1、 第第 8 讲讲 圆圆 知识点 1 圆的有关性质 1. 基本性质 圆心角的度数和它所对弧的度数相等； 同圆或等圆的半径相等； 圆既是轴对称图形（无数条对称轴） ，又是中心对称图形，具有旋转丌变性； 圆内接四边形的对角互补. 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量也分别相等. 3. 圆周角 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是 90，90的圆周角所对的弦
2、是直径； 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧丌一定是等弧. 【典例】 例 1（2020 秋滨海新区期中）如图，MN 是O 的直径，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是的中点，点 B是点 B 关于 MN 的对称点，O 的半径为 1，则 AB的长等于（ ） A1 B2 C3 D2 例 2（2020 秋高新区期中）如图，AB 为O 的直径，C，D 为圆上的两点，OCBD，弦 AD，BC 相交于点 E （1）求证：= ； （2）若 CE2，EB6，求O 的半径 【随堂练习】 1 （2020 秋青田县期末）如图，
3、在O 中，ABCD求证：ADBC 2 （2021硚口区模拟）如图，O 中的弦 ABCD，AB 与 CD 相交于点 E求证： （1）ACBD； （2）CEBE 知识点 2 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（丌是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【典例】【典例】 例 1（2019 秋温州月考）如图，AB 是O 直径，弦 CDAB 于点 E，过点 C 作 DB 的垂线，交 AB 的延长线于点 G，垂足为点 F，连结
4、AC （1）求证：ACCG； （2）若 CD8，OG10，求O 的半径 例 2（2020东莞市一模）如图，在O 中，半径为 5，弦 AB6，点 C 在 AB 上移动，连接 OC，则 OC 的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020海淀区校级模拟）如图，已知O 的半径为 6，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD，若AOB 与COD 互补，弦 CD6，则弦 AB 的长为（ ） A6 B8 C33 D63 2 （2020河北模拟）如图所示，在O 中，AB 为弦，OCAB 交 AB 于点 D且 ODDCP 为O 上任意一点，连接 PA，PB，若O 的
5、半径为 1，则 SPAB的最大值为（ ） A1 B233 C334 D332 知识点 3 圆的切线 1. 点、直线不圆的位置关系 设O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d1，圆心 O 到直线 l 的距离为 d2. 点 P 在O 外rd1； 点 P 在O 上rd1； 点 P 在O 内rd1； 直线 l 和O 相交rd2； 直线 l 和O 相切rd2； 直线 l 和O 相离rd2. 2. 切线的性质不判定 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论：经过圆心且垂直于切线的直径必过切点； 经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心. 切线的判定方法： 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
6、 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线； 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常做辅助线：连接圆心和切点. 3. 切线长即切线长定理 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点不切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【典例】 例 1（2020 秋白云区期末）如图，已知 RtABC 中，C90，A30，AC6，以点 B 为圆心，3为半径作B，则点 C 与B 的位置关系是（ ） A点 C 在B 内 B点 C 在B 上 C点 C 在B 外 D无法确定 例 2（
7、2020 秋河东区期末）如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在O 上，过点 B 作O 的切线交 OA 的延长线于点 D若O 的半径为 1，则 BD 的长为（ ） A1 B2 C3 D2 例 3（2020 秋和平区期末）已知O 的直径 AB4，C 为O 上一点，AC2 （1）如图，点 P 是上一点，求APC 的大小； （2）如图，过点 C 作O 的切线 MC，过点 B 作 BDMC 于点 D，BD 与O 交于点 E，求DCE的大小及 CD 的长 例 4（2020 秋集贤县期末）如图，在ABC 中，ABAC，BAC54，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E，过点 B 作直线
8、 BF，交 AC 的延长线于点 F （1）求证：BECE； （2）若 AB6，求弧 DE 的长； （3）当F 的度数是多少时，BF 与O 相切，证明你的结论 【随堂练习】 1 （2020 秋永年区期末） 若点 B （a， 0） 在以 A （1， 0） 为圆心， 2 为半径的圆内， 则 a 的取值范围为 （ ） Aa1 Ba3 C1a3 Da1 且 a0 2（2020 秋绥棱县期末） 如图， AB 是O 的直径， CD 切O 于点 C， 若BCD25， 则B 等于 （ ） A25 B65 C75 D90 3 （2020 秋新抚区期末）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，CF 为O 的
