A、不是反比例函数，故此选项错误； B、是反比例函数，故此选项
19、正确； C、不是反比例函数，故此选项错误； D、不是反比例函数，故此选项错误； 故选：B 3 （2020铜山区二模）反比例函数 y=经过点（2，3） ，则 k 的值是（ ） A2 B3 C5 D6 【解答】解：反比例函数 y=经过点（2，3） ，则有 3=2， k6 故选：D 4 （2020 春嘉兴期末）已知反比例函数的图象经过点（1，3） ，则这个反比例函数的表达式为（ ） Ay= 3 By=3 Cy=13 Dy= 13 【解答】解：设该反比例函数的解析式为：y=（k0） 把（1，3）代入，得 3=1， 解得 k3 则该函数解析式为：y=3 故选：B 知识点 2 反比例的图象及其性质 （1）
20、反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以，它的图象不 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达丌到坐标轴。 （2）反比例函数的性质 【典例】 例 1（2020 秋南开区期末）已知 k10k2，则函数 yk1x 和 y=2的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是（ ） A B C D 【解答】解：k10k2， 函数 yk1x 的经过第二、四象限，反比例和 y=2的图象分布在第一、三象限 故选：B 【方法总结】 本题考查了反比例函数的图象：反比例
21、函数 y=（k0）为双曲线，当 k0 时，图象分布在第一、三象限；当 k0 时，图象分布在第二、四象限也考查了一次函数图象 例 2（2020 秋沈河区期末）已知反比例函数 y= 6，下列说法中正确的是（ ） A该函数的图象分布在第一、三象限 B点（2，3）在该函数图象上 Cy 随 x 的增大而增大 D该图象关于原点成中心对称 【解答】解：A反比例函数 y= 6中60， 该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意； B把（2，3）代入 y= 6得：左边3，右边3，左边右边， 所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意； C反比例函数 y= 6中60， 函数的图象在每个象限内，y
22、随 x 的增大而增大，故本选项不符合题意； D反比例函数 y= 6的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意； 故选：D 【方法总结】 本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键 【随堂练习】 1 （2020 秋瓜州县期末）若反比例函数 y=3的图象在某象限内，y 随着 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 m3 【解答】解：反比例函数 y=3的图象在某象限内，y 随着 x 的增大而减小， 3m0， 解得：m3 故答案为：m3 2 （2020 秋南山区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数 yk（x1）与 y=的大致图象（ ） A B C
23、D 【解答】解：分两种情况： 当 k0 时，函数 yk（x1）的图象经过一三四象限，y=的图象分布在一三象限； 当 k0 时，函数 yk（x1）的图象经过一二四象限，y=的图象分布在二四象限； 故选：B 知识点 3 一次函数与反比例函数的综合应用 1.求反比例函数不一次函数的交点坐标， 把两个函数关系式联立成方程组求解， 若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。 2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。 【典例】 例 1 （2020 秋乾安县期末）如图，一次函数 yx3 的图象与反比例函数 =（k0）的图象交于点 A 与点 B（a，4）
24、 （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式 3的解集 【解答】解： （1）将 B（a，4）代入一次函数 yx3 中得：a1， B（1，4） ， 将 B（1，4）代入反比例函数 =（k0）中得：k4， 反比例函数的表达式为 =4； （2）解 =4 = 3得 = 1 = 4或 = 4 = 1， 点 A（4，1） ， 从图象看，不等式x3 的解集为 0 x4 或 x1 【方法总结】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键 例 2 （2020 秋松山区期末）如图，直线 y=12x 与双曲线 y=（k0）
