1、第第 2 2 讲讲 方程（组）与不等式（组）方程（组）与不等式（组） 知识点 1 一元一次方程 1等式及其性质 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式. 性质： 如果， 那么bc； 如果， 那么bc； 如果， 那么bc 2. 方程、一元一次方程的解、概念 (1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同. (2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤： 去分母；去；秱；
2、合并；系数化为 1. 4. 一元一次方程的应用： （1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们乊间的关系，寻找等量关系 （2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数 （3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一 （4） “解”就是解方程，求出未知数的值 （5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可 （6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚 【典例】 例 1（2020 秋虎林市期末）解下列方程： （1）5x+2（3x7
3、）94（2+x） ； （2）;142:16=1 例 2（2020 秋潮阳区期末）已知关于 x 的方程 2（x+1）m= 22的解比方程 5（x1）14（x1）+1 的解大 2 （1）求第二个方程的解； （2）求 m 的值 ba caba acba 0cca0a 例 3（2020 秋蓬江区校级月考）已知关于 x 的方程 3x6（x3）4x 和3:41;58=1 有相同的解，求这个解 例 4 （2020 秋抚顺县期末） 算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位在算法统宗中记载： “以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水
4、井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份， 那么每等份绳长比水井深度多一尺， 问绳长和井深各多少尺？若设绳长为 x 尺，同学们，请你们根据题意，列出方程，求出绳子的长度 例 5（2020 秋道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装 80 元甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出 600 套，则超出的部分打八折 （1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？ （2）第一次购进了 1000 套，第二次购进的数量比第一次购进数量的 2
5、倍多 100 套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？ 【随堂练习】 1 （2020 秋镇原县期末）解方程： （1）3x+7322x； （2）3:2=2126 2 （2020 秋金安区校级期中）如果关于 x 的方程;43=8+22的解与方程 4x（3a+1）6x+2a1 的解相同，求 a 的值 3 （2020 秋建湖县校级月考）已知关于 x 的一元一次方程1 3= 0 （1）若该方程的解为 x1，求 m 的值； （2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数 m 的值 4 （2020 秋新宾县期末）机械厂加工车间有 68 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，
6、已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮刚好配成 1 套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 5 （2020 秋讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于 20 人，其中有 15 名男同学，景点门票全票价为 30 元，对集体购票有两种优惠方案 方案一：所有人按全票价的 90%购票； 方案二：前 20 人全票，从第 21 人开始每人按全票价的 80%购票； （1）若共有 35 名同学，则选择哪种方案较省钱？ （2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？ 知识点 2 一元二次方程 1一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次
7、数是 2 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02acbxax.其中2ax叫做二次项， bx 叫做一次项， c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （2） 配方法： 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 化二次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；秱项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为的形式，如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果 n0，则原方程无解. （3）公式法：一元
8、二次方程的求根公式 . （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 0；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式： 关于 x 的一元二次方程的根的判别式为=. （1）0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242abbac. （2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba . （3）0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242abbac. （2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba . （3）0一元二次方程没有实数根. 4 一元二次方程根与系数的
