1、2022 年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）正确的） 1. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程 x2x10的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 3. 若2,4A与2,Ba都是反比例函数(0)kykx图象上的点，则 a 的值是（ ） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 4
2、. 解一元二次方程 x22x4，配方后正确的是（ ） A. （x+1）26 B. （x1）25 C. （x1）24 D. （x1）28 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2向上平移 2个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A. y（x1）2+2 B. y（x1）22 C. y（x+1）22 D. y（x+1）2+2 6. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（ ）mm A 4.36 B. 29.08 C. 43.62 D. 121
3、.17 7. 如图， ABC 的顶点 A、B、C、均在O 上，若ABC+AOC=90 ，则AOC 的大小是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 70 8. 下列命题： 有一个角等于 100 的两个等腰三角形相似； 对角线互相垂直的四边形是菱形； 一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形； 对角线相等的平行四边形是矩形 其中真命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则反比例函数 yax与一次函数 ybxc 在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，ABC 中，ABC45，BC4，ta
4、nACB3，ADBC于 D，若将ADC 绕点 D逆时针方向旋转得到FDE，当点 E 恰好落在 AC 上，连接 AF则 AF的长为（ ） A 3105 B. 31010 C. 10 D. 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 方程 x22x=0 的解为_ 12. 如图，在Rt ACB中，90C，3AC ，4BC ，则sinB的值是 _ 13. 一个不透明的布袋里装有 3 个只有颜色不同的球，其中 1 个红球，2个白球，从布袋里摸出 1 个球，则摸到的球是红球的概率是 _ 14 如图，反比例函数00kykxx ， 的图
5、象经过菱形 OABD的顶点 A 和边 BD 的一点 C，且13DCDB，若点 D 的坐标为（8，0） ，则 k 的值为 _ 15 如图，在正方形 ABCD中，6 2AB ，M 为对角线 BD 上任意一点（不与 B、D 重合） ，连接 CM，过点 M作 MNCM， 交线段 AB 于点 N 连接 NC交 BD于点 G 若 BG： MG3： 5， 则 NG CG的值为 _ 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 7 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，分，第第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题
6、9 分，第分，第 22题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16. 计算：4cos30tan245+|31|+2sin60 17. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数2yx的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像， 列表：下表是 x 与 y 的几组对应值，其中 m x 3 2 1 12 12 1 2 3 y 23 1 2 4 4 2 1 m 描点：根据表中各组对应值（x，y） ，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整； （2）通过观察图像，下列关于该函数的性质表述正
7、确的是： ； （填写代号） 函数值 y随 x的增大而增大；2yx关于 y 轴对称；2yx关于原点对称； （3）在上图中，若直线 y2交函数2yx的图像于 A，B两点（A在 B 左边） ，连接 OA过点 B 作 BCPOA 交 x 轴于 C则四边形OABCS 18. 如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高 1.7米的小聪在地面 M 处时开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A的仰角为 45，当他在地面 N 处时，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米， 求B、 C两点的距离（结果保留一位小数， sin580.8， cos580.5，ta
8、n581.6） 19. 如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D是边 AB上一点，以 BD为直径的O 与 AC交于点 E，连接 DE并延长交 BC的延长线于点 F，且 BFBD （1）求证：AC为O 的切线； （2）若 CF1，tanEDB2，求O 的半径 20. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件 40 元，每月销售量y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系如图所示 （1）求出每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）设每月获得的利润为 W（元） 这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21
