1、 2022 年河南省商丘市永城市中考数学一模试卷年河南省商丘市永城市中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1 （3 分）23的相反数是（ ） A32 B32 C23 D23 2 （3 分）据河南省统计局发布的信息，2021 年我省对外贸易取得新突破，全年全省进出口总值 8208.1 亿元，创河南省进出口规模历史新高，数据“8208.1 亿”用科学记数法表示为（ ） A0.820811012 B82081107 C8.20811011 D8.2081105
2、 3 （3 分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A对疫情后某班学生心理健康状况的调查 B对某大型自然保护区树木高度的调查 C对义乌市市民实施低碳生活情况的调查 D对某个工厂口罩质量的调查 4 （3 分）如图，已知 ab，含 30角的直角三角板的顶点在直线 b 上，若124，则2 等于（ ） A110 B112 C114 D120 5 （3 分）下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其主视图和左视图相同的是（ ） A B C D 6 （3 分）一元二次方程 3x2x1 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 7 （3
3、分）某兴趣小组组织跳绳比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行 21 场比赛设参赛的人数为 x，则 x 满足的关系式为（ ） A12( 1) = 21 Bx（x1）21 C12( + 1) = 21 Dx（x+1）21 8 （3 分）若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 = 2+1的图象上，则 y1，y2，y2的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 9 （3 分）如图，ABO 的边 OB 在 x 轴的负半轴上，O 是原点，点 B 的坐标为（4，0） ，把ABO 沿 x轴向右平移 3 个单位长度，得到DCE，连
4、接 AC，DO，若DOE 的面积为 6，则图中阴影部分ACO的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，以 B 为圆心，适当的长为半径画弧，交 BD，BC 于M，N 两点；再分别以 M，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 CD 于点F；再以 B 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线 BP 于点 E，则 EF 的长为（ ） A35 B45 C10 35 D10 45 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）如果分式2+1有意义，那么 x 的取值范围是 1
5、2 （3 分）已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，计算|3 | | 1| = 13 （3 分）在五个完全相同的小球上分别写上 1，2，3，4，5 这五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内随机取出一个球，记下数字后放回袋中搅匀，然后再从口袋中随机取出一个球，记下数字则两次取到的球上的数字相同的概率是 14 （3 分）如图，半径为 1 的O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A，D，则的长为 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，B30，AC3，D 是 AB 边上一点（不与点 A，B重合） ，将BCD 沿 CD 折叠，点 B 的对应点为点 B，连接 AB，当ABD
6、为直角三角形时，BD 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （10 分） （1）解不等式：12+23 1 （2）化简：(2+11+1) 22+12 17 （9 分）某校为了解全校学生的视力情况，随机抽取了部分学生进行调查，将抽取学生的视力情况绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图 组别 视力 人数 A 4.0 x4.3 30 B 4.3x4.6 n C 4.6x4.9 25 D 4.9x5.2 15 E 5.2x5.5 20 请你根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）填空：n ，D 组所在扇形的圆心角等于 （2）此次抽样调查中，
7、视力的中位数落在 组别 （3）视力不低于 4.9 属视力正常，低于 4.9 属视力不正常，请结合上述统计数据，分析该校学生的视力情况，并为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议 18 （9 分）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示） 测得底座 CE 2.5m，在平地上的 B 处测得石碑的底部 E 的仰角为 10，向前走 1m 到达点 D 处，测得石碑的顶端 A的仰角为 60，求石碑 AE 的高度 （精确到 0.1m；参考数据：sin100.17，cos100.98