9、关系 关于 x 的一元二次方程有两根分别为，那么 ab，ca. 【典例】 例 1（2020 秋合肥期末）用适当的方法解方程 （1）2（x+2）280 （1）2x2+x12=0 【解答】解： （1） （x+2）24， x+22， 所以 x10，x24； )0(2aax)0()(2aabx02aocbxax2()xmn0n20(0)axbxca221,24(40)2bbacxbaca 002acbxaxacb42acb42002acbxax2, 1xacb4221xxacb42002acbxax20(0)axbxca1x2x21xx21xx（2）x2+12x=14， x2+12x+116=14+1
10、16， （x+14）2=516， x+14=54 所以 x1=1+54，x2=154 【方法总结】 本题考查了解一元二次方程配方法法：将一元二次方程配成（x+m）2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法 例 2（2020 秋舞阳县期末）解方程 （1）x24x10 （2）2（x1）2160 【解答】解： （1）方程整理得：x24x1， 配方得：x24x+45，即（x2）25， 开方得：x25， 解得：x12+5，x225； （2）方程整理得： （x1）28， 开方得：x122， 解得：x11+22，x2122 【方法总结】 此题考查了解一元二次方程配方法，以及直接开
11、平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键 例 3 （2020 秋兰州期中）解方程（x1）25（x1）+40 时，我们可以将 x1 看成一个整体，设 x1y，则原方程可化为 y25y+40，解得 y11，y24当 y1 时，即 x11，解得 x2；当 y4 时，即 x14，解得 x5，所以原方程的解为 x12，x25请利用这种方法求下列方程： （1） （2x+5）2（2x+5）20； （2）32x43x+30 【解答】解： （1）设 2x+5y，则原方程可化为 y2y20， （y2） （y+1）0， 解得 y12，y21 当 y2 时，即 2x+52，解得 x1.5； 当 y1 时，即 2x+51
12、，解得 x3， 所以原方程的解为 x11.5，x23； （2）原方程可变形为（3x）243x+30， 设 3xt，则原方程可化为 t24t+30， 解得 t11，t23 当 t1 时，即 3x1，解得 x0； 当 t3 时，即 3x3，解得 x1， 所以原方程的解为 x10，x21 【方法总结】 本题考查解一元二次方程，换元法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型 例 4（2020 秋白银期末）已知关于 x 的一元二次方程（x3） （x2）m2 （1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根 【解答
13、】解： （1）关于 x 的一元二次方程（x3） （x2）m2， x25x+6m20， 254（6m2）1+4m20， 对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是 1， 则（13）（12）m2， 2m2， m2， 原方程变形为 x25x+40， 设方程的另一个根为 a， 则 1a4， a4， 则方程的另一个根为 4 【方法总结】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac 和一元二次方程的根与系数的关系：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 例 5（2020 秋昌图县期末）某商店将进价为 10
14、 元的某种商品以 14 元售出，平均每天能售出 220 件调查发现，这种商品的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 20 件该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润 （1）若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的 80%，且商店想要获得平均每天 1080 元的利润，则这种商品的售价应定为多少？ （2）该商店平均每天盈利能否为 1200 元？ 【解答】解： （1）设这种商品的售价应定为 x 元，则每件的销售利润为（x10）元，日销售量为 22020（x14）（50020 x）件， 依题意得： （x10） （50020 x）1080， 整理得：x235x+3040， 解得：x116
15、，x219 10（1+80%）18（元） ，161819， x16 答：这种商品的售价应定为 16 元 （2）设这种商品的售价应定为 y 元，则每件的销售利润为（y10）元，日销售量为 22020（y14）（50020y）件， 依题意得： （y10） （50020y）1200， 整理得：y235y+3100 （35）241310150， 该方程无实数根， 该商店平均每天盈利不能为 1200 元 【方法总结】 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （2）牢记“当0 时，方程无实数根” 【随堂练习】 1 （2020 秋富裕县期末）
16、（1）请你用公式法解方程：2x24x10； （2）请你用因式分解法解方程：x23x+20 【解答】解： （1）2x24x10， a2，b4，c1， 16+824， x=242=4244=262， x1=2+62或 x2=262 （2）x23x+20， （x1） （x2）0， x10 或 x20， x11 或 x22 2 （2020 秋秦淮区校级月考）解方程： （1）x22x30； （2） （x1）23（x1）0； （3）x2+4x30； （4）x225x+50 【解答】解： （1）分解因式得： （x3） （x+1）0， 可得 x30 或 x+10， 解得：x13，x21； （2）分解因式得：
17、（x1） （x13）0， 可得 x10 或 x40， 解得：x11，x24； （3）方程整理得：x2+4x3， 配方得：x2+4x+47，即（x+2）27， 开方得：x+27， 解得：x12+7，x227； （4）分解因式得： （x5）20， 解得：x1x2= 5 3 （2020 秋重庆期末）已知，关于 x 的方程 x22mx+m210 （1）不解方程，判断此方程根的情况； （2）若 x2 是该方程的一个根，求代数式2m2+8m3 的值 【解答】解： （1）在方程 x22mx+m210 中，（2m）241（m21）40， 方程 x22mx+m210 有两个不相等的实数根 （2）将 x2 代入原
