1、 第第 1 13 3 讲讲 动点问题动点问题 知识点 1 动点问题中的函数图象 本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到正确选项。 【典例】 例 1（2020 秋中原区校级期中）如图 1，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点 P、Q 同时从点 B 出发，点P沿折线BEEDDC运动到点C时停止， 点Q沿BC运动到点C停止， 它们运动的速度都是1cm/s 设P、Q 出发 ts 时，BP
2、Q 的面积为 ycm2，已知 y 与 t 的函数关系如图 2 所示（其中曲线 OM 为抛物线的一部分， 其余各部分均为线段） ， 当点 P 在 ED 上运动时， 连接 QD， 若 QD 平分PQC， 则 t 的值为 （ ） A1425 B1325 C1225 D1125 例 2（2020 秋台安县期中）如图，已知 OA2，OB4，AOB 的平分线交 AB 于点 C，点 C 坐标为（43，43） ，一动点 P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 y 轴向点 B 做匀速运动，一动点 Q 同时从 O点出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 A 做匀速运动， 作点 P， Q 关
3、于直线 OC 的对称点 M、 N，设点P运动时间为t （0t2） ， MNC与OAB重叠部分的面积为S， 则S关于t的函数关系图象是 （ ） A B C D 例 4（2020 秋沈阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx 过点 A（6，m） ，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 B，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为点 CAOB60， CDOA 于点 D 动点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动， 动点 Q 从点 A 出发 以每秒3个单位长度的速度向点 B 运动 点P，Q 同时开始运动，当点 P 到达点 A 时，点 P，Q 同时停止运动，设运动时间为 t（s
4、） ，且 t0 （1）求 m 与 k 的值； （2）当点 P 运动到点 D 时，求 t 的值； （3）连接 DQ，点 E 为 DQ 的中点，连接 PE，当 PEDQ 时，请直接写出点 P 的坐标 【随堂练习】 1 （2020 秋安徽月考）如图，ABC 中，CACB5cm，AB8cm，直线 l 经过点 A 且垂直于 AB，现将直线 l 以 1cm/s 的速度向右匀速移动，直至经过点 B 时停止移动，直线 l 与边 AB 交于点 M，与边 AC（或CB）交于点 N若直线 l 移动的时间是 x（s） 、AMN 的面积为 y（cm2） ，则 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A B C D 2
5、（2020南海区一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB= 3，BC2，E 为 BC 的中点，连接 AE、DE，点 P，点 Q 分别是 AE、DE 上的点，且 PEDQ设EPQ 的面积为 y，PE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 3 （2020 秋城关区校级月考）如图，直线 y= 12 + 4与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 yx 交于点 C，在如图线段 OA 上， 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点A 出发向点 O 做匀速运动，当点 P，Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 做
6、 x轴的垂线，交直线 AB、OC 于点 E，F，连接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外） （1）求点 P 运动的速度是多少？ （2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？ （3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值 知识点 2 动点与存在性问题 在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边
7、形； 根据题干要求找出符合条件的平行四边形； 第二种是：以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；根据题干要求找出符合条件的平行四边形； （3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解. 【典例】 例 1（2020郴州）如图 1，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C已知直线 ykx+n 过
