1、2021-2022学年度泉州市初三教学质量监测数学试卷（一）一、选择题：1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A B. C. D. 2. 若，则的值为（ ）A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（）A. B. C. D. 4. 下列是必然事件的是（ ）A. 打开电视机，它正在播放篮球比赛；B. 机选一注彩票，中百万大奖；C. 从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球；D. 抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面5. 把方程配方成的形式，则的值分别是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，直线直线分别交于点，直线分别交于点，若，则等于（ ）
2、A B. C. D. 7. 如图，在正六边形的内部以为边作正方形，连接，则的值为（ ）A. B. C. D. 18. 在如图所示的网格图中，若与是以点O为位似中心的同侧位似图形，且其位似比为，则点Q的对应点的位置应是（ ）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D9. 我国古代数学著作九章算法比类大全有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数九十股差方为界，勾差十步分明许借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩算的二田无误处，智能才华算中举”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形是10亩整股差步，勾差步请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩平方步）答：（ ）A. 艺麻田3.75亩，黍
3、田6.25亩B. 芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C. 芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D. 芝麻田3.30亩，黍田6.70亩10. 如图，在中，于点的平分线交于点E，交于点F若，则关于x的一元二次方程的根的情况（ ）.A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 无实数根二、填空题： 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_12. 一元二次方程的解是_13. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是_14. 如图，在等腰直角三角形中，于点O，中线与相交于点F，则的值为_15. 将一副直角三角尺按如图所示放置，则的长为_16. 如图，在矩形中，点E是边上的
4、一个动点（E不与重合），连接，过点E作，交边于点F，给出以下结论：若，则平分；若，则；在点E运动的过程中，动点F可能与点A重合；在点E从C运动到D过程中，逐渐增大；其中正确的是_（写出正确结论的序号）三、解答题： 17. 计算：18. 解方程：.19. 我们知道：若一元二次方程的两根分别为，则，试利用上述知识解决下列问题：已知的两根分别为和，求代数式的值20. 近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批
5、公益课受益学生人次增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？21. 在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，在地面C处测得A处的仰角为处的仰角为（图中所有点都在同一平面内）（1）求的距离；（2）求这架无人机的飞行高度22. 如图，在矩形中，点分别是中点，连接（1）尺规作图：在上求作点M，使得点A关于的对称点G恰好落在线段上（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求的值23. 节能灯质量可根据其正常使用寿命的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于5千小时的节能灯
6、定为优质品，否则为普通品设节能灯的使用寿命时间为t千小时，节能灯使用寿命类别如下：寿命时间（单位：千小时）节能灯使用寿命类别某生产厂家产品检测部门对两种不同型号的节能灯做质量检测试验，各随儿田耳权才产品作为样本，并将得到的试验结果制作成如下图所示的扇形统计图和条形统计图：根据上述调查数据，解决下列问题：（1）现从生产线上随机抽取两种型号的节能灯各1盏，求其中至少有1盏节能灯是优质品的概率；（2）工厂对节能灯实行“三包”服务，根据多年生产销售经验可知，每盏节能灯的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：千小时）的关系如下表：使用时间t（单位：千小时）每盏节能灯的利润y（单位：无）1020请从平均
7、利润角度考虑，该生产厂家应选择多生产哪种节能灯比较合算，说明理由24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于两点，点、，点E是线段的中点，连接（1）求证：；（2）将沿着线段平移得到，如图2，当三点共线时，求点的坐标25. 在正方形中，点G是边上的一个动点，点在边上，且，的延长线相交于点P（1）如图1，当点E与点C重合时，求的度数；（2）如图2，当点E与点C不重合时，问：（1）中的度数是否发生变化，若有改变，请求出的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作于点N，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求证：为定值参考答案一、选择题： 1. 下列二次根式中，最简
8、二次根式是（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，判定即可【详解】解：A、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、，所以分母中含有根号，不是最简二次根式，故C不符合题意；D、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键2. 若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】利用比例的性质进行计算即可
9、解答【详解】解：，故选：D【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键3. 下列二次根式中，不能与合并的是（）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.【详解】，不能与合并的是，故选C.【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.4. 下列是必然事件的是（ ）A. 打开电视机，它正在播放篮球比赛；B. 机选一注彩票，中百万大奖；C. 从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球；D. 抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正
