1、2022 年年河北河北省中考第二次模拟考试数学试卷省中考第二次模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分.110 小题各 3 分，1116 小题各 2 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.计算2（1）的结果是（ ） A3 B1 C1 D3 【答案】C 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解 【详解】解：2（1）2+11 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键 2.（2020苏州）不等式 2x13 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，
2、再在数轴上表示出来即可 【详解】解：移项得，2x3+1， 合并同类项得，2x4， x 的系数化为 1 得，x2 在数轴上表示为： 故选：C 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心点与空心点的区别是解答此题的关键 3.如图，电线杆 AB 的中点 C 处有一标志物，在地面 D 点处测得标志物的仰角为 32，若点 D 到电线杆底部点 B 的距离为 a 米，则电线杆 AB 的长可表示为（ ） A米 B米 C2acos32米 D2atan32米 【答案】D 【分析】利用 32的正切值表示出 BC，利用中点定义可得到所求的线段的长 【详解】解：在 RtBDC 中，CDB32，BDa 米，
3、BCBDtan32atan32， 点 C 是 AB 的中点， AB2BC2atan32米， 故电线杆 AB 的长可表示为 2atan32米， 故选：D 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键 4.下列运算正确的是（ ） A22+2223 Ba4a2a C （ab）2a2b2 D5 【答案】菁A 【分析】A、先根据有理数的乘方计算，可知左边两边相等是 8； B、根据同底数幂的除法底数不变指数相减进行计算； C、左边是完全平方公式，得三项，右边是平方差公式，不相等； D、根据二次根式的除法运算，两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
4、 【详解】解：A、22+22823，故 A 正确； B、a4a2a42a2，故 B 错误； C、 （ab）2a22ab+b2，故 C 错误； D、，故 D 错误； 故选：A 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，有理数的乘方，完全平方公式，二次根式的除法，熟练掌握公式和法则是关键 5.（2020毕节市）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AO，AD 的中点，连接 EF，若 AB6cm，BC8cm则 EF 的长是（ ） A2.2cm B2.3cm C2.4cm D2.5cm 【答案】菁D 【分析】根据矩形性质得出ABC90，BDAC，BOOD，根据勾股定
5、理求出 AC，进而求出 BD、OD，最后根据三角形中位线求出 EF 的长即可 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形， ABC90，BDAC，BOOD， AB6cm，BC8cm， 由勾股定理得：AC10（cm） ， BD10cm，DO5cm， 点 E、F 分别是 AO、AD 的中点， EF 是AOD 的中位线， EFOD2.5cm， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 6.按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，第 n 个单项式是（ ） An2an+1 Bn2an1 Cnnan+1 D （
6、n+1）2an 【答案】A 【分析】观察字母 a 的系数、次数的规律即可写出第 n 个单项式 【详解】解：第 1 个单项式 a212a1+1， 第 2 个单项式 4a322a2+1， 第 3 个单项式 9a432a3+1， 第 4 个单项式 16a542a4+1， 第 n（n 为正整数）个单项式为 n2an+1， 故选：A 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律 7.如图，ABCD，ABAC，140，则ACE 的度数为（ ） A80 B100 C120 D160 【答案】菁B 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论 【详解】解：
7、ACAB， ACB140， ABCD， BCE180140， ACEBCEACB100， 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键 8.将有理数 682000000 用科学记数法表示，其中正确的是（ ） A68.2108 B6.82108 C6.82107 D6.82109 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：682000000 用科学记数法表示为 6.82108， 故选：B 【点睛】此
8、题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 9.（2022齐齐哈尔模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C既
