1、第第 1 12 2 讲讲 图形变换图形变换 知识点 1 翻折变换 翻折就是将一个图形或图形的一部分沿着一条直线折叠。 【典例】 例 1（2020 春高新区期中）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH6cm，EF8cm，则边 AB 的长度等于（ ） A10cm B9.6cm C8.4cm D8cm 例 2（2020嘉兴模拟）如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片，使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 例 3（2020 春鞍山期末）如图
2、，在矩形 ABCD 中，AD12，将A 向内翻折，使点 A 在 BC 上，记为 A，折痕为 DE （1）若点 A恰好是边 BC 的中点，请直接写出 AB 的长； （2）在（1）的条件下，若将B 沿 EA向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B，求出此时 AE 的长； （3）连结 CB，试判断 CB与 AB的数量关系 【随堂练习】 1（2020 秋崂山区期中）如图，RtABC 中，AB3，BC2，B90，将ABC 折叠，使 A 点与BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ） A59 B43 C56 D53 2（2020 秋旌阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点
3、A（0，4），B（3，0），连接 AB，将AOB 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 A处，折痕所在的直线交 y 轴正半轴于点 C则 BC的长为（ ） A332 B13 C352 D52 3（2020 秋昆都仑区期末）已知矩形 ABCD 中，AB4，BC8 （1）如图 1，点 P 从点 D 开始沿 DA 以每秒 1 个单位的速度移动，同时另一个点 Q 从点 B 开始在线段 BC 上以每秒 3 个单位的速度往返移动设 P，Q 运动时间为 t 秒，当 0t8 时，是否存在这样的时刻，四边形 DCQP 为平行四边形？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （2）如图 2，
4、将矩形 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，点 A 与点 E 重合，展平后折痕为 MF一动点 N从点 D 出发，沿 DABCD，以每秒 1 个单位的速度移动一周，设 N 运动的时间为 x 秒请直接写出当MFN 为直角三角形时 x 的值 知识点 2 平移变换 1、平移的定义 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移丌改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即
5、是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。图片平移的方向，丌限于是水平。 2、平移的条件： 确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。 3、平移的要点： （1）原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。 （2）平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南 n 度，东偏北 n 度，西偏南 n 度，西偏北 n 度） （3）平移的距离。（长度，如 7 厘米，8 毫米等） 4、平移的性质 经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等； 平移变换丌改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。 （1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。 （2）图
6、形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。 （3）多次连续平移相当于一次平移。 （4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。 （5）平移是由方向和距离决定的。 （6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等。 【典例】 例 1（2020 秋上海期末）如图，已知直角三角形 ABC，A90，AB4 厘米，AC3 厘米，BC5 厘米，将ABC 沿 AC 方向平移 1.5 厘米，线段 BC 在平移过程中所形成图形的面积为 平方厘米 例 2（2020 秋沙坪坝区校级月考）如图，在三角形 ABC 中，ABC90，将三角形 ABC 沿 AB 方向
7、平移 AD 的长度得到三角形 DEF已 EF8，BE6，CG3则图中阴影部分的面积是 例 3（2020 春横县期末）如图 1，直线 CBOA，AB120，E，F 在 BC 上，且满足FOCAOC，并且 OE 平分BOF （1）求AOB 及EOC 的度数； （2）如图 2，若平行移动 AC，那么OCB：OFB 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值； 【随堂练习】 1（2020 春仁寿县期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将ABC 沿 AB 方向平移 2cm 得到DEF，CH2cm，EF4cm，下列结论：BHEF；ADBE；BDCH；CBHD；阴影部分的
