1、 2022 年广东省珠海市中考数学年广东省珠海市中考数学模模拟拟试卷试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1 （3 分）5 的相反数是（ ） A5 B5 C15 D15 2 （3 分）现有一组数据 3，4，6，5，5，则这组数据的中位数是（ ） A6 B5 C4 D3 3 （3 分）点 P（a，4）与 Q（2，4）关于 x 轴对称，则 a 的值为（ ） A6 B2
2、C2 D6 4 （3 分）一个正多边形的内角和是 900 度，则这个多边形是（ ） A正六边形 B正七边形 C正八边形 D正九边形 5 （3 分）函数 y=+32中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 且 x2 Cx2 Dx3 且 x2 6 （3 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线交 AC，BC 于点 D，E若ABC 的周长为 30，BE5，则ABD 的周长为（ ） A10 B15 C20 D25 7 （3 分）如果不等式组31 36的解集是 x3，那么 m 的取值范围是（ ） Am78 Bm78 Cm3 Dm3 8 （3 分）如图，A 是反比例函数 y=的图象上一点，过点
3、 A 作 ABy 轴于点 B，点 C 在 x 轴上，且 SABC2，则 k 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 9 （3 分）如图把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D、C位置，若EFB60，则AED（ ） A50 B55 C60 D65 10 （3 分）如图，已知点 A（3，2） ，B（0，1） ，射线 AB 绕点 A 逆时针旋转 30，与 x 轴交于点 C，则过 A，B，C 三点的二次函数 yax2+bx+1 中 a，b 的值分别为（ ） Aa2，b= 533 Ba=12，b= 36 Ca3，b= 833 Da= 13，b=233 二、填空题（本大题共二、填空题（本大
4、题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置分请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）上） 11 （4 分）分解因式：a22ab 12 （4 分）若13ax+yb3与 2a3by是同类项，则 yx 13 （4 分）若 x、y 为实数，且|x+3|+ 3 =0，则（）2021的值为 14 （4 分）若 x2+2x 的值是 6，则 2x2+4x7 的值是 15（4 分） 如图， 在ABC 中， B30， C50， 通过观察尺规作图的痕迹， DAE 的度数是 16 （4 分）如图，圆锥的高 AO4，底面圆半径为 3，则圆锥的侧面积
5、为 17（4分） 如图所示， 设G是ABC的重心， 过G的直线分别交AB， AC于点P， Q两点， 则+= 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）先化简，再求值： （2a3b）2（3b+a） （3ba） ，其中 a= 2， = 3 19 （6 分）某中学号召学生开展社会实践活动学校随机地通过问卷形式调查了 200 名学生，并将学生参加社会实践活动的天数，绘制了如图不完整的条形统计图： 请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形） ： （1）补全条形统计图； （2）学生参加社会实践活动
6、天数的中位数是 天；学生参加社会实践活动天数的众数是 天； （3）该校共有 1500 人，请你估计“实践活动时间为 5 天”的学生有多少人？ 20 （6 分）如图，ABEDCE，点 E 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，FA，求证：ADBF 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+k10 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若此方程的两实数根 x1，x2满足 x12+x2210，求 k 的值 22 （8 分）有甲、乙两种客车，2 辆甲种客
7、车与 3 辆乙种客车的总载客量为 170 人，1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 100 人 （1）请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？ （2）某单位组织 180 名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党 100 周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共 5 辆，总费用在 1950 元的限额内，一次将全部员工送到指定地点若每辆甲种客车的租金为400 元，每辆乙种客车的租金为 320 元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？ 23（8分） 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形ABCD的顶点A， B在x轴的正半轴上， 顶点D在直线y=32x位于第一象限的图象上，反比例