8、B，C 两点 （1）求抛物线和直线 BC 的表达式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点 如图 1，若点 P 在第一象限内，连接 PA，交直线 BC 于点 D设PDC 的面积为 S1，ADC 的面积为 S2，求12的最大值； 如图 2，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 E，过点 E 作 EFBC，垂足为 F点 Q 是对称轴 l 上的一个动点，是否存在以点 E，F，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由 例 2（2020怀化）如图所示，抛物线 yx22x3 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为抛物线的顶点 （1）
9、求点 C 及顶点 M 的坐标 （2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN、CN，求BCN 面积的最大值及此时点 N 的坐标 （3）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B、C、D、G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理由 （4）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【随堂练习】 1 （2020菏泽）如图，抛物线 yax2+bx6 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴
10、相交于点 C，OA2，OB4，直线 l 是抛物线的对称轴，在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D，连接 AD，BD，BC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 在 x 轴的下方，当BCD 的面积是92时，求ABD 的面积； （3）在（2）的条件下，点 M 是 x 轴上一点，点 N 是抛物线上一动点，是否存在点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点，以 BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 2 （2019 秋锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交
11、于点 C （1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当 x 满足什么值时 y0？ （2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 3 （2020 春临川区校级月考）已知抛物线 l：yax2+bx+c（a，b，c 均不为 0）的顶点为 M，与 y 轴的交点为 N，我们称以 N 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 M 的抛物线为抛物线 l 的衍生抛物线，
12、直线 MN 为抛物线 l 的衍生直线 （1）如图，抛物线 y2x22x3 的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ； （2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是 y2x2+1 和 y2x+1，求这条抛物线的解析式； （3）如图，设（1）中的抛物线 y2x22x3 的顶点为 M，与 y 轴交点为 N，将它的衍生直线 MN 先绕点 N 旋转到与 x 轴平行，再沿 y 轴向上平移 1 个单位得直线 n，P 是直线 n 上的动点，是否存在点 P，使POM 为直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 综合运用 1 （2020 秋海淀区期中）如图，菱形 ABCD 对角线
13、AC，BD 相交于点 O，点 P，Q 分别在线段 BO，AO上，且 PQAB以 PQ 为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段 AC，BD 上，设 BPx，新 作菱形的面积为 y，则反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是 （ ） A B C D 2 （2020郑州校级模拟）如图 1，点 A 是O 上一定点，圆上一点 P 从圆上一定点 B 出发，沿逆时针方向运动到点 A，运动时间是 x（s） ，线段 AP 的长度是 y（cm） 图 2 是 y 随 x 变化的关系图象，则点 P 的运动速度是（ ） A1cm/s B2cm/s C2cm/s D32cm/s 3 （2020三水区校级二模）如图
14、，在矩形 ABCD 中，AB6cm，AD3cm，点 E 是 AB 的中点，点 P 沿 EADC 以 1cm/s 的速度运动，连接 CE、PE、PC，设PCE 的面积为 ycm2，点 P 运动的时间为 t秒，则 y 与 x 的函数图象大致为（ ） A B C D 4 （2020 春崇川区校级期中）如图，在矩形 ABCD 中，动点 P 从 A 出发，以恒定的速度，沿 ABCDA 方向运动到点 A 处停止设点 P 运动的路程为 xPAB 面积为 y，若 y 与 x 的函数图象如图所示，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A36 B54 C72 D81 5 （2020 春林州市期中）如图，正方形 ABD