8、面积为 6cm2其中正确的是（ ） A B C D 2（2020 春荔城区校级月考）ABCD，C 在 D 的右侧，BE 平分ABC，DE 平分ADC，BE、DE 所在直线交于点 EADC80 （1）若ABC50，求BED 的度数； （2）将线段 BC 沿 DC 方向平移，使得点 B 在点 A 的右侧，其他条件不变，若ABC120，求BED的度数 知识点 3 旋转变换 图形的旋转 1旋转的定义： 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 由于旋转前、后两个图形中，对应点不旋转
9、中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点不旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角. 注意：在旋转过程中保持丌动的点是旋转中心，保持丌变的量是对应元素 2旋转的三个要素： 旋转中心、旋转的角度和旋转方向. 3旋转的性质： （1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度；整体角度 （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应线段相等，对应角相等；局部角度 （4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转丌改变图形的形状和大小.变换结果. 【典例】 例 1 （2020 秋和平区期末） 如图， 在OABC 中， A60
10、， 将OABC 绕点 O 逆时针旋转得到OABC，且AOC90，设旋转角为 （090），则 的大小为（ ） A30 B45 C60 D75 例 2（2020 秋松山区期末）如图，在ABC 中，AB3，AC2，BAC30，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1，连接 BC1，则 BC1的长为（ ） A5 B13 C4 D6 例 3（2020 秋澄海区期末）如图，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，得到ADE，点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点 E 落在 BC 边上，连接 BD （1）求证：DEBC； （2）若 AC32，BC7，求线段 BD 的长 例 4 （2020
11、秋前郭县期末）在ABC 中，ABBC2，ABC120，将ABC 绕点 B 顺时针旋转角（090）得A1BC1，A1B 交 AC 于点 E，A1C1分别交 AC、BC 于 D、F 两点 （1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 BE 与 BF 有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图 2，当 30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由 【随堂练习】 1 （2020 秋北流市期中） 如图， 在 RtABC 中， ACB90， A30， AC23， BC 的中点为 D 将ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，连接 DG在旋转过程中，DG 的最大
12、值是（ ） A23 B2 C1+3 D3 2（2020 秋游仙区月考）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G若 BG4，CG3，则CE 的长为（ ） A527 B5 C5111 D26 3（2020 秋斗门区校级期中）如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，D、E 分别在 AB，AC 上，且 ADAE若ADE 绕点 A 逆时针旋转，得到 AD1E1，设旋转角为 a（0a180），记直线 BD1与 CE1的交点为 P （1）求证：BD1CE1； （2）当
13、CPD12CAD1时，求旋转角为 a 的度数 4（2020 秋朝阳区校级期中）已知ABC 是等边三角形，点 P 在 BC 的延长线上，以 P 为旋转中心，将线段 PC 逆时针旋转 n（0n180）得线段 PQ，连接 AP，BQ （1）如图 1，若 PCAC，画出 n60 时的图形，直接写出 BQ 和 AP 的数量及位置关系； （2）当 n120 时，若点 M 为线段 BQ 的中点，连接 PM判断 MP 和 AP 的数量关系，并证明 综合运用 1（2020 春南平期末）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 边上一点，将ADE 沿直线 AE 翻折，得到AFE，若点 F 落在 BC 边上，且 B
14、F2FC，则的值是（ ） A23 B53 C23 D34 2（2020 秋岫岩县期中）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为 BC 中点，直角 MDN绕点旋转，DM、DN 分别与边 AB，AC 交于 E、F 两点，下列结论：DEF 是等腰直角三角形； AECF； BDEADF； BE+CFEF其中正确的是（ ） A B C D 3（2020 秋道外区期末）如图，ABCD 中，把ABC 沿 AC 翻折得到AEC，CE、AD 相交于点 F （1）求证：DEAC； （2）连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形 4（2020