8、函数 y=（x0）的图象经过点 D，交 BC 于点 E，AB4 （1）如果 BC6，求点 E 的坐标； （2）连接 DE，当 DEOD 时，求点 D 的坐标 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，AB10，点 O，E 在边 CD 上，且 CE2，DO3，以点 O 为圆心，OE 为半径在其左侧作半圆 O，分别交 AD 于点 G，交 CD 的延长线于点 F （1）AG ； （2）如图 2，将半圆 O 绕点 E 逆时针旋转 （0180） ，点 O 的对应点为 O，
9、点 F 的对应点为F，设 M 为半圆 O上一点 当点 F落在 AD 边上时，求点 M 与线段 BC 之间的最短距离； 当半圆 O交 BC 于 P，R 两点时，若的长为53，求此时半圆 O与正方形 ABCD 重叠部分的面积； 当半圆 O与正方形 ABCD 的边相切时，设切点为 N，直接写出 tanEND 的值 25 （10 分）如果抛物线 C1的顶点在抛物线 C2上，抛物线 C2的顶点也在抛物线 C1上时，那么我们称抛物线 C1与 C2“互为关联”的抛物线如图 1，已知抛物线 C1：y1=14x2+x 与 C2：y2ax2+x+c 是“互为关联”的抛物线，点 A，B 分别是抛物线 C1，C2的顶
10、点，抛物线 C2经过点 D（6，1） （1）直接写出 A，B 的坐标和抛物线 C2的解析式； （2）抛物线 C2上是否存在点 E，使得ABE 是直角三角形？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 F（6，3）在抛物线 C1上，点 M，N 分别是抛物线 C1，C2上的动点，且点 M，N 的横坐标相同，记AFM 面积为 S1（当点 M 与点 A，F 重合时 S10） ，ABN 的面积为 S2（当点 N 与点A，B 重合时，S20） ，令 SS1+S2，观察图象，当 y1y2时，写出 x 的取值范围，并求出在此范围内 S的最大值 2022 年广东省珠海市中考数学
11、年广东省珠海市中考数学模拟模拟试卷试卷 参考答案与详解参考答案与详解 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1 （3 分）5 的相反数是（ ） A5 B5 C15 D15 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：5 的相反数是5， 故选：A 2 （3 分）现有一组数据 3，4，6，5，5，则这组数据的中位数是（ ） A6 B5 C4 D
12、3 【分析】根据中位数的意义求解即可 【解答】解：将这组数据从小到大排列为：3，4，5，6，6，处在中间位置的数为 5，因此中位数是 5， 故选：B 3 （3 分）点 P（a，4）与 Q（2，4）关于 x 轴对称，则 a 的值为（ ） A6 B2 C2 D6 【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特征判断即可 【解答】解：点 P（a，4）与 Q（2，4）关于 x 轴对称， a2， 故选：C 4 （3 分）一个正多边形的内角和是 900 度，则这个多边形是（ ） A正六边形 B正七边形 C正八边形 D正九边形 【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于 900，列出方程，解出即可 【解答
13、】解：设这个多边形的边数为 n， 则有（n2）180900， 解得：n7， 这个多边形的边数为 7 故选：B 5 （3 分）函数 y=+32中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 且 x2 Cx2 Dx3 且 x2 【分析】根据分母不为 0，被开方数大于等于 0 进行计算即可 【解答】解：由题意得： x+30 且 x20， x3 且 x2， 故选：B 6 （3 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线交 AC，BC 于点 D，E若ABC 的周长为 30，BE5，则ABD 的周长为（ ） A10 B15 C20 D25 【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明ABD 的周长AB+AC
