1、扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年高一下期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列复数中，纯虚数是（ ）A. B. C. D. 2. （ ）A B. C. D. 3. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则的值为（ ）A B. 4C. 5D. 5. 已知：，均为锐角，tan，tan，则+（ ）A. B. C. D. 6. “全民健身活动周”中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时，看见正西方向有两个相距的地标恰好与它在一条直线上，
2、继续前进3分钟后，看见一地标在他的南偏西60方向上，另一地标在他的南偏西75方向上，则他跑步的速度是（ ）A. 125米/分B. 米/分C. 250米/分D. 米/分7. 设向量，满足，的夹角为60，则的最大值等于（ ）A. 2B. C. D. 18. 在中，角，所对的边分别为，直线交于点，将分成两部分，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）A. B. C. D. 向量，夹角为10. 设，下列结论
3、正确的是（ ）A. 时，的取值范围为B. 时，的取值范围为C. 时，的取值范围为D. 对于，的取值范围为11. 在中，角，所对的边分别为，已知，下列结论正确的是（ ）A. B. 若为边上的角平分线，则C. 边上的中线长为D. 若，则的外接圆半径是12. 瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若复数虚部为，则的实部为D. 已知，复数，在复平面内对应的点分别为，则三角形面积的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13
4、. 已知，是虚数单位若与互为共轭复数，则_14. 如图所示，正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角为_.15. 已知，则_.16. 践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，当取得最大值时，的值是_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，为坐标原点，求.18. 已
5、知，（1）求的值；（2）求的值19. 已知向量，且.（1）求及；（2）若的最小值为，求正实数的值.20. 如图，在ABC中，已知CA=1，CB=2，ACB=60（1）求|；（2）已知点D是AB上一点，满足=，点E是边CB上一点，满足=当=时，求；是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所
6、对的角为，经测量已知，.（1）若，求；（2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（3）霍尔顿发现麦田生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.22. 已知为平面内不共线的三点，表示的面积（1）若求；（2）若，证明:；（3）若，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年高一下期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列复数中，纯虚数是（ ）A.
7、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简A、C，再根据纯虚数的概念，即实部为零，虚部不为零判断即可；【详解】解：对于B、D显然实部不为零，故不是纯虚数，故B、D错误；对于A：，实部为零，虚部为，故A正确；对于C：为实数，故D错误；故选：A2. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由特殊角的三角函数值和诱导公式三计算即可.【详解】解：.故选：B3. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边OB在x轴上，所以，在原图形中
8、对应边应在x轴上，且长度不变，OA在y轴上，所以，在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍，因为OB=1，所以OA= ，则OA=2则SABO=OBOA=12=考点：斜二测画法4. 已知向量，且，则的值为（ ）A. B. 4C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】利用数量积的坐标运算列方程直接求解【详解】向量，且，故，解得=故选：D5. 已知：，均为锐角，tan，tan，则+（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果.【详解】解：由于，均为锐角，tan，tan，所以.所以.所以.故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数
9、关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.6. “全民健身活动周”中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时，看见正西方向有两个相距的地标恰好与它在一条直线上，继续前进3分钟后，看见一地标在他的南偏西60方向上，另一地标在他的南偏西75方向上，则他跑步的速度是（ ）A. 125米/分B. 米/分C. 250米/分D. 米/分【答案】C【解析】【分析】如图，依题意有，所以，从而，在直角三角形中，求出，由此能求出他跑步的速度【详解】解：如图，依题意有，所以，从而，在直角三角形中，得，于是他跑步的速度是（米/分）故选：7. 设向量，满足，的夹角为60，则
10、的最大值等于（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由得向量夹角，由，的夹角为60，得到向量的终点在圆上，再利用正弦定理求解即可【详解】，故设 ，的夹角为60，故，又，故四点共圆，设圆的半径为R,故当=2R时，取最大，易得故选：A8. 在中，角，所对边分别为，直线交于点，将分成两部分，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意画出图形，根据得到，即可得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：如图在中，所以，所以，即，又，所以，即，所以，所以当且仅当，即时取等号；故选：D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小
11、题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）A. B. C. D. 向量，夹角为【答案】AC【解析】【分析】对进行平方运算，可求出，夹角，可判断AD选项，再对BC选项进行平方运算，代入，夹角，可判断BC选项.【详解】解：，又因为，所以，所以，所以A正确，D不正确；，故，所以B不正确，同理C正确.故选：AC10. 设，下列结论正确的是（ ）A. 时，的取值范围为B. 时，的取值范围为C. 时，的取值范围为D. 对于，的取值范围为【答案】ABCD【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可判断A；配方结合同角