9、. 已知四边形 ABCD中，E、F分别是 AB、AD边上的点，DE 与 CF 交于点 G （1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，且 DECF于 G，则DECF ； 如图 2，当四边形 ABCD是矩形时，且 DECF于 G，ABm，ADn，则DECF ； （2）拓展研究：如图 3，若四边形 ABCD是平行四边形，且B+EGC180时，求证：DEADCFCD； （3）解决问题：如图 4，若 BABC5，DADC10，BAD90，DECF于 G，请直接写出DECF的值 22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2904yaxxc a与 x轴交于 A、B 两点（A在 B的左侧） ，与
10、y轴交于点 C，其中 A（1，0） ，C（0，3） （1）求该抛物线的解析式； （2）如图 1，点 D，E 是线段 BC 上的两点（E在 D的右侧） ，54DE ，过点 D作 DPy 轴，交直线 BC上方抛物线于点 P， 过点 E作 EFx 轴于点 F， 连接 FD， FP， 当DFP 面积最大时， 求点 P的坐标及DFP面积的最大值； （3）如图 2，在（2）取得面积最大的条件下，连接 BP，将线段 BP沿射线 BC方向平移，平移后的线段记为 BP， G 为 y 轴上的动点， 是否存在以 BP为直角边的等腰 RtGBP？若存在， 请直接写出点 G的坐标，若不存在，请说明理由 2022 年广东
11、省深圳市坪山区中考数学一模试卷年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）正确的） 1. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【详解】解：从左边看是一个正方形被水平的分成 3 部分，中间的两条分线是虚线，故 C 正确 故选：C 【点睛】 本题考查了几何体的三视图， 从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚
12、线 2. 一元二次方程 x2x10的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【2 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断 【详解】解：根的判别式2( 1)4 ( 1)50 ， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与判别式的关系是解答此题的关键总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 3. 若2,4A与2,B
13、a都是反比例函数(0)kykx图象上的点，则 a 的值是（ ） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【3 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先把用2,4A代入确定反比例函数的比例系数 k，然后求出函数解析式，再把点（-2，a）代入可求 a的值 【详解】解：点2,4A是反比例函数(0)kykx图象上的点； k=24=8 反比例函数解析式为：8yx 点2,Ba是反比例函数8yx图象上的点， a=-4 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 4. 解一元二次方程 x22x4，配方后正确的是（ ） A.
14、（x+1）26 B. （x1）25 C. （x1）24 D. （x1）28 【4 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案 【详解】解：x22x4， x22x+14+1， 即（x1）25， 故选：B 【点睛】本题考查解一元二次方程配方法，解题步骤是：二次项系数化为 1；常数项移项到等号右、未知项移到等号左；两边都加上一次项系数一半，进行配方 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2向上平移 2个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A. y（x1）2+2 B. y（x1）22 C. y（x+1）22 D.
15、 y（x+1）2+2 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象的平移规律，可得答案 【详解】解：将抛物线2yx=向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式是212yx 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式是解题的关键 6. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（ ）mm A. 4.36 B. 29.08 C. 43.62 D. 121.17 【6 题
16、答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得CABFAD、90ABCADF，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案 【详解】根据题意，得CABFAD，且90ABCADF ABCADF BCDFABAD 72.7 343.62mm5BCADDFAB 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解 7. 如图， ABC 的顶点 A、B、C、均在O 上，若ABC+AOC=90 ，则AOC 的大小是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 70 【7 题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知，ABC 和AO
