1、九江市2022年第二次高考模拟统一考试数学试题（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数为纯虚数，则a值为（ ）A. -1B. 1C. 0或1D. -1或12. 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）A B. C. D. 3. 已知命题p：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，4. 若双曲线C的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. 5C. D. 5. 若数列为等比数列，且、是方程的两根，则( )A. 2B. 1C. 1D. 6. 已知函数的部分图像如图所示，则的解
2、析式可能是（ ）A. B. C. D. 7. 已知锐角满足，则（ ）A. B. C. D. 8. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105的物体，放在室温15的环境中，该物体温度降至75大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30，则m的值约为（ ）（参考数据：，）A. 2.9B. 3.4C. 3.9D. 4.49. 2021年3月，教育部办公厅发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确学生睡眠时间要求，高中生每天睡眠时间应达到8小时.若
3、高一学生小明每天的睡眠时间在7小时至10小时之间随机分布，则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概率是（ ）A B. C. D. 10. 已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 111. 正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球半径R与内切球半径r的比值为（ ）A. B. C. D. 12. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 二填空题：本大题共4小题
4、，每小题5分，共20分.13. 的展开式中含项的系数为_.14. 已知，是两个单位向量，且|，则|_.15. 斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，.已知在斐波那契数列中，若，则数列的前2020项和为_（用含m的代数式表示）.16. 如图，棱长为3的正方体中，P为棱上一点，且，M为平面内一动点，则MC+MP的最小值为_.三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B的大小；（2）若，且
5、BD=2，求S的最大值.18. 在直三棱柱中，D，E分别为BC，的中点，ABC=60.（1）证明：平面；（2）求二面角D-AE-B的余弦值.19. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从AB难度问题中限选1题作答，取其中最好2轮成绩之和作为最终得分；每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分.已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为，答对B难度问题的概率为，且每轮答题互不影响.（1）若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；（2
6、）若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望.20. 已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）. （1）求椭圆E的方程；（2）A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为，且，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.21 已知函数.（1）若，讨论零点的个数；（2）求证：当时，（注：）.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为，曲线E的参数方程为（为参数）.（1）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l及曲线E的极坐标方程；（2）若P为曲线E在
7、第一象限上一点，射线OP按逆时针方向旋转 ，与直线l相交于点Q，若的面积为，求的值.23. 已知函数的最小值为2，.（1）求a的取值范围；（2）若，求k的最大值.参考答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数为纯虚数，则a的值为（ ）A -1B. 1C. 0或1D. -1或1【1题答案】【答案】B【解析】【分析】纯虚数只需让复数的实部为0，虚部不为0，因此可以对应列式，解出即可.【详解】由，解得，故选：B.2. 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】A【解析】【分析
8、】先求出集合,再利用集合,表示出阴影部分的集合，最后利用集合的运算求解即可.【详解】由已知得，集合，则，阴影部分表示的集合为故选：.3. 已知命题p：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【3题答案】【答案】D【解析】【分析】由否定定义求解即可.【详解】由否定的定义可知，为，.故选：D4. 若双曲线C的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. 5C. D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】由已知得双曲线的渐近线为，结合双曲线C的焦点以及，即可求解离心率.【详解】依题意可知，双曲线的渐近线方程为，即双曲线C的渐近线方程为，即，由可知，则，故选：.5.
