1、第5讲 二次函数知识点1 二次函数图象和性质概念：一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.其中：x的最高次数为2且a0。1、2.二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中3.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.4. 二次函数的性质（1）当时，
2、抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 （2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值【典例】例1 当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，求实数m的值例2 在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线已知抛物线yx2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且MN10，那么点N的坐标是例3 已知：二次函数为yx2x+m，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方；（3）若抛物线与y轴交于A，过A作A
3、Bx轴交抛物线于另一点B，当SAOB4时，求此二次函数的解析式【随堂练习】1若二次函数ymx2+（m2）x+m的顶点在x轴上，则m2下列关于函数yx24x+6的四个命题：当x2时，y有最大值2；若函数图象过点（a，m0）和（b，m0+1），其中a0，b2，则ab；m为任意实数，x2m时的函数值大于x2+m时的函数值；若m2，且m是整数，当mxm+1时，y的整数值有（2m2）个上述四个命题中，其中真命题是（填写所有真命题的序号）3关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为非负数，则二次函数ya212a+39的最小值是（）A4B3C4D3知识点2 二次函数与方程不等式综合1、二次函数与x轴的
4、交点（二次函数与一元二次方程的关系）抛物线与x轴交点的个数由一元二次方程中的决定。若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若，抛物线图像与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，抛物线在x轴下方。2、二次函数与不等式的综合二次函数与一元二次不等式之间的关系若，的解集为； 的解集为。若，的解集为； 的无解。若，的解集为x可取任意实数。 的无解。【典例】例1（2020秋长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y（k2）x22kx+k的图象与坐标
5、轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A1B0C1D2例2（2020秋南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax24ax+3a（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为例3（2020秋抚顺县期末）如图，把抛物线m：y=12x2平移得到抛物线n，抛物线n与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），若它的顶点坐标为M（3，-92）（1）请直接写出抛物线n的解析式及它的对称轴；（2）请求出点A、点B的坐标，并指出当x满足什么条件时，抛物线n的函数值小于0？（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线n上的两点，且x1
6、x23，请比较y1、y2的大小关系（直接写结果）例4（2020秋柳江区期中）如图，二次函数yax2+bx+c经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求该二次函数的解析式（2）利用图象的特点填空当x时方程ax2+bx+c3当x时方程ax2+bx+c4不等式ax2+bx+c0的解集为；不等式4ax2+bx+c0的解集为【随堂练习】1（2020海珠区校级模拟）二次函数yax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m20有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A1B0C1D22（2020秋越秀区校级期中）已知二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过点（0，-32）（1）求二
7、次函数的解析式；（2）结合函数图象，当二次函数的图象位于x轴下方时，求自变量x的取值范围3（2020秋盐池县期末）已知二次函数yx2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程x2+bx+c0的解为；（2）求此抛物线的解析式；（3）当x为值时，y0；（4）若直线yk与抛物线没有交点，直接写出k的范围知识点3 二次函数的应用1、根据题意把具体问题抽象成二次函数问题，熟练掌握数学建模的基本技巧。2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。3、掌握用二次函数建立最优化问题的模型。【典例】例1（2020秋南京期末）某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当
8、销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件（1）当销售单价为58元时，每天销售量是件（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？例2（2020秋宽城区期末）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（1）求该抛物线所对应的函数表达式（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它
9、们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m的空隙现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度例3（2020秋台安县期中）为做好扶贫帮扶工作，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给被帮扶对象，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李师傅按照政策投资销售本市生产的一品牌牛奶已知这种品牌牛奶的成本价为每箱12元，出厂价为每箱16元，每天销售y（箱）与销售单价x（元）之间满足如图所示函数的关系（1）求y与x之间的一次函数关系式（2）如果李师傅想要每天获得
10、的利润是216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？（3）设李师傅每天获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【随堂练习】1（2020春渝中区校级月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是80m小球抛出后至3秒，速度越来越慢小球抛出6秒时速度为0小球的高度h30m时，t1.8s其中正确的是（）ABCD2（2020秋防城区期中）某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=-14x2，当涵洞水面宽AB为16m时，涵洞顶