17、C 是同弧所对的圆周角和圆心角，所以AOC=2ABC，又因为ABC+AOC=90 ，所以AOC=60 故选 C 考点：圆周角和圆心角 8. 下列命题： 有一个角等于 100 的两个等腰三角形相似； 对角线互相垂直的四边形是菱形； 一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形； 对角线相等的平行四边形是矩形 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形判定定理，菱形、正方形、矩形的判定定理逐项判断即可 【详解】解：有一个角等于 100 的两个等腰三角形相似，是真命题； 对角线互相垂直平行四边形是菱形，故原说法是假
18、命题； 一个角为 90 且邻边相等的平行四边形是正方形，故原说法是假命题； 对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题， 故真命题有，共 2个， 故选：B 【点睛】本题考查命题与定理，掌握相似三角形判定，菱形、正方形、矩形判定是解题的关键 9. 二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则反比例函数 yax与一次函数 ybxc 在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【9 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图像开口方向，与 y 轴的交点位置，判断出0a，0c，在根据二次函数对称轴的位置可得02ba，结合0a，可判断出0b，然后利用排除法即可得到答案 【详解】Q二
19、次函数图像的开口向上， 0a， Q二次函数的对称轴位于 y轴的左侧， 02ba， 0b， Q二次函数图像与 y轴交于负半轴， 0c， 反比例函数ayx的图像必在一、三象限，一次函数ybxc的图像必经过一、三、四象限，故 D答案正确 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，熟知以上知识是解题关键 10. 如图，ABC 中，ABC45，BC4，tanACB3，ADBC于 D，若将ADC 绕点 D逆时针方向旋转得到FDE，当点 E 恰好落在 AC 上，连接 AF则 AF的长为（ ） A. 3105 B. 31010 C. 10 D. 2 【10 题答案】
20、【答案】A 【解析】 【分析】过点 D 作 DHAF 于点 H，由锐角三角函数的定义求出 CD1，AD3，由旋转的性质得出 DCDE， DADF3， CDEADF， 证出DCEDAF， 设 AHa， DH3a， 由勾股定理得出 a2+ （3a）232，求出 a 可得出答案 【详解】解：过点 D作 DHAF 于点 H， ABC45 ，ADBC， ADBD， tanACBADCD3， 设 CDx， AD3x， BC3x+x4， x1， CD1，AD3， 将 ADC 绕点 D逆时针方向旋转得到 FDE， DCDE，DADF3，CDEADF， DCEDAFVV， DCEDAF， tanDAH3， 设
21、AHa，DH3a， AH2+DH2AD2， a2+（3a）232， a3 1010， AH3 1010， DA=DF，DHAF， AF2AH3 105，故 A正确 故选：A 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定，应用三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 方程 x22x=0 的解为_ 【11 题答案】 【答案】x1=0 ,x2=2 【解析】 【分析】把方程的左边分解因式得 x（x-2）=0，得到 x=0或 x-2=0，求出方程的解即可 【详解
22、】解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0 或 x-2=0， x1=0 或 x2=2 【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键 12. 如图，在Rt ACB中，90C，3AC ，4BC ，则sinB的值是 _ 【12 题答案】 【答案】35 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出 AB，再根据正弦定义进行计算 【详解】解：90C，3AC ，4BC ， 22345AB ， 3sin5ACBAB， 故答案为：35 【点睛】 本题考查勾股定理以及锐角三角函数定义， 关键是掌握正弦： 锐角 A 的对边
23、 a与斜边 c的比叫做A的正弦 13. 一个不透明的布袋里装有 3 个只有颜色不同的球，其中 1 个红球，2个白球，从布袋里摸出 1 个球，则摸到的球是红球的概率是 _ 【13 题答案】 【答案】13 【解析】 【分析】直接根据概率公式求解即可 【详解】解：布袋装有 3 个只有颜色不同的球，1个红球， 从布袋里摸出 1个球，摸到红球的概率13 故答案为：13 【点睛】本题考查概率公式熟知随机事件 A的概率 P（A）=事件 A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键 14. 如图，反比例函数00kykxx ， 的图象经过菱形 OABD 的顶点 A 和边 BD 的一点 C，且13
24、DCDB，若点 D 的坐标为（8，0） ，则 k 的值为 _ 【14 题答案】 【答案】355 【解析】 【分析】 作 AEx 轴于 E， CFx轴于 F， 易证得 AOECDF， 得出OEAEOADFCFCD3， 设 DFm，CFn，则 C（8+m，n） ，A（3m，3n） ，利用反比例函数系数 kxy 得出（8+m）n3m3n，求得 m1，即可利用勾股定理求得 n的值，从而得出 A 的坐标，进一步得出 k355 【详解】解：作 AEx 轴于 E，CFx 轴于 F， 四边形 OABD是菱形，点 D 的坐标为（8，0） ， OABD，OABD8， AOECDF， AEOCFD90 ， AOEC