9、若数列为等比数列，且、是方程的两根，则( )A. 2B. 1C. 1D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据韦达定理判断、的正负，从而求出求出的正负，并求出，根据即可求出【详解】由，可知，则，又，则故选：C.6. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）A B. C. D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性与函数值的正负即可得到结果【详解】函数在处无定义，排除选项A函数图像关于原点对称，故为奇函数，排除选项B当时，故，排除选项C故选：D.7. 已知锐角满足，则（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简可
10、得，结合角的范围可知，利用同角三角函数关系可构造方程求得结果.【详解】由得：，又，由得：，.故选：B.8. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105的物体，放在室温15的环境中，该物体温度降至75大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30，则m的值约为（ ）（参考数据：，）A. 2.9B. 3.4C. 3.9D. 4.4【8题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意中的关系式可得、，利用指、对数互化求出m的值即可.【详解】由，有，又，有，即，则
11、，解得，故选：B.9. 2021年3月，教育部办公厅发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确学生睡眠时间要求，高中生每天睡眠时间应达到8小时.若高一学生小明每天的睡眠时间在7小时至10小时之间随机分布，则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概率是（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【分析】根据条件画出可行区域，再通过几何概型求概率即可.【详解】设小明连续两天的睡眠时间都减去7小时后，分别为x小时和y小时，则，作出x，y所表示的可行域，如图中正方形.若他连续两天平均睡眠时间不少于8小时，则，其构成的区域为阴影部分.则所求概率为.故选：D.10. 已知点M为抛物线
12、上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 1【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由四边形的面积可知，即可求解.【详解】如图，圆心为抛物线的焦点，四边形的面积，当最小时，即点M到准线的距离最小值为2，故选:.11. 正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球半径R与内切球半径r的比值为（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】C【解析】【分析】由三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体
13、外接球求得其半径，设内切球球心为I，由求得内切球的半径即可.【详解】在正方形ABCD中，ADAE，CDCF，BEBF，折起后OD，OE，OF两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.设正方形ABCD边长为2，则OD=2，OE=1，OF=1，故，则.设内切球球心为I，由，表面积S=4，则有，故选：C.12. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 【12题答案】【答案】C【解析】【分析】不等式参变分离，构造新函数，利用导数求新函数的单调性和最小值即可.【详解】，令，x0，令，h(x)在(0，)上单调递增，在(0，)存在唯一的，使得，即
14、，当时，单调递减，当，单调递增，即，即，故选：C.【点睛】本题关键是参变分离后构造，通过导数求其最小值，在求解过程中需要用到隐零点进行替换计算.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中含项的系数为_.【13题答案】【答案】【解析】【分析】由二项式定理得出含项的系数.【详解】的展开式的通项为，由得，则含的项为，系数为故答案为：14. 已知，是两个单位向量，且|，则|_.【14题答案】【答案】1【解析】【分析】根据|，是两个单位向量，两边平方求得，再由求解.【详解】因为|，两边平方，得，又，是两个单位向量，所以，所以，所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查平面向量的数量积
15、及其应用，属于基础题.15. 斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，.已知在斐波那契数列中，若，则数列的前2020项和为_（用含m的代数式表示）.【15题答案】【答案】#【解析】【分析】通过累加得到即可求得前2020项和.【详解】由，可知，将以上各式相加得，整理得，则.故答案为：.16. 如图，棱长为3的正方体中，P为棱上一点，且，M为平面内一动点，则MC+MP的最小值为_.【16题答案】【答案】【解析】【分析】如图，找出点C关于平面的对称点N，易知当M为NP与平面的交点时MC+MP的最小，求出N
16、P即可.【详解】连接，与平面交于点E，易知平面，作点C关于平面的对称点N，易知，连接NP，由，得，且，当M为NP与平面的交点时取等号，则MC+MP的最小值为.故答案为：. 三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B的大小；（2）若，且BD=2，求S的最大值.【1718题答案】【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)利用余弦定理和三角形的面积公式化简可得，即可求出B；(2)在、和中，根据余弦定理可得、，进而可得，利用基本不等式求解即可.【小问1详解】由题意得，又，所以，即