9、切线，OEAB 于点O，分别交 AC，CF 于 D，F 两点 （1）求证：EDEC； （2）若 EC1，A30，求图中阴影部分的面积 4 （2020 秋金昌期末）已知：如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 P，PDAC 于 点 D （1）求证：PD 是O 的切线； （2）若CAB120，AB6，求 BC 的值 知识点 4 三角形的外心与内心 1. 确定圆的条件 丌在同一直线上的三个点确定一个圆. 反证法：丌直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论丌成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设丌正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法. 2. 三角形
10、的外心 外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图： 性质：外心到三角形三个顶点的距离相等. 3. 三角形的内心 内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图： 性质：内心到三角形三边的距离相等. 拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和不斜边的差的一半. 【典例】 例 1（2020 秋常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是点 A（3，0） 、点 B（1，2） 、点 C（3，2） ，则ABC 的外心的坐标是（ ） A （0，1） B （0，0） C （1，1） D （1，2） 例 2（2020随州）设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的
11、半径、外接圆的半径分别为 h、r、R，则下列结论不正确的是（ ） AhR+r BR2r Cr=34a DR=33a 【随堂练习】 1 （2020道外区三模）如图，ABC 内接于O，ABAC，直径 AD 交 BC 于点 E，若 DE1，cosBAC=23，则弦 BC 的长为 2 （2020济宁）如图，在ABC 中，点 D 为ABC 的内心，A60，CD2，BD4则DBC 的面积是（ ） A43 B23 C2 D4 知识点 5 与圆有关的计算 1. 多边形不圆 在正 n 变形中，Rn为正 n 边形的半径，有下列关系： 边长：an=2Rnsin180n； 周长：Pn=nan； 边心距：rn=Rnco
12、s180n； 面积：Sn=12anRnn； 内角度数：(n2)180n； 外角度数：360n； 中心角度数：360n. 2. 弧长不扇形的面积 若一条弧所对的圆心角是 n，半径是 R，弧长 l=nR180. 若一个扇形的圆心角是 n，半径是 R，弧长为 l，则 S扇形=nR360=12lR. 拓展：S弓形=S扇形S. 3. 圆锥的侧面积不全面积 若一个圆锥的底面半径为 r，母线长为 a，则 S全=S侧+S底=ra+r. 【典例】 例 1 （2020姑苏区一模）如图，扇形 OAB 中，AOB90，以 AO 为直径作半圆，若 AO1，则阴影部分的周长为（ ） A B+1 C2+1 D2+2 例 2
13、 （2020吴江区一模）如图 A、B、C 在O 上，连接 OA、OB、OC，若BOC3AOB，劣弧 AC 的度数是 120o，OC23则图中阴影部分的面积是（ ） A123 B23 C323 D433 【随堂练习】 1 （2020 秋九龙坡区校级月考）如图，扇形的圆心角为 90，半径 OC4，AOC30，CDOB 于点 D，则阴影部分的面积是 2 （2020益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角AOB90，测得的长为 36cm，则的长为 cm 综合运用 1 （2020资中县一模）已知O 中最长的弦长 8cm，则O 的半径是（ ） A2cm B4cm C8cm D16cm 2 （20
14、20 秋定西期末）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P（4，3）在O 内，则O 的半径 r 的取值范围是（ ） A0r4 B3r4 C4r5 Dr5 3 （2020 春沙坪坝区校级月考）如图，一张扇形纸片 OAC，AOC120，OA8，连接 AB，BC，AC，若 OAAB，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ） 4 （2020 秋崆峒区期末）如图，AB，CD 为O 内两条相交的弦，交点为 E，且 ABCD，求证：ADBC 5 （2020 秋路北区期末）如图，AD 是O 的弦，AC 是O 直径，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 B，切点为 D，DAC30 （1）求证：ADB 是等腰三角
15、形； （2）若 BC= 3，则 AD 的长为 6. （2020 秋同心县期末）如图，AB 是O 的直径，点 F、C 是半圆弧 ABC 上的三等分点，连接 AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AB4，求 AC 的长 第第 8 讲讲 圆圆 知识点 1 圆的有关性质 1. 基本性质 圆心角的度数和它所对弧的度数相等； 同圆或等圆的半径相等； 圆既是轴对称图形（无数条对称轴） ，又是中心对称图形，具有旋转丌变性； 圆内接四边形的对角互补. 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