15、秋长宁区期末）如图，在ABC 中，BAC90，AB3，AC4，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED，联结 CE （1）求证：ADCE； （2）求 CE 的长 5（2020 春瑶海区期末）如图，已知两条射线 BPCQ，动线段 AD 的两个端点 A、D 分别在射线 BP、CQ 上，且BADC110，F 在线段 AB 上，AC 平分DCF，CE 平分BCF （1）请判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由； （2）求ACE 的度数； （3）若平行移动 AD，使BEC=32CAD，求CAD 的度数 6（2020 春惠来县期末）如图，ADBC，BD50，点 E、F 在 BC
16、上，且满足CADCAE，AF 平分BAE （1）CAF ； （2）若平行移动 CD，那么ACB 与AEB 度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动 CD 的过程中，是否存在某种情况，使AFBACD？若存在，求出ACD 度数；若不存在，说明理由 7（2020 秋松山区期末）（1）如图 1，O 是等边ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，且 OA3，OB4，OC5，将BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD，连接 OD 求：旋转角的度数 ； 线段 OD 的长 ； 求BDC 的度数 （2）如图 2 所示，O 是等腰直角ABC（ABC90）内一点，连接
17、 OA、OB、OC，将BAO 绕点 B顺时针旋转后得到BCD，连接 OD当 OA、OB、OC 满足什么条件时，ODC90？请给出证明 第第 1 12 2 讲讲 图形变换图形变换 知识点 1 翻折变换 翻折就是将一个图形或图形的一部分沿着一条直线折叠。 【典例】 例 1（2020 春高新区期中）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH6cm，EF8cm，则边 AB 的长度等于（ ） A10cm B9.6cm C8.4cm D8cm 【解答】解：如图所示：设 HF 上两个点分别为 M、Q， M 点是 A 点对折过去的， EMH 为直角，AEHME
18、H， HEAMEH，AEEM， 同理MEFBEF， MEH+MEF90， HEF90， M 点也是 B 点对折过去的， BEEM， AEBE， EH6cm，EF8cm， FH= 2+ 2= 62+ 82=10（cm）， SHEF=12 =12HFEM， AEEM=6810=245（cm）， ABAE+BE4.8+4.89.6（cm） 故选：B 【方法总结】 此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据题意得出 AE 的长是解题关键 例 2（2020嘉兴模拟）如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片，使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且
19、 EF3，则 AB 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AD8， BC8， AEF 是AEB 翻折而成， BEEF3，ABAF，CEF 是直角三角形， CE835， 在 RtCEF 中，CF= 2 2= 52 32=4， 设 ABx， 在 RtABC 中，AC2AB2+BC2，即（x+4）2x2+82，解得 x6， 故选：D 【方法总结】 本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 例 3（2020 春鞍山期末）如图，在矩形 ABCD 中，AD12，将A
20、 向内翻折，使点 A 在 BC 上，记为 A，折痕为 DE （1）若点 A恰好是边 BC 的中点，请直接写出 AB 的长； （2）在（1）的条件下，若将B 沿 EA向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B，求出此时 AE 的长； （3）连结 CB，试判断 CB与 AB的数量关系 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形， AB90，ADBC12， 将A 向内翻折，使点 A 在 BC 上， AEAE，ADAD12， 点 A是 BC 的中点， ABAC6， CD= 2 2= 144 36 =63， ABCD63； （2）AE2BE2+AB2， AE2（63 AE）2+36， AE43； （
21、3）如图，连接 CB，交 AD 于 H， B 沿 EA向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上， BABE90，ABAB6， DCBDBA90， 在 RtABD 和 RtACD 中， = = ， RtABDRtACD（HL）， CDDB63， 又ACAB， AD 是 BC 的垂直平分线， BC2CH， SACD=12ACCD=12ADCH， 663 =12CH， CH33， BC63， CB= 3AB 【方法总结】 本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键 【随堂练习】 1（2020 秋崂山区期中）如图，RtABC 中，AB3，B