15、E 的边长为 4cm，点 F 是对角线 AD、BE 的交点，BDC 是等腰直角三角形，BDC90动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿折线 ABBCCD 运动，到达点 D 时停止设点 P 运动 x（秒）时，AFP 的面积为 y（cm2） ，则能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是（ ） A B C D 6 （2020金华模拟）如图，点 A（1，0） ，点 P 是射线 AO 上一动点（不与 O 点重合） ，过点 P 作直线 yx 的平行线交 y 轴于 C，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 yx 于 B，连结 AB，AC，BC （1）当点 P 在线段 OA 上且 APPC 时，
16、AB：BC （2）当ABC 与OPC 相似时，P 点的横坐标为 7 （2020 秋渝中区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+62与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 的坐标为（0，22） ，点 D 在 x 轴上，CDAB （1）点 E 在 CD 上，其横坐标为 42，点 F、G 分别是 x 轴、y 轴上的动点，连接 EF，将DEF 沿 EF翻折得DEF，点 P 是直线 BD 上的一个动点，当|PAPC|最大时，求 PG+GD的最小值； （2）将 CD 绕点 D 逆时针旋转 90得直线 CD，点 M、N 分别是直线 CD 与直线 AB 上的动点，当CMN 是以 CN
17、为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点 M 的坐标 8 （2020烟台模拟）如图，抛物线 yax2+43x+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，2） ，连接 AC点 P 是 x 轴上的动点 （1）求抛物线的表达式； （2） 过点 P 作 x 轴的垂线， 交线段 AC 于点 D， E 为 y 轴上一点， 连接 AE， BE， 当 ADBE 时， 求 AD+AE的最小值； （3）点 Q 为抛物线上一动点，是否存在点 P，使得以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 9 （2020温州模拟）已知，如图，抛
18、物线 yx2+bx+c 经过直线 yx+3 与坐标轴的两个交点 A，B此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C抛物线的顶点为 D （1）求此抛物线的解析式 （2）若点 M 为抛物线上一动点，是否存在点 M使ACM 与ABC 的面积相等？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第第 1313 讲讲 动点问题动点问题 知识点 1 动点问题中的函数图象 本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到
19、正确选项。 【典例】 例 1（2020 秋中原区校级期中）如图 1，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点 P、Q 同时从点 B 出发，点P沿折线BEEDDC运动到点C时停止， 点Q沿BC运动到点C停止， 它们运动的速度都是1cm/s 设P、Q 出发 ts 时，BPQ 的面积为 ycm2，已知 y 与 t 的函数关系如图 2 所示（其中曲线 OM 为抛物线的一部分， 其余各部分均为线段） ， 当点 P 在 ED 上运动时， 连接 QD， 若 QD 平分PQC， 则 t 的值为 （ ） A1425 B1325 C1225 D1125 【解答】解：由题意可得， BE5，BC12， 当 t5
20、 时，S10， 10=52，得 AB4， 作 EHBC 于点 H，作 EFPQ，P1Q2EF，作 DGP1Q2于点 G， 则 EHAB4，BEBF5， EHB90， BH= 52 42=3， HF2， EF= 22+ 42=25， P1Q225， 设当点 P 运动到 P1时，Q2D 平分P1Q2C， 则 DGDC4，P1D17AEEP1123（t5）14t， (14;)2 4 =2542， 解得：t1425， 故选：A 【方法总结】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 例 2（2020 秋台安县期中）如图，已知 OA2，OB4，
21、AOB 的平分线交 AB 于点 C，点 C 坐标为（43，43） ，一动点 P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 y 轴向点 B 做匀速运动，一动点 Q 同时从 O点出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 A 做匀速运动， 作点 P， Q 关于直线 OC 的对称点 M、 N，设点P运动时间为t （0t2） ， MNC与OAB重叠部分的面积为S， 则S关于t的函数关系图象是 （ ） A B C D 【解答】解：如图 1，过点 C 作 CFx 轴于点 F，CEy 轴于点 E， 由题意 P（0，2t） 、Q（t，0） 对称轴 OC 为第一象限的角平分线， 对称点坐标为：M（