16、弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量也分别相等. 3. 圆周角 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是 90，90的圆周角所对的弦是直径； 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧丌一定是等弧. 【典例】 例 1（2020 秋滨海新区期中）如图，MN 是O 的直径，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是的中点，点 B是点 B 关于 MN 的对称点，
17、O 的半径为 1，则 AB的长等于（ ） A1 B2 C3 D2 【解答】解：连接 OB、OB， 点 A 是半圆上一个三等分点， AON60， 点 B 是的中点， BON30， 点 B是点 B 关于 MN 的对称点， BON30， AOB90， AB= 12+ 12= 2， 故选：B 【方法总结】 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键 例 2（2020 秋高新区期中）如图，AB 为O 的直径，C，D 为圆上的两点，OCBD，弦 AD，BC 相交于点 E （1）求证：= ； （2）
18、若 CE2，EB6，求O 的半径 【解答】 （1）证明：OCOB， OBCOCB， OCBD， OCBCBD， OBCCBD， = ； （2）连接 AC， CE2，EB6， BC8， = ， CADABC， ACBACB， ACEBCA， =，即2=8， 解得，AC2， AB 是直径， ACB90， AB= 2+ 2=45， O 的半径为 25 【方法总结】 本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质求出 AC 的长是解题的关键 【随堂练习】 1 （2020 秋青田县期末）如图，在O 中，ABCD求证：ADBC 【解答】证明：ABCD， = ， = ，即= ， ADB
19、C 2 （2021硚口区模拟）如图，O 中的弦 ABCD，AB 与 CD 相交于点 E求证： （1）ACBD； （2）CEBE 【解答】证明： （1）ABCD， = ， 即+ = + ， = ， ACBD； （2）= ， ADCDAB， EAED， ABCD， 即 AE+BECE+DE， CEBE 知识点 2 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（丌是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【典例】【典例】 例 1（20
20、19 秋温州月考）如图，AB 是O 直径，弦 CDAB 于点 E，过点 C 作 DB 的垂线，交 AB 的延长线于点 G，垂足为点 F，连结 AC （1）求证：ACCG； （2）若 CD8，OG10，求O 的半径 【解答】 （1）证明：DFCG，CDAB， DEBBFG90， DBEGBF， DG， AD， AG， ACCG （2）解：设O 的半径为 r则 AGOA+OGr+10， CACG，CDAB， AEEG=+102，ECED4， OEAEOA=102， 在 RtOEC 中，OC2OE2+EC2， r2（102）2+42， 解得 r=10+4373或104373（舍弃） ， O 的半径为
21、437103 【方法总结】【方法总结】 本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 例 2（2020东莞市一模）如图，在O 中，半径为 5，弦 AB6，点 C 在 AB 上移动，连接 OC，则 OC 的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：连接 OA，过点 O 作 OHAB 于 H OHAB， AHHB3，AHO90， OA5， OH= 2 2= 52 32=4， 根据垂线段最短可知 OC 的最小值4， 故选：B 【方法总结】【方法总结】 本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
22、助线，构造直角三角形解决问题 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020海淀区校级模拟）如图，已知O 的半径为 6，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD，若AOB 与COD 互补，弦 CD6，则弦 AB 的长为（ ） A6 B8 C33 D63 【解答】解：作 OEAB 于点 E， O 的半径为 6，弦 CD6， OCODCD， DOC 是等边三角形， DOC60， AOB 与COD 互补， AOB120， OAOB， OABOBA30， OA6，OEAB， AEOAcos30632=33， AB2AE63， 故选：D 2 （2020河北模拟）如图所示，在O 中，AB 为弦，OCAB
23、 交 AB 于点 D且 ODDCP 为O 上任意一点，连接 PA，PB，若O 的半径为 1，则 SPAB的最大值为（ ） A1 B233 C334 D332 【解答】解：连接 OA，如图， OCAB， ADBD， ODDC， OD=12OA=12， AD= 2 2=32，AB2AD= 3 当点 P 为 AB 所对的优弧的中点时，APB 的面积最大，此时 PDPO+OD1+12=32 APB 的面积的最大值为=12 =12 3 32=334 故选：C 知识点 3 圆的切线 1. 点、直线不圆的位置关系 设O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d1，圆心 O 到直线 l 的距离为 d2.