18、方程中，得：44m+m210， 即 m24m3， 2m2+8m32（m24m）33 4 （2020 秋大东区期末）新华商场销售某种商品，每件进货价为 40 元，市场调研表明：当销售价为 80 元时，平均每天能售出 20 件；在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低 1元时，平均每天就能多售出 2 件 （1）若降价 2 元，则平均每天销售数量为 24 件； （2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到 1200 元？ 【解答】解： （1）20+2224（件） 故答案为：24 （2）设每件商品降价 x 元，则平均每天可销售（20+2x）件， 依题意，
19、得： （40 x） （20+2x）1200， 整理，得：x230 x+2000， 解得：x110，x220 当 x20 时，40 x2025， x20 舍去 答：当每件商品定价 70 元时，该商店每天销售利润为 1200 元 5 （2020 秋法库县期末）2020 年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台 1 月份的销售额是 1440 万元，3 月份的销售额是 2250 万元 （1）若该平台 1 月份到 3 月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为 20 元/千克时，每天能销售 20
20、0 千克，售价每降价 2 元，每天可多售出 100 千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为 12 元/千克，若使销售该水果每天获利 1750 元，则售价应降低多少元？ 【解答】解： （1）设月平均增长率为 x， 依题意，得：1440（1+x）22250， 解得：x10.2525%，x22.25（不合题意，舍去） 答：月平均增长率是 25% （2）设售价应降低 y 元，则每天可售出 200+1002=（200+50y）千克， 依题意，得： （2012y） （200+50y）1750， 整理，得：y24y+30， 解得：y11，y23 要尽量减少库存， y3
21、答：售价应降低 3 元 知识点 3 分式方程 1分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程. 2解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3） 验根， 把整式方程的根代入最简公分母中， 看结果是不是零， 使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； 检验作答. 4分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程
22、应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解； （2）检验所求的解，是否为增根. 【典例】 例 1（2020 秋绥中县期末）解下列方程： （1）2;1+51;2=2； （2）;21=824 【解答】解： （1）方程两边同时乘（2x1） ，得：x52（2x1） ， 解得：x1， 检验：当 x1 时，2x10， 所以，原分式方程的解是 x1； （2）去分母得：x2+2xx2+48， 解得：x2， 检验：当 x2 时，x240， 经检验 x2 是增根， 所以，原分式方程无解 【方法总结】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 例 2 （2020
23、 春百色期末） 增根是一个数学用语， 其定义为在方程变形时， 有时可能产生不适合原方程的根 对于分式方程：2;3+2;9=3:3 （1）若该分式方程有增根，则增根为 x13，x23 （2）在（1）的条件下，求出 m 的值， 【解答】解： （1）2;3+2;9=3:3， 方程两边都乘（x+3） （x3）得 2（x+3）+mx3（x3） 原方程有增根， x290， 解得 x13，x23 故答案为：x13，x23； （2）当 x3 时，m4， 当 x3 时，m6 故 m 的值为4 或 6 【方法总结】 考查了分式方程的增根， （1）增根的求法：令最简公分母为 0； （2）求有增根的方程中参数的值，应
24、先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可 例 3 （2020 秋河南期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为 70 元；若完全用电做动力行驶，则费用为 30 元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多 0.4 元 （1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ （2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过 50 元，则至少需要用电行驶多少千米？ 【解答】解： （1）设汽车行驶中每千米用电费用是 x 元，则每千米用油费用为（x+0.4）元， 可得：70:
25、0.4=30， 解得：x0.3， 经检验 x0.3 是原方程的解， 汽车行驶中每千米用电费用是 0.3 元，甲、乙两地的距离是 300.3100（千米） ； 答：汽车行驶中每千米用电费用是 0.3 元，甲、乙两地的距离是 100 千米； （2）汽车行驶中每千米用油费用为 0.3+0.40.7（元） ， 设汽车用电行驶 ykm， 可得：0.3y+0.7（100y）50， 解得：y50， 所以至少需要用电行驶 50 千米 【方法总结】 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式 例 4（
26、2020 秋连山区期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购 A、B 两种品牌的医用外科口罩，B 品牌口罩每个进价比 A 品牌口罩每个进价多 0.7 元，若用 7200 元购进 A 品牌数量是用 5000 元购进 B 品牌数量的 2 倍 （1）求 A、B 两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？ （2）若 A 品牌口罩每个售价为 2 元，B 品牌口罩每个售价为 3 元，药店老板决定一次性购进 A、B 两种品牌口罩共 6000 个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于 1800 元则最少购进 B 品牌口罩多少个？ 【解答】解： （1）设 A 品牌口罩每个进价为 x 元，则 B 品牌口罩每个进价为（x+0.
