1、 第第 7 讲讲 平行四边形平行四边形 知识点 1 一般的平行四边形 1. 平行四边形的性质与判定 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质： 如图，已知ABCD. 则ABCD，ADBC，AB=CD，AD=BC; DAB=DCB,ADC=ABC; OA=OC,OB=OD. 拓展：平行四边形的邻角互补； 平行四边形具有中心对称性（自身旋转 180后与原图形重合）. 平行四边形的判定方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是
2、平行四边形. 2. 两条平行线之间的距离 两条平行线中， 一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线之间的距离.如图： ABCD，EFCD. EF 是平行线 AB，CD 之间的距离. 结论：两条平行线之间的距离处处相等. 拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等. 3. 三角形的中位线 图形：D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 的中点. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE） 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DEBC，且 DE=12BC） 注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定迚行证明.（见课本
3、 P48 探究） 拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证） 【典例】 例 1（2020 春南岗区校级期中）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AGBD 于G，CHBD 于 H （1）求证：OGOH； （2）若BAC90，AOD120，请直接写出图中所有长度是 OG 长度 2 倍的线段 例 2（2020 春东坡区校级期中）在等边三角形 ABC 中，BC6cm，射线 AGBC，点 E 从点 A 出发，沿射线 AG 以 1cm/s 的速度运动， 同时点 F 从点 B 出发， 沿射线 BC 以 2cm/s
4、的速度运动， 设运动时间为 t，当 t 为（ ）s 时，以 A，F，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？ A2 B3 C6 D2 或 6 【随堂练习】 1 （2020 春惠州期末）如图，四边形 ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，P 为 AB 边上的一动点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，则对角线 PQ 的长的最小值是 2 （2020 春钦州期末）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD12cm，BC15cm，点 P 自点 A 向 D 以1cm/s 的速度运动，到 D 点即停止点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q
5、同时出发，设运动时间为 t（s） 当 t s 时，四边形 APQB 是平行四边形 知识点 2 矩形 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形 ABCD. 1. 矩形的性质 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 矩形的四个角都是直角； （BAD=ADC=DCB=CBA=90） 矩形的对角线相等； （AC=BD） 对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线） 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在 RtADC 中，DO 为斜边 AC 的中线， 则 DO=12AC） 拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直
6、角三角形. 2. 矩形的判定 矩形的判定方法： 有一个角时直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 三个角都是直角的四边形是矩形. 3. 拓展 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形. 【典例】 例 1（2020 春常州期中）如图，矩形 ABCD 中，BOC120，BD12，点 P 是 AD 边上一动点，则 OP的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 例 2（2020 春南京期末）如图，在ABCD 中，DE 平分ADB，交 AB 于点 E，BF 平分CBD，交 CD 于点 F （1）求证：DEBF； （2）若 ADBD，求证：四边形 DEBF 是矩形 【随堂练习】
7、 1.（2020 春蚌埠期末）如图，在 RtABC 中，A90，AB6，BC10，P 是 BC 边上的一点，作 PE垂直 AB，PF 垂直 AC，垂足分别为 E、F，求 EF 的最小值是 2.（2020 春横县期末）如图，已知 E 是矩形 ABCD 一边 AD 的中点，延长 AB 至点 F，连接 CE，EF，CF，得到CEF且 CD1，AF2，CF3 （1）求 BC 的长； （2）求证：CEEF 3 （2020遂宁）如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别是线段 BC、AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF （1）求证：BDEFAE； （2）求证
8、：四边形 ADCF 为矩形 知识点 3 菱形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形 ABCD. 1. 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 菱形的四条边都相等； （AB=BC=CD=AD） 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （ACBD，AC 是DAB 和DCB 的角平分线，BD 是ADC 和CBA 的角平分线） 对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直 线（AC，BD） ） 2. 菱形的判定 菱形的判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱
9、形； 四条边相等的四边形是矩形. 3. 拓展 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 菱形的面积等于两对角线乘积的一半. 【典例】 例 1（2020 春东坡区校级期中）如图，在菱形 ABCD 中，BAD80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，垂足为 E，连接 DF，则CFD 等于（ ） A50 B60 C70 D80 例 2（2020枣阳市校级模拟）如图，在ABCD 中，M，N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是菱形，这个条件是（ ） AOM=12AC BMBMO CBDAC DAMBCND 例 3（2020 春永
10、州期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 为斜边 AB 边上的中点，AEDC，CEDA （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）连接 DE，若 AC= 3，BC1求证：ADE 是等边三角形 【随堂练习】 1 （2020金牛区模拟）如图，在ABC 中，已知ACB90，A30，BC6，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为边作平行四边形 CDEB，当 AD 时，平行四边形 CDEB 为菱形 2 （2020 春呼和浩特期末）如图，E、F 分别是菱形 ABCD 的边 AB、AD 的中点，且 AB5，AC6 （1）OEF 是什么三角形？证明你的结论 （2）求线段 EF 的长 3
11、（2020 秋魏县月考）如图，AMBN，C 是 BN 上一点，ABBC，BD 平分ABN，分别交 AC，AM 于点 O，D，DEBD，交 BN 于点 E （1）求证：ADOCBO； （2）求证：四边形 ABCD 是菱形； （3）若 DEAB2，求菱形 ABCD 的面积 知识点 4 正方形 正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形 ABCD. 1. 正方形的性质 正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下： 正方形的对边平行且相等； （ABCD，AB=CD；BCAD，BC=AD） 正方形的四条边都相等； （AB=BC=CD=AD）
12、 正方形的四个角都是直角； （BAD=ADC=DCB=CBA=90） 正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； （AC=BD， ACBD，OA=OB=OC=OD，AC 是DAB 和DCB 的角平分线，BD 是ADC 和CBA 的角平分线） 对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它 的两条对角线所在的直线（AC，BD） ） 2. 正方形的判定 正方形的判定方法： 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形. 判定正方形的思路图： 3. 拓展 正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 【典例】 例 1
13、 （2020 春南宁期末）如图，在正方形 ABCD 中，AE，DF 相交于点 O 且 AFBE （1）求证：BAEADF； （2）若BAE30，AF2，求 OD 的长 例 2（2020 春嘉定区期末）已知平行四边形 ABCD，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 CACB，延长 BC至点 E，使 CEBC，连接 DE （1）当 ACBD 时，求证：BE2CD； （2）当ACB90时，求证：四边形 ACED 是正方形 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020 秋江岸区校级月考）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG，点 G 在 CD 上，AB5，CE2，T为 AF 的中点，则 CT 的长是（
14、 ） A72 B4 C29 D582 2 （2020 春唐河县期末）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 是 BD 延长线上的点，且ACE 是等边三角形 （1）求证：四边形 ABCD 是菱形 （2）若AED2EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形 3.（2020 春利州区期末）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB、BC 上，且 AEBF （1）试探索线段 AF、DE 的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接 EF、DF，分别取 AE、EF、FD、DA 的中点 H、I、J、K，则四边形 HIJK 是什么特殊平行四 边形？请在图中补全图形，并说明理由
15、 知识点 4 中点四边形 1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形. 如图，点 E，F，G，H 分别为四边形 ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 为中点四边形. 2. 常见中点四边形 四边形的中点四边形为平行四边形； 矩形的中点四边形为菱形； 菱形的中点四边形为矩形； 正方形的中点四边形为正方形； 等腰梯形的中点四边形为菱形； 对角线相等的中点四边形为菱形； 对角线互相垂直的中点四边形为矩形. 【典例】 例 1（2020 秋岐山县期中）如图，任意四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，连接 AC，BD，对于四边
16、形 EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A若 ACBD，则四边形 EFGH 为菱形 B若 ACBD，则四边形 EFGH 为矩形 C若 ACBD，且 ACBD，则四边形 EFGH 为正方形 D若 AC 与 BD 互相平分，且 ACBD，则四边形 EFGH 是正方形 例 2（2020 春海陵区校级期中）如图，O 为BAC 内一点，E、F、G、H 分别为 AB，AC，OC，OB 的中点 （1）求证：四边形 EFGH 为平行四边形； （2）当 ABAC，AO 平分BAC 时，求证：四边形 EFGH 为矩形 【随堂练习】 1 （2020 秋沈阳