10、面【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可【详解】解：A、打开电视机，它正在播放篮球比赛，是随机事件，故A不符合题意；B、机选一注彩票，中百万大奖，是随机事件，故B不符合题意；C、从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球，是必然事件，故C符合题意；D、抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面，是随机事件，故D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键5. 把方程配方成的形式，则的值分别是（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】A【解析】【分析】方程移项
11、变形后，配方得到结果，即可确定出与的值【详解】解：方程，变形得：，配方得：，即，可得，故选：A【点睛】此题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键6. 如图，直线直线分别交于点，直线分别交于点，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】C【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可【详解】解：直线，故选：C【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键7. 如图，在正六边形的内部以为边作正方形，连接，则的值为（ ）A. B. C. D. 1【7题答案】【答案】D【解析】【分析】由题意可知，推出
12、，所以，推出，即可求出的值【详解】解：由题意可知，故选：D【点睛】本题考查了正多边形与圆以及特殊角的正切值，正确利用正多边形内角和公式是解题的关键8. 在如图所示的网格图中，若与是以点O为位似中心的同侧位似图形，且其位似比为，则点Q的对应点的位置应是（ ）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据位似比的概念确定点的对应点的位置【详解】解：与是以点为位似中心的同侧位似图形，位似比为，点的对应点的位置应是点，故选：C【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似比的概念是解题的关键9. 我国古代数学著作九章算法比类大全有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩
13、无零数九十股差方为界，勾差十步分明许借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩算的二田无误处，智能才华算中举”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形是10亩整股差步，勾差步请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩平方步）答：（ ）A. 艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B. 芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C. 芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D. 芝麻田3.30亩，黍田6.70亩【9题答案】【答案】A【解析】【分析】首先判定，然后利用该相似三角形的对应边成比例和求得；然后利用三角形和正方形的面积公式解答【详解】解：根据题意知，则又，所以，芝麻田的面积为：（亩黍田的面积为：（亩综上所述，芝麻
14、田3.75亩，黍田6.25亩故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键是在正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题10. 如图，在中，于点的平分线交于点E，交于点F若，则关于x的一元二次方程的根的情况（ ）.A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 无实数根【10题答案】【答案】D【解析】【分析】由可得，作于点，可得，从而可得，进而求解【详解】解：于点，作于点，则，为平分线，FDCD，FGCG，即，在方程中，二次方程无实数根，故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质，
15、通过添加辅助线求解二、填空题： 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_【11题答案】【答案】x1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+10，再解不等式即可【详解】二次根式有意义，：x+10，解得：x1故答案为：x1【点睛】本题考查的知识点为二次根式有意义的条件熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键12. 一元二次方程的解是_【12题答案】【答案】x13，x23【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案详解】=9，x=3，即x13，x23，故答案为x13，x23【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.13. 已知一个斜坡的坡度，
16、那么该斜坡的坡角的度数是_【13题答案】【答案】【解析】【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答【详解】解：，坡角=30【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握14. 如图，在等腰直角三角形中，于点O，中线与相交于点F，则的值为_【14题答案】【答案】【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得到点是的中点，即可得到，然后由中线得到点是的中点，进而得到点是的重心，从而得到，最后得到的值【详解】解：是等腰直角三角形，是斜边上的中线，是的中线，点是的重心，故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心的性质15. 将一副直角三角尺按如图所示放置
17、，则的长为_【15题答案】【答案】【解析】【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论【详解】解：过作于，故的长为，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键16. 如图，在矩形中，点E是边上的一个动点（E不与重合），连接，过点E作，交边于点F，给出以下结论：若，则平分；若，则；在点E运动的过程中，动点F可能与点A重合；在点E从C运动到D的过程中，逐渐增大；其中正确的是_（写出正确结论的序号）【16题答案】【答案】【解析】【分析】如图，延长、交于，利用证明，得，从而证明是的垂直平分线，可知，再利用等腰三角形的性质可得结论，从而可知正确；证明，
18、得，可知正确；当点与重合时，设，则，由勾股定理得，利用根的判别式可知不存在，从而错误；由，得，则，可知错误【详解】解：如图，延长、交于，四边形是矩形，在和中，垂直平分，EF=EG，平分，故正确；，故正确；当点与重合时，设，则，由勾股定理得，整理得，方程无解，说明不存在，即点与不重合，故错误；由知，不变，点从运动到的过程中，逐渐减小，故错误，综上：正确的有，故答案为：【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，三角函数等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键三、解答题： 17. 计算：【17题答案】【答案】【解析】【分