27、7）元， 依题意，得：7200=25000+0.7， 解得：x1.8， 经检验，x1.8 是原方程的解，且符合题意， x+0.72.5， 答：A 品牌口罩每个进价为 1.8 元，B 品牌口罩每个进价为 2.5 元 （2）设购进 B 品牌口罩 m 个，则购进 A 品牌口罩（6000m）个， 依题意，得： （21.8） （6000m）+（32.5）m1800， 解得：m2000 答：最少购进 B 品牌口罩 2000 个 【方法总结】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 【
28、随堂练习】 1 （2020 秋连山区期末）解下列分式方程 （1）1;1+1;=1 （2）1322;1=16;3 【解答】解： （1）去分母得：1aa1， 解得：a1， 经检验 a1 是增根，分式方程无解； （2）去分母得：2x161， 解得：x4， 经检验 x4 是分式方程的解 2 （2020 春姜堰区期中）已知关于 x 的分式方程2;2+:2;= 2 （1）若分式方程有增根，求 m 的值； （2）若分式方程的解是正数，求 m 的取值范围 【解答】解：去分母得：2xm2x4， （1）由分式方程有增根，得到 x20，即 x2， 把 x2 代入整式方程得：m0； （2）解得：x=63， 根据分式方
29、程的解为正数，得到6;30，且6;32， 解得：m6 且 m0 3 （2020 秋道里区期末）甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路 100 米，甲队筑路 18000 米所用时间与乙队筑路 15000 米所用时间相等 （1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ （2）甲、乙两个筑路队合作筑路 30000 米，若要求乙队筑路不超过 30 天，甲队至少筑路多少天？ 【解答】解： （1）设甲筑路队每天筑路 x 米，则乙筑路队每天筑路（x100）米， 由题意可得：18000=15000;100， 解得：x600， 经检验：x600 是原方程的解， x100600100500（米） ， 答：甲筑路队
30、每天筑路 600 米，则乙筑路队每天筑路 500 米； （2）设甲甲筑路 a 天， 由题意可得：30000;600500 30， 解得：a25， 答：甲队至少筑路 25 天 4 （2020 秋道外区期末）某加工厂甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等 （1）求甲、乙每小时各做多少个零件； （2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种零件 240 个，由于乙另有任务，所以先由甲工作若干小时后，再由甲、乙共同完成剩余任务，工厂要求必须不超过 10 小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时 【解答】解： （1）设乙每小时做 x 个零件，甲
31、每小时做（x+6）个零件， 根据题意得：60=90:6， 解得：x12， 经检验，x12 是原方程的解，且符合题意， x+618 答：乙每小时做 12 个零件，甲每小时做 18 个零件 （2）设乙加工 a 小时， 由题意可得：12a+1810240， 解得：a5， 答：乙至少加工 5 小时 知识点 4 方程组 (1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是 2 的整式方程. (2) 二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组. (3)二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元
32、一次方程有无数个解. (4)二元一次方程组的解： 使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解. (5)代入消元法、加减消元法. 【典例】 例 1（2020 春博白县期末）下列方程中是二元一次方程的是（ ） Ax53 Bx+1=3 Cx+y1 Dxy3 【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，故本选项不符合题意； C、该方程是二元一次方程，故本选项符合题意； D、该方程是二次方程，故本选项不符合题意 故选：C 【方法总结】 此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有 2 个未知数，未知数的项的次数是 1 的整式
33、方程 例 2（2020 秋兰州期末）解方程组 （1）2 5 = 34 + = 3； （2）4( 1) = 3(1 ) 22+3= 2； 【解答】解： （1）2 5 = 34 + = 3， 2+得：9y9， 解得：y1， 把 y1 代入得：x1， 则方程组的解为 = 1 = 1； （2）方程组整理得：4 = 53 + 2 = 12， 2+得：11x22， 解得：x2， 把 x2 代入得：y3， 则方程组的解为 = 2 = 3 【方法总结】 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法 例 3（2020 春定州市校级期末）已知方程组5 2 = 3 + 5 =
34、4与 4 = 35 + = 1有相同的解，求 m 和 n 值 【解答】解：由已知可得5 2 = 3 4 = 3， 解得 = 1 = 1， 把 = 1 = 1代入剩下的两个方程组成的方程组 + 5 = 45 + = 1， 得 + 5 = 45 + = 1， 解得 m1，n4 【方法总结】 解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力 例 4（2020 秋太原期末）某景点的门票价格如下表： 购票人数（人） 150 5199 100 以上（含 100） 门票单价（元） 48 45 42 （1）某校七年级 1、2 两个班共有 102 人去游览该景点，其中 1 班人数少于 50