25、交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 的值； （2）若双曲线 y=（k0）上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积 （3）若12x0，直接写出 x 的取值范围 【解答】解： （1）点 A 的横坐标为 4，点 A 在直线 y=12x 上， 点 A 的纵坐标为 y=1242，即 A（4，2） 又点 A（4，2）在双曲线 y=上， k248； （2）点 C 在双曲线 y=8上，且点 C 纵坐标为 8， C（1，8） 如图，过点 C 作 CMx 轴于 M，过点 A 作 ANx 轴于 N SCOMSAON=82=4， SAOCS四边形CMNA=12（|yA|+|yC|）（|xA
26、|xc|）15 （3）若12x0，则 x 的取值范围是 0 x4 【方法总结】 此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，其知识点有：坐标与图形性质，三角形、梯形的面积，以及待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 【随堂练习】 1 （2020 秋永吉县期末）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y=（m0）的图象在第一象限相交于 C 点，作 CDx 轴于 D 点若 OA2， OD1.5OA，CD2OA （1）求反比例函数的解析式； （2）OAB 的面积为 85 【解答】解： （1）OA2，OD1.5OA，CD2OA OD3，C4
27、， C（3，4） ， 点 C 反比例函数 y=（m0）的图象上， m3412， 反比例函数为 y=12； （2）CDx 轴于 D 点 CDOB， =，即4=22+3， OB=85， OAB 的面积为12285=85， 故答案为85 2 （2020 秋沈阳期末） 如图， 一次函数 ykx+1 的图象与反比例函数 =8 的图象交于点 A （2， a） ，点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C，交一次函数的图象于点 D （1）求 a 的值及一次函数 ykx+1 的表达式； （2）若 BD10，求ACD 的面积 【解答】解： （1）把点 A（2，a）代入反比
28、例函数 =8 得，a=82=4， 点 A（2，4） ，代入 ykx+1 得，42k+1， 解得 k=32 一次函数的表达式为 =32 + 1； （2）BD10， D 的纵坐标为 10， 把 y10 代入 =32 + 1得，x6， OB6， 当 x6 代入 y=8得，y=43，即 BC=43， CDBDBC1043=263， SACD=12263（62）=523 3 （2020越秀区一模） 如图所示， 一次函数 yk1x+8 的图象与坐标轴分别相交于点 A，B 与反比例 y=2函数的图象相交于 C，D过点 C 作 CEy 轴，垂足为 E，且 CE2 （1）求 4k1k2的值； （2）若 CD2A
29、C，求反比例函数的解析式 【解答】解： （1）CE2， C 点的横坐标为2， 当 x2 时，yk1x+82k1+8； 当 x2 时，y=2= 22， 2k1+8= 22 4k1k216； （2）作 DFy 轴于 F，如图， CEDF， =， 而 CD2AC， 2=13，解得 DF6， 当 x6 时，yk1x+86k1+8； 当 x6 时，y=2= 26 6k1+8= 26， 36k1k248， 4k1k216； k11，k212， 反比例函数解析式为 y= 12 知识点 4 反比例函数与几何的综合应用 1、反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义及其应用 反比例函数 = 中的比例系数 k
30、的几何意义是：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，两垂线不坐标轴围成的矩形的面积等于| |； 或以该点、 垂足不坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于12| |。 | |越大，图象越远离坐标原点，反之亦然。 2、 运用 k 的几何意义解决反比例函数中有关面积的问题， 往往能化繁为简、 化难为易。 主要题目类型如下： 、已知面积，求 k（或求反比例函数表达式） 、已知反比例函数表达式（即已知 k），求面积。 、过双曲线（两分支）上任意一点，作两坐标（或一条坐标）轴的垂线，该点不垂足、坐标原点构成矩形（或直角三角形）面积的大小。 【典例】 例 1 （2020 秋简阳市 月考） 如图， 在平面