25、DF， OEAEOADFCFCD， 13DCDB， OEAEOADFCFCD3， OE3DF，AE3CF， 设 DFm，CFn，则 C（8+m，n） ，A（3m，3n） ， 点 A、C在反比例函数00kykxx ， 的图象上， （8+m）n3m3n， m1， A（3，3n） ， OE3，AE3n， 在 Rt AOE 中，OA2OE2+AE2， 8232+（3n）2，解得 n553， A（3，55） ， k355355， 故答案为：355 【点睛】本题主要考查了反比例函数性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键 15. 如图，在正方形 ABCD中，
26、6 2AB ，M为对角线 BD上任意一点（不与 B、D 重合） ，连接 CM，过点 M作 MNCM， 交线段 AB 于点 N 连接 NC交 BD于点 G 若 BG： MG3： 5， 则 NG CG的值为 _ 【15 题答案】 【答案】15 【解析】 分析】把DMC 绕点 C 逆时针旋转 90得到BHC，连接 GH，先证MCGHCG 得 MGHG，由BG：MG3：5 可设 BG3a，则 MGGH5a，继而知 BH4a，MD4a，由 DM+MG+BG12a12可求出 a，最后通过MGNCGB可得出答案 【详解】解：如图，把DMC 绕点 C逆时针旋转 90得到BHC，连接 GH， DMCBHC，BC
27、D90， MCHC，DMBH，CDMCBH45，DCMBCH， MBH90，MCH90， 过 M作 MEBC，MFAB， 90MECMFNMEMFCMEEMNNMFEMN ()CMENMF ASA MCMN MCMN，MCMN， MNC 是等腰直角三角形， MNC45， NCH45， MCGHCG（SAS） ， MGHG， BG：MG3：5， 设 BG3a，则 MGGH5a， 在 RtBGH中，BH4a，则 MD4a， 正方形 ABCD的边长为6 2， BD12， DM+MG+BG12a12， a1， BG3，MG5， MGCNGB，MNGGBC45， MGNCGB， GCMGGBNG， CG
28、NGBGMG15 故答案为：15 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、相似三角形的性质、正方形的性质，联系题目实际，结合全等三角形、正方形的性质构造相似三角形进行求解是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 7 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，分，第第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 9 分，第分，第 22题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16. 计算：4cos30tan245+|31|+2sin60 【16 题答案】 【答案】432 【解析】 【分析】首先计算
29、乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可 【详解】解：4cos30tan245+|31|+2sin60 43212+（31）+232 231313 432 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 17. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数2yx的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像， 列表：下表是 x 与 y 的几组对应值，其中 m x 3 2 1 12 12 1 2 3 y 23 1 2 4 4 2 1 m 描点：根据表中各组对应值（x，y） ，在平面直角
30、坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整； （2）通过观察图像，下列关于该函数的性质表述正确的是： ； （填写代号） 函数值 y随 x的增大而增大；2yx关于 y 轴对称；2yx关于原点对称； （3）在上图中，若直线 y2交函数2yx的图像于 A，B两点（A在 B 左边） ，连接 OA过点 B 作 BCPOA 交 x 轴于 C则四边形OABCS 【1719 题答案】 【答案】 （1）23，图见解析； （2），理由见解析； （3）4， 过程见解析 【解析】 【分析】 （1）将 x3 代入求解，根据表格所给点作图； （2）观察图像
31、即可得出函数的性质，选出答案即可； （3）求出 A，B的坐标，证明四边形 OABC为平行四边形，再根据平行四边形面积底高作答 小问 1 详解】 解：将 x3 代入2yx 得2yx23， 故 m23 故答案为：23 图像补充完整如图 1： 【小问 2 详解】 解：由2yx图像可知，当 x0时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；故错误； 由图像可知，函数2yx的图像关于 y 轴对称；故正确，错误； 故答案为： 【小问 3 详解】 解：如图 2 所示， A、B的纵坐标相同， ABPOC， 又 BCPOA， 四边形 OABC 为平行四边形， ABOC 当 y2时，即 2
32、2x，解得 x 1， 点 A、B的坐标分别为（1，2） 、 （1，2） ， AB1+12， OCAB2 四边形OABCSOCAyg2 24， 故答案为：4 【点睛】本题考查反比例函数的图像的性质以及平行四边形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法 18. 如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高 1.7米的小聪在地面 M 处时开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A的仰角为 45，当他在地面 N 处时，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米， 求B、 C两点的距离（结果保留一位小数， sin580.8， cos580.