19、析】先去绝对值和计算二次根式的乘除法、然后合并同类二次根式即可【详解】解：【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键18. 解方程：.【18题答案】【答案】，【解析】【详解】试题分析：首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解.试题解析：或，考点：解一元二次方程.19. 我们知道：若一元二次方程的两根分别为，则，试利用上述知识解决下列问题：已知的两根分别为和，求代数式的值【19题答案】【答案】-4037【解析】【分析】把和分别代入方程求出与的值，原式变形后代入，再利用根与系数的关系求出所求即可【详解】解：把和分别代入方程得：，根据根与系数的关系得：，则
20、原式，【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键20. 近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【20题答案】【答案】（1）10% ；（2）2.662万人次【解析】【分析】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益
21、学生2.42万人次”可列方程求解；（2）用2.42（1+增长率），计算即可求解【详解】（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）2=2.42，解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%答：增长率为10%（2）2.42（1+0.1）=2.662（万人）答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.21. 在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，在地面C处测得A处的仰角为处的仰角为（图中所有点都在同一平面内）
22、（1）求的距离；（2）求这架无人机飞行高度【2122题答案】【答案】（1）80m （2）m【解析】【分析】（1）根据路程速度时间即可得到结论；（2）过作于，于，得到，m，推出是等腰直角三角形，求得，设，根据三角函数的定义即可得到结论【小问1详解】解：的距离m；【小问2详解】过作于，于，则，m，是等腰直角三角形，设，答：这架无人机的飞行高度为m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决22. 如图，在矩形中，点分别是的中点，连接（1）尺规作图：在上求作点M，使得
23、点A关于的对称点G恰好落在线段上（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求的值【2223题答案】【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，作的垂直平分线交于点即可；（2）在（1）的条件下，求的值【小问1详解】解：如图，点即为所求；【小问2详解】由（1）知：是的垂直平分线，垂直平分，是等边三角形，【点睛】本题考查了作图轴对称变换，矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质23. 节能灯质量可根据其正常使用寿命的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于5千小时的节能灯定为优质品，否则为普通品设节能灯的使用寿命时
24、间为t千小时，节能灯使用寿命类别如下：寿命时间（单位：千小时）节能灯使用寿命类别某生产厂家产品检测部门对两种不同型号的节能灯做质量检测试验，各随儿田耳权才产品作为样本，并将得到的试验结果制作成如下图所示的扇形统计图和条形统计图：根据上述调查数据，解决下列问题：（1）现从生产线上随机抽取两种型号的节能灯各1盏，求其中至少有1盏节能灯是优质品的概率；（2）工厂对节能灯实行“三包”服务，根据多年生产销售经验可知，每盏节能灯的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：千小时）的关系如下表：使用时间t（单位：千小时）每盏节能灯的利润y（单位：无）1020请从平均利润角度考虑，该生产厂家应选择多生产哪种节能
25、灯比较合算，说明理由【2324题答案】【答案】（1）0.5 （2）B种，理由见解析【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出种型号的节能灯至少有1盏节能灯是优质品的概率，根据频数分布直方图可得种型号的节能灯至少有1盏节能灯是优质品的概率；（2）根据表格中的数据，可以计算出一台种型号的节能灯的平均利润和一台种型号的节能灯的平均利润，然后比较大小即可【小问1详解】解：由扇形统计图可得：种型号的节能灯至少有1盏节能灯是优质品的概率是，由频数分布直方图可得：种型号的节能灯至少有1盏节能灯是优质品的概率是：，即种型号的节能灯至少有1盏节能灯是优质品的概率是0.5，种型号的节能灯至少有1盏节
26、能灯是优质品的概率是0.5；【小问2详解】该生产厂家应选择多生产种节能灯比较合算，理由如下：由题意可得，一台种型号的节能灯的平均利润为：（元），一台种型号的节能灯的平均利润为：（元），该生产厂家应选择多生产种节能灯比较合算【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于两点，点、，点E是线段的中点，连接（1）求证：；（2）将沿着线段平移得到，如图2，当三点共线时，求点的坐标【2425题答案】【答案】（1）见解析 （2），【解析】【分析】（1）分别求出、点坐标，再由两点间距
27、离公式求出，的长，即可证明；（2）求出平移前后直线的解析式，再求出直线的解析式，设，则，再由点在直线上即可求点的坐标【小问1详解】解：证明：对于，当，则，当，则，点是线段的中点，点、，；【小问2详解】设直线的解析式为，CD的解析式为，、A三点共线，的解析式，设直线的解析式为，设，【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形平移的性质是解题的关键25. 在正方形中，点G是边上的一个动点，点在边上，且，的延长线相交于点P（1）如图1，当点E与点C重合时，求的度数；（2）如图2，当点E与点C不重合时，问：（1）中的度数是否发生变化，若有改变，请求出的度数，若不变，请说明理
28、由；（3）在（2）的条件下，作于点N，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求证：为定值【2527题答案】【答案】（1）45 （2）不变，理由见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）属于基础问题，根据图形性质求解即可（2）利用辅助线构造正方形中常见旋转型全等，结合中位线得出结论（3）本题辅助线是关键，通过题目中给出的中点条件考虑可取其他中点结合中位线推导，并找到一组旋转型相似的三角形，进而解决问题【小问1详解】解：，与重合，【小问2详解】不变理由如下：如图所示，连接，取中点，连接，在正方形中，有：，又，为等腰直角三角形又，分别是，的中点，【小问3详解】如图所示，取中点，连接，由题意可得，为等腰直角三角形，为中点，设，则，分别是，的中点，又，又为等腰直角三角形，为定值【点睛】本题属于难题，灵活选择辅助线并需要熟练掌握正方形的性质以及相似三角形模型是解题的关键
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