14、 即可解决问题 【解答】解：BC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D，E， DBDC，BEEC BE5， BC2BE10 ABC 的周长为 30， AB+AC+BC30 AB+AC20 ABD 的周长AB+AD+BDAB+AD+DCAB+AC20， 故选：C 7 （3 分）如果不等式组31 36的解集是 x3，那么 m 的取值范围是（ ） Am78 Bm78 Cm3 Dm3 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案 【解答】解：解不等式3136，得：x3， xm 且不等式组的解集为 x3， m3， 故选：D 8 （3 分）如图，A 是反比例函数 y=
15、的图象上一点，过点 A 作 ABy 轴于点 B，点 C 在 x 轴上，且 SABC2，则 k 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 【分析】先设 A 点坐标，再根据点 A 在第二象限，则 x0，y0，然后由三角形面积公式求出 xy 即可 【解答】解：设点 A 的坐标为（x，y） ， 点 A 在第二象限， x0，y0， SABC=12ABOB=12|x|y|= 12xy2， xy4， A 是反比例函数 y=的图象上一点， kxy4， 故选：B 9 （3 分）如图把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D、C位置，若EFB60，则AED（ ） A50 B55 C60 D65 【分析
16、】根据两直线平行，内错角相等可得1EFB，再根据翻折变换的性质可得21，然后根据平角等于 180列式计算即可得解 【解答】解：如图，长方形纸片对边平行， 1EFB60， 由翻折的性质得，2160， AED18012180606060 故选：C 10 （3 分）如图，已知点 A（3，2） ，B（0，1） ，射线 AB 绕点 A 逆时针旋转 30，与 x 轴交于点 C，则 过 A，B，C 三点的二次函数 yax2+bx+1 中 a，b 的值分别为（ ） Aa2，b= 533 Ba=12，b= 36 Ca3，b= 833 Da= 13，b=233 【分析】作辅助线，根据平行相似可证明BODAED，列
17、比例式可得点 C 的坐标，列方程组可得结论 【解答】解：如图，过点 A 作 AEx 轴于点 E， 点 A（3，2） ， AE2，OE= 3， B（0，1） ， OB1， OBAE， BODAED， =12， DE23， ADE30， DAC30， CAE30， CE=3=23=233， C（33，0） ， 把 A（3，2）和 C（33，0）代入二次函数 yax2+bx+1 中得：3 + 3 + 1 = 213 +33 + 1 = 0， 解得： = 2 = 533 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分请将下列各题的正确答案填
18、写在答题卡相应的位置分请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）上） 11 （4 分）分解因式：a22ab a（a2b） 【分析】直接提取公因式 a 即可 【解答】解：a22aba（a2b） ， 故答案为：a（a2b） 12 （4 分）若13ax+yb3与 2a3by是同类项，则 yx 3 【分析】根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于 x 和 y 的两个等式，通过解等式求出它们的值，最后代入 yx 中求值即可 【解答】解：由同类项的定义可知：x+y3，y3， x0，y3， 所以 yx303 故答案为：3 13 （4 分）若 x、y 为实数，且|x+3|+ 3 =0，则（）
19、2021的值为 1 【分析】根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性解决此题 【解答】解：|x+3|0， 3 0， 当|x+3|+ 3 =0 时，x+30，y30 x3，y3 ()2021= (33)2021= (1)2021= 1 故答案为：1 14 （4 分）若 x2+2x 的值是 6，则 2x2+4x7 的值是 5 【分析】先变形，再整体代换求值 【解答】解：x2+2x6， 原式2（x2+2x）7 267 5 故答案为：5 15（4 分） 如图， 在ABC 中， B30， C50， 通过观察尺规作图的痕迹， DAE 的度数是 35 【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得BAD
20、30，结合三角形内角和定理求出CAD，根据角平分线的定义即可求出DAE 的度数 【解答】解：DF 垂直平分线段 AB， DADB， BADB30， B30，C50， BAC180BC1803050100， CADBACBAD1003070， AE 平分CAD， DAE=12CAD=127035， 故答案为：35 16 （4 分）如图，圆锥的高 AO4，底面圆半径为 3，则圆锥的侧面积为 15 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算 【解答】解：圆锥的高 AO4，底面圆半径为 3， 圆锥的母线长= 32+ 42=5， 圆锥的侧面积=1223515 故答案为：15 1