11、点O至水面的距离为（）A6mB12mC16mD24m3（2020秋长春期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）252010（1）若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；求w与x之间的函数关系式；要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利
12、润是多少元？4（2020秋莫旗期末）如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为y=-14x2+4（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？ 综合运用1（2020秋绥棱县期末）函数y3x2与直线ykx+2的交点为（2，b），则k+b2（2021宝山区一模）如果抛物线ym（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向3（2021奉贤区一模）当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线如果抛物线C1：yx22x与抛物线C2是关
13、于直线x1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为4（2020秋镇原县期末）抛物线y=-12x2+x4的顶点坐标为5（2020秋呼和浩特期末）下列四个二次函数：yx2，y2x2，y=12x2，y3x2，其中抛物线开口按从大到小的顺序排列是6（2020秋西宁期末）如图，已知二次函数y1ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x1直线y2x+c与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论错误的是（）A2a+b0Bb24ac0Cab+c0D当0x3时，y1y27（2020春番禺区校级月考）如图抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，
14、q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集为（）Ax1Bx3Cx3或x1Dx1或x38（2020秋西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+2ax3a（a0）（1）求抛物线的对称轴及它与x轴两交点的坐标；（2）已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式ax2+2ax3a5的x的最大值为2，直接写出实数a的取值范围9（2020秋江岸区校级月考）如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为xm，平行于墙的一边长为ym（1）直接写出y与x满足的函数关
15、系式及x的取值范围；（2）求菜园面积S的最大值；（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为am的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为10（2020秋开福区校级月考）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，直接写出此时销售单价的取值范围第5讲 二次函数知识点1 二次函数图象和性质
16、概念：一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.其中：x的最高次数为2且a0。1、2.二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中3.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.4. 二次函数的性质（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随
17、的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 （2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值【典例】例1 当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，求实数m的值【解答】解：该抛物线的对称轴为：xm；a10，抛物线开口向下，当xm时，y随x的增大而增大；当xm时，y随x的增大而减小；当m1时，2x1，当x1时，y取得最大值，即（1m）2+m2+14，解得：m2当2m1时，xm时，y取得最大值，即m2+14，解得：m=-3或3（不合题意，舍去）；当m2时，x2时，y取得最大值，即（2m）2+m2+14，解得：m=-74
18、（不合题意，舍去）综上所述，实数m的值为2或-3【方法总结】该题主要考查了二次函数的最值及其应用问题；解题的关键是牢固掌握二次函数的单调性；借助分类讨论的数学思想逐一讨论解析例2 在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线已知抛物线yx2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且MN10，那么点N的坐标是（3，1）或（3，19）【解答】解：抛物线yx2+6x（x3）2+9，顶点M的坐标为（3，9），当点N在点M的下方时，MN10，N的坐标为（3，1），当点N在点M的上方时，MN10，N的坐标为（3，19），故答案为（3，1）或（3，19）【方法总结】本题属于新定义
19、题型，考查二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的图象与性质是解题的关键例3 已知：二次函数为yx2x+m，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方；（3）若抛物线与y轴交于A，过A作ABx轴交抛物线于另一点B，当SAOB4时，求此二次函数的解析式【解答】解：（1）a10，抛物线开口方向向上；对称轴为直线x=-121=12；41m-(-1)241=4m-14，顶点坐标为（12，4m-14）；（2）顶点在x轴上方时，4m-140，解得m14；（3）令x0，则ym，所以，点A（0，m），ABx轴，点A、B关于对称轴直线x=12对称，AB=1221，SAOB=
20、12|m|14，解得m8，所以，二次函数解析式为yx2x+8或yx2x8【方法总结】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴、顶点坐标公式，以及二次函数的对称性【随堂练习】1若二次函数ymx2+（m2）x+m的顶点在x轴上，则m2或23【解答】解：二次函数ymx2+（m2）x+m的顶点在x轴上，4mm-(m-2)24m=0，解得m2或23故答案为：2或232下列关于函数yx24x+6的四个命题：当x2时，y有最大值2；若函数图象过点（a，m0）和（b，m0+1），其中a0，b2，则ab；m为任意实数，x2m时的函数值大于x2+m时的函数值；若m2，且m是整数，当mxm+1
21、时，y的整数值有（2m2）个上述四个命题中，其中真命题是（填写所有真命题的序号）【解答】解：yx24x+6（x2）2+2，当x2时，y有最小值2，故错误；当x2+m时，y（2+m）24（2+m）+6，当x2m时，y（m2）24（m2）+6，（2+m）24（2+m）+6（m2）24（m2）+60，m为任意实数，x2+m时的函数值等于x2m时的函数值，故错误；抛物线yx24x+6的对称轴为x20，当x2时，y随x的增大而增大，x2时，y随x的增大而减小，a0，b2，ab；故正确；抛物线yx24x+6的对称轴为x2，a10，当x2时，y随x的增大而增大，当xm+1时，y（m+1）24（m+1）+6，