9、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键 10.已知线段 AB， 按如下步骤作图： 作射线 AC， 使 ACAB； 作BAC 的平分线 AD； 以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 E；过点 E 作 EPAB 于点 P，则 AP：AB（ ） A1： B1：2 C1： D1： 【答案】D 【分析】直接利用基本作图方法得出 APPE,再结合等腰直角三角形的性质表示出 AE,AP 的长，即可得出答案 【详解】解：ACAB， CAB9
10、0, AD 平分BAC, EAB9045, EPAB, APE90, EAPAEP45, APPE, 设 APPEx, 故 AEABx, AP：ABx:x1: 故选：D 【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键 11.已知点 A（3，2）沿水平方向向右平移 4 个单位长度得到点 A若点 A在直线 yx+b 上，则 b 的值为（ ） A5 B3 C1 D3 【答案】D 【分析】由点 A 的坐标及点 A，A 之间的关系，可求出点 A的坐标，由点 A在直线 yx+b 上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出21+b，解之即可得出 b 的值
11、 【详解】解：点 A（3，2）沿水平方向向右平移 4 个单位长度得到点 A， 点 A的坐标为（1，2） 又点 A在直线 yx+b 上， 21+b， b3 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化平移，利用点的平移及一次函数图象上点的坐标特征，找出关于 b 的方程是解题的关键 12.如图，点 A 在反比例函数 y（x0）图象上，ABx 轴于点 B，C 是 OB 的中点，连接 AO，AC，若AOC 的面积为 2，则 k（ ） A4 B8 C12 D16 【答案】菁B 【分析】由 C 是 OB 的中点推出 SAOB2SAOC，则ABOB4，所以 ABOB8，因此 k8
12、 【详解】解：C 是 OB 的中点，AOC 的面积为 2， AOB 的面积为 4， ABx 轴， ABOB4， ABOB8， k8 故选：B 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 三角形的面积， 明确 SAOB2SAOC是解题的关键 13.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A2 B0 C2a D2b 【答案】菁A 【分析】根据化简，然后去绝对值化简即可 【详解】解：根据数轴知：2a1，1b2， a+10，b10，ab0 原式|a+1|+|b1|ab| （a+1）+b1+ab a1+b1+ab 2 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌
13、握是解题的关键 14.2020 年以来，我国部分地区出现了新冠疫情一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援某公司在疫情期间为疫区生产 A、B、C、D 四种型号的帐篷共 20000 顶，有关信息见如下统计图： 下列判断正确的是（ ） A单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 C 型帐篷天数的 3 倍 B单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 A 型帐篷天数的 1.5 倍 C单独生产 A 型帐篷与单独生产 D 型帐篷的天数相等 D每天单独生产 C 型帐篷的数量最多 【答案】C 【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项 【详解】解：A、单独生产
14、 B 帐篷所需天数为4（天） ，单独生产 C 帐篷所需天数为1（天） ， 单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 C 型帐篷天数的 4 倍，此选项错误； B、单独生产 A 帐篷所需天数为2（天） ， 单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 A 型帐篷天数的 2 倍，此选项错误； C、单独生产 D 帐篷所需天数为2（天） ， 单独生产 A 型帐篷与单独生产 D 型帐篷的天数相等，此选项正确； D、单由条形统计图可得每天单独生产 A 型帐篷的数量最多，此选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系 15.若数 a 使关于 x
15、 的一元一次不等式组有且仅有 4 个整数解，且使关于 x 的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的值之和为（ ） A9 B12 C15 D19 【答案】菁B 【分析】首先由不等式组，解得，根据已知解集为 x4，可得 a8，再由分式方程有非负整数解，从而得出 a 的取值，再求和即可得解 【详解】解：解不等式组得， 解得， 由解集 x4 可得x4， 有且仅有 4 个整数， 整数解是 1，2，3，4 01，解得 3a8， 解方程， 去分母得，x+a2xx3， 即2xa3， 解得 x， 由 x 为非负整数，且 x3，a 为整数且 3a8， 得 a5，7， 符合条件的 a 的和为 5+712
16、 故选：B 【点睛】本题主要考查了解分式方程及利用不等式组的解求待定字母的取值，熟练掌握不等式组的解法及检验分式方程的解是解此题的关键 16.如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，AD 的中点，BF，CE 交于点 M，若三角形 BEM 的面积为 1，则四边形 AEMF 的面积为（ ） A3 B4 C D5 【答案】菁B 【分析】连接 BD，延长 BF、CD 交于 N，根据平行四边形的性质得出 ABCD，ABCD，根据平行线的性质推出NABF，根据已知条件求出 DFAF，AEBEABCD，根据全等三角形的判定得出DNFABF，根据全等三角形的性质得出 DNAB，求出 BEAB