22、2t，0） ，N（0，t） 当 0t1 时，如图 1 所示，点 M 在线段 OA 上，重叠部分面积为 SCMN SCMNS四边形CMONSOMN（SCOM+SCON）SOMN（122t43+12t43）122ttt2+2t； 当 1t2 时， 如图 2 所示， 点 M 在 OA 的延长线上， 设 MN 与 AB 交于点 D， 则重叠部分面积为 SCDN 设直线 MN 的解析式为 ykx+b，将 M（2t，0） 、N（0，t）代入得2 + = 0 = ，解得 = 12 = ， y= 12x+t； 同理求得直线 AB 的解析式为：y2x+4 联立 y= 12x+t 与 y2x+4，求得点 D 的横
23、坐标为8;23 SCDNSBDNSBCN=12（4t） 8;2312（4t）43=13t22t+83 综上所述，S= 2+ 2(0 1)132 2 +83(12) 观察图象，可知当 t1 时，S 有最大值，最大值为 1， 故选：C 【方法总结】 本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点正确地进行分类讨论，是解决本题的关键 例 4（2020 秋沈阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx 过点 A（6，m） ，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 B，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为点 CAOB60， CDOA 于点 D 动点 P
24、 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动， 动点 Q 从点 A 出发 以每秒3个单位长度的速度向点 B 运动 点P，Q 同时开始运动，当点 P 到达点 A 时，点 P，Q 同时停止运动，设运动时间为 t（s） ，且 t0 （1）求 m 与 k 的值； （2）当点 P 运动到点 D 时，求 t 的值； （3）连接 DQ，点 E 为 DQ 的中点，连接 PE，当 PEDQ 时，请直接写出点 P 的坐标 【解答】解： （1）ABOB， ABO90， AOB60， BAO30， A（6，m） ， OB6，ABm， OA2OB12，AB63， m63，即 A（6，63） ， 直线 y
25、kx 过点 A（6，63） ， 6k63， k= 3； （2）如图 1，ABy 轴， CODBAO30， CDOA， CDO90， OCAB63， CD=12OC33，OD= 3CD9， 当点 P 运动到点 D 时，OPOD9， t=92； （3）如图 2，连接 PQ，过点 P 作 PFAB 于 F， 由题意得：OP2t，AQ= 3t， RtACD 中，ACD30，AC6， AD3， PDOAADOP122t392t， E 是 DQ 的中点，PEDQ， PQPD92t， RtAPF 中，BAO30， PF=12AP=12(12 2) =6t， AQ= 3t，BF= 3t， FQABAQBF63
26、 3t3t63 23t， RtPQF 中，由勾股定理得：PQ2FQ2+PF2， （92t）2（63 23t）2+（6t）2， 解得：t13（如图 3，此时 F 与 Q 重合） ，t2=73， 如图 4，过点 P 作 PMx 轴于点 M， RtOPM 中，POM30， OM=12OPt，PM= 3t； P（3，33）或（73，733） 【方法总结】 本题考查了一次函数和矩形的综合题，考查了矩形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，几何动点问题，确定两动点的速度和行驶路线是关键，第三问有难度，注意有两种情况，利用数形结合的思想是本题的关键 【随堂练习】 1 （2020 秋安徽月考）如图，ABC
27、 中，CACB5cm，AB8cm，直线 l 经过点 A 且垂直于 AB，现将直线 l 以 1cm/s 的速度向右匀速移动，直至经过点 B 时停止移动，直线 l 与边 AB 交于点 M，与边 AC（或CB）交于点 N若直线 l 移动的时间是 x（s） 、AMN 的面积为 y（cm2） ，则 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A B C D 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于 D， 在等腰ABC 中，AC5，AD=12AB4，则 CD3， 在 RtACD 中，tanA=34=tanB， （1）当 0 x4，如图 1， tanA=34=，即 MN=34x， y=12AMMN=12x34x=
28、38x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为 y 轴，位于 y 轴的右侧抛物线的一部分； （2）当 4x8 时， 同理：y=12x34（8x）= 38x2+3x， 该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为 x4， 故选：C 2 （2020南海区一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB= 3，BC2，E 为 BC 的中点，连接 AE、DE，点 P，点 Q 分别是 AE、DE 上的点，且 PEDQ设EPQ 的面积为 y，PE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：BC2，E 为 BC 的中点，则 BE1， 在 RtABE 中，AE= 3，BE1，则 A
