1、扬州市仪征市二校联考2020-2021学年高二下期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的模等于（ ）A. B. C. D. 2. 如图，若向量对应的复数为，且，则（ ）A. B. C. D. 3. 年月至月在扬州市举行扬州世界园艺博览会，会场位于扬州市仪征枣林湾.某天三对夫妇来到枣林湾参观，在扬州园博园（主题园，又名中国园）前拍照留念，人排成一排，每对夫妇必须相邻，则不同的排列方法种数为（ ）A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 5. 若，的展开式中存在个有理项，则的最小值
2、是（ ）A B. C. D. 6. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，根据上述结论，函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）A B. C. D. 7. 如图，二面角的大小是，线段，与所成的角为.则与平面所成的角的正弦值是（ ）A. B. C. D. 8. 定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则关于x的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二
3、、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得得0分.9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 常数项为240B. 第4项的二项式系数最大C. 第4项的系数最大D. 所有项的系数和为6410. 关于函数的图象特征，下列说法正确的有（ ）A. 单调减区间为B. 单调减区间为C. 极大值为D. 关于点中心对称11. 任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A. B 当，时，C.
4、当，时，D. 当，时，若为偶数，则复数为纯虚数12. 众所周知，组合数，这里，并且牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标n推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且定义，比如下列关于广义组合数的性质说法正确的有（ ）A. B. 当m，n为正整数且时，C. 当m为正奇数时，D. 当n为正整数时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数满足（是虚数单位），则的最小值为_.14. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.2021年的强基计划报名时间集
5、中在4月8日-4月30日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生准备报名清华、北大和南大的强基计划，若每所学校至少有一名学生报名，每名学生只报名一所学校，且甲和乙商量好报名同一所学校，则共有_种不同的报名方式（用数字作答）15. 设函数，则_（用数字作答）16. 已知函数，若，则的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在上的最大值和最小值.18. 已知（1）当时，求及的值：（2）当时，求的值19. 如图，在三棱锥中，分别为棱，的中点.已知，.求证：平面平面；求二面角平面角的余弦值.20.
6、 由，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）（1）没有重复数字且为奇数五位数的个数；（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；（3）恰有两个数字重复五位数的个数.21. 如图所示，是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形 ，设梯形的面积为 .（1）设，将 表示成的函数关系式并写出其定义域；（2）求梯形面积 的最大值.22. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.扬州市仪征市二校联考2020-2021学年高二下期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
7、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数乘法法则化简复数，从而求得模长.【详解】由知，故选：A2. 如图，若向量对应的复数为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设复数，利用复数模的运算及复数的除法运算即可得出结果.【详解】解：根据图象可设复数，因为，所以，解得：.所以，.故选：B3. 年月至月在扬州市举行扬州世界园艺博览会，会场位于扬州市仪征枣林湾.某天三对夫妇来到枣林湾参观，在扬州园博园（主题园，又名中国园）前拍照留念，人排成一排，每对夫妇必须相邻，则不同的排列方法种数为（ ）A
8、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将三对夫妇进行捆绑，形成三个大元素，利用捆绑法可求得结果.【详解】将三对夫妇进行捆绑，形成三个大元素，所以，不同的排列方法种数为种.故选：C.4. 函数的图象大致为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，可排除B；结合函数的单调性，可排除A；再由，可得，排除D，即可求解.【详解】由题意，函数定义域为且关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B；若时，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，可排除A；当，可得，排除D，故选：C.5. 若，的展开式中存在个有理项，则的最小值是（ ）A. B. C.
9、D. 【答案】B【解析】【分析】根据展开式的通项，存在3个有理项，只需x的指数不为分数即可，即，从而求得n的最小值.【详解】由题知，展开式第r+1项的展开式为，若存在3个有理项，则，此时，即最小值为6故选：B6. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，根据上述结论，函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题
10、设中给出的“拉格朗日中值点”的定义，结合函数进行分析，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，由，可得，即，解得，所以在区间上的“中值点”的个数为.故选：B.7. 如图，二面角的大小是，线段，与所成的角为.则与平面所成的角的正弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过A作AC垂直平面于C，在内过C作l的垂线CD，垂足为D，连接AD.判断出ABC为AB与平面所成的角.解三角形求出AC、AB，即可求出与平面所成的角的正弦值.【详解】过A作AC垂直平面于C，在内过C作l的垂线CD，垂足为D，连接AD.由三垂线定理可知ADl故ADC为二面角的平面角，ADC =60.又由已知,ABD
11、=30.连接CB,则ABC为AB与平面所成的角.不妨设AD=2,则，直线AB与平面所成的角的正弦值.故选：A.8. 定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则关于x的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，由题意可得，由此可得在区间上递增，又，等价于，得，从而可得答案【详解】解：令，因为对任意恒成立，所以，所以在区间上递增，因为，所以，因为所以，可化为，即，因为所以在区间上递增，所以，所以关于x的不等式的解集为，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选
12、错得得0分.9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 常数项为240B. 第4项的二项式系数最大C. 第4项系数最大D. 所有项的系数和为64【答案】AB【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，逐项分析：对于A：直接求常数项，即可判断；对于B：利用二项式系数的性质直接判断；对于C：求出第4项的系数为负数，即可判断；对于D：用赋值法，令，直接计算.【详解】的二项展开式的通项公式为，对于A：要求常数项，只需，解得：r=2，此时，故A正确；对于B：展开式有7项，所以第4项的二项式系数最大，故B正确；对于C：第4项的系数为为负数，不可能最大，故C错误；对于D：要求所有项的系数和，令，得到，即所
13、有项的系数和为1.故D错误.故选：AB10. 关于函数的图象特征，下列说法正确的有（ ）A. 单调减区间为B. 单调减区间为C. 极大值为D. 关于点中心对称【答案】ACD【解析】【分析】先求出，利用导数研究函数的单调区间和极值，可判断A、B、C，分别计算和，再由对称性的知识对选项D作出判断即可.【详解】，当时，单调递增；当时，单调递减；所以当时，取得极大值，极大值为；，所以.综上，ACD正确.故选：ACD.11. 任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A. B.