31、直角坐标系 xOy 中， 一次函数 yx+b 的图象经过点 A （2， 0） ，与反比例函数 y=的图象交于点 B（a，4）和点 C （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 y 轴上，且PBC 的面积等于 6，求点 P 的坐标； （3）设 M 是直线 AB 上一点，过点 M 作 MNx 轴，交反比例函数 y=的图象于点 N，若 A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点 M 的坐标 【解答】解： （1）一次函数 yx+b 的图象经过点 A（2，0） ， b2， 直线解析式为 yx+2， 点 B（a，4）在直线 yx+2 上， 4a+2， a2， 点 B（2，4） ， 反
32、比例函数 y=的图象过点 B（2，4） ， k248， 反比例函数解析式为 y=8； （2）如图 1，设直线 AB 与 y 轴交于点 D，点 P 坐标为（0，p） ， 直线 AB 与 y 轴交于点 D， 点 D（0，2） ， 联立方程得： = + 2 =8， 解得： = 2 = 4，或 = 4 = 2， C（4，2） ， SPBCSBPD+SPDC=12| 2| 2 +12| 2| | 4| = 6， p0 或 4， P（0，0）或（0，4） ； （3）如图 2，设 M（m2，m） ，则 N（8，） ， 以 A，O，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，MNOA，OA2， MNOA2， 8 2
33、= 2， = 22或 = 2 23， 点 M 坐标为（22 2，22）或（22 2，22）或（23，2 + 23）或（23，2 23） 【方法总结】 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键 例 2（2020 秋龙湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OCBE 的两边在坐标轴上，反比例函数 y=（x0）的图象与 OB，BC 相交于点 A，D，连接 AC，AD （1）若点 A 为矩形 OCBE 的对称中心，则 BD：DC 3 ； （2）若点 A 坐标为（3，2） 求该反比例函
34、数的解析式； 若 SACD=32，设点 C 的坐标为（a，0） ，求线段 BD 的长 【解答】解： （1）设点 B 坐标为（m，n） ， 点 A 为矩形 OCBE 的对称中心， 点 A（2，2） ， 反比例函数 y=（x0）的图象经过点 A， k=4， 反比例函数的解析式 y=4（x0） ， 当 xm 时，y=4， 点 D（m，4） ， CD=4， BD=34n， BDCD3， 故答案为：3； （2）点 A（3，2）在反比例函数 y=（x0）的图象上， k326， 反比例函数的关系式为 y=6； 过点 A 作 AEOC，垂足为 E， 设直线 OA 的关系式为 ykx，将 A（3，2）代入得，k
35、=23， 直线 OA 的关系式为 y=23x， 点 C（a，0） ，把 xa 代入 y=23x，得：y=23a，把 xa 代入 y=6，得：y=6， B（a，23a） ，D（a，6） ， BC23a，CD=6， SACD=32， 12CDEC=32，即6（a3）=32解得：a6， 经检验，a6 是原方程的解， BC4，CD1， BD3 【方法总结】 本题是反比例函数综合题，考查正比例函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法 【随堂练习】 1 （2020 秋武侯区校级期中） 如图， 在平面直角坐标系 xOy
36、中， 一次函数 yx+b 的图象经过点 A （0， 2） ，与反比例函数 y=（x0）的图象交于点 B（1，a） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）设 M 是反比例函数 y=（x0）图象上一点，N 是直线 AB 上一点，若以 A、O、M、N 为顶点的四边形是以 AO 为边的平行四边形，求点 N 的坐标 【解答】解： （1）一次函数 yx+b 的图象经过点 A（0，2） ， b2， 一次函数的解析式为 yx+2， B（1，a）在一次函数的图象上， a1+23， B（1，3） ， 把 B（1，3）代入 y=中，得到 k3， 反比例函数的解析式为 y=3 （2）如图，设 M（m，3） O
37、AMN，OAMN2， N（m，m+2） ， |3m2|2， 解得，m2+7或27（舍弃）或3或3（舍弃） ， N（2+7，7）或（3，3 +2） 综合运用 1（2020 秋岳麓区校级月考） 当 k0 时， 函数 y=与 ykx 在同一平面直角坐标系内的大致图象是 （ ） A B C D 【解答】解：k0， 函数 y=的图象在第一、三象限，函数 ykx 的图象在第一、三象限且经过原点， 故选：A 2 （2020 秋舞阳县期末）关于反比例函数 = 3的图象的性质，下面说法正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而减小 By 随 x 的增大而增大 C在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 D在每个象限内
