1、江苏省扬州市江都区2020-2021学年高二下期中数学试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的选项中,只有一项符合要求).1. 复数( )A. B. 1C. iD. 2. ( )A. 15B. 25C. 60D. 1803. 函数在点处的切线与轴平行,则点坐标为( )A. B. C 、D. 、4. 在复平面内,若复数满足,则所对应的点的集合构成的图形是( )A. 线段B. 圆C. 直线D. 圆环5. 重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排位学生到三所敬老院开展志愿服务活动,要
2、求每所敬老院至少安排人,则不同的分配方案数是( )A. 36B. 48C. 72D. 816. 函数 图象大致为( )A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三人,其中一位是医生,一位是工程师,一位是律师,已知丙比律师的年龄大,甲与工程师的年龄不同,工程师比乙的年龄小,据此推断医生是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定8. 已知 ,则大小关系为( )A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9. 已知复数的共轭复数为,且,则下列说法正确的是( )A. 的虚
3、部为B. 的实部为C. D. 10. 已知、为自然数,下列等式正确的是( )A B. C. D. 11. 已知函数,现给出如下结论,其中正确结论有( )A. 是奇函数B. 是的一个极值点C. 在上有且仅有一个零点D. 的值域为12. 已知正方体的棱长为,动点,在棱上,且动点,分别在棱,上且不与点重合,则下列结论正确的是( )A. 二面角所成的角最大值为B. 平面C. 异面直线和所成的角大小为D. 三棱锥的体积是定值三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数的值为_.14. 函数单调递减区间是_.15. 扬州市美术馆展出5幅不同的画,其中3幅国画
4、,2幅油画,排成一行展出,要求同一类型的画必须连在一起,那么不同的摆放方法数为_.(用数字作答)16. 若对于恒成立.当时,的最小值为_;当时,的最小值是_.四、解答题(本大题共6小题,计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知复数z满足(1)求复数z;(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限,求实数的取值范围.18. 在,在与上单调性不同,过点这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.已知函数,是的导函数, .(1)求的值;(2)求函数在区间上的最值.19. 生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动,举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6
5、名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?(1)甲、乙两人都不入选;(2)甲、乙两人必须入选,且跑中间两棒;(3)甲不跑第一棒乙不跑第四棒.20. 如图,在三棱锥中,平面垂直于平面,.(1)求证:;(2)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值.21. 已知函数(1)若在处有极值,求实数的值;(2)求函数的单调区间;(3)若函数有两个零点,求实数的范围.22. 已知函数,作直线与图象从左向右分别交于两点,再分别过点作轴垂线,垂足分别为.(1)求四边形的面积;(2)记的最大值为,求证:.江苏省扬州市江都区2020-2021学年高二下期中数学试题一、
6、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的选项中,只有一项符合要求).1. 复数( )A. B. 1C. I D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数除法法则计算【详解】故选:C2. ( )A. 15B. 25C. 60D. 180【答案】A【解析】【分析】根据公式计算即可【详解】因为,所以故选:A3. 函数在点处的切线与轴平行,则点坐标为( )A. B. C. 、D. 、【答案】D【解析】【分析】由出导函数,由=0,求得结论【详解】,所以点坐标为或故选:D4. 在复平面内,若复数满足,则所对应的点的集合构成的图形是( )A. 线段B. 圆C. 直线D. 圆环【答案】B
7、【解析】【分析】设,利用模长公式列方程,化简即可求解.【详解】设,则,因为,所以,整理可得:,所以所对应的点的集合构成的图形是圆,故选:B.5. 重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排位学生到三所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排人,则不同的分配方案数是( )A. 36B. 48C. 72D. 81【答案】A【解析】【分析】先将位学生分成组,再分配到三所敬老院即可求解.【详解】将位学生分成组有种,分配到三所敬老院有种,由分步乘法计数原理可得不同分配方案数是种,故选:A6. 函数 图象大致为( )A
8、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域,极限,单调性判断【详解】f(x)的定义域为x|x0,排除A当x0+时,f(x)+,排除D当x1时,f(x)lnx,f(x),令f(x)0解得x2,当x2时,f(x)0,f(x)在(2,+)上是减函数,排除B故选C【点睛】本题考查了函数图象的判断,通常从函数的单调性,特殊点等方面采用排除法判断7. 甲、乙、丙三人,其中一位是医生,一位是工程师,一位是律师,已知丙比律师的年龄大,甲与工程师的年龄不同,工程师比乙的年龄小,据此推断医生是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】先推断出丙是工程师,再推断出乙
9、不是律师,即得解.【详解】因为甲与工程师的年龄不同,工程师比乙的年龄小,所以甲乙都不是工程师,所以丙是工程师.因为丙比律师的年龄大,丙比乙的年龄小,所以乙不是律师,所以乙是医生.故选:B8. 已知 ,则大小关系为( )A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据幂函数在上是增函数,对数函数在上是增函数可得答案.【详解】,因为,所以,即,因为, ,所以,所以,即,所以.故选:A.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9. 已知复数的共轭复数为,且,则下列说法正确的是( )A.