24、 点 P 在O 外rd1； 点 P 在O 上rd1； 点 P 在O 内rd1； 直线 l 和O 相交rd2； 直线 l 和O 相切rd2； 直线 l 和O 相离rd2. 2. 切线的性质不判定 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论：经过圆心且垂直于切线的直径必过切点； 经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心. 切线的判定方法： 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线； 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常做辅助线：连接圆心和切点. 3. 切线长即切线长定理 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点不切点之间的
25、线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【典例】 例 1（2020 秋白云区期末）如图，已知 RtABC 中，C90，A30，AC6，以点 B 为圆心，3为半径作B，则点 C 与B 的位置关系是（ ） A点 C 在B 内 B点 C 在B 上 C点 C 在B 外 D无法确定 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于 D， RtABC 中，C90，A30，AC6， BC=33AC23， 以点 B 为圆心，3 为半径作B， Rd， 点 C 在B 外 故选：C 【方法总结】 题主要考查了点与圆的位置关系，解决此
26、类问题可通过比较圆心到点的距离 d 与圆半径大小关系完成判定 例 2（2020 秋河东区期末）如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在O 上，过点 B 作O 的切线交 OA 的延长线于点 D若O 的半径为 1，则 BD 的长为（ ） A1 B2 C3 D2 【解答】解：连接 OB， BD 是O 的切线， OBD90， 四边形 OABC 为菱形， OAAB， OAOB， OAOBAB， OAB 为等边三角形， AOB60， ODB30， OD2OB2， 由勾股定理得，BD= 2 2= 3， 故选：C 【方法总结】 本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于
27、经过切点的半径是解题的关键 例 3（2020 秋和平区期末）已知O 的直径 AB4，C 为O 上一点，AC2 （1）如图，点 P 是上一点，求APC 的大小； （2）如图，过点 C 作O 的切线 MC，过点 B 作 BDMC 于点 D，BD 与O 交于点 E，求DCE的大小及 CD 的长 【解答】解： （1）连接 OC， AB 为O 的直径，AB2AC， OAOCAC， AOC 是等边三角形， AOC60， APC=12AOC30； （2）连接 OE，OC， MC 是O 的切线， MCOC， BDMC， MCOCDB90， BDOC， BAOC60， OBOE， EOB 是等边三角形， EOB
28、60， COE180EOBAOC60， OCOE， OCE 是等边三角形， CEOC2，EOC60， DCE90ECO30， 在 RtCOE 中，CE2， DE=12CE1， CD= 2 2= 22 12= 3 【方法总结】 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 例 4（2020 秋集贤县期末）如图，在ABC 中，ABAC，BAC54，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E，过点 B 作直线 BF，交 AC 的延长线于点 F （1）求证：BECE； （2）若 AB6，求弧 DE 的长； （3）当F 的度数是多少时，B
29、F 与O 相切，证明你的结论 【解答】 （1）证明：连接 AE，如图， AB 为O 的直径， AEB90， AEBC， ABAC， BECE； （2）解：ABAC，AEBC， AE 平分BAC， CAE=12BAC=125427， DOE2CAE22754， 弧 DE 的长=543180=910； （3）解：当F 的度数是 36时，BF 与O 相切 理由如下：BAC54， 当F36时，ABF90， ABBF， BF 为O 的切线 【方法总结】 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理 【随堂练习】 1 （2020 秋永年区期末） 若点 B （a
30、， 0） 在以 A （1， 0） 为圆心， 2 为半径的圆内， 则 a 的取值范围为 （ ） Aa1 Ba3 C1a3 Da1 且 a0 【解答】解：点 B（a，0）在以点 A（1，0）为圆心，以 2 为半径的圆内， |a1|2， 1a3 故选：C 2（2020 秋绥棱县期末） 如图， AB 是O 的直径， CD 切O 于点 C， 若BCD25， 则B 等于 （ ） A25 B65 C75 D90 【解答】解：连接 OC，如图， CD 切O 于点 C， OCCD， OCD90， OCB90BCD902565， OBOC， BOCB65 故选：B 3 （2020 秋新抚区期末）如图，AB 是O