8、，tan100.18，3 1.73） 19 （9 分）如图，已知O 和点 P按如下方式作图： 连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 A； 以 A 为圆心，OA 的长为半径作圆，交O 于点 B，C； 连接 PB 和 PC （1）用直尺和圆规补全图形 （保留作图痕迹） （2）求证：PB 和 PC 是O 的切线 20 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 在 x 轴负半轴上，且点 C 的坐标为（2， 0） ， CBO30， 将BCO 沿着 BC 翻折得到BCA， 点 O 的对应点 A 恰好落在反比例函数 y=的图象上，一次函数 ykx+b 的图象经
9、过点 A，C （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x0 时，不等式 kx+b0 的解集 21 （9 分）某实验中学计划购买甲、乙两种树苗绿化校园已知用 640 元购买甲种树苗的棵数比用 624 元购买乙种树苗的棵数少 5 棵，且乙种树苗的单价为甲种树苗单价的35 （1）问甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共 100 棵，并且要求乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的13，那么应按照什么方案购买才能使费用最少，最少费用应为多少？ 22 （10 分）如图，抛物线 ymx22mx4 与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 的坐标为（2，0） （1）求
10、点 B 的坐标及抛物线的解析式； （2）若抛物线与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 lx 轴，将抛物线在 y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象当直线 y=12x+b 与新图象只有 1 个公共点时，求 b 的取值范围 23 （10 分）阅读材料 如图 1，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长 DE 到点 F，使 EFDE，连接 CF，证明ADECFE，再证四边形 DBCF 是平行四边形即得证 类比迁移 （1）如图 2，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E
11、，交 AD 于点 F，且 AEEF，求证：ACBF 小明发现可以类比材料中的思路进行证明 证明：如图 2，延长 AD 至点 M，使 MDFD，连接 MC， 请根据小明的思路完成证明过程 方法运用 （2）如图 3，在等边ABC 中，D 是射线 BC 上一动点（点 D 在点 C 的右侧） ，连接 AD把线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 120得到线段 DEF 是线段 BE 的中点，连接 DF，CF 请你判断线段 DF 与 AD 的数量关系，并给出证明； 若 AB4，CF=12CD 请直接写出 CF 的长 2022 年河南省商丘市永城市中考数学一模试卷年河南省商丘市永城市中考数学一模试卷 答案与解析
12、答案与解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1 （3 分）23的相反数是（ ） A32 B32 C23 D23 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 【解答】解：23的相反数是23， 故选：D 2 （3 分）据河南省统计局发布的信息，2021 年我省对外贸易取得新突破，全年全省进出口总值 8208.1 亿元，创河南省进出口规模历史新高，数据“8208.1 亿”用科学记数法表示为（ ） A0.820811012 B82081107 C8.20
13、811011 D8.2081105 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：8208.1 亿8208100000008.20811011 故选：C 3 （3 分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A对疫情后某班学生心理健康状况的调查 B对某大型自然保护区树木高度的调查 C对义乌市市民实施低碳生活情况的调查 D对某个工厂口罩质量的调查 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断 【解答】解： （1）对疫情后
14、某班学生心理健康状况的调查，适合全面调查； （2）对某大型自然保护区树木高度的调查，适合抽样调查； （3）对义乌市市民实施低碳生活情况的调查，适合抽样调查； （4）对某个工厂口罩质量的调查，适合抽样调查 故选：A 4 （3 分）如图，已知 ab，含 30角的直角三角板的顶点在直线 b 上，若124，则2 等于（ ） A110 B112 C114 D120 【分析】由题意可求得DBC54，再由平行线的性质可求得3126，再利用四边形的内角和为360即可求得2 的度数 【解答】解：如图， 由题意得DBC1+3054， ab， DBC+3180， 3180DBC126， A90， 236090301