38、，y 随 x 的增大而增大 【解答】解：反比例函数 = 3中30， 该函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 说法正确的是 D， 故选：D 3 （2020霍林郭勒市校级模拟）如果反比例函数 =2（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么 a 的取值范围是 a2 【解答】解：反比例函数 =2（a 是常数）的图象在第一、三象限， 2a0， 解得，a2， 故答案为：a2 4（2020 春越秀区校级期中） 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象在第一象限交于点 A （3，2） ，与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OB4 （1）求函数 y=和 ykx+b 的解析
39、式； （2）请利用两个函数的完整图象，直接写出不等式kx+b 的解集 【解答】解： （1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y=，可得 m6， 反比例函数解析式为 y=6， OB4， B（0，4） ， 把点 A（3，2） ，B（0，4）代入一次函数 ykx+b，可得3 + = 2 = 4，解得 = 2 = 4， 一次函数解析式为 y2x4； （2）解 =6 = 2 4得 = 3 = 2或 = 1 = 6， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象的交点为（3，2）和（1，6） ， 不等式kx+b 的解集1x0 或 x3 5 （2020 春新蔡县期末）如图，已知一次函数 yx+2 与
40、反比例函数 y=的图象交于 A，B 两点，与 x轴交于点 M，且点 A 的横坐标是2，B 点的横坐标是 4 （1）求反比例函数的解析式； （2）求AOM 的面积； （3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围 【解答】解： （1）点 A 的横坐标是2，B 点的横坐标是 4， 当 x2 时，y（2）+24， 当 x4 时，y4+22， A（2，4） ，B（4，2） ， 反比例函数 y=的图象经过 A，B 两点， k248， 反比例函数的解析式为 y= 8； （2）一次函数 yx+2 中，令 y0，则 x2， M（2，0） ，即 MO2， AOM 的面积=12OM|yA|=1
41、2244； （3）A（2，4） ，B（4，2） ， 由图象可得，反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围为：2x0 或 x4 6 （2020 秋通川区校级月考）已知：如图，一次函数 y2x+10 的图象与反比例函数 y=的图象相交于A、B 两点（A 在 B 的右侧） ，点 A 横坐标为 4 （1）求反比例函数解析式及点 B 的坐标； （2）观察图象，直接写出关于 x 的不等式2x+100 的解集； （3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P，使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）把 x4 代入
42、y2x+10 得 y2， A（4，2） ， 把 A（4，2）代入 y=，得 k428 反比例函数的解析式为 y=8， 解方程组 = 2 + 1 =8，得 = 1 = 8，或 = 4 = 2， 点 B 的坐标为（1，8） ； （2）观察图象得，关于 x 的不等式2x+100 的解集为：1x4 或 x0； （3）存在， 理由：若BAP90， 过点 A 作 AHOE 于 H，设 AP 与 x 轴的交点为 M，如图 1， 对于 y2x+10， 当 y0 时，2x+100，解得 x5， 点 E（5，0） ，OE5 A（4，2） ， OH4，AH2， HE541 AHOE， AHMAHE90 又BAP90， AME+AEM90，AME+MAH90， MAHAEM， AHMEHA， =，即21=2， MH4， M（0，0） ， 可设直线 AP 的解析式为 ymx， 则有 4m2，解得 m=12， 直线 AP 的解析式为 y=12x， 解方程组 =12 =8，得 = 4 = 2， = 4 = 2， 点 P 的坐标为（4，2） 若ABP90， 同理可得：点 P 的坐标为（16，12） 综上所述：符合条件的点 P 的坐标为（4，2） 、 （16，12）
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