35、人，2 班人数多于 50 人且少于 100 人如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付 4737 元，两个班各有多少名学生？ （2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过 50 人，九年级的报名人数超过 50 人，但不超过 80 人若两个年级分别购票，总计支付门票费 4914 元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费 4452 元，问八年级、九年级各报名多少人？ 【解答】解： （1）设七年级 1 有 x 名学生，2 班有 y 名学生， 由题意得： + = 10248 + 45 = 4737， 解得： = 49 = 53， 答：七年级 1 有 49 名学生，2 班有
36、53 名学生； （2）设八年级报名 x 人，九年级报名 y 人， 分两种情况： 若 x+y100， 由题意得：48 + 45 = 491445( + ) = 4452， 解得： = 154 55， （不合题意舍去） ； 若 x+y100， 由题意得： ，48 + 45 = 491442( + ) = 4452， 解得： = 48 = 58，符合题意； 答：八年级报名 48 人，九年级报名 58 人 【方法总结】 本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解注意（2）要分两种情况作答 例 5 （2020越秀区校级二模）
37、今年是脱贫攻坚最后一年， 某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路， 现有甲、乙两个工程队若甲、乙合作，36 天可以完成，需用 600 万元；若甲单独做 20 天后，剩下的由乙做，还需 40 天才能完成，这样所需 550 万元 （1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？ 【解答】解： （1）设甲队单独完成此项工程需 x 天，乙队单独完成此项工程需 y 天， 由题意可得：1+1=13620+40= 1， 解得： = 180 = 45， 经检验，x180，y45 是原方程组的解， 答：甲队单独完成此项工程需 180 天，乙队单独完成此项工程需 45
38、天； （2）设甲队单独完成此项工程需 a 万元，乙队单独完成此项工程需 b 万元， 36 (180+45) = 60020 180+ 40 45= 550， 解得： = 1050 = 487.5， 答：甲队单独完成此项工程需 1050 万元，乙队单独完成此项工程需 487.5 万元， 【方法总结】 此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系此题用到的公式是：工作量问题：工作效率工作量工作时间 【随堂练习】 1 （2020 春雨花区校级期中） 下列等式： 2x+y4； 3xy7； x2+2y0； 12y； 2x+y+z1，二元一次方程的个数是
39、（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：2x+y4 是二元一次方程； 3xy7 是二元二次方程； x2+2y0 是二元二次方程； 12y 是分式方程； 2x+y+z1 是三元一次方程， 故选：A 2 （2020 秋肃州区期末）解方程组： （1）3 + 2 = 14 = + 3； （2）34= 13 4 = 2 【解答】解： （1）3 + 2 = 14 = + 3， 将代入，得：3（y+3）+2y14， 解得：y1， 将 y1 代入，得：x4， 则方程组的解为 = 4 = 1； （2）原方程组整理为4 3 = 123 4 = 2， 43，得：7x42， 解得：x6， 将 x6 代入，得：24
40、3y12， 解得：y4， 则方程组的解为 = 6 = 4 3 （2019 春大丰区期末） 已知关于 x、 y 的方程组4 + = 162 + = 4 + 2和3 + = 132 3 = 6的解相同， 求 a、 b 值 【解答】解：方程 4x+ay16 和 3x+ay13 相减，得 x3， 把 x3 代入方程 2x3y6，得 y4 把 x3，y4 代入方程组4 + = 162 + = 4 + 2，得 12 + 4 = 166 + 4 = 4 + 2 解这个方程组，得 a1，b2 4 （2020 秋普宁市期末）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买
41、 6 件甲种商品和 3 件乙种商品需 600 元；打折后，买 50 件甲种商品和 40 件乙种商品需 5200 元 （1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？ （2）某人购买甲种商品 80 件，乙种商品 100 件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？ 【解答】解： （1）设打折前甲种商品每件 x 元，乙种商品每件 y 元， 依题意，得：6 + 3 = 60050 0.8 + 40 0.75 = 5200， 解得： = 40 = 120 答：打折前甲种商品每件 40 元，乙种商品每件 120 元 （2）8040+100120800.8401000.751203640（元） 答：打折后购
42、买这些商品比不打折可节省 3640 元 知识点 5 不等式（组） 2. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2不等式的基本性质： （1）若，则+； （2）若，0 则 （或 ） ； （3）若，0 则 （或 ）. 3一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于 0 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 axb 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、秱项、合并同类项、系数化为 1. 4一元一次不等式组：几个