33、5，tan581.6） 【18 题答案】 【答案】0.6米 【解析】 【分析】延长 BC 交 AD于点 E，构造直角ABE和矩形 EDNC和矩形 BCNM，通过解直角三角形分别求出BE、CE的长度，再根据 MNBCBECE即可得出答案 【详解】解：如图，延长 BC 交 AD 于点 E， BMCN1.7米，且 BMDM，CNDM， BMCN， 四边形 BCNM是平行四边形， CNMBMN90， 平行四边形 BCNM是矩形， 同理，四边形 CEDN是矩形， EDCN1.7米， AEADED3.31.71.6（米） ， 在 RtAEC 中，AEC90，ACE58， tanAEACECE， CE1.6
34、tan1.6AEACE1（米） ， 在 RtAEB中，AEB90，ABE45， tanAEABEBE1， BEAE1.6（米） ， BCBECE1.610.6（米） ， 答：B、C两点的距离约为 0.6 米 【点睛】本题主要考查解直角三角形，矩形判定和性质，以及利用锐角三角函数求长度，题目重在计算，是中考的常考题. 19. 如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D是边 AB上一点，以 BD为直径的O 与 AC交于点 E，连接 DE并延长交 BC的延长线于点 F，且 BFBD （1）求证：AC为O 的切线； （2）若 CF1，tanEDB2，求O 的半径 【1920 题答案】 【答案】 （1
35、）见解析 （2）52 【解析】 【分析】（1） 连接 OE， 利用等腰三角形两底角相等， 可证明OEDBFD， 则 OEBF， 从而证明 OEAC即得结论； （2）连接 BE，根据 tanEDB2，EDBF，可得 CE2，再利用ECFBEF，得EFCFBFEF代入即可解决问题 【小问 1 详解】 证明：如图，连接 OE， BFBD， FBDF， OEOD， OEDBDF， OEDBFD， OEBF， ACB90 ， AEO90 ， OEAC， OE为半径， AC为O的切线； 【小问 2 详解】 解：如图，连接 BE， tanEDB2，EDBF，CF1， tanF=21CECECF， CE2，
36、EF=2222215ECCF， BD是直径， BED90 ， BEF90 ， 又ECF90 ，FF， ECFBEF， EFCFBFEF， 515BF， BF5， O的半径为1522BF 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，锐角的正切值，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活证明三角形的相似和三角函数是解题的关键 20. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件 40 元，每月销售量y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系如图所示 （1）求出每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）设每月获得的利润为 W（元） 这
37、种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【2021 题答案】 【答案】 （1）y10 x+1000 （2）销售单价定为 70元时，每月的销售利润最大，最大利润是 9000 元 【解析】 【分析】 （1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润单件利润销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值 【小问 1 详解】 设 y与 x之间的函数关系式为：ykx+b（k0） ， 将（40，600） ， （80，200）代入得：4060080200kbkb， 解得：101000kb ， y与 x之间的函数关系式为 y10
38、 x+1000； 【小问 2 详解】 由题意得：W（x40）y（x40） （10 x+1000）10 x2+1400 x40000， 配方得：W10（x70）2+9000， a100， 当 x70 时，W有最大值为 9000， 答：这种文化衫销售单价定为 70元时，每月的销售利润最大，最大利润是 9000 元 【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式 21. 已知四边形 ABCD中，E、F分别是 AB、AD边上的点，DE 与 CF 交于点 G （1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，且 DECF于 G，则DECF ； 如图 2，当四边形 ABCD是矩
39、形时，且 DECF于 G，ABm，ADn，则DECF ； （2）拓展研究：如图 3，若四边形 ABCD是平行四边形，且B+EGC180时，求证：DEADCFCD； （3）解决问题：如图 4，若 BABC5，DADC10，BAD90，DECF于 G，请直接写出DECF的值 【2123 题答案】 【答案】 （1）1；nm （2）见解析 （3）54 【解析】 【分析】 （1）由“ASA”可证ADEDCF，可得 DECF，可求解； 通过证明AEDDFC，可得DEADnCFCDm； （2）通过证明ADEDCM，可得DEADCMDC，可得结论； （3）设 CNx，BADBCD，推出BCDA90 ，证BCM