17、CN，根据相似三角形的判定得出BEMNCM，根据相似三角形的性质求出，求出，求出BCM 的面积即可 【详解】解：连接 BD，延长 BF、CD 交于 N， E，F 分别是边 AB，AD 的中点， AB2BE，DFAF， SABFSDFBSABDS平行四边形ABCD， 同理 SBCES平行四边形ABCD， SABFSBCE， SABFSBEMSBCESBEM， S四边形AEMFSBCM， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，ABCD， NABF， 在DNF 和ABF 中 ， DNFABF（AAS） ， DNABDC， BEABCN， ABCD， BEMNCM， ， ， BEM 的面积为 1
18、， BCM 的面积是 4， 即四边形 AEMF 的面积是 4， 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键 第卷（非选择题，共 70 分） 二、填空题（本大题有 3 个小题，每小题有 2 个空，每空 2 分，共 12 分） 17.在解一元二次方程 x2+px+q0 时，小明看错了系数 p，解得方程的根为 1 和3；小红看错了系数 q，解得方程的根为 4 和2，则 p ，q 【答案】2；3 【分析】由小明看错了系数 p 知常数项 q 无误，根据所得两根之积可得 q
19、的值；由小红看错了系数 q 知一次项系数 p 无误，根据所得两根之和可得 p 和 q 的值 【详解】解：小明看错了系数 p，解得方程的根为 1 和3， q1（3）3， 小红看错了系数 q，解得方程的根为 4 和2， p422， p2， 故答案为：2、3 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 18.我们称使方程成立的一对数 x，y 为“相伴数对” ，记为（x，y） （1）若（6，y）是“相伴数对” ，则 y 的值为 ； （2）若（a，b）是“相伴数对” ，请用含 a 的代数式表示 b 【答案】菁（1）； （2） 【
20、分析】 （1）根据相伴数对的定义求解 （2）先建立关于 a，b 的方程，然后求解 【详解】解： （1）（6，y）是“相伴数对” ， ， 解得：； 故答案为：； （2）（a，b）是“相伴数对” ， ， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义，建立相关方程是求解本题的关键 19.教学实践课上，老师拿出三个边长都为 1cm 的正方形硬纸板，提出了一个问题： “若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上， 用一个圆形硬纸板将其完全盖住， 这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？” 同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小
21、直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图 1，图 2，图 3 所示 （1）图 1 对应的圆形硬纸板的最小直径为 cm； （2）可求出图 2、图 3 对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是 cm 【答案】菁（1）； （2） 【分析】 （1）根据勾股定理求解即可 （2）连接 OB，ON，延长 OH 交 AB 于点 P，则 OPAB，P 为 AB 中点，设 OGx，则 OP2x，再根据勾股定理解答 【详解】解： （1）图 1 中，对应的圆形硬纸板的最小直径（cm） 故答案为： （2）如图，为盖住三个正方形时直径最小的放置
22、方法， 连接 OB，ON，延长 OH 交 AB 于点 P，则 OPAB，P 为 AB 中点， 设 OGx，则 OP2x， 则有：x2+12（2x）2+（）2， 解得：x， 则 ON（cm） ， 直径为cm 故答案为： 【点睛】此题考查正多边形与圆，解答此题的关键是找出找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 20.（本题满分 8 分）计算： （1）已知 x：y2：3，若 x+y15，求 x，y 的值 （2）解方程：3x（x2）x2 【分析】 （1）设 x2t，y3t，利用 x+y15 得到
23、 2t+3t15，然后求出 t，从而得到 x、y 的值； （2）先移项得到 3x（x2）（x2）0，然后利用因式分解法解方程 【详解】解： （1）x：y2：3， 设 x2t，y3t， x+y15， 2t+3t15， 解得 t3， x6，y9； （2）3x（x2）（x2）0， （x2） （3x1）0， x20 或 3x10， x12，x2 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键也考查了解一元二次方程 21.（本题满分 9 分）如图，AB 是半O 的直径，点 D 是圆弧 AE 上一点，且BDECBE，点 C
24、 在 AE的延长线上 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 BD 平分ABE，延长 ED、BA 交于点 G，若 GAAO，DE5，求 GD 的长 【分析】 （1）先证明EAB+ABE90，然后再证明CBEEAB，从而可证明CBA90； （2）连接 OD先证明 ODBE，从而得到GODGBE，依据相似三角形的性质可得到，即，然后解得 DG 的长即可 【详解】解： （1）证明：AB 是半O 的直径， AEB90， EAB+ABE90 EABBDE，BDECBE， CBE+ABE90，即ABC90 ABBC BC 是O 的切线 （2）连接 OD ODOB， OBDODB， EBDABD， EB