21、7（4 分） 如图所示， 设 G 是ABC 的重心， 过 G 的直线分别交 AB， AC 于点 P， Q 两点， 则+= 1 【分析】过点 B、C 作 BEAD，CFAD，交直线 PQ 于点 E、F，得四边形 BEFC 是梯形，再利用重心的定义及性质，可得 AG2DG，点 D 是 BC 的中点，再利用梯形的中位线定理可得到 BE+CF2DG，利用平行线分线段成比例定理=，=，即可求出 【解答】解：过点 B、C 作 BEAD，CFAD，交直线 PQ 于点 E、F， 四边形 BEFC 是梯形， G 是ABC 的重心， AG2DG，点 D 是 BC 的中点， BE+CF2DG， BEGD， =， G
22、DCF， =， +=+=+=2=1， 故答案为：1 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）先化简，再求值： （2a3b）2（3b+a） （3ba） ，其中 a= 2， = 3 【分析】先去括号，再合并同类项，然后再把 a，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答 【解答】解： （2a3b）2（3b+a） （3ba） 4a212ab+9b29b2+a2 5a212ab， 当 a= 2， = 3时，原式5（2）212 2 3 10126 19 （6 分）某中学号召学生开展社会实践活动学校随机地通过问
23、卷形式调查了 200 名学生，并将学生参加社会实践活动的天数，绘制了如图不完整的条形统计图： 请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形） ： （1）补全条形统计图； （2）学生参加社会实践活动天数的中位数是 5 天；学生参加社会实践活动天数的众数是 6 天； （3）该校共有 1500 人，请你估计“实践活动时间为 5 天”的学生有多少人？ 【分析】 （1）先求出社会实践活动天数为 6 天的人数，从而补全统计图； （2）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （3）用该校的总人数乘以“实践活动时间为 5 天”的学生所占的百分比即可 【解答】解： （1）实践活动 6 天的人数有：200
24、3050402060（人） ， 补全统计图如下： （2）共有 200 名学生，中位数第 100、101 个数的平均数， 中位数是5+52=5（天） ， 参加社会实践活动为 6 天出现的人数最多，出现了 60 次， 学生参加社会实践活动天数的众数是 6 天 故答案为：5，6； （3）根据题意得：150040200=300（人） ， 答：估计“实践活动时间为 5 天”的学生有 300 人 20 （6 分）如图，ABEDCE，点 E 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，FA，求证：ADBF 【分析】根据ABEDCE 得到AADC，然后利用FA 得到FEDC，利用同位角相等，两直线平行证得结
25、论 【解答】证明：ABEDCE， AADC， FA， FEDC， ADBF 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+k10 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若此方程的两实数根 x1，x2满足 x12+x2210，求 k 的值 【分析】 （1）利用根的判别式的意义得到（4）24（k1）0，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到 x1+x24，x1x2k1，再利用 x12+x2210 得到 422（k1）10，接着解关于 k 的方程，然后利
26、用 k 的范围确定满足条件的 k 的值 【解答】解： （1）根据题意得（4）24（k1）0， 解得 k5； （2）根据根与系数的关系得 x1+x24，x1x2k1， x12+x2210， （x1+x2）22x1x2422（k1）10， 解得 k4， k5， k4 故 k 的值是 4 22 （8 分）有甲、乙两种客车，2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 170 人，1 辆甲种客车与 2 辆乙 种客车的总载客量为 100 人 （1）请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？ （2）某单位组织 180 名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党 100 周年”活动，拟租用