10、的虚部为B. 的实部为C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据共轭复数的概念求出,由复数代数形式的乘方运算化简,再根据复数的相关概念一一判断;【详解】解:因为,所以,且的虚部为,故A错误,C、D正确;又,所以的实部为,故B正确;故选:BCD10. 已知、为自然数,下列等式正确的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由排列数和组合数公式依次计算即可.【详解】对于A,A错误;对于B,B正确;对于C, ,C正确;对于D,根据组合数性质可知,成立,D正确.故选:BCD11. 已知函数,现给出如下结论,其中正确结论有( )A. 是奇函数B. 是的一个极值点C. 在上有且仅有
11、一个零点D. 的值域为【答案】BD【解析】【分析】对于A:利用函数奇偶性的定义进行证明;对于B:利用极值点的定义进行判断;对于C:利用图像法判断出由2个零点;对于D:作出函数的图像即可判断.【详解】的定义域为R.对于A:因为所以为偶函数.故A错误;对于B:因为,所以,有,且当时,有,当时,有,即在0的左右两侧,异号,所以是的一个极值点.故B正确;对于C:令,即.因为,所以.显然x=0不是零点;当时,有,令,均为奇函数,所以检点的个数应该成对出现,作出图像如图示:的图像有两个交点.所以在上有且仅有一个零点不正确.故C不正确;对于D:当时,取,有sinx=1,cosx=0,所以;当时,取,有sin
12、x=1,cosx=0,所以,而连续,的图像如图所示所以的值域为.故D正确.故选:BD12. 已知正方体的棱长为,动点,在棱上,且动点,分别在棱,上且不与点重合,则下列结论正确的是( )A. 二面角所成的角最大值为B. 平面C. 异面直线和所成的角大小为D. 三棱锥的体积是定值【答案】BC【解析】【分析】对于A,面为面,易得二面角为再分析即可;对于B,根据线面平行的判定方法判断;对于C,证明平面即可;对于D,以为三棱锥的底面,分析到的距离情况即可【详解】对于A,显然面为面,面为面,故二面角为二面角,又,故二面角为,故当在时二面角取最大值,故A错误;对于B,易得,又平面,平面,故平面,故B正确;对
13、于C,易得平面,且,故平面,故,故异面直线和所成的角大小为,故C正确;对于D,以三角形为三棱锥的底面,高为到平面的距离,显然不为定值,故D错误;故选:BC【点睛】立体几何中的判定一般方法:(1)根据线面平行与线线平行的关系分析平行; (2)根据线面垂直与线线垂直的关系分析垂直;(3)先分析图中平行与垂直的确定关系,再讨论一般情况三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】直接利用复数的概念列方程组即可求解.【详解】为纯虚数,所以,解得:a=-3.故答案为:-314. 函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析
14、】求出导函数,解不等式得减区间【详解】由题意,由得故答案为:15. 扬州市美术馆展出5幅不同的画,其中3幅国画,2幅油画,排成一行展出,要求同一类型的画必须连在一起,那么不同的摆放方法数为_.(用数字作答)【答案】24【解析】【分析】同一类画捆绑在一起作为一幅画进行排列可得【详解】把同一类画捆绑在一起作为一幅画进行排列,排列方法数为故答案为:2416. 若对于恒成立.当时,的最小值为_;当时,的最小值是_.【答案】 . 1 . 【解析】【分析】令得到,构造函数,则求出,即可求出的最小值;作出的图像,结合函数图象数形结合确定的最小值.【详解】当时,令,则,令,解得:,且当时,单调递增;当时,单调
15、递减,所以,因此,故的最小值为,的图像如下所示:由于,而点是直线与轴的交点,因为 ,由图象显然虚线不符合题意,实线中直线与函数相切时,在轴上的截距较大,其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时,截距最大,令,所有函数与轴的交点为,故,即,故.故答案为:1,.【点睛】恒成立问题解题思路:(1)参变量分离:(2)构造函数:构造函数,研究函数的单调性,求出函数的最值,解不等式即可;构造函数后,研究函数单调性,利用单调性解不等式,转化之后参数分离即可解决问题.四、解答题(本大题共6小题,计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知复数z满足(1)求复数z;(2)若复数在复平
16、面内对应的点在第二象限,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)直接利用复数的除法即可求得;(2)先化简,再根据复数对应的点在第二象限,列不等式组即可求得.【详解】(1) (2)由(1)知,则 复数在复平面内对应的点在第二象限,解得,所以实数的取值范围.18. 在,在与上单调性不同,过点这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.已知函数,是的导函数, .(1)求的值;(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)4;(2)最大值为,最小值为.【解析】【分析】选:求导,由题意得,解之即可求出结果;选:由题意得所以是的一个极值点,即,求出的值,注意检验是否符合题意;选:
17、由题意得,代入数据解方程即可求出结果.(2)求导以后,判断函数在,上的单调性,进而可以求出结果.【详解】选:因为,选:因为在与上单调性不同所以是的一个极值点,又因为,由,解得 当时,;,在上是单调减函数,在上是单调增函数,所以选:因为,所以又因过点, (2)由(1)可得:,令,解得.列出表格如下:2300单调递增极大值单调递减极小值单调递增-2又因为.所以函数在区间,上的最大值为,最小值为19. 生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动,举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?(1)甲
18、、乙两人都不入选;(2)甲、乙两人必须入选,且跑中间两棒;(3)甲不跑第一棒乙不跑第四棒.【答案】(1)24;(2)24;(3)252.【解析】【分析】(1)甲、乙两人都不入选,则剩下的4人参加,对这4个排列即可(2)分2步进行分析:第一步,分析甲、乙两人必须入选且跑中间两棒的安排方法,第二步,在剩下的4人选2人,跑第一棒和第四棒,由分步计数原理计算即可,(3)分两类:一类是甲跑第四棒,另一类若甲不跑第四棒,依据排列组合公式计算第一种情况的排列数目,由分类计数原理计算可得答案【详解】解:(1) 甲、乙两人都不入选,则剩下的4人参加,对这4个排列进行全排列,则共有(2)根据题意,分两步进行:首选
19、,甲、乙两人必须入选且跑中间两棒,则甲、乙两人的排法有种,其次,在在剩下的4人选2人,跑第一棒和第四棒,有种,所以分步计算原理可得甲、乙两人必须入选,且跑中间两棒共有种(3)根据题意分两种情况:一种是若甲跑第四棒,此时只需在剩下的5人中任选3人,安排在第一、二、三棒即可,有种安排方法,另一种是若甲不跑第四棒,此时第四棒由除甲、乙外的另外4人中选1人跑,有种,第一棒从除甲之外的4人中选1人跑,有有种,在剩下的4人中任选2人,安排在第二、三棒,有,则共有,所以分类计数原理可得甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有种20. 如图,在三棱锥中,平面垂直于平面,.(1)求证:;(2)若直线与平面所成的角为,求二面
20、角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)通过线面垂直从而达到证明线线垂直;(2)方法一:作出二面角,再通过解三角形即可;方法二,建立空间直角坐标,然后求出相关平面的法向量,利用夹角公式计算即可.【详解】(1)证明: .又因为平面平面,平面平面平面平面平面 (2)法一:综合法平面平面平面平面平面过作垂足为,则平面所以为与平面所成角 又因为直线与平面所成的角为故,过点作于点,连接平面,故,又,故平面,平面,所以为二面角的平面角. 分别在中,解得,.在中,由勾股定理,得,二面角的余弦值为法二:向量法平面内作于,在中作,交于,因为平面平面,平面平面平面,平面,为在平面上的射
21、影,为与平面所成角 , 两两垂直,以为原点,分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系, 平面 平面一个法向量为 设平面的一个法向量为,不妨设,则 ,二面角的余弦值为.21. 已知函数(1)若在处有极值,求实数的值;(2)求函数的单调区间;(3)若函数有两个零点,求实数的范围.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)【解析】【分析】(1)由题可得,再分析处是否为极值即可;(2)求导可得,再分与讨论单调区间即可;(3)由(2)可得,再根据零点存在性定理可得,求得,再分别证明与即可【详解】解:(1)函数在处有极值,又因为,解得 当列出表格如下:10单调递增极大值1单调递减所以,在处有极大值. (2)
22、当时,在上为单调增函数当,令,得时,在为单调增函数时,在单调减函数综上:当时,增区间为,无减区间当时,增区间为,减区间为 (3)因为函数有两个零点,由(2)知,增区间为,减区间为 解得: 因为, 所以在上恰有一个零点由得下证令在即,所以在上恰有一个零点综上:时,有两个零点22. 已知函数,作直线与图象从左向右分别交于两点,再分别过点作轴垂线,垂足分别为.(1)求四边形的面积;(2)记的最大值为,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)令,求得,则代入即可得出结果;(2)由(1)得求导计算可得;,所以,使得,则,即可证得结果.【详解】(1)因为直线与图象从左向右分别交于两点所以 当时,令,得当时,令,得(2)所以在上为减函数;所以,使得当,在上为增函数,当,在上为减函数,故,所以.