12、三角函数平方关系、正弦的二倍角公式可判断B；利用立方和公式、同角三角函数平方关系、配方可判断C；由ABC归纳可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：当时，的取值范围为，故选项A正确；对于B：当时，因为，所以即的取值范围为，故选项B正确；对于C：当时，故选项C正确；对于D：由选项ABC可知：时，的取值范围为，时，的取值范围为，时，的取值范围为， ，所以当，的取值范围为，故选项D正确；故选：ABCD.11. 在中，角，所对的边分别为，已知，下列结论正确的是（ ）A. B. 若为边上的角平分线，则C. 边上的中线长为D. 若，则的外接圆半径是【答案】ABD【解析】【分析】由条件求得，从而求得，；
13、由角平分线定理知，根据平行四边形法则用表示；的边长只有比例关系，求不出中线的长度；由求得的值，结合余弦定理，正弦定理求得外接圆半径.【详解】由知，设，则，则，故A正确；由角平分线定理知，则，故B正确；的边长只有比例关系，求不出中线的长度，故C错误；若，则，由正弦定理知的外接圆半径是，故D正确；故选：ABD12. 瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若复数的虚部为，则的实部为D. 已知，复数，在复平面内对应的点分别为，则三角形面积的
14、最大值为【答案】AB【解析】【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A；，整理即可判断B；根据欧拉公式及复数的虚部为，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C；根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D.【详解】解：对于A，故A正确；对于B，故B正确；对于C，因为复数的虚部为，所以，又，所以，故，所以，所以，即的实部为，故C错误；对于D，由题意，则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，又，当，即时，取最大值，所以三角形面积的最大值为，故D错误.故选：AB.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，是
15、虚数单位若与互为共轭复数，则_【答案】【解析】【分析】根据共轭复数的定义，求出，再把展开即得.【详解】与互为共轭复数，,.故答案为：.【点睛】本题考查共轭复数和复数乘法，属于基础题.14. 如图所示，正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角为_.【答案】【解析】【分析】先利用平行关系找到为异面直线和所成的角或其补角，再利用正方体性质求角的大小即可.【详解】连接，则为的中位线，.又，四边形为平行四边形，.为异面直线和所成的角或其补角.正方体中，易知，为正三角形，.与所成的角为.故答案为：.15. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，从而利于二倍角公式求
16、出与，即可求出，最后根据利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以所以， 所以所以故答案：16. 践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，当取得最大值时，的值是_.【答案】【解析】【分析】当取得最大值时，点一定在顶点处取得，依次验证即可得解.【详解】根据边长为3的正三角形的中心易得由图可得若，当取得最大值时，点一定在顶点处取得，只需考虑以下情况即可：当；当；当；当；当；所以当时，满足最大值，此时.
17、故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，为坐标原点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设代数形式，根据解得；（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.【详解】（1）设：，因为：，所以，得或，又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；（2），所以，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析
18、】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式可得，再由，利用两角差的正弦公式即可求解.（2）根据切化弦以及二倍角公式即可求解.【详解】解：（1），即，因为，所以，所以，所以（2）因为，所以，又由（1）知，所以所以19. 已知向量，且.（1）求及；（2）若的最小值为，求正实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算得，由,开方即可；（2），讨论和1的大小，求最值即可.【详解】（1）， .，因此.（2）由（1）知，当时，当时，有最小值，解得.当时，当时，有最小值，（舍去），综上可得.20. 如图，在ABC中，已知CA=1，CB=2，ACB=60（1）求|；（2）已知点D是AB上一点，
19、满足=，点E是边CB上一点，满足=当=时，求；是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的长即得|；（2） 时，分别是的中点，表示出，利用向量的数量积计算即可；假设存在非零实数，使得，利用分别表示出 和 求出 时的值即可【详解】（1） 且 （2）=时， =， =，D、E分别是BC，AB的中点，=+=+，=（+），=（+）（+）=+=12+12cos120+21cos60+22 =； 假设存在非零实数，使得，由=，得=（），=+=+（）=+（1）；又=，=+=（）+（）=（1）；=（1）+（1）2（1）=4（1）+
20、（1）2（1）=32+2=0，解得=或=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数=，使得【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目21. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.（1）若，求；（2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（3）霍尔顿发
21、现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.【答案】（1）；（2）答案见解析，1；（3）14.【解析】【分析】（1）判断出是等边三角形，得到，在中，利用余弦定理即可求出；（2）在中，用余弦定理表示,在中，用余弦定理表示，即可证明；（3）分别表示出和，则，由（2）知：，代入消去角C，利用三角函数求最值.【详解】（1）由，所以是等边三角形，所以，因为，所以 （2）在中，由余弦定理得,在中，由余弦定理得，则，；（3），则，由（2）知：，代入上式得：，配方得：，因为，当时，取到最大值14.22. 已知为平面内不共线的三点，表示的面积（1）若
22、求；（2）若，证明:；（3）若，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）是定值，值为，理由见解析.【解析】【分析】（1） 已知三点坐标，则可以求出三边长度及对应向量，由向量数量积公式可以求出夹角余弦值，从而算出正弦值，利用面积公式完成作答；（2） 和（1）的方法一样，唯独不同在于（1）是具体值，而（2）中是参数，我们可以把参数当做整体（视为已知）能处理；（3） 由恰好为的正心可以获取，而可以借助（2）的公式直接运用，本题也就完成作答.【详解】（1）因为，所以，所以因为，所以，所以（2）因为，所以所以因为 所以所以所以；（3）因为为的重心，所以由(1)可知又因为为的重心，所以，平方相加得:， 即，所以所以，所以是定值，值为【点睛】已知三角形三点，去探究三角形面积问题，通过向量数量积为载体，算出相对应边所在向量的模长、夹角余弦值，进一步算出正弦值，从而算出面积，这三问存在层层递进的过程，从特殊到一般慢慢设问，非常好的一个探究性习题.
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