25、DBDO ODBE GODGBE GAAO， GAAOBO， 即 GD10 【点睛】本题主要考查的是切线的判定、相似三角形的性质和判定、平行线的判定，证得 ODBE 是解题的关键 22.（本题满分 9 分）2022 年冬奥会在北京和张家口联合举办乐乐和果果都计划去观看冬奥项目比赛他们都喜欢的冬奥项目分别是：A花样滑冰，B速度滑冰，C跳台滑雪，D自由式滑雪乐乐和果果计划各自在这 4 个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同 （1）乐乐选择项目“A花样滑冰”的概率是 ； （2）用画树状图或列表的方法，求乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可；
26、（2）画树状图，共有 16 种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有 4 种，再由概率公式求解即可 【详解】解： （1）乐乐选择项目“A花样滑冰”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有 4 种， 乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率为 【点睛】本题考查的是树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比 23.（本题满分 9 分）已知ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC 的平分线与线段 AC 交于点D若ABC 的一
27、条边长为 6，求点 D 到直线 AB 的距离 【分析】分两种情况：当 B 为直角顶点时，过 D 作 DHAB 于 H，由AHD 和BHD 是等腰直角三角形可得 AHDHBH，故 DHBC，若 AC6，则 DH，即点 D 到直线 AB 的距离为；若 ABBC6，则点 D 到直线 AB 的距离为 3；当 B 不是直角顶点时，过 D 作 DHBC 于 H，由CDH 是等腰直角三角形，得 ADDHCH，证明ABDHBD（AAS） ，有 ABBH，若 ABAC6时，则此时点 D 到直线 AB 的距离为 66；若 BC6，则此时点 D 到直线 AB 的距离为 63 【详解】解：当 B 为直角顶点时，过 D
28、 作 DHAB 于 H，如图： ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC 的平分线与线段 AC 交于点 D， ABC 是等腰直角三角形，ABDADH45，ADCDAC， AHD 和BHD 是等腰直角三角形， AHDHBH， DHBC， 若 AC6，则 BCACcos453，此时 DH，即点 D 到直线 AB 的距离为； 若 ABBC6，则 DHBC3，即点 D 到直线 AB 的距离为 3； 当 B 不是直角顶点时，过 D 作 DHBC 于 H，如图： ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC 的平分线与线段 AC 交于点 D， CDH 是等腰直角三角形，ADDHCH， 在ABD
29、 和HBD 中， ， ABDHBD（AAS） ， ABBH， 若 ABAC6 时，BH6，BC6， CHBCBH66， AD66，即此时点 D 到直线 AB 的距离为 66； 若 BC6，则 ABBCcos453， BH3， CH63， AD63，即此时点 D 到直线 AB 的距离为 63； 综上所述，点 D 到直线 AB 的距离为或 3 或 66 或 63 【点睛】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形 24.（本题满分 9 分）如图，在矩形 OABC 中，AB2，BC4，点 D 是边 AB 的中点，反比
30、例函数 y1（x0）的图象经过点 D，交 BC 边于点 E，直线 DE 的解析式为 y2mx+n（m0） （1）求反比例函数 y1（x0）的解析式和直线 DE 的解析式； （2）在 y 轴上找一点 P，使PDE 的周长最小，求出此时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，PDE 的周长最小值是 【分析】 （1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到 D（1，4） ，利用待定系数法求函数的解析式； （2）作点 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 DE 交 y 轴于 P，连接 PD，此时，PDE 的周长最小，求得直线 DE 的解析式为 yx+，于是得到结论； （3）根据勾股定理即可得到结论 【详解】
31、解： （1）点 D 是边 AB 的中点，AB2， AD1， 四边形 OABC 是矩形，BC4， D（1，4） ， 反比例函数 y1（x0）的图象经过点 D， k4， 反比例函数的解析式为 y1（x0） ， 当 x2 时，y2， E（2，2） ， 把 D（1，4）和 E（2，2）代入 y2mx+n（m0）得， ， 直线 DE 的解析式为 y22x+6； （2）作点 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 DE 交 y 轴于 P，连接 PD， 此时，PDE 的周长最小， 点 D 的坐标为（1，4） ， 点 D的坐标为（1，4） ， 设直线 DE 的解析式为 yax+b， ， 解得：， 直线 DE 的解
32、析式为 yx+， 令 x0，得 y， 点 P 的坐标为（0，） ； （3）D（1，4） ，E（2，2） ， BE2，BD1， DE， 由（2）知，D的坐标为（1，4） ， BD3， DE， PDE 的周长最小值DE+DE+， 故答案为：+ 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键 25.（本题满分 10 分）在ABC 中，BAC90，点 O 是斜边 BC 上的一点，连接 AO，点 D 是 AO 上一点，过点 D 分别作 DEAB，DFAC，交 BC 于点 E、F （1）如图 1，若点 O 为斜边 BC 的中点，