22、C2，B90，将ABC 折叠，使 A 点与BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ） A59 B43 C56 D53 【解答】解：设 NBx，则 AN3x 由翻折的性质可知：NDAN3x 点 D 是 BC 的中点， BD=12BC1 在 RtNBD 中，由勾股定理可知：ND2NB2+DB2， 即（3x）2x2+12， x=43， BN=43， 故选：B 2（2020 秋旌阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，4），B（3，0），连接 AB，将AOB 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 A处，折痕所在的直线交 y 轴正半轴于点 C则 BC的长
23、为（ ） A332 B13 C352 D52 【解答】解：A（0，4），B（3，0）， OA4，OB3， 在 RtOAB 中，AB= 2+ 2= 16 + 9 =5 AOB 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 A处， BABA5，CACA， OABAOB532 设 OCt，则 CACA4t， 在 RtOAC 中，OC2+OA2CA2， t2+22（4t）2，解得 t=32， OC=32， BC= 2+ 2=94+ 9 =352， 故选：C 3（2020 秋昆都仑区期末）已知矩形 ABCD 中，AB4，BC8 （1）如图 1，点 P 从点 D 开始沿 DA 以每秒 1 个单位的
24、速度移动，同时另一个点 Q 从点 B 开始在线段 BC 上以每秒 3 个单位的速度往返移动设 P，Q 运动时间为 t 秒，当 0t8 时，是否存在这样的时刻，四边形 DCQP 为平行四边形？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （2）如图 2，将矩形 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，点 A 与点 E 重合，展平后折痕为 MF一动点 N从点 D 出发，沿 DABCD，以每秒 1 个单位的速度移动一周，设 N 运动的时间为 x 秒请直接写出当MFN 为直角三角形时 x 的值 【解答】解：（1）四边形 DCQP 为平行四边形， PDCQ， 当 0t83时，则 t83t，得 t2
25、； 当83 163，则 t3t8，得 t4； 当163 8时，则 t243t，得 t6； 综上，存在这样的时刻，使得四边形 DCQP 为平行四边形，t 的值为：2 或 4 或 6； （2）根据折叠的性质得，BFDF，BFMDFM， 矩形 ABCD 中 ADBC， DMNBFM， DMFDFM， DMDF， AMCF， 设 BFDFDMx，则 AMCF8x， C90， DF2CF2CD2，即 x2（8x）242， 解得，x5， BFDM5，AMCF3， 过 F 作 FGAD 于点 G，如图 1，则 DGCF3， 当 N 点与 G 点重合时，MFN 中MNF90，此三角形为直角三角形， 此时 x3
26、； 过 M 点作 MHMF，MF 与 AB 交于点 H，如图 2， AMH+GMF90， AFGM90， AMH+AHM90， AHMGMF， AMHGMF， =， AM3，MGMDDG532，GFCD4， =324=32， 故当 N 点与 H 点重合时，MFN 中NMF90，此三角形为直角三角形， 此时 x8+32=9.5； 过 M 作 MKBC 于点 K，如图 3，则 BKAM3， 故当 N 点与 K 点重合时，MFN 中MNF90，此三角形为直角三角形， 此时 x8+4+315； 过点 F 作 FLMF，FL 与 CD 交于点 L，如图 4， MFK+CFL90， MKFC90， CFL
27、+CLF90， KFMCLF， KFMCLF， =， MKAB4，KFBFBK532，CF3， =324=32， 故当 N 点与 L 点重合时，MFN 中MFN90，此三角形为直角三角形， 此时 x8+4+8+32=21.5； 综上，当MFN 为直角三角形时 x 的值为 3 或 9.5 或 15 或 21.5 知识点 2 平移变换 1、平移的定义 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移丌改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。
28、它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。图片平移的方向，丌限于是水平。 2、平移的条件： 确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。 3、平移的要点： （1）原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。 （2）平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南 n 度，东偏北 n 度，西偏南 n 度，西偏北 n 度） （3）平移的距离。（长度，如 7 厘米，8 毫米等） 4、平移的性质 经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等； 平移变换丌改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