15、26114 故选：C 5 （3 分）下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其主视图和左视图相同的是（ ） A B C D 【分析】分别画出选项 A、选项 B、选项 C、选项 D 中的组合体的主视图、左视图即可 【解答】解：选项 A、选项 B、选项 C、选项 D 中的组合体的主视图、左视图如下： 故选：D 6 （3 分）一元二次方程 3x2x1 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：方程化为一般式为：3x2x10， （1）243（1）13
16、0， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 7 （3 分）某兴趣小组组织跳绳比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行 21 场比赛设参赛的人数为 x，则 x 满足的关系式为（ ） A12( 1) = 21 Bx（x1）21 C12( + 1) = 21 Dx（x+1）21 【分析】设参赛的人数为 x，由参赛的每两人之间都要比赛一场，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设参赛的人数为 x， 依题意，得：12x（x1）21 故选：A 8 （3 分）若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 = 2+1的图象上，则 y1，y2，y2的大小关系是（
17、 ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 【分析】根据 k 的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）所在的象限，确定 y2、y1、y3，大小关系 【解答】解：（m2+1）0， 反比例函数 = 2+1的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 因此点 A（2，y1） ，B（1，y2）在第二象限，而 C（2，y3）在第四象限， 0y2y1，y30， y3y1y2， 故选：B 9 （3 分）如图，ABO 的边 OB 在 x 轴的负半轴上，O 是原点，点 B 的坐标为（4，0） ，把
18、ABO 沿 x轴向右平移 3 个单位长度，得到DCE，连接 AC，DO，若DOE 的面积为 6，则图中阴影部分ACO的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据平移的性质和等高的三角形面积比等于底边的比即可求解 【解答】解：点 B 的坐标为（4，0） ，把三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 3 个单位长度， OE3，CO431， 图中阴影部分与三角形 ABO 等高，三角形 DOE 的面积为 6， 图中阴影部分的面积为=1362 故选：B 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，以 B 为圆心，适当的长为半径画弧，交 BD，BC 于M，N 两点；再分别以 M，N 为圆
19、心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 CD 于点F；再以 B 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线 BP 于点 E，则 EF 的长为（ ） A35 B45 C10 35 D10 45 【分析】先利用勾股定理计算出 BD10，再利用基本作图得 BF 平分CBD，BEBD10，则根据角平分线的性质得到 F 点到 BC 和 BD 的距离相等，接着利用面积法得到 CF：DF3：5，所以 CF3，DF5，然后利用勾股定理计算出 BF，从而得到 EF 的长 【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB8，BC6， CDAB8，BD= 62+ 82=10， 由作法得 BF 平分CBD
20、，BEBD10， F 点到 BC 和 BD 的距离相等， SBCF：SBDFBC：BD6：103：5， SBCF：SBDFCF：DF3：5， CF3，DF5， 在 RtBCF 中，BF= 32+ 62=35， EFBEBF1035 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）如果分式2+1有意义，那么 x 的取值范围是 x1 【分析】分式有意义的条件是分母不为 0 【解答】解：若分式有意义，则 x+10， 解得：x1 故答案为 x1 12 （3 分）已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，计算|3 | | 1| = 3 1 【分析】先根据数轴
21、判断出3 ，a1 的符号，再利用绝对值法则进行化简 【解答】解：由数轴可得：3 0，a10， 原式= 3 a（1a） = 3 a1+a = 3 1， 故答案为3 1 13 （3 分）在五个完全相同的小球上分别写上 1，2，3，4，5 这五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内随机取出一个球，记下数字后放回袋中搅匀，然后再从口袋中随机取出一个球，记下数字则两次取到的球上的数字相同的概率是 15 【分析】画树状图，共有 25 种等可能的情况数，其中两次取到的球上的数字相同的情况数有 5 种，再由概率公式求解即可 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 25 种等可能的情况数，其中两次取到的