17、月考）如图，在四边形 ABCD 中，ACBD7，点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点，连接 EG，HF，相交于点 O，则 EG2+FH2的值为（ ） A32 B41 C36 D49 2 （2020 春龙岩期末）如图，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点 （1）求证四边形 EFGH 是菱形； （2）若 AB3，BC4，求四边形 EFGH 的面积 综合运用 1.（2020 春东坡区期末）如图，平行四边形 ABCD 的周长为 40，BOC 的周长比AOB 的周长多 10，则BC 长为（ ） A20 B5 C10 D15 2
18、（2020工业园区一模）如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADBC，BCD90，ABC45，BD平分ABC，若 CD1cm，则 AC 等于（ ） A2 B3 C2cm D1cm 3 （2020 春防城港期末）如图，四边形 AFDC 是正方形，CEA 和ABF 都是直角，且点 E，A，B 三点共线，CE5，求 AB 的长 4 （2020 春秦淮区期末）如图，四边形 ABCD 是菱形，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，连接 EF、FG、GH、HE求证：四边形 EFGH 是矩形 5.（2020 春江汉区期末）如图，E，F 是ABCD 对角线 BD 上两点，且 BEDF （1
19、）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）连接 AC，若BAF90，AB4，AFAE3，求 AC 的长 第第 7 讲讲 平行四边形平行四边形 知识点 1 一般的平行四边形 1. 平行四边形的性质与判定 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质： 如图，已知ABCD. 则ABCD，ADBC，AB=CD，AD=BC; DAB=DCB,ADC=ABC; OA=OC,OB=OD. 拓展：平行四边形的邻角互补； 平行四边形具有中心对称性（自身旋转 180后与原图形重合）. 平行四边形的判定方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
20、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 2. 两条平行线之间的距离 两条平行线中， 一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线之间的距离.如图： ABCD，EFCD. EF 是平行线 AB，CD 之间的距离. 结论：两条平行线之间的距离处处相等. 拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等. 3. 三角形的中位线 图形：D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 的中点. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE） 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的
21、一半.（DEBC，且 DE=12BC） 注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定迚行证明.（见课本 P48 探究） 拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证） 【典例】 例 1（2020 春南岗区校级期中）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AGBD 于G，CHBD 于 H （1）求证：OGOH； （2）若BAC90，AOD120，请直接写出图中所有长度是 OG 长度 2 倍的线段 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，BODO， ABGCDH， AGBD
22、，CHBD， AGBCHD90， 在ABG 和CDH 中， = = = ， ABGCDH（AAS） ， BGDH， BOBGDODH， OGOH； （2）OGOH， GH2OG， AOD120，AGBD 于 G， OAG30， COAO2OG， 长度是 OG 长度 2 倍的线段为 GH，AO，CO 【方法总结】【方法总结】 本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具 例 2（2020 春东坡区校级期中）在等边三角形 ABC 中，BC6cm，射线 AGBC，点 E 从点 A 出发，沿 射线 AG 以 1cm/s 的速
23、度运动， 同时点 F 从点 B 出发， 沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动， 设运动时间为 t，当 t 为（ ）s 时，以 A，F，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？ A2 B3 C6 D2 或 6 【解答】解：当点 F 在 C 的左侧时，根据题意得：AEtcm，BF2tcm， 则 CFBCBF62t（cm） ， AGBC， 当 AECF 时，四边形 AECF 是平行四边形， 即 t62t， 解得：t2； 当点 F 在 C 的右侧时，根据题意得：AEtcm，BF2tcm， 则 CFBFBC2t6（cm） ， AGBC， 当 AECF 时，四边形 AEFC 是平行四边形， 即 t2t6，
24、 解得：t6； 综上可得：当 t2 或 6s 时，以 A、C、E、F 为顶点四边形是平行四边形， 故选：D 【方法总结】【方法总结】 此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用 【随堂练习】 1 （2020 春惠州期末）如图，四边形 ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，P 为 AB 边上的一动点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，则对角线 PQ 的长的最小值是 4 【解答】解：过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于点 H，如图： ADBC， ADCDCH，即ADP+PDCDCQ+QCH， PDC
25、Q， PDCDCQ， ADPQCH， 又PDCQ，ACHQ90， ADPHCQ（AAS） ， ADHC， AD1，BC3， BH4， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4 故答案为：4 2 （2020 春钦州期末）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD12cm，BC15cm，点 P 自点 A 向 D 以1cm/s 的速度运动，到 D 点即停止点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t（s） 当 t 5 s 时，四边形 APQB 是平行四边形 【解答】解：由题意可得 APtcm，CQ2tcm，BQ152t（cm） ，