27、甲、乙两种客车共 5 辆，总费用在 1950 元的限额内，一次将全部员工送到指定地点若每辆甲种客车的租金为400 元，每辆乙种客车的租金为 320 元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？ 【分析】 （1）可设 1 辆甲种客车的载客量为 x 人，1 辆乙种客车的载客量为 y 人，根据等量关系 2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 170 人，1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 100 人，列出方程组求解即可； （2）根据题意列出不等式组，进而求解即可 【解答】解： （1）设 1 辆甲种客车的载客量为 x 人，1 辆乙种客车的载客量为 y 人，根据题意得： 2 + 3 = 1
28、70 + 2 = 100， 解得 = 40 = 30， 答：1 辆甲种客车的载客量为 40 人，1 辆乙种客车的载客量为 30 人； （2）设租用甲种客车 a 辆，则租用乙种客车（5a）辆，依题意有： 40 + 30(5 ) 180400 + 320(5 ) 1950， 解得3 358， a 为整数， a3 或 4， 当 a3 时，租 3 辆甲车，2 辆乙车，费用为：3400+23201840（元） ， 当 a4 时，租 3 辆甲车，1 辆乙车，费用为：4400+13201920（元） ， 故有 2 种租车方案，最少租车费用是 1840 元 23（8分） 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形AB
29、CD的顶点A， B在x轴的正半轴上， 顶点D在直线y=32x位于第一象限的图象上，反比例函数 y=（x0）的图象经过点 D，交 BC 于点 E，AB4 （1）如果 BC6，求点 E 的坐标； （2）连接 DE，当 DEOD 时，求点 D 的坐标 【分析】 （1）求出点 D（4，6） ，将点 D 的坐标代入反比例函数表达式，进而求解； （2）证明OADECD，求出 CE=83和点 E（2a+4，3a83） ，将点 D、E 的坐标代入反比例函数表达式，即可求解 【解答】解： （1）BC6，则 ADBC6， 当 y6 时，y=32x6，解得：x4，故点 D（4，6） ， 将点 D 的坐标代入反比例函
30、数表达式得：k4624， 故反比例函数表达式为：y=24， OBOA+AB8，即点 E 的横坐标为 8，则 y=248=3， 故点 E（8，3） ； （2）设点 D（2a，3a） （a0） ， 四边形 ABCD 为矩形，故DAOADC90， DEOD，ODAEDC， 又OADEDC90， OADECD， =，即2=43，解得：CE=83， 故点 E（2a+4，3a83） ， 点 D、E 都在反比例函数图象上， 2a3a（2a+4） （3a83） ，解得：a=85， 故点 D（165，245） 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分
31、，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，AB10，点 O，E 在边 CD 上，且 CE2，DO3，以点 O 为圆心，OE 为半径在其左侧作半圆 O，分别交 AD 于点 G，交 CD 的延长线于点 F （1）AG 6 ； （2）如图 2，将半圆 O 绕点 E 逆时针旋转 （0180） ，点 O 的对应点为 O，点 F 的对应点为F，设 M 为半圆 O上一点 当点 F落在 AD 边上时，求点 M 与线段 BC 之间的最短距离； 当半圆 O交 BC 于 P，R 两点时，若的长为53，求此时半圆 O与正方形 ABCD 重叠部分的面积； 当半圆 O与正方形 ABCD 的
32、边相切时，设切点为 N，直接写出 tanEND 的值 【分析】 （1）连接 OG，如图 1，先由正方形的边长与已知线段求得半径 OE，再由勾股定理求得 DG，进而得 AG； （2）如图 2，过点 O作 OHBC 于点 H，交半圆 O于点 M，反向延长 HO交 AD 于点 Q，由三角形的中位线求得 OQ，进而由线段和差求得 MH 便可； 由弧长公式求得POQ 的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可； 分两种情况： 当半圆 O与正方形 ABCD 的边 BC 相切时； 当半圆 O与正方形 ABCD 的边 AB 相切时 分别求出结果便可 【解答】解： （1）连接 OG，如图 1，
33、 正方形 ABCD 中，AB10， ADCDAB10，ADC90， CE2，DO3， OGOECDCEOD10235， DG= 2 2= 4， AGADDG1046， 故答案为：6； （2）如图 2，过点 O作 OHBC 于点 H，交半圆 O于点 M，反向延长 HO交 AD 于点 Q，则QHC90， 根据三点共线及垂线段最短可得此时点 M 到 BC 的距离最短， CDQHC90， 四边形 QHCD 是矩形， HQCD10，HQCD 点 O是 EF的中点，点 Q 是 DF的中点， DE8， =12 = 4， OH6， CE2，DO3， OE10235，即半圆的半径为 5， MH1， 即点 M 到