29、E2， 同理可得 ED2AEAD， 故ADE 为等边三角形，则AED60， PEQDx，则 QE2x， 在PQE 中，过点 P 作 PHED 于点 H， 则 PHPEsinAEDxsin60=32x， 则 y=12PHEQ=1232x（2x）= 34x2+32x， 该函数为开口向下的抛物线，x1 时，y 的最大值为34， 故选：A 3 （2020 秋城关区校级月考）如图，直线 y= 12 + 4与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 yx 交于点 C，在如图线段 OA 上， 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点A 出发向点 O 做匀速运动，当
30、点 P，Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 做 x轴的垂线，交直线 AB、OC 于点 E，F，连接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外） （1）求点 P 运动的速度是多少？ （2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？ （3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值 【解答】解： （1）直线 y= 12x+4 与坐标轴分别交于点 A、B， x0 时，y4，y0 时，x8， 点 A（8，0） ，点 B（0，4） ， BO4，AO8， =12， 当 t 秒时，QOFQt，则 EPt， EPB
31、O， =12， AP2t， 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动， 点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度； （2）如图 1，当 PQPE 时，矩形 PEFQ 为正方形， OQFQt，PA2t， QP8t2t83t， 83tt， 解得：t2； 如图 2，当 PQPE 时，矩形 PEFQ 为正方形， OQt，PA2t， OP82t， QPt（82t）3t8， t3t8， 解得：t4， 综上所述：当 t2 或 4 时，矩形 PEFQ 为正方形； （3）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时， OQt，PA2t， QP8t2t83t， S矩形PEFQQPQF（83
32、t） t8t3t2， 当 t= 82(3)=43时， S矩形PEFQ的最大值=4(3)0644(3)=163， 如图 2，当 Q 在 P 点的右边时， OQt，PA2t， 2t8t， t83， QPt（82t）3t8， S矩形PEFQQPQF（3t8） t3t28t， 当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动， 83t4， t4 时，S矩形PEFQ的最大值3428416， 综上所述，当 t4 时，S矩形PEFQ的最大值16 知识点 2 动点与存在性问题 在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再
33、去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形； 根据题干要求找出符合条件的平行四边形； 第二种是：以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；根据题干要求找出符合条件的平行四边形； （3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解. 【典例】 例 1（2020郴州）如图 1
34、，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C已知直线 ykx+n 过 B，C 两点 （1）求抛物线和直线 BC 的表达式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点 如图 1，若点 P 在第一象限内，连接 PA，交直线 BC 于点 D设PDC 的面积为 S1，ADC 的面积 为 S2，求12的最大值； 如图 2，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 E，过点 E 作 EFBC，垂足为 F点 Q 是对称轴 l 上的一个动点，是否存在以点 E，F，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】
35、解： （1）把 A（1，0） ，B（3，0）代入 yax2+bx+3 得： + 3 = 09 + 3 + 3 = 0， 解得 = 1 = 2 抛物线的表达式为 yx2+2x+3， 点 C 坐标为（0，3） ， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入 ykx+n 得：3 + = 0 = 3， 解得 = 1 = 3 直线 BC 的表达式为 yx+3 （2）PA 交直线 BC 于点 D， 设点 D 的坐标为（m，m+3） ， 设直线 AD 的表达式为 yk1x+b1， 1+ 1= 01+ 1= + 3， 解得，1=+3+11=+3+1 直线 AD 的表达式，y=+3+1x+3+1， ;:3:1x+3+