22、当xm时，ym24m+6，（m+1）24（m+1）+6m24m+62m3，m是整数，2m2是整数，y的整数值有（2m2）个；故正确故答案为：3关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为非负数，则二次函数ya212a+39的最小值是（）A4B3C4D3【解答】解：关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为非负数，x5a0，且5a2，解得：a5且a3，二次函数ya212a+39（a6）2+3，当a6时，y随a的增大而减小，a5且a3，a5时，二次函数ya212a+394最小，故选：A知识点2 二次函数与方程不等式综合1、二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）抛物线与x轴交
23、点的个数由一元二次方程中的决定。若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若，抛物线图像与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，抛物线在x轴下方。2、二次函数与不等式的综合二次函数与一元二次不等式之间的关系若，的解集为； 的解集为。若，的解集为； 的无解。若，的解集为x可取任意实数。 的无解。【典例】例1（2020秋长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y（k2）x22kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A1B
24、0C1D2【解答】解：函数y（k2）x22kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，k-20k0(-2k)2-4(k-2)k0，解得k0且k2，故选：C【方法总结】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答例2（2020秋南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax24ax+3a（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为43【解答】解：根题意知，当CDy轴时，线段CD最短点C的坐标为（2，4），点D的坐标为（0，4）将其代入yax24ax+3a，得3a4
25、，解得a=-43该抛物线解析式是：y=-43x2+163x4y=-43x2+163x4=-43（x2）2+43该抛物线的顶点坐标是（2，43）抛物线顶点纵坐标为43故答案是：43【方法总结】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解例3（2020秋抚顺县期末）如图，把抛物线m：y=12x2平移得到抛物线n，抛物线n与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），若它的顶点坐标为M（3，-92）（1）请直接写出抛物线n的解析式及它的对称轴；（2）请求出点A、点B的坐标，并指出当x满足什么条件时，抛物线n的函数值小于0？（3）若P（x1，y1），
26、Q（x2，y2）是抛物线n上的两点，且x1x23，请比较y1、y2的大小关系（直接写结果）【解答】解：（1）平移的后抛物线的顶点为P（3，-92）抛物线n的解析式为y=12（x+3）2-92或y=12x2+3x对称轴是直线x3；（2）抛物线n与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），当y0时，12x2+3x0解得x10，x26；A（6，0），B（0，0）当6x0时，二次函数y=12x2+3x的函数值小于0；（3）如图所示，当x1x23，y1y2【方法总结】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及
27、函数特征例4（2020秋柳江区期中）如图，二次函数yax2+bx+c经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求该二次函数的解析式（2）利用图象的特点填空当x0或2时方程ax2+bx+c3当x1时方程ax2+bx+c4不等式ax2+bx+c0的解集为x1或x3；不等式4ax2+bx+c0的解集为1x3且x1【解答】（1）解：（1）二次函数yax2+bx+c的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=1b=3c=-3，二次函数的解析式为：yx22x3；（2）由（1）知yx22x3，x22x33，解得x0或2，x22x34，解
28、得x1，故答案为0或2，1；从题中图象可知y0时，x的取值为x1或x3，4y0时，x的取值为1x3且x1故答案为x1或x3，1x3且x1【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及通过函数图象解函数值读懂函数图象中包含的条件以及题目的条件是解题的关键在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解【随堂练习】1（2020海珠区校级模拟）
29、二次函数yax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m20有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A1B0C1D2【解答】解：ax2+bx+m20有两个不相等的实数根，ax2+bx2m有两个不相等的实数根，令y1ax2+bx，y22m（表示与x轴平行的直线），y1与y2有两个交点，2m2，m0m是整数，m1，故选：C2（2020秋越秀区校级期中）已知二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过点（0，-32）（1）求二次函数的解析式；（2）结合函数图象，当二次函数的图象位于x轴下方时，求自变量x的取值范围【解答】解：（1）设该抛物线解析式是：ya（x+1）22（a0）把点（0，-
30、32）代入，得a（0+1）22=-32，解得a=12故该抛物线解析式是y=12（x+1）22（2）由（1）知，抛物线解析式是y=12（x+1）22由y=12（x+1）22=12（x1）（x+3）0知，抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），且抛物线开口向上，如图，所以，当二次函数的图象位于x轴下方时，自变量x的取值范围是：3x13（2020秋盐池县期末）已知二次函数yx2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程x2+bx+c0的解为1或3；（2）求此抛物线的解析式；（3）当x为值时，y0；（4）若直线yk与抛物线没有交点，直接写出k的范围【解答】解：（1）观察
31、图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x1和x3两点，方程的解为x11，x23，故答案为：1或3；（2）设抛物线解析式为y（x1）2+k，抛物线与x轴交于点（3，0），（31）2+k0，解得：k4，抛物线解析式为y（x1）2+4，即：抛物线解析式为yx2+2x+3；（3）若y0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x3或x1；（4）若直线yk与抛物线没有交点，则k4函数的最大值，即y4知识点3 二次函数的应用1、根据题意把具体问题抽象成二次函数问题，熟练掌握数学建模的基本技巧。2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。3、掌握用二次函数建立最优化问题的模型。【典例】例1（2020秋南京
32、期末）某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件（1）当销售单价为58元时，每天销售量是240件（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？【解答】解：（1）200+（6058）20240（件），故答案为：240；（2）设该品牌童装获得的利润为y（元），根据题意得，y（x40）（20x+1400）20x2+2200x56000，销售该品牌童装获得的利润y元与销售