17、，所以，又，所以；【小问2详解】因为，所以，在和中，由余弦定理得，又，所以，整理，得，即，在中，由余弦定理得，所以，得，则，当且仅当即时等号成立，所以，故S的最大值为.18. 在直三棱柱中，D，E分别为BC，的中点，ABC=60.（1）证明：平面；（2）求二面角D-AE-B的余弦值.【1819题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】(1)如图，取的中点F，连接CF、DF，根据平行四边形的性质可得，利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理与性质即可证明；(2)由(1)和可得平面，根据线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理和性质可得，进而建立如图坐标系，设BC=2，结合空
18、间向量法即可求出二面角的余弦值.【小问1详解】如图，取的中点F，连接CF、DF，则且，且，故四边形和四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，由平面，得平面；【小问2详解】由(1)知平面，又，则平面，因为平面，所以，在直三棱柱中，又，得平面，由平面，得，又D为BC的中点，则，以D为原点，以DB、DA、DF分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，设BC=2，则，有，设平面AEB、平面AED的一个法向量分别为、，则，令，得，故，所以，又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.19. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及
19、冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从AB难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分.已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为，答对B难度问题的概率为，且每轮答题互不影响.（1）若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；（2）若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望.【1920题答案】【答案】（1） （2）分布列答案见解析，数学期望：12【解析】【分析】（1）先分析出3轮比赛中有且仅有1
20、轮比赛答对A难度问题，即可求概率；（2）列举出X的可能取值，分别求概率，写出分布列，求出X的数学期望.【小问1详解】他最终得分为10分，则3轮比赛中有且仅有1轮比赛答对A难度问题故所求概率为【小问2详解】依题意得，X的可能取值为0，5，10，15，20，所以X的分布列为X05101520P所以X数学期望20. 已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.（1）求椭圆E的方程；（2）A为椭圆E下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为，且，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.【2021题答案】【答案】（1） （2）证明见解析，定点【解析】【分析
21、】（1）由的最大值为，得到，结合离心率列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）由（1）得到，求得直线，分别与椭圆联立方程组，求得和，利用斜率公式求得，求得直线的方程，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆的离心率为，可得，又由的最大值为，可得，可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：由（1）可得点的坐标为 因为直线的斜率分别记为，且，可得直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，整理得，解得或，将代入，可得，即，联立方程组，整理得，解得或，将代入，可得，即，则，所以直线的方程为，即，此时直线过定点，即直线恒过定点.21. 已知函数.（1）若，讨论零点的个数；（2）求证：当时，（注：
22、）.【2122题答案】【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得，得出函数的单调性和，分和，两种情况讨论，即可求解；（2）当时，由（1）中的单调性，证得当时，恒成立，把不等式转化为证明，令，利用导数求得函数单调性性与最小值，证得，进而证得恒成立.【小问1详解】解：由题意，函数，可得，令，可得 ，令，可得，所以在上单调递减，上单调递增，所以当时，此时没有零点当时，此时有且只有一个零点综上：当时，没有零点；当时，有且只有一个零点.【小问2详解】解：当时，可得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即，即当时，恒成立，因为，所以，要证，只需证，只需证，只需证，令，可得，当时
23、，单调递减；当时，单调递增，所以，即成立，当且仅当时，等号成立，又由不等式，当且仅当时，等号成立，所以恒成立.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为，曲线E的参数方程为（为参数）.（1）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l及曲线E的极坐标方程；（2）若P为曲线E在第一象限上一点，射线OP按逆时针方向旋转 ，与直线l相交于点Q，若的面积为，求的值.【2223题答案】【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化公式，可得到答案；（2）由题意可表示出，利用直线l极坐标方程结合的极坐标方程，表示出，根据OPQ的面积，可求出 ，由此
24、可得答案。【小问1详解】将极坐标与直角坐标的转化公式 代入，可得，即直线l极坐标方程为： ；曲线E的参数方程为（为参数）化为直角坐标方程为 ，则极坐标方程为：，即 ；【小问2详解】P为曲线E在第一象限上一点，则设 ，则 ，则射线 的极坐标方程为 ，代入到直线l极坐标方程中，可得 ，根据OPQ的面积为可得： ，即 ，即 ，故 ，故.23. 已知函数的最小值为2，.（1）求a的取值范围；（2）若，求k的最大值.【2324题答案】【答案】（1） （2）2【解析】【分析】（1）结合绝对值不等式即可求出a的取值范围；（2）分类讨论写出，结合的图象求出k的最大值.【小问1详解】即又，当且仅当时，取等号故a的取值范围是【小问2详解】由（1）得，当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，的图象如图所示，故，即k的最大值为2.
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