36、1= x2+2x+3， 整理得， （x4+1） （x+1）0 解得 x=4+1或1（不合题意，舍去） ， 点 D 的横坐标为 m，点 P 的横坐标为4:1， 分别过点 D、P 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，如图 1 中： DMPN，OMm，ON=4+1，OA1， 12=4+1;:1=;2:3(:1)2， 设12=t，则 t=2+3(+1)2 整理得， （t+1）m2+（2t3）m+t0， 0， （2t3）24t（t+1）0， 解得 t916 12有最大值，最大值为916 存在，理由如下：过点 F 作 FGOB 于 G，如图 2 中， yx2+2x+3 的对称轴为 x1， OE1， B（
37、3，0） ，C（0，3） OCOB3， 又COB90， OCB 是等腰直角三角形， EFB90，BEOBOE2， EFB 是等腰直角三角形， FGGBEG1， 点 F 的坐标为（2，1） ， 当 EF 为边时， 四边形 EFPQ 为平行四边形， QEPF，QEPFy 轴， 点 P 的横坐标与点 F 的横坐标同为 2， 当 x2 时，y22+22+33， 点 P 的坐标为（2，3） ， QEPF312， 点 Q 的坐标为（1，2） ， 根据对称性当 P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形 EFQP 也是平行四边形 当 EF 为对角线时，如图 3 中， 四边形 PEQF 为平行四边形， QEPF，
38、QEPFy 轴， 同理求得：点 P 的坐标为（2，3） ， QEPF312， 点 Q 的坐标为（1，2） ； 综上，点 P 的坐标为（2，3）时，点 Q 的坐标为（1，2）或（1，2） ，P（0，3）时，Q（1，4） 【方法总结】 本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的判定和性质， （3）注意要分 EF 是对角线与边两种情况讨论 例 2（2020怀化）如图所示，抛物线 yx22x3 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为 抛物
39、线的顶点 （1）求点 C 及顶点 M 的坐标 （2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN、CN，求BCN 面积的最大值及此时点 N 的坐标 （3）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B、C、D、G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理由 （4）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）令 yx22x3 中 x0，此时 y3， 故 C 点坐标为（0，3） ，
40、 又yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点 M 的坐标为（1，4） ； （2）过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，连接 BN，CN，如图 1 所示： 令 yx22x30， 解得：x3 或 x1， B（3，0） ，A（1，0） ， 设直线 BC 的解析式为：yax+b， 将 C（0，3） ，B（3，0）代入直线 BC 的解析式得：3 = 0 = 3 + ， 解得： = 1 = 3， 直线 BC 的解析式为：yx3， 设 N 点坐标为（n，n22n3） ，故 Q 点坐标为（n，n3） ，其中 0n3， 则 = + =12 ( ) +12 ( ) =12 ( + ) =12 ( )
41、， （其中 xQ，xC，xB分别表示 Q，C，B 三点的横坐标） ，且 QN（n3）（n22n3）n2+3n，xBxC3， 故=12 (2+ 3) 3 = 322+92 = 32( 32)2+278，其中 0n3， 当 =32时，SBCN有最大值为278， 此时点 N 的坐标为（32，154） ， （3）设 D 点坐标为（1，t） ，G 点坐标为（m，m22m3） ，且 B（3，0） ，C（0，3） 分情况讨论： 当 DG 为对角线时，则另一对角线是 BC，由中点坐标公式可知： 线段 DG 的中点坐标为(+2，+2)，即(1+2，+2232)， 线段 BC 的中点坐标为(+2，+2)，即(3+
42、02，032)， 此时 DG 的中点与 BC 的中点为同一个点， 1+2=32+2232= 32，解得 = 2 = 0， 经检验，此时四边形 DCGB 为平行四边形，此时 G 坐标为（2，3） ； 当 DB 为对角线时，则另一对角线是 GC，由中点坐标公式可知： 线段 DB 的中点坐标为(+2，+2)，即(1+32，+02)， 线段 GC 的中点坐标为(+2，+2)，即(+02，22332)， 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， 1+32=+02+02=22332，解得 = 4 = 2， 经检验，此时四边形 DCBG 为平行四边形，此时 G 坐标为（4，5） ； 当 DC 为对角线