26、 四边形 APQB 是平行四边形， APBQ， t152t， t5， 故答案为：5 知识点 2 矩形 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形 ABCD. 1. 矩形的性质 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 矩形的四个角都是直角； （BAD=ADC=DCB=CBA=90） 矩形的对角线相等； （AC=BD） 对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线） 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在 RtADC 中，DO 为斜边 AC 的中线， 则 DO=12AC） 拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为
27、直角三角形. 2. 矩形的判定 矩形的判定方法： 有一个角时直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 三个角都是直角的四边形是矩形. 3. 拓展 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形. 【典例】 例 1（2020 春常州期中）如图，矩形 ABCD 中，BOC120，BD12，点 P 是 AD 边上一动点，则 OP的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， OAOBOCOD=12BD6， BOC120AOD， OADODA30， 当 OPAD 时，OP 有最小值， OP=12OD3， 故选：A 【方法总结】【方法总结】 本题考查
28、了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键 例 2（2020 春南京期末）如图，在ABCD 中，DE 平分ADB，交 AB 于点 E，BF 平分CBD，交 CD 于点 F （1）求证：DEBF； （2）若 ADBD，求证：四边形 DEBF 是矩形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD， ADBCBD， DE 平分ADB，BF 平分CBD， EDB=12ADB，DBF=12CBD， EDBDBF， DEBF， 又ABCD， 四边形 DEBF 是平行四边形 DEBF （2）ADBD，DE 平分ADB， DEAB， 又四边形 DEBF 是平行四边
29、形， 四边形 DEBF 是矩形 【方法总结】【方法总结】 本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键 【随堂练习】 1.（2020 春蚌埠期末）如图，在 RtABC 中，A90，AB6，BC10，P 是 BC 边上的一点，作 PE垂直 AB，PF 垂直 AC，垂足分别为 E、F，求 EF 的最小值是 4.8 【解答】解：连接 AP， BAC90，PEAB，PFAC， BACAEPAFP90， 四边形 AFPE 是矩形， EFAP， 要使 EF 最小，只要 AP 最小即可， 当 APBC 时，AP 最小， 在
30、RtBAC 中，BAC90，AB6，BC10， 由勾股定理得：AC= 2 2= 102 62=8， 由三角形面积公式得：ABC 的面积=12ABAC=12BCAP， AP=6810=4.8， 即 EF4.8， 故答案为：4.8 2.（2020 春横县期末）如图，已知 E 是矩形 ABCD 一边 AD 的中点，延长 AB 至点 F，连接 CE，EF，CF，得到CEF且 CD1，AF2，CF3 （1）求 BC 的长； （2）求证：CEEF 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是矩形，CD1， AB1，ABCFBC90， AF2， BF1， RtCBF 中，FBC90，BF1，CF3， 根据勾股定
31、理得 CF2BC2+BF2， BC= 2 2= 32 12= 22， BC 的长是22； （2）证明：矩形 ABCD 中，ADBC= 22， E 是 AD 的中点， AEDE= 2， RtAEF 中，A90，AE1，AF2， 根据勾股定理得，EF= 2+ 2= 6， RtCDE 中，D90，CD1，DE1， 根据勾股定理得，EC= 2+ 2= 3， CEF 中，EC= 3，EF= 6，CF3， CE2+EF2CF2， CEF 是直角三角形， CEEF 3 （2020遂宁）如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别是线段 BC、AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点
32、 F，连接 CF （1）求证：BDEFAE； （2）求证：四边形 ADCF 为矩形 【解答】证明： （1）AFBC， AFEDBE， E 是线段 AD 的中点， AEDE， AEFDEB， BDEFAE（AAS） ； （2）BDEFAE， AFBD， D 是线段 BC 的中点， BDCD， AFCD， AFCD， 四边形 ADCF 是平行四边形， ABAC， ADBC， ADC90， 四边形 ADCF 为矩形 知识点 3 菱形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形 ABCD. 1. 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 菱形的四条边都相
33、等； （AB=BC=CD=AD） 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （ACBD，AC 是DAB 和DCB 的角平分线，BD 是ADC 和CBA 的角平分线） 对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直 线（AC，BD） ） 2. 菱形的判定 菱形的判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是矩形. 3. 拓展 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 菱形的面积等于两对角线乘积的一半. 【典例】 例 1（2020 春东坡区校级期中）如图，在菱形 ABCD 中，BAD8