29、 （1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。 （2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。 （3）多次连续平移相当于一次平移。 （4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。 （5）平移是由方向和距离决定的。 （6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等。 【典例】 例 1（2020 秋上海期末）如图，已知直角三角形 ABC，A90，AB4 厘米，AC3 厘米，BC5 厘米，将ABC 沿 AC 方向平移 1.5 厘米，线段 BC 在平移过程中所形成图形的面积为 6 平方厘米 【解答】解：ABC为ABC 沿 AC
30、 方向平移 1.5 厘米得到的图形， 连接 BB， 则四边形 BCCB为平行四边形，CC1.5 厘米，ABAB4 厘米，BACBAC90， S平行四边形BCCBCCBA1.546（平方厘米）， 故答案为：6 【方法总结】 本题主要考查了平移的性质，平行四边形的面积公式，掌握平移的性质是解决问题的关键 例 2（2020 秋沙坪坝区校级月考）如图，在三角形 ABC 中，ABC90，将三角形 ABC 沿 AB 方向平移 AD 的长度得到三角形 DEF已 EF8，BE6，CG3则图中阴影部分的面积是 39 【解答】解：三角形 ABC 沿 AB 方向平移 AD 的长度得到三角形 DEF， ABCDEF，
31、BCEF8， BGBCCG835， S阴影部分+SDBGSDBG+S梯形BEFG， S阴影部分S梯形BEFG=12（5+8）639 故答案为 39 【方法总结】 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等 例 3（2020 春横县期末）如图 1，直线 CBOA，AB120，E，F 在 BC 上，且满足FOCAOC，并且 OE 平分BOF （1）求AOB 及EOC 的度数； （2）如图 2，若平行移动 AC，那么OCB
32、：OFB 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值； 【解答】解：（1）CBOA BOA+B180， BOA18012060， FOCAOC，OE 平分BOF EOCEOF+FOC =12BOF+12FOA =12（BOF+FOA） =1260 30； （2）不变 CBOA OCBCOA，OFBFOA， FOCAOC COA=12FOA， 即OCB：OFB1：2 【方法总结】 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
33、连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等也考查了平行线的性质 【随堂练习】 1（2020 春仁寿县期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将ABC 沿 AB 方向平移 2cm 得到DEF，CH2cm，EF4cm，下列结论：BHEF；ADBE；BDCH；CBHD；阴影部分的面积为 6cm2其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：因为将ABC 沿 AB 方向平移 2cm 得到DEF，CH2cm，EF4cm， 所以：BHEF，正确； ADBE，正确； 由已知条件得不出 BDCH，错误； CBHD，正确； 阴影部分的面积为 6cm2正确； 故选：D 2（2020 春荔城区校级月考）ABCD，C
34、在 D 的右侧，BE 平分ABC，DE 平分ADC，BE、DE 所在直线交于点 EADC80 （1）若ABC50，求BED 的度数； （2）将线段 BC 沿 DC 方向平移，使得点 B 在点 A 的右侧，其他条件不变，若ABC120，求BED的度数 【解答】解：（1）作 EFAB，如图 1， BE 平分ABC，DE 平分ADC， ABE=12ABC25，EDC=12ADC40， ABCD， EFCD， BEFABE25，FEDEDC40， BED25+4065； （2）作 EFAB，如图 2， BE 平分ABC，DE 平分ADC， ABE=12ABC60，EDC=12ADC40， ABCD，
35、EFCD， BEF180ABE120，FEDEDC40， BED120+40160 知识点 3 旋转变换 图形的旋转 1旋转的定义： 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 由于旋转前、后两个图形中，对应点不旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点不旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角. 注意：在旋转过程中保持丌动的点是旋转中心，保持丌变的量是对应元素 2旋转的三个要素： 旋转中心、旋转的角度和旋转
36、方向. 3旋转的性质： （1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度；整体角度 （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应线段相等，对应角相等；局部角度 （4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转丌改变图形的形状和大小.变换结果. 【典例】 例 1 （2020 秋和平区期末） 如图， 在OABC 中， A60， 将OABC 绕点 O 逆时针旋转得到OABC，且AOC90，设旋转角为 （090），则 的大小为（ ） A30 B45 C60 D75 【解答】解：设 AO 与 AB 相交于点 D， 四边形 OABC 是平行四边形， ABOC， ODAAOC90， A60，