43、时，则另一对角线是 GB，由中点坐标公式可知： 线段 DC 的中点坐标为(+2，+2)，即(1+02，32)， 线段 GB 的中点坐标为(+2，+2)，即(+32，223+02)， 此时 DC 的中点与 GB 的中点为同一个点， 1+02=+3232=223+02，解得 = 2 = 8， 经检验，此时四边形 DGCB 为平行四边形，此时 G 坐标为（2，5） ； 综上所述，G 点坐标存在，为（2，3）或（4，5）或（2，5） ； （4）连接 AC，OP，如图 2 所示： 设 MC 的解析式为：ykx+m， 将 C（0，3） ，M（1，4）代入 MC 的解析式得：3 = 4 = + ， 解得：
44、= 1 = 3 MC 的解析式为：yx3，令 y0，则 x3， E 点坐标为（3，0） ， OEOB3，且 OCBE， CECB， CBEE， 设 P（x，x3） ， 又P 点在线段 EC 上， 3x0， 则 = ( + 3)2+ ( 3)2= 2( + 3)， = 32+ 32= 32， 由题意知：PEO 相似于ABC， 分情况讨论： PEOCBA， =， 34=2(:3)32， 解得 = 34，满足3x0，此时 P 的坐标为(34，94)； PEOABC， =， 332=2(:3)4， 解得 x1，满足3x0，此时 P 的坐标为（1，2） 综上所述，P 点的坐标为(34，94)或（1，2）
45、 【方法总结】 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的性质、 相似三角形的性质和判定、 等腰三角形的判定与性质等知识； 本题综合性较强， 具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题 【随堂练习】 1 （2020菏泽）如图，抛物线 yax2+bx6 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，OA2，OB4，直线 l 是抛物线的对称轴，在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D，连接 AD，BD，BC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 在 x 轴的下方，当BCD 的面积是92时，求ABD
46、 的面积； （3）在（2）的条件下，点 M 是 x 轴上一点，点 N 是抛物线上一动点，是否存在点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点，以 BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）OA2，OB4， A（2，0） ，B（4，0） ， 把 A（2，0） ，B（4，0）代入抛物线 yax2+bx6 中得：4 2 6 = 016 + 4 6 = 0， 抛物线的解析式为：y=34x232x6； （2）如图 1，过 D 作 DGx 轴于 G，交 BC 于 H， 当 x0 时，y6， C（0，6） ， 设 BC 的解析式为：ykx+n， 则
47、= 64 + = 0，解得： =32 = 6， BC 的解析式为：y=32x6， 设 D（x，34x232x6） ，则 H（x，32x6） ， DH=32x6（34x232x6）= 342+ 3， BCD 的面积是92， 12 =92， 12 4 (342+ 3) =92， 解得：x1 或 3， 点 D 在直线 l 右侧的抛物线上， D（3，154） ， ABD 的面积=12 =12 6 154=454； （3）分两种情况： 如图 2，N 在 x 轴的上方时，四边形 MNBD 是平行四边形， B（4，0） ，D（3，154） ，且 M 在 x 轴上， N 的纵坐标为154， 当 y=154时，
48、即34x232x6=154， 解得：x1+14或 114， N（114，154）或（1+14，154） ； 如图 3，点 N 在 x 轴的下方时，四边形 BDNM 是平行四边形，此时 M 与 O 重合， N（1，154） ； 综上，点 N 的坐标为： （114，154）或（1+14，154）或（1，154） 2 （2019 秋锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当 x 满足什么值时 y0？ （2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点
49、P，使ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）将 A（3，0） ，B（1，0）代入 yax2+bx+2， 得9 3 + 2 = 0 + + 2 = 0， 解得，a= 23，b= 43， 抛物线解析式为：y= 23x243x+2， 在 y= 23x243x+2 中， 当 y0 时，x13，x21， 由二次函数的图象及性质知，当 x3 或 x1 时，y0； （2）存在，理由如下： 如图
50、1，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 H， 将点 A（3，0） 、C（0，2）代入 ykx+b， 得，3 + = 0 = 2， 解得，k=23，b2， 直线 AC 的解析式为 y=23x+2， 设 P（x，23x243x+2） ，则 H（x，23x+2） ， ACP 的面积 S=12PHOA=123（23x243x+223x2）x23x（x+32）2+94， 10， 当 x= 32时，S 有最大值为94，此时 P（32，52） ； （3）如图 2，当 AQCM 且 AQCM 时， yC2， yM2， 在 y= 23x243x+2 中， 当 y2 时，x10，x22， M1（2，0
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