31、的直径，点 C 为O 上一点，CF 为O 的切线，OEAB 于点O，分别交 AC，CF 于 D，F 两点 （1）求证：EDEC； （2）若 EC1，A30，求图中阴影部分的面积 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图所示： CF 为O 的切线， OCCE， OCA+ACE90， OEAB， OAC+ODA90， OAOC， OACOCA， ACEODACDE， EDEC； （2）解：A30，AOD90， ADOCDEACE60， CED60，EOC30， OCE90， OCCEtan601 3 = 3， 图中阴影部分的面积SCOES扇形COD=12OCCE30(3)2360=324 4 （20
32、20 秋金昌期末）已知：如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 P，PDAC 于点 D （1）求证：PD 是O 的切线； （2）若CAB120，AB6，求 BC 的值 【解答】 （1）证明：ABAC， BC， OPOB， BOPB， OPBC， OPAC， PDAC， OPPD， PD 是O 的切线； （2）解：连结 AP，如图， AB 为直径， APB90， BPCP， CAB120， BAP60， 在 RtBAP 中，AB6，B30， AP=12AB3， BP= 3AP33， BC2BP63 知识点 4 三角形的外心与内心 1. 确定圆的条件 丌在同一直线上的三个
33、点确定一个圆. 反证法：丌直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论丌成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设丌正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法. 2. 三角形的外心 外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图： 性质：外心到三角形三个顶点的距离相等. 3. 三角形的内心 内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图： 性质：内心到三角形三边的距离相等. 拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和不斜边的差的一半. 【典例】 例 1（2020 秋常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是点 A（3，0） 、点 B（1
34、，2） 、点 C（3，2） ，则ABC 的外心的坐标是（ ） A （0，1） B （0，0） C （1，1） D （1，2） 【解答】解：点 P 到ABC 三个顶点距离相等， 点 P 是线段 BC、AB 的垂直平分线的交点， 由图可知，点 P 的坐标为（1，2） ， 故选：D 【方法总结】 本题考查的是三角形外心的概念及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 例 2（2020随州）设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h、r、R，则下列结论不正确的是（ ） AhR+r BR2r Cr=34a DR=33a 【解答】解
35、：如图，ABC 是等边三角形， ABC 的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为 O， 设 OEr，AOR，ADh， hR+r，故 A 正确； ADBC， DAC=12BAC=126030， 在 RtAOE 中， R2r，故 B 正确； ODOEr， ABACBCa， AE=12AC=12a， （12a）2+r2（2r）2， （12a）2+（12R）2R2， r=36，R=33a，故 C 错误，D 正确； 故选：C 【方法总结】 本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系，等边三角形的内心与外心重合，是三条角平分线的交点；由等腰三角形三线合一的特殊性得出 30角和 60，利用直角三角形 30的性质
36、或三角函数得出 R、r、h 的关系 【随堂练习】 1 （2020道外区三模）如图，ABC 内接于O，ABAC，直径 AD 交 BC 于点 E，若 DE1，cosBAC=23，则弦 BC 的长为 25 【解答】解：ABC 内接于O，ABAC， = ， AD 是O 的直径， BECE，ADBC， 过 B 作 BFAC 于 F，连接 BD， cosBAC=23， 故设 AF2x，AB3x， AC3x， CFx， BF= 2 2= 5x， tanC= 5， DC， tanD= 5， DE1， BE= 5， BC25， 故答案为：25 2 （2020济宁）如图，在ABC 中，点 D 为ABC 的内心，A
37、60，CD2，BD4则DBC 的面积是（ ） A43 B23 C2 D4 【解答】解：过点 B 作 BHCD 的延长线于点 H 点 D 为ABC 的内心，A60， DBC+DCB=12（ABC+ACB）=12（180A） ， BDC90+12A90+1260120， 则BDH60， BD4， DH2，BH23， CD2， DBC 的面积=12CDBH=12 2 23 =23， 故选：B 知识点 5 与圆有关的计算 1. 多边形不圆 在正 n 变形中，Rn为正 n 边形的半径，有下列关系： 边长：an=2Rnsin180n； 周长：Pn=nan； 边心距：rn=Rncos180n； 面积：Sn=