34、0，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于 点 F，垂足为 E，连接 DF，则CFD 等于（ ） A50 B60 C70 D80 【解答】解：连接 BF，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， BAC=12BAD=128040，BCFDCFBAC，BCDC，ABC180BAD18080100， EF 是线段 AB 的垂直平分线， AFBF，ABFBAC40， CBFABCABF1004060， 在BCF 和DCF 中， = = = ， BCFDCF（SAS） ， CDFCBF60， CFD180CDFDCF180604080， 故选：D 【方法总结】 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质
35、、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键 例 2（2020枣阳市校级模拟）如图，在ABCD 中，M，N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是菱形，这个条件是（ ） AOM=12AC BMBMO CBDAC DAMBCND 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD 对角线 BD 上的两点 M、N 满足 BMDN， OBBMODDN，即 OMON， 四边形 AMCN 是平行四边形， BDAC， MNAC， 四边形 AMCN 是菱形 故选：C 【方法总
36、结】 本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 例 3（2020 春永州期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 为斜边 AB 边上的中点，AEDC，CEDA （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）连接 DE，若 AC= 3，BC1求证：ADE 是等边三角形 【解答】 （1）证明：AECD，CEAB， 四边形 ADCE 是平行四边形， 又ACB90，D 是 AB 的中点， CD=12ABBDAD， 平行四边形 ADCE 是菱形； （2）证明：在 RtABC 中，ACB90，AC= 3，BC1， AB= 2+ 2=(3)2+ 12=2，
37、 BC=12AB， CAB30， 四边形 ADCE 是菱形， EAD2CAB60，AEAD， ADE 是等边三角形 【方法总结】 本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键 【随堂练习】 1 （2020金牛区模拟）如图，在ABC 中，已知ACB90，A30，BC6，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为边作平行四边形 CDEB，当 AD 6 时，平行四边形 CDEB 为菱形 【解答】解：连接 CE 交 AB 于点 O，如图所示： RtABC 中，ACB90，A30，BC6， AB2BC12，AC= 2 2= 122 62=6
38、3， 若平行四边形 CDEB 为菱形时，CEBD，ODOB，CDCB， 12ABOC=12ACBC， OC=63612=33， OB= 2 2=62 (33)2=3， ADAB2OB12236， 故答案为：6 2 （2020 春呼和浩特期末）如图，E、F 分别是菱形 ABCD 的边 AB、AD 的中点，且 AB5，AC6 （1）OEF 是什么三角形？证明你的结论 （2）求线段 EF 的长 【解答】解： （1）OEF 是等腰三角形，理由如下： 四边形 ABCD 是菱形 ABAD， E、F 分别是 AB、AD 的中点， OE、OF 是ABD 的中位线， OE=12AD，OF=12AB， OEOF，
39、 OEF 是等腰三角形； （2）四边形 ABCD 是菱形， OAOC=12AC3，ACBD， AOB90， OB= 2 2= 52 32=4， BD2OB8， E、F 分别是 AB、AD 的中点， EF 是ABD 的中位线， EF=12BD4 3 （2020 秋魏县月考）如图，AMBN，C 是 BN 上一点，ABBC，BD 平分ABN，分别交 AC，AM 于点 O，D，DEBD，交 BN 于点 E （1）求证：ADOCBO； （2）求证：四边形 ABCD 是菱形； （3）若 DEAB2，求菱形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：ABBC，BD 平分ABN， AOCO AMBN， DACA
40、CB 在ADO 和CBD 中， =， = ， = ， ADOCBO（ASA） ； （2）证明：由（1）得ADOCBD ADCB 又AMBN， 四边形 ABCD 是平行四边形 ABBC， 四边形 ABCD 是菱形； （3）解：由（2）得四边形 ABCD 是菱形 ACBD，OBOD 又DEBD， ACDE 又AMBN， 四边形 ACED 平行四边形 ACDE2 AO1 在 RtAOB 中，由勾股定理得：BO= 2 2= 22 12= 3， BD2BO2 3 S菱形ABCD=12ACBD=12223 =2 3 知识点 4 正方形 正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图
41、：正方形 ABCD. 1. 正方形的性质 正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下： 正方形的对边平行且相等； （ABCD，AB=CD；BCAD，BC=AD） 正方形的四条边都相等； （AB=BC=CD=AD） 正方形的四个角都是直角； （BAD=ADC=DCB=CBA=90） 正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； （AC=BD， ACBD，OA=OB=OC=OD，AC 是DAB 和DCB 的角平分线，BD 是ADC 和CBA 的角平分线） 对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它 的两条对角线
42、所在的直线（AC，BD） ） 2. 正方形的判定 正方形的判定方法： 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形. 判定正方形的思路图： 3. 拓展 正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 【典例】 例 1 （2020 春南宁期末）如图，在正方形 ABCD 中，AE，DF 相交于点 O 且 AFBE （1）求证：BAEADF； （2）若BAE30，AF2，求 OD 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， BDAB90，ABAD， 又AFBE， 在ABE 与DAF 中 = = = 90 = ， ABEDAF（SAS） ， BAEADF； （2）