37、AOA906030， 旋转角为 30， 故选：A 【方法总结】 本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键 例 2（2020 秋松山区期末）如图，在ABC 中，AB3，AC2，BAC30，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1，连接 BC1，则 BC1的长为（ ） A5 B13 C4 D6 【解答】解：将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1， ACAC12，CAC160， AB3，AC2，BAC30， BAC190， 在 RtBAC1中，BC1= 32+ 22= 13 故选：B 【方法总结】 此题考查旋转的性质，解题时注意：
38、对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 例 3（2020 秋澄海区期末）如图，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，得到ADE，点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点 E 落在 BC 边上，连接 BD （1）求证：DEBC； （2）若 AC32，BC7，求线段 BD 的长 【解答】解：（1）将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90， ACAE，CAE90，AEDACE， ACEAEC45AED， DEC90， DEBC； （2）AEAC32，EAC90， EC6， BEBCEC1， 将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90， DEBC7， DB= 2
39、+ 2= 49 + 1 =52 【方法总结】 本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是本题的关键 例 4 （2020 秋前郭县期末）在ABC 中，ABBC2，ABC120，将ABC 绕点 B 顺时针旋转角（090）得A1BC1，A1B 交 AC 于点 E，A1C1分别交 AC、BC 于 D、F 两点 （1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 BE 与 BF 有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图 2，当 30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由 【解答】解：（1）BEBF理由如下： ABBC， AC， ABC 绕点 B 顺时针旋转角 （090）得A1BC
40、1， ABBCBC1，ACC1，ABEC1BF， 在ABE 和C1BF 中 =1 = 1 = 1， ABEC1BF， BEBF （2）四边形 BC1DA 是菱形理由如下： ABBC2，ABC120， AC30， A1C130， ABA1CBC130， ABA1A1，CBC1C， A1C1AB，ACBC1， 四边形 BC1DA 是平行四边形 又ABBC1， 四边形 BC1DA 是菱形 【方法总结】 本题考查了旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了菱形的判定方法 【随堂练习】 1 （2020 秋北流市期中） 如图， 在 Rt
41、ABC 中， ACB90， A30， AC23， BC 的中点为 D 将ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，连接 DG在旋转过程中，DG 的最大值是（ ） A23 B2 C1+3 D3 【解答】解：ACB90，A30， AB=30=2332=4， BCACtan3023 33=2， BC 的中点为 D， CD=12BC=1221， 连接 CG， ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G， CG=12EF=12AB=1242， 由三角形的三边关系得，CD+CGDG， D、C、G 三点共线时 DG 有最大值， 此时 DGCD+CG1
42、+23 故选：D 2（2020 秋游仙区月考）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G若 BG4，CG3，则CE 的长为（ ） A527 B5 C5111 D26 【解答】解：如图所示，连接 EG， 由旋转可得，ADEABF， AEAF，DEBF， 又AGEF， H 为 EF 的中点， AG 垂直平分 EF， EGFG， 设 CEx，则 DE7xBF，FGCFCG11x， EG11x， C90， RtCEG 中，CE2+CG2EG2，即 x2+32（11x）
43、2， 解得 x=5611， CE 的长为5611， 故选：C 3（2020 秋斗门区校级期中）如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，D、E 分别在 AB，AC 上，且 ADAE若ADE 绕点 A 逆时针旋转，得到 AD1E1，设旋转角为 a（0a180），记直线 BD1与 CE1的交点为 P （1）求证：BD1CE1； （2）当CPD12CAD1时，求旋转角为 a 的度数 【解答】解：（1）在ABD1和ACE1中， = 1= 11= 1， ABD1ACE1 （SAS）， BD1CE1； （2）设 AC 与 BP 交于点 G， 由（1）知ABD1ACE1， ABD1ACE1， AGBCGP