22、球上的数字相同的有 5 种， 则两次取到的球上的数字相同的概率是525=15； 故答案为：15 14 （3 分）如图，半径为 1 的O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A，D，则的长为 23 【分析】连接 OA，OD，首先求得弧所对的圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算即可 【解答】解：连接 OA，OD， O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A、D， OAFODE90， EF120， AOD5409090120120120， 的长为1201180=23， 故答案为：23 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，B30，AC3，D 是 AB 边上一点（不与点 A，B重合）
23、 ，将BCD 沿 CD 折叠，点 B 的对应点为点 B，连接 AB，当ABD 为直角三角形时，BD 的长为 33 3 或 23 【分析】依据在 RtABC 中，BAC90，B30，AC3，即可得到 AB= 33；再分两种情况进行讨论：ADB90，DAB90，分别依据等腰直角三角形的性质以及含 30角的直角三角形的性质，即可得到 BD 的长 【解答】解：在 RtABC 中，BAC90，B30，AC3， AB= 33， 分两种情况： 如图（1）所示，若ADB90，则 ACBD， ACBDBCB30，BCB30， 由折叠可得DCB=12BCB15， ACD45，ADC45， ACAD3， BDABA
24、D= 33 3； 如图（2）所示，若DAB90，则 B，A，C 三点共线， 由折叠可得，BB30， RtABD 中，AD=12BD=12BD， 又AB= 33， BD=23AB23 综上所述，BD 的长为33 3 或 23 故答案为：33 3 或 23 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （10 分） （1）解不等式：12+23 1 （2）化简：(2+11+1) 22+12 【分析】 （1）根据解一元一次不等式步骤即可求解； （2）把除化为乘，将分子、分母分解因式，约分即可 【解答】解： （1）两边同时乘以 6 得：3（x1）2（x+2）6
25、， 去括号得：3x32x46， 移项得：3x2x6+3+4， 合并同类项得：x1； （2）原式=21+1(1)(1)2 =(+1)(1)+1(1)(1)2 a 17 （9 分）某校为了解全校学生的视力情况，随机抽取了部分学生进行调查，将抽取学生的视力情况绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图 组别 视力 人数 A 4.0 x4.3 30 B 4.3x4.6 n C 4.6x4.9 25 D 4.9x5.2 15 E 5.2x5.5 20 请你根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）填空：n 10 ，D 组所在扇形的圆心角等于 54 （2）此次抽样调查中，视力的中位数落在 C 组别 （3）视
26、力不低于 4.9 属视力正常，低于 4.9 属视力不正常，请结合上述统计数据，分析该校学生的视力情况，并为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议 【分析】 （1）由 C 组利用频数、频率、总数间关系求出抽样人数，再根据频数之和等于总数求出 n，利用 360C 组频率求出其圆心角； （2）根据中位数的定义，确定所在的组别； （3）先计算样本中视力良好的比率，再提出建议 【解答】解： （1）由频数分布表知，样本中 C 组有 25 名， 由扇形图知，样本中 C 组人数占样本人数的 25%， 所以共抽查人数为 2525%100（名） n1003025152010（名） ， 所以 D 组所
27、在扇形的圆心角等于：36015100=54 故答案为：10，54； （2）因为共抽查了 100 名， 所以第 50、51 在 C 组即视力的中位数在 C 组别 故答案为：C； （3）样本中视力良好的有：15+2035（名） ，占样本的35100100%35% 说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控，课间做眼保健操等 18 （9 分）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示） 测得底座 CE2.5m，在平地上的 B 处测得石碑的底部 E 的仰角为 10，
28、向前走 1m 到达点 D 处，测得石碑的顶端 A的仰角为 60，求石碑 AE 的高度 （精确到 0.1m；参考数据：sin100.17，cos100.98，tan100.18，3 1.73） 【分析】设 CDxm，则 BC（x+1）m，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：设 CDxm，则 BC（x+1）m， 在 RtBCE 中，tan10=， 0.182.5+1， x12.9， 在 RtACD 中，tan60= 3， AC22.3， AE22.32.519.8（m） ， 答：石碑 AE 的高度为 19.8m 19 （9 分）如图，已知O 和点 P按如下方式作图： 连接 OP，作线段 OP 的