33、单价x元之间的函数关系式为：y20x2+2200x56000；（3）根据题意得57x60，y20（x55）2+4500a200抛物线开口向下，当57x60时，y随x的增大而减小，当x57时，y有最大值为4420元商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元【方法总结】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题例2（2020秋宽城区期末）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为
34、y轴，建立平面直角坐标系（1）求该抛物线所对应的函数表达式（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m的空隙现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度【解答】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为ya（x6）2+7，将点C（0，1）代入上式，36a+71，解得a=-16，该抛物线所对应的函数表达式为y=-16(x-6)2+7（2）把y5代入y=-16(x-6)2+7中，-16(x-6)2+7=5，
35、解得x1=6+23，x2=6-23，6+23-(6-23)=43，所以两排灯之间的水平距离为43m；（3）把x2代入y=-16(x-6)2+7中，y=-16(2-6)2+7=133，133-13=4，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m【方法总结】此题主要考查了二次函数的应用，关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解例3（2020秋台安县期中）为做好扶贫帮扶工作，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给被帮扶对象，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李师傅按照政策投资销售本市生产的一品牌牛奶已知这种品牌牛奶的成本价为每箱12元，出厂价为每箱16元，每天销售y（
36、箱）与销售单价x（元）之间满足如图所示函数的关系（1）求y与x之间的一次函数关系式（2）如果李师傅想要每天获得的利润是216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？（3）设李师傅每天获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设ykx+b，根据题意，得：10k+b=6020k+b=30，解得k=-3b=90，y3x+90；（2）根据题意，得：（x12）（3x+90）216，解得：x124，x218，当x24时，y324+9018，此时政府承担的总差价为18（1612）72（元）；当x18时，y318+9036，此时政府承担的总差价为3
37、6（1612）144（元）；答：政府每天为他承担的总差价最少为72元；（3）w（x12）（3x+90）3x2+126x10803（x21）2+243，当x21时，w取得最大值243，答：当销售单价为21元时，每天可获得最大利润，最大利润是243元【方法总结】本题主要考查二次函数的应用，解题的额关键是掌握待定系数法求函数解析式、从题目中找到蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式【随堂练习】1（2020春渝中区校级月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是80m小球抛出后至3秒，速度越来越慢小球抛出6秒时
38、速度为0小球的高度h30m时，t1.8s其中正确的是（）ABCD【解答】解：由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在下落到地面又走了40m，共经过80m，故正确；小球抛出3秒后，速度越来越快；故正确；小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，小球抛出6秒时速度不为0，故错误；设函数解析式为ha（t3）2+40，将（0，0）代入得：0a（03）2+40，解得a=-409，函数解析式为h=-409（t3）2+40，当h30m时，30=-409（t3）2+40，解得：t4.5或t1.5，小球的高度h30m时，t1.5s或4.5s，故错误；综上，正确的有，故选：A2（2020秋防城区期中）某
39、涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=-14x2，当涵洞水面宽AB为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为（）A6mB12mC16mD24m【解答】解：依题意，设A点坐标为（8，y），代入抛物线方程得：y=-146416，即水面到桥拱顶点O的距离为16米故选：C3（2020秋长春期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）252010（1）若日销售
40、量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；求w与x之间的函数关系式；要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为ykx+b得20k+b=2030k+b=10，解得k=-1b=40，故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：yx+40；（2）依题意，设利润为w元，得w（x10）（x+40）x2+50x400；wx2+50x400（x25）2+225；10
41、当x25时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元4（2020秋莫旗期末）如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为y=-14x2+4（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？【解答】解：（1）由题意，得当x1时，y=-1412+4=3.75，3.75+25.754，能通过（2）由题意，得当x2.2时，y=-14(2.2)2+4=2.79，2.79+24.794，能通过 综合运用1（20
42、20秋绥棱县期末）函数y3x2与直线ykx+2的交点为（2，b），则k+b17【解答】解：将x2代入函数y3x2，得y32212，函数y3x2经过点（2，12），函数y3x2与直线ykx+2的交点为（2，b），b12，122k+2，k5，k+b5+1217，故答案为：172（2021宝山区一模）如果抛物线ym（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向向上【解答】解：由抛物线ym（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（1，m），顶点坐标在第二象限，m0，抛物线开口向上，故答案为：向上3（2021奉贤区一模）当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线如果抛物线C1：yx22x与抛物线C2是关于直线x1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为y（x+
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