33、求证：点 O 是线段 EF 的中点 （2）如图 2，在（1）的条件下，将DEF 绕点 O 顺时针旋转任意一个角度，连接 AD，CF，请写出线段 AD 和线段 CF 的数量关系，并说明理由 （3）如图 3，若点 O 是斜边 BC 的三等分点，且靠近点 B，当ABC30时，将DEF 绕点 O 顺时针旋转任意一个角度，连接 AD、BE、CF，请求出的值 【分析】 （1）由直角三角形的性质可得 BOAOOC，可得ABOBAO，ODFOFD，由平行线的性质可证OEDODE，ODFOFD，可得结论； （2）由“SAS”可证AODCOF，可得 ADCF； （3）由相似三角形的性质可得，设 AC2x，由直角三
34、角形的性质和勾股定理求出 OB，OA即可求解 【详解】 （1）证明：BAC90，点 O 为斜边 BC 的中点， BOAOOC， ABOBAO，ODFOFD， DEAB，DFAC， OEDOBA，ODEOAB，ODFOAC，OFDOCA， OEDODE，ODFOFD， EODO，FODO， EOFO， 点 O 是线段 EF 的中点； （2）ADCF，理由如下： 将DEF 绕点 O 顺时针旋转任意一个角度， ODOF，AODCOF， 又AOCO， AODCOF（SAS） ， ADCF； （3）如图 1，旋转前，DEAB， ， ， 如图 3，旋转后，将DEF 绕点 O 顺时针旋转任意一个角度， AO
35、DBOE， AODBOE， ， 如图 3，过点 A 作 AHBC 于 H， 设 AC2x， ABC30，BAC90， ACH60，BC4x， AHBC， CAH30， CHACx，AHCHx， 点 O 是斜边 BC 的三等分点， BOx，CO， OH， AOx， 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键 26.（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 yax2+x+c（a0）经过 A，B 两点与 x 轴相交于
36、点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为直线 BC 上方抛物线上任意一点，当MBC 面积最大时，求出点 M 的坐标； （3）若点 P 在抛物线上，连接 PB，当PBC+OBA45时，请直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）先由直线 y2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点求得 A（2，0） ，B（0，4） ，再由抛物线 yax2+x+c 经过 A（2，0） ，B（0，4）两点用待定系数法求出 a、c 的值，即可求得抛物线的解析式为 yx2+x+4； （2） 作MGx轴于点G， 交BC于点F， 先求出直线BC的函数解析式为yx+4， 设M （m， m2+m+4） ，则
37、F（m，m+4） ，用含 m 的代数式表示线段 MF 的长及MBC 的面积，再根据二次函数的性质求出当MBC 面积最大时点 M 的坐标； （3）分两种情况讨论，一是射线 BP 在直线 BP 的下方，在 x 轴上取点 D（2，0） ，作射线 BD 交抛物线于另一点 P，可证明PBC+OBA45，求出直线 BP 的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点 P 的坐标；二是射线 BP在直线 BC 的上方，作 CEx 轴，使 CECD2，连接 BE交抛物线于另一点 P，先证明PBC+OAB45，再求出直线 BP的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点 P的坐标即可 【详解
38、】解： （1）直线 y2x+4，当 x0 时，y4； 当 y0 时，则 2x+40， 解得 x2， A（2，0） ，B（0，4） ， 抛物线 yax2+x+c 点 B（0，4） ， c4， 把 A（2，0）代入 yax2+x+4，得 4a2+40， 解得 a， 抛物线的解析式的解析式为 yx2+x+4 （2）如图 1，作 MGx 轴于点 G，交 BC 于点 F， 抛物线 yx2+x+4，当 y0 时，则x2+x+40， 解得 x12，x24， C（4，0） ，OC4， 设直线 BC 的解析式为 ykx+4， 把 C（4，0）代入 ykx+4， 得 4k+40， 解得 k1， yx+4， 设 M
39、（m，m2+m+4） ，则 F（m，m+4） ， MF（m2+m+4）（m+4）m2+2m， SMBCOGMF+CGMFOCMF， SMBC4（m2+2m）m2+4m（m2）2+4， 当 m2 时，SMBC最大4， 点 M 标为（2，4） （3）如图 2，在 x 轴上取点 D（2，0） ，作射线 BD 交抛物线于另一点 P， OBOC4，BOC90， OBCOCB45， OBAD，OAOD2， ABDB，CDOCOD422， OBAOBP， PBC+OBAPBC+OBPOBC45， 设直线 BP 的解析式为 ynx+4，则 2n+40， 解得 n2， y2x+4， 由得， P（6，8） ； 如图 2，作 CEx 轴，使 CECD2，连接 BE 交抛物线于另一点 P，则 E（4，2） ， OCE90，OCB45， BCEBCD45， BCBC， BCEBCD（SAS） ， PBCPBC， PBC+OABPBC+OBA45， 设直线 BP的解析式为 yrx+4， 则 4r+42， 解得 r， yx+4， 由得， P（3，） ， 综上所述，点 P 的坐标为（6，8）或（3，） 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题
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