44、， CPGBAG90， CPD190， CPD12CAD1， CAD1=12CPD145， 旋转角 90+CAD1135 4（2020 秋朝阳区校级期中）已知ABC 是等边三角形，点 P 在 BC 的延长线上，以 P 为旋转中心，将线段 PC 逆时针旋转 n（0n180）得线段 PQ，连接 AP，BQ （1）如图 1，若 PCAC，画出 n60 时的图形，直接写出 BQ 和 AP 的数量及位置关系； （2）当 n120 时，若点 M 为线段 BQ 的中点，连接 PM判断 MP 和 AP 的数量关系，并证明 【解答】解：（1）BQAP，BQAP， 如图 1 所示： ABC 是等边三角形， ABC
45、ACBBAC60，ABBCAC， 又PCAC， PACAPC， ACBPAC+APC60， PACAPC30， BAP90， 将线段 PC 逆时针旋转 60得线段 PQ， PCPQ，CPQ60， ABACCPPQ，APQ90， BAP+APQ180， ABPQ， 四边形 ABQP 是平行四边形， BQAP，BQAP； （2）AP2MP， 理由如下：如图 2，以 CP 为边作等边三角形 CHP，连接 BH， CHP 和CBA 都是等边三角形， CBCA，CPCH，ACBHCPCPH60， BCHACP， 在ACP 和BCH 中， = = = ， ACPBCH（SAS）， APBH， 将线段 PC
46、 逆时针旋转 120得线段 PQ， CPPQ，CPQ120， CPH+CPQ180， 点 H，点 P，点 Q 三点共线， BMMQ，PQCPHP， BH2MP， AP2MP 综合运用 1（2020 春南平期末）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 边上一点，将ADE 沿直线 AE 翻折，得到AFE，若点 F 落在 BC 边上，且 BF2FC，则的值是（ ） A23 B53 C23 D34 【解答】解：BF2FC， 设 FCx，则 BF2x， BC3x， 四边形 ABCD 是矩形， BCAD3x，B90， 将ADE 沿直线 AE 翻折，得到AFE，若点 F 落在 BC 边上， ADAF3x，
47、 AB= 2 2= 92 42= 5x， =53=53， 故选：B 2（2020 秋岫岩县期中）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为 BC 中点，直角 MDN绕点旋转，DM、DN 分别与边 AB，AC 交于 E、F 两点，下列结论：DEF 是等腰直角三角形； AECF； BDEADF； BE+CFEF其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：BAC90，ABAC， ABC 是等腰直角三角形， 点 D 为 BC 中点， ADCDBD，ADBC，CAD45， CADB， MDN 是直角， ADF+ADE90， BDE+ADEADB90， ADFBDE， 在ADF 和BD
48、E 中， = = = ， ADFBDE（ASA）， 故正确； DEDF、BEAF， DEF 是等腰直角三角形， 故正确； AEABBE，CFACAF， AECF， 故正确； BE+CFAF+AE BE+CFEF， 故错误； 综上所述，正确的结论有； 故选：C 3（2020 秋道外区期末）如图，ABCD 中，把ABC 沿 AC 翻折得到AEC，CE、AD 相交于点 F （1）求证：DEAC； （2）连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形 【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BADC， 把ABC 沿 AC 翻折得到
49、AEC， ABAE，BAEC， AECD，AECADC， 在AEC 和CDF 中， = = = ， AECCDF（AAS）， EFFD，AFFC， FEDFDE，FACFCA， 又EFDAFC， FEDACF， DEAC； （2）EFFD，AFFC， DEF，ACF 是等腰三角形， 四边形 ABCD 是平行四边形， AOCO，ADBC，BCAD， DAOBCO， 把ABC 沿 AC 翻折得到AEC， CEBC，ACBACE， ADCE，DAOACE， 在ADO 和CEO 中， = = = ， ADOCEO（SAS）， OEOD， OED 是等腰三角形 4（2020 秋长宁区期末）如图，在ABC
50、 中，BAC90，AB3，AC4，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED，联结 CE （1）求证：ADCE； （2）求 CE 的长 【解答】证明：（1）BAC90，AB3，AC4， BC= 2+ 2= 16 + 9 =5， 点 D 是 BC 的中点， ADBDDE=52， 将ABD 沿 AD 翻折得到AED， DEBD，AEAB， AD 垂直平分 BE， EFBF，ADBE， DEDBCD， DBEDEB，DECDCE， DBE+DEB+DEC+DCE180， DEB+DEC90， BEC90， CEBE， ADCE； （2）SABC=12ACAB=12346，且 CDB
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