29、垂直平分线，交 OP 于点 A； 以 A 为圆心，OA 的长为半径作圆，交O 于点 B，C； 连接 PB 和 PC （1）用直尺和圆规补全图形 （保留作图痕迹） （2）求证：PB 和 PC 是O 的切线 【分析】 （1）利用几何意义画出对应的几何图形即可； （2）连接 OB、OC，如图，根据圆周角定理得到PBOPCO90，则 OBPB，OCPC，然后根据切线的判定定理得到结论 【解答】 （1）解：如图， （2）证明：连接 OB、OC，如图， OP 为A 的直径， PBOPCO90， OBPB，OCPC， 而 OB、OC 为O 的半径， PB 和 PC 是O 的切线 20 （9 分）如图，在平面
30、直角坐标系中，点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 在 x 轴负半轴上，且点 C 的坐标为（2， 0） ， CBO30， 将BCO 沿着 BC 翻折得到BCA， 点 O 的对应点 A 恰好落在反比例函数 y=的图象上，一次函数 ykx+b 的图象经过点 A，C （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x0 时，不等式 kx+b0 的解集 【分析】 （1）根据题意得到 CE=12AC1，AE= 3，即可得到点 A 的坐标为（3，3） ，代入 y=即可求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）解析式联立成方程组，解方程组求得 D 的坐标，然后根据图
31、象即可求得当 x0 时，不等式 kx+b0 的解集 【解答】解： （1）如图，过点 A 作 AEx 轴于点 E， 在 RtBOC 中，OC2，CBO30， BCO60， 由翻折可知ABCCBO30，ACBBCO60，ACOC2， ACE60，CAE30， CE=12AC1，AE= 3CE= 3， EO3， 点 A 的坐标为（3，3） ， 将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式可得3 =3， 解得 m33， 故反比例函数的解析式为 y= 33； 将点 A，C 的坐标代入一次函数的解析式可得3 + = 32 + = 0， 解得 = 3 = 23， 故一次函数的解析式为 y= 3x23； （2）联立
32、得 = 33 = 3 23，解得 = 1 = 33或 = 3 = 3， 点 D 的坐标为（1，33） 由图象可得当 x0 时，不等式 kx+b0 的解集为 0 x1 21 （9 分）某实验中学计划购买甲、乙两种树苗绿化校园已知用 640 元购买甲种树苗的棵数比用 624 元购买乙种树苗的棵数少 5 棵，且乙种树苗的单价为甲种树苗单价的35 （1）问甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共 100 棵，并且要求乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的13，那么应按照什么方案购买才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【分析】 （1）设甲种树苗每棵 x 元，则乙种树苗每棵35x
33、 元，可得640=624355，即可解得甲种树苗每棵80 元，乙种树苗每棵 48 元； （2）设购进甲种树苗 m 棵，则购进乙种树苗（100m）棵，费用是 w 元，可得 w80m+48（100m）32m+4800，根据乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的13，可得 m75，根据一次函数性质即可得购进甲种树苗 75 棵，购进乙种树苗 25 棵，所需费用最少是 7200 元 【解答】解： （1）设甲种树苗每棵 x 元，则乙种树苗每棵35x 元， 根据题意得：640=624355， 解得 x80， 经检验，x80 是原方程的解， 35x=358048， 答：甲种树苗每棵 80 元，乙种树苗每棵 48
34、元； （2）设购进甲种树苗 m 棵，则购进乙种树苗（100m）棵，费用是 w 元， 根据题意得：w80m+48（100m）32m+4800， 即 w32m+4800， 乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的13， 100m13m， 解得 m75， 在 w32m+4800 中，320， w 随 m 的增大而增大， m75 时，w 最小，最小值是 3275+48007200， 此时 100m1007525， 答：购进甲种树苗 75 棵，购进乙种树苗 25 棵，所需费用最少是 7200 元 22 （10 分）如图，抛物线 ymx22mx4 与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 的坐标为（2，0） （1）
35、求点 B 的坐标及抛物线的解析式； （2）若抛物线与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 lx 轴，将抛物线在 y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象当直线 y=12x+b 与新图象只有 1 个公共点时，求 b 的取值范围 【分析】 （1）先根据对称轴公式求得抛物线的对称轴为：x= 22=1，依此即可求得 B 点坐标；将 A点坐标分别代入抛物线 ymx22mx4， 得到关于 m 的方程， 求得 m 的值， 从而得到抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式得到 C（0，4） ，当直线 y=12x+b 经过点 C 时，求得 b4，根据一元二次方程根的判别式即