38、12anRnn； 内角度数：(n2)180n； 外角度数：360n； 中心角度数：360n. 2. 弧长不扇形的面积 若一条弧所对的圆心角是 n，半径是 R，弧长 l=nR180. 若一个扇形的圆心角是 n，半径是 R，弧长为 l，则 S扇形=nR360=12lR. 拓展：S弓形=S扇形S. 3. 圆锥的侧面积不全面积 若一个圆锥的底面半径为 r，母线长为 a，则 S全=S侧+S底=ra+r. 【典例】 例 1 （2020姑苏区一模）如图，扇形 OAB 中，AOB90，以 AO 为直径作半圆，若 AO1，则阴影部分的周长为（ ） A B+1 C2+1 D2+2 【解答】解：扇形 OAB 中，A
39、OB90，AO1， 阴影部分的周长=12+901180+1+1， 故选：B 【方法总结】【方法总结】 本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键 例 2 （2020吴江区一模）如图 A、B、C 在O 上，连接 OA、OB、OC，若BOC3AOB，劣弧 AC 的度数是 120o，OC23则图中阴影部分的面积是（ ） A123 B23 C323 D433 【解答】解：设 OB 与 AC 相交于点 E，如图 劣弧 AC 的度数是 120o， AOC120， OAOC， OCAOAC30 COB3AOB，劣弧 AC 的度数是 120o， AOCAOB+3AOB120， AOB30， CO
40、BAOCAOB90， 在 RtOCE 中，OC23， OEOCtanOCE23tan3023 33=2， SOEC=12OEOC=12223 =23， S扇形OBC=90(23)2360=3， S阴影S扇形OBCSOEC323 故选：C 【方法总结】【方法总结】 本题考查了扇形面积的计算，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差 【随堂练习】 1 （2020 秋九龙坡区校级月考）如图，扇形的圆心角为 90，半径 OC4，AOC30，CDOB 于点 D，则阴影部分的面积是 8323 【解答】解：AOB90，AOC30， BCO903060， CDO
41、B， CDO90， OCD30， OD=12OC2，CDOCcos3023， S阴S扇形OCBSOCD=604236012223 =8323 故答案为8323 2 （2020益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角AOB90，测得的长为 36cm，则的长为 12 cm 【解答】解： 法一：的长为 36cm， 270180=36， OA=18036270， 则的长为：90180=9018018036270=12（cm） ； 法二：与所对应的圆心角度数的比值为 270：903：1， 与的弧长之比为 3：1， 的弧长为 36312（cm） ， 故答案为：12 综合运用 1 （2020资中县
42、一模）已知O 中最长的弦长 8cm，则O 的半径是（ ） A2cm B4cm C8cm D16cm 【解答】解：O 中最长的弦为 8cm，即直径为 8cm， O 的半径为 4cm 故选：B 2 （2020 秋定西期末）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P（4，3）在O 内，则O 的半径 r 的取值范围 是（ ） A0r4 B3r4 C4r5 Dr5 【解答】解：点 P（4，3） ， PO= 42+ 32=5， 点 P 在O 内， rOP，即 r5， 故选：D 3 （2020 春沙坪坝区校级月考）如图，一张扇形纸片 OAC，AOC120，OA8，连接 AB，BC，AC，若 OAAB，则图中阴影
43、部分的面积为 323 （结果保留 ） 【解答】解：OAAB，OAOB， OAOBAB， AOB 是等边三角形， AOBABO60， AOC120， BOC1206060， ABOBOC60， ABOC， SABCSABO， S阴S扇形AOB=6082360=323 故答案为323 4 （2020 秋崆峒区期末）如图，AB，CD 为O 内两条相交的弦，交点为 E，且 ABCD，求证：ADBC 【解答】解：ABCD， = ， = ， 即= ， AB， ADBC 5 （2020 秋路北区期末）如图，AD 是O 的弦，AC 是O 直径，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 B，切点为 D，DAC3
44、0 （1）求证：ADB 是等腰三角形； （2）若 BC= 3，则 AD 的长为 3 【解答】 （1）证明：连接 OD， DAC30， ADODAC30，DOC60， BD 是O 的切线， ODBD，即ODB90， B30， DACB， DADB， 即ADB 是等腰三角形 （2）解：连接 DC， DACB30， DOC60， ODOC， DOC 是等边三角形， ，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 B，切点为 D， BCDCOC= 3， AD= 2 2=(23)2 (3)2= 3， 故答案为：3 6. （2020 秋同心县期末）如图，AB 是O 的直径，点 F、C 是半圆弧 ABC 上的三等分点，连接 AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AB4，求 AC 的长 【解答】 （1）证明：连结 OC，如图， F，C，B 三等分半圆， FACBAC， OAOC， OACOCA， FACOCA， OCAF， CDAF， OCCD， CD 是O 的切线； （2）解：连结 BC，如图， AB 为直径， ACB90， F，C，B 三等分半圆， BOC=1318060， BAC30， AB4， BC=12AB2， AC= 2 2= 42 22=23
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