34、 BC 的最短距离为 1； 由可知半圆 O 的半径为 5，如图 3，设POR 的度数为 ， 由题意得，的长为=180 5 =53， POR60， FOP+EOR120， 扇形+ 扇形=120360 52=253， ORPO， ORP 是等边三角形， =2534， 此时半圆 O与正方形 ABCD 重叠部分的面积为2534+253； 当半圆 O与正方形 ABCD 的边 BC 相切时，如图 4，过点 D 作 DHNE，与 NE 的延长线交于点 H，作 EGON 于点 G，则 NGCE2，ONOE5， OG523， CNGE= 52 32= 4， = 2+ 2= 116， NE= 2+ 2= 25，
35、=12 =12 ， =8425=1655， NH= 2 2=116 2565=1855， tanEND=89； 当半圆 O与正方形 ABCD 的边 AB 相切时，如图 5，此时 N 与 F重合，则 EFAB， ABCD， EFCD， tanEND=810=45， 综上，tanEND=89或45 25 （10 分）如果抛物线 C1的顶点在抛物线 C2上，抛物线 C2的顶点也在抛物线 C1上时，那么我们称抛物线 C1与 C2“互为关联”的抛物线如图 1，已知抛物线 C1：y1=14x2+x 与 C2：y2ax2+x+c 是“互为关联”的抛物线，点 A，B 分别是抛物线 C1，C2的顶点，抛物线 C
36、2经过点 D（6，1） （1）直接写出 A，B 的坐标和抛物线 C2的解析式； （2）抛物线 C2上是否存在点 E，使得ABE 是直角三角形？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 F（6，3）在抛物线 C1上，点 M，N 分别是抛物线 C1，C2上的动点，且点 M，N 的横坐标相同，记AFM 面积为 S1（当点 M 与点 A，F 重合时 S10） ，ABN 的面积为 S2（当点 N 与点 A，B 重合时，S20） ，令 SS1+S2，观察图象，当 y1y2时，写出 x 的取值范围，并求出在此范围内 S的最大值 【分析】 （1） 由抛物线 C1： y1=1
37、4x2+x 可得 A （2， 1） ， 将 A （2， 1） ， D （6， 1） 代入 y2ax2+x+c，求得 y2= 142+x+2，B（2，3） ； （2）易得直线 AB 的解析式：yx+1，若 B 为直角顶点，BEAB，E（6，1） ；若 A 为直角顶点，AEAB，E（10，13） ；若 E 为直角顶点，设 E（m，14m2+m+2）不符合题意； （3）由 y1y2，得2x2，设 M（t，142+ ） ，N（t，142+ + 2） ，且2t2，易求直线AF 的解析式：yx3，过 M 作 x 轴的平行线 MQ 交 AF 于 Q，S1=122+ 4 + 6，设 AB 交 MN 于点 P，
38、易知 P（t，t+1） ，S22122，所以 SS1+S24t+8，当 t2 时，S 的最大值为 16 【解答】解：由抛物线 C1：y1=14x2+x 可得 A（2，1） ， 将 A（2，1） ，D（6，1）代入 y2ax2+x+c 得 4 2 + = 136 + 6 + = 1， 解得 = 14 = 2， y2= 142+x+2， B（2，3） ； （2）易得直线 AB 的解析式：yx+1， 若 B 为直角顶点，BEAB，kBEkAB1， kBE1， 直线 BE 解析式为 yx+5 联立 = + 5 = 142+ + 2， 解得 x2，y3 或 x6，y1， E（6，1） ； 若 A 为直角
39、顶点，AEAB， 同理得 AE 解析式：yx3， 联立 = 3 = 142+ + 2， 解得 x2，y1 或 x10，y13， E（10，13） ； 若 E 为直角顶点，设 E（m，14m2+m+2） 由 AEBE 得 kBEkAE1， 即142+12142+3+2= 1， (24+4)(2412)16(+2)(2)= 1， (2)2(6)(+2)16(+2)(2)= 1， （m2）2（m6） （m+2）16（m+2） （m2） ， （m+2） （m2）（m2） （m6）+160， m+20 或 m20，或（m2） （m6）+160（无解） 解得 m2 或2（不符合题意舍去） ， 点 E 的坐标 E（6，1）或 E（10，13） ； （3）y1y2， 2x2， 设 M（t，142+ ） ，N（t，142+ + 2） ，且2t2， 易求直线 AF 的解析式：yx3， 过 M 作 x 轴的平行线 MQ 交 AF 于 Q， 则 Q（142 3，142+ ） ， S1=12QM|yFyA| =122+ 4 + 6 设 AB 交 MN 于点 P，易知 P（t，t+1） ， S2=12PN|xAxB| 2122 SS1+S24t+8， 当 t2 时， S 的最大值为 16
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