43、解：ABEDAF， BAEODA， DAO+ODA90， AOD90， BAE30，AF2， OF=12AF1，DF2AF4， ODDFOF3 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查了正方形的性质， 全等三角形的判定和性质， 三角形的内角和定理， 判断出DAFABE是解本题的关键 例 2（2020 春嘉定区期末）已知平行四边形 ABCD，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 CACB，延长 BC至点 E，使 CEBC，连接 DE （1）当 ACBD 时，求证：BE2CD； （2）当ACB90时，求证：四边形 ACED 是正方形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， 又ACBD
44、， 四边形 ABCD 是菱形 BCCD 又CEBC， BE2BC， BE2CD； （2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBE， 又CEBC， ADCE，ADCE， 四边形 ACED 是平行四边形 ACB90， 平行四边形 ACED 是矩形， 又CACB， CACE， 矩形 ACED 是正方形 【方法总结】【方法总结】 本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020 秋江岸区校级月考）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG，点 G 在 CD 上，AB5，CE2，T为 AF 的中点，则 CT
45、 的长是（ ） A72 B4 C29 D582 【解答】解：连接 AC、CF，如图， 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形， AC= 2AB52，CF= 2CE22，ACD45，GCF45， ACF45+4590， 在 RtACF 中，AF=(52)2+ (22)2= 58， T 为 AF 的中点， CT=12AF=582 故选：D 2 （2020 春唐河县期末）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 是 BD 延长线上的点，且ACE 是等边三角形 （1）求证：四边形 ABCD 是菱形 （2）若AED2EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形 【解答】证明： （1
46、）ABCD， AOOC， ACE 是等边三角形， EOAC （三线合一） 即 BDAC， ABCD 是菱形； （2）ACE 是等边三角形，EAC60 由（1）知，EOAC，AOOC AEOOEC30，AOE 是直角三角形 EAO60， AED2EAD， EAD15， DAOEAOEAD45， ABCD 是菱形， BAD2DAO90， 菱形 ABCD 是正方形 3.（2020 春利州区期末）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB、BC 上，且 AEBF （1）试探索线段 AF、DE 的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接 EF、DF，分别取 AE、EF、FD、DA 的中
47、点 H、I、J、K，则四边形 HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由 【解答】解： （1）AFDE ABCD 是正方形， ABAD，DABABC90， AEBF， DAEABF， AFDE （2）四边形 HIJK 是正方形 如下图，H、I、J、K 分别是 AE、EF、FD、DA 的中点， HIKJ=12AF，HKIJ=12ED， AFDE， HIKJHKIJ， 四边形 HIJK 是菱形， DAEABF， ADEBAF， ADE+AED90， BAF+AED90， AOE90 KHI90， 四边形 HIJK 是正方形 知识点 4 中点四边形 1. 中点四边形：顺次连接四边形
48、各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形. 如图，点 E，F，G，H 分别为四边形 ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 为中点四边形. 2. 常见中点四边形 四边形的中点四边形为平行四边形； 矩形的中点四边形为菱形； 菱形的中点四边形为矩形； 正方形的中点四边形为正方形； 等腰梯形的中点四边形为菱形； 对角线相等的中点四边形为菱形； 对角线互相垂直的中点四边形为矩形. 【典例】 例 1（2020 秋岐山县期中）如图，任意四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，连接 AC，BD，对于四边形 EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手
49、实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A若 ACBD，则四边形 EFGH 为菱形 B若 ACBD，则四边形 EFGH 为矩形 C若 ACBD，且 ACBD，则四边形 EFGH 为正方形 D若 AC 与 BD 互相平分，且 ACBD，则四边形 EFGH 是正方形 【解答】解：A当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在 EFFGGHHE，故四边形 EFGH 为菱形，故本选项不符合题意； B、当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在EFGFGHGHE90，故四边形 EFGH 为矩形，故本选项不符合题意； C、当 E，F，G，H 是四
50、边形 ABCD 各边中点，且 ACBD，且 ACBD，存在 EFFGGHHE，EFGFGHGHE90，故四边形 EFGH 为正方形，故本选项不符合题意； D、当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 AC 与 BD 互相平分，且 ACBD，故四边形 EFGH为菱形，故本选项符合题意； 故选：D 【方法总结】 本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关 例 2（2020 春海陵区校级期中）如图，O 为BAC 内一点，E、F、G、H 分别为 AB，AC，OC，OB 的中点 （1）求证：四边形 EFGH 为平行四边形； （2）当 ABAC，AO 平
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