14、 当，时，C. 当，时，D. 当，时，若为偶数，则复数为纯虚数【答案】AC【解析】【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，则，可得，A选项正确；对于B选项，当，时，B选项错误；对于C选项，当，时，则，C选项正确；对于D选项，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.12. 众所周知，组合数，这里，并且牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标n推广到任
15、意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且定义，比如下列关于广义组合数的性质说法正确的有（ ）A. B. 当m，n为正整数且时，C. 当m为正奇数时，D. 当n为正整数时，【答案】BCD【解析】【分析】选项A. 由定义直接求出的值，可判断；选项B. 由定义有，根据条件这个数中，一定有某个数为0，从而可判断；选项C. 由定义直接求出的不等式，结合条年可判断；选项D. 由定义分别得出从而可判断.【详解】选项A. 由题意，故选项A不正确.选项B. 由，当m，n为正整数且时，则，所以所以这个数中，一定有某个数为0， 所以，故选项B正确.选项C. 当m为正奇数时，故选项C正确.选项D. 当n为正
16、整数时,所以，故选项D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数满足（是虚数单位），则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设复数，利用几何意义即可求得结果.【详解】解：设复数，由得，即所以复数位于以为圆心，半径为的圆上，如图所示因为到坐标原点的距离为且，即求的最小值.的最小值的几何意义为圆上的点到坐标原点距离的最小值.的最小值为.所以的最小值为.故答案为：.14. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.2021年的强基计划报名时间集中在4月8日-4月30
17、日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生准备报名清华、北大和南大的强基计划，若每所学校至少有一名学生报名，每名学生只报名一所学校，且甲和乙商量好报名同一所学校，则共有_种不同的报名方式（用数字作答）【答案】【解析】【分析】将甲乙两人视为一个人，然后与其他三个人形成四个元素，根据题意相当于四个元素放入到三个空格中，每个空格至少一个元素，即可得出结论.【详解】根据题意，把甲乙2人视为一个人，则五个人看成四个人，从四个人中先取出两个人，然后与剩下两个人进行全排列，则有种不同的方法.故答案为：15. 设函数，则_（用数字作答）【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：函数求导,二项式定理16. 已知函数，若，
18、则最小值为_.【答案】【解析】【分析】先证明据，结合，求出，令，根据函数的单调性求出代数式的最小值即可【详解】，即，又在，上单调递增，故由得，故，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，故答案为：【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【
19、分析】（1）根据导数的几何意义，求得在处的切线方程；（2）令得，通过列表写出函数在上的单调性，从而求得最值.【详解】（1），则，又，则切线方程为（2），令得列表如下：减增由上表可知函数在上的最大值为，最小值为.18. 已知（1）当时，求及的值：（2）当时，求的值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）令即可得，令得，进而得；（2）根据题意，等式两边同乘以得，再两边求导并令即可得答案.【详解】解：（1）当时，因为，所以令时，令，则，所以，即.（2）当时，所以等式两边同乘以得，两边同时求导得：，令，则，即.19. 如图，在三棱锥中，分别为棱，的中点.已知，.求证：平面平面；求二面角平面角的余
20、弦值.【答案】证明见解析；.【解析】【分析】先证平面，进而得出平面平面；建立空间直角坐标系，利用法向量即可求得结果.【详解】解：证明：连接，为，中点，.，为，中点，.，.，.，.，平面.平面，平面平面.由知，为中点，则，又平面，.，平面.即,两两垂直，所以建立以为原点，以，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，平面，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则设二面角大小为，由图可知为锐角，则.20. 由，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；（3
21、）恰有两个数字重复的五位数的个数.【答案】（1）72个；（2）72个；（3）1200个.【解析】【分析】（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可.（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即可.【详解】解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.个.（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个21.
22、 如图所示，是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形 ，设梯形的面积为 .（1）设，将 表示成的函数关系式并写出其定义域；（2）求梯形面积 的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）求梯形面积，已知上下底，只需确定高即可：利用直角三角形得，因此，注意确定函数定义域（2）四次函数 最值，可借助导数进行求解：先求导数在定义区间上零点，分析单调性变化规律，确定最值 试题解析：解：（1）过点作 于， ，（2），令，则， 所以当时， ，函数在上单调递增，当时， 函数在上单调递减，所以当时， 有最大值， 答：梯形面积的最大值为 平方米考点：利用导数求函数最值，函数应用【
23、方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f(x)0或f(x)0求单调区间；第二步：解f(x)0得两个根x1x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小22. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.【答案】（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，即成立，即成立.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
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