43、含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况： （已知） 的解集是，即“小小取小” ；的解集是，即“大大取大” ； 的解集是，即“大小小大中间找” ； 的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6求不等式（组）的特殊解： 不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7列不等式（组）解应用题的一般步骤： 审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量乊间
44、的关系；找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；设：设未知数（一般求什么，就设什么为；列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组） ；解：解所列出的不等式（组） ，写出未知数的值或范围；答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）. 【典例】 例 1（2020 秋肇源县期末）若 0m1，m、m2、1的大小关系是（ ） abaccbabcacbccacbabcacbccacbaxbabxaxbxaxaxbxbxaxbaxbxaxbxAmm21 Bm2m1 C1mm2 D1m2m 【解答】解：0m1，可得 m2m，11， 可得：m2m1 故选：B 【方法总结】 此题考查了不
45、等式的性质及有理数的乘方，属于基础题，关键是掌握当 0m1 时，m 的指数越大则数值越小，难度一般 例 2（2020 秋嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上 （1）3x+214； （2）1:22:131 【解答】解： （1）3x+214， 3x142， 3x12， x4， 表示在数轴上为： （2）两边同时乘 6 得：3（1+x）2（2x+1）6， 去括号得：3+3x4x26， 移项，合并同类项得x5， 解得 x5， 表示在数轴上为： 【方法总结】 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 例
46、3（2020 春海珠区校级月考）解下列不等式： （1）2x16； （2）;124;53； （3）解不等式组： 3( 2) 41+23 1，并在数轴上表示它的解集 【解答】解： （1）移项得：2x6+1， 合并得：2x5， 解得：x2.5； （2）去分母得：3（x1）2（4x5） ， 去括号得：3x38x10， 移项得：3x8x10+3， 合并得：5x7， 解得：x1.4； （3） 3( 2) 41+23 1， 由得：x1， 由得：x4， 解得：x1 【方法总结】 此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键 例 4 （2020 秋道里区期末） 某班班主任对
47、在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰 她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本 15 个，乙种笔记本 20 个，共花费 250 元；若购买甲种笔记本 10 个，乙种笔记本 25 个，共花费 225 元 （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共 35 个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过 300 元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？ 【解答】解： （1）设购买一个甲种笔记本需 x 元，一个乙种笔记本需 y 元， 由题意可得：15 + 20 = 25010 + 25 = 225， 解得： = 10 = 5， 答：
48、购买一个甲种笔记本需 10 元，一个乙种笔记本需 5 元； （2）设需要购买 a 个甲种笔记本， 由题意可得：10a+5（35a）300， 解得：a25， 答：至多需要购买 25 个甲种笔记本 【方法总结】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出正确的数量关系是本题的关键 【随堂练习】 1 （2020 秋萧山区期中）解下列不等式 （1）3x44+2（x2） ； （2）2:32;15+ 1 【解答】解： （1）去括号得，3x44+2x4， 移项得，3x2x44+4， 合并同类项，得 x4； （2）去分母，得 5（2+x）3（2x1）+15， 去括号，得 10+5x6x3+15
49、， 移项，得 5x6x3+1510， 合并同类项，得x2， x2 2 （2020 秋江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来 5 23( + 1)12 1 13 【解答】解：解不等式 5x23（x+1） ，得：x52， 解不等式;12113，得：x7， 则不等式组的解集为52x7， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 3 （2020 春沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气现有360 户申请了但还未改装的用户， 此外每天还有新的申请 已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排 2 个小组同时做，则 30 天可以改装
50、完所有新、旧申请；若再增加 3个小组同时做，则可以减少 20 天就改装完所有新、旧申请 （1）求该小区 7 天内有多少需要改装的新、旧申请用户？ （2）如果要求在 7 天内改装完所有新、旧申请，但前 3 天只能安排 4 个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？ 【解答】解： （1）设每天申请用户数为 x 户，安装小组每天安装量为 y 户，依题意得： 30 2 = 360 + 3010 5 = 360 + 10， 解得 = 4 = 8， 360+74388（户） 故该小区 7 天内有 388 需要改装的新、旧申请用户； （2）设最后几天需要增加 a 个小组，依题意得： 38
浙公网安备33030202001339号