36、可得到结论 【解答】解： （1）依题意，可得抛物线的对称轴为：x= 22=1， 抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 的坐标为（2，0） ， 点 B 的坐标为 （4，0） ； 点 A 在二次函数 ymx22mx4 的图象上， 04m+4m4， 解得：m=12， 抛物线的解析式为 y=12x2x4； （2）当 x0 时，y=12x2x44， 抛物线与 y 轴的交点为 C， C（0，4） ， 当直线 y=12x+b 经过点 C 时， 4=120+b， b4， 当直线 y=12x+b（b4）与函数 y=12x2x4（x0）的图象只有一个公共点时，也就是12x+b=12x2x4 有相等的实数根，
37、 整理方程，得 x23x（8+2b）0， 由根的判别式（3）2+4（8+2b）8b+410， 解得 b= 418； 当直线 y=12x+b 与新图象只有 1 个公共点时，b 的取值范围为 b4 或 b418 23 （10 分）阅读材料 如图 1，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长 DE 到点 F，使 EFDE，连接 CF，证明ADECFE，再证四边形 DBCF 是平行四边形即得证 类比迁移 （1）如图 2，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 AEEF，求证：ACBF
38、小明发现可以类比材料中的思路进行证明 证明：如图 2，延长 AD 至点 M，使 MDFD，连接 MC， 请根据小明的思路完成证明过程 方法运用 （2）如图 3，在等边ABC 中，D 是射线 BC 上一动点（点 D 在点 C 的右侧） ，连接 AD把线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 120得到线段 DEF 是线段 BE 的中点，连接 DF，CF 请你判断线段 DF 与 AD 的数量关系，并给出证明； 若 AB4，CF=12CD 请直接写出 CF 的长 【分析】 （1）延长 AD 至 M，使 MDFD，连接 MC，证明BDFCDM（SAS） ，由全等三角形的性质可得出 MCBF，MBFM，则可得出
39、结论； （2）延长 DF 至点 M，使 DFFM，连接 BM、AM，先证BFMEFD（SAS） ，得 BMDE，MBFDEF， 则 BMDE， 再证ABMACD （SAS） ， 得 AMAD， BAMCAD， 然后证AMD是等边三角形，即可得出结论； 分两种情况，当 CF 为BDE 的中位线时，CF=12CD=12DE，可求出答案；当 CF 不是BDE 的中位线时，连接 CE，取 BC 的中点 N，连接 FN，过点 D 作 DGCE，过点 G 作 GICD 于点 I，过点 F 作FHBC 于点 H，证明 RtFCHRtGDI（HL） ，得出 CHDI，则可得出答案 【解答】 （1）证明：延长
40、AD 至 M，使 MDFD，连接 MC， 在BDF 和CDM 中， = = = ， BDFCDM（SAS） ， MCBF，MBFM， AEEF， EAFEFA， EFABFM， MMAC， ACMC， ACBF； （2）解：线段 DF 与 AD 的数量关系为：AD2DF， 证明如下：延长 DF 至点 M，使 DFFM，连接 BM、AM，如图 2 所示： 点 F 为 BE 的中点， BFEF， 在BFM 和EFD 中， = = = ， BFMEFD（SAS） ， BMDE，MBFDEF， BMDE， 线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 120得到线段 DE， CDDEBM，BDE120， MBD1
41、8012060， ABC 是等边三角形， ABAC，ABCACB60， ABMABC+MBD60+60120， ACD180ACB18060120， ABMACD， 在ABM 和ACD 中， = = = ， ABMACD（SAS） ， AMAD，BAMCAD， MADMAC+CADMAC+BAMBAC60， AMD 是等边三角形， ADDM2DF； 解：CF 的长为 1 或 2 当 CF 为BDE 的中位线时，CF=12CD=12DE， C 为 BD 的中点， CDBC4， CF=12CD2， 如图 3，当 CF 不是BDE 的中位线时，连接 CE，取 BC 的中点 N，连接 FN，过点 D 作 DGCE，过点 G 作 GICD 于点 I，过点 F 作 FHBC 于点 H， CDE 为等腰三角形，CDE120， DCE30， DG=12CD，CG=12CE， CF=12CD， DGCF， N 为 BC 的中点，F 为 BE 的中点， NF 是BCE 的中位线， NFCE，NF=12CECG， CNFDCE30， HF=12NF，GI=12CG， HFGI，NHCI， FCGD， RtFCHRtGDI（HL） ， CHDI， NH+CHCI+DI，即 NCCD， CD2，即 CF1， 综上所述，CF 的长为 1 或 2
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