40、DCN，求出 CM12x，在 RtCMB中，由勾股定理得出222BMCMBC，代入得出方程（x5）2+（12x）252，求出 CN8，证出AEDNFC，即可得出答案 【小问 1 详解】 （1）解：四边形 ABCD是正方形， ADCD，BADADC90 ， DECF， DGF90 ADC， ADE+EDC90 EDC+DCF， ADEDCF， ADEDCF（ASA） ， DECF， 1DECF， 故答案为：1； 解：四边形 ABCD是矩形， AFDC90 ，ABCDm， CFDE， DGF90 ， ADE+CFD90 ，ADE+AED90 ， CFDAED， ACDF， AEDDFC， DEAD
41、nCFCDm， 故答案为：nm； 【小问 2 详解】 （2）证明：如图所示，B+EGC180 ，EGC+EGF180 ， BEGF， 在 AD的延长线上取点 M，使 CMCF，则CMFCFM， ABCD， ACDM， ADBC， B+A180 ， BEGF， EGF+A180 ， AEDCFMCMF， ADEDCM， DEADCMDC， 即DEADCFDC； 【小问 3 详解】 （3）解：过 C作 CNAD于 N，CMAB 交 AB 延长线于 M，连接 BD，设 CNx， BAD90 ，即 ABAD， AMCNA90 ， 四边形 AMCN是矩形， AMCN，ANCM， 在BAD和BCD中， A
42、DCDABBCBDBD， BADBCD（SSS） ， BCDA90 ， ABC+ADC180 ， ABC+CBM180 ， MBCADC， CNDM90 ， BCMDCN， CMBCCNCD， 510CMx， CM12x， 在 RtCMB中，CM12x，BMAMABx5，由勾股定理得：222BMCMBC， （x5）2+（12x）252， 解得：1x0（舍去） ，2x8， CN8， AFGD90 ， AED+AFG180 ， AFG+NFC180 ， AEDCFN， ACNF90 ， AEDNFC， 10584DEADCFCN 【点睛】本题考查了正方形，矩形，平行四边形，三角形全等，三角形相似，
43、解决问题的关键是熟练运用正方形四边相等四角相等，矩形对边相等四角相等，平行四边形对边平行且相等对角相等，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，邻补角性质，四边形内角和性质 22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2904yaxxc a与 x轴交于 A、B 两点（A在 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，其中 A（1，0） ，C（0，3） （1）求该抛物线的解析式； （2）如图 1，点 D，E 是线段 BC 上的两点（E在 D的右侧） ，54DE ，过点 D作 DPy 轴，交直线 BC上方抛物线于点 P， 过点 E作 EFx 轴于点 F， 连接 FD， FP， 当DFP 面积最大时，
44、 求点 P的坐标及DFP面积的最大值； （3）如图 2，在（2）取得面积最大的条件下，连接 BP，将线段 BP沿射线 BC方向平移，平移后的线段记为 BP， G 为 y 轴上的动点， 是否存在以 BP为直角边的等腰 RtGBP？若存在， 请直接写出点 G的坐标，若不存在，请说明理由 【2224 题答案】 【答案】 （1）239344yxx （2）点 P 的坐标为（2，92）时，PDF的面积最大值为32 （3）存在；点 G的坐标（0，918）或（0，678） 【解析】 【分析】 （1）将点 A和点 C分别代入求得 a 和 c 的值，得到抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EH直线 PD 于点
45、H，由 PDy 轴得到DEHCBO，然后由等角的余弦值相等得到 EH的长， 再求得直线 BC的解析式， 然后设点 P 的坐标， 得到点 D 的坐标， 进而得到 PD的长， 即可求得 PDF的面积，进而利用二次函数的性质求得 PDF 的面积最大值和点 P的坐标； （3）分情况讨论：当点 B在 y轴的右侧和左侧时，分别讨论点 P为直角顶点和点 B为直角顶点几种情况，然后作出辅助线构造 K 型全等，然后设点 B、点 P和点 G 的坐标，根据全等三角形的性质列出方程求得点G 的坐标 【小问 1 详解】 将 A（1，0） ，C（0，3）代入294yaxxc，得 9043acc，解得：343ac ， 抛物
46、线的解析式为：239344yxx 【小问 2 详解】 过点 E作 EHPD于点 H， 令 y0，得2390344xx ， 解得：x11，x24， B（4，0） ， OB4，OC3， BC5， EHPD，BOCO， HEOB， DEHCBO， cosDEHcosCBO，即HEOBDEBC， 4554HE， 解得：HE1， 设直线 BC的解析式为：ykx+b（k0） ，则 403kbb，解得：343kb ， 直线 BC的解析式为：334yx ， 设239344P ttt，33034D ttt， ，则2334PDtt ， 22113333122482FPDSPD HEtttt V， 配方得：233(
47、2)82FPDSt V， 308 ， t2时，S FPD有最大值为32， 点 P的坐标为（2，92）时， PDF的面积最大值为32 【小问 3 详解】 设 B（x，34x+3） （x4） ，G（0，y） ， P（2，92） ，B（4，0） ，线段 BP 沿射线 BC 方向平移， P（x2，34x152） ， 如图 2，当点 B1在 y 轴右侧，G1B1P190 时，B1P1B1G1， 过点 B1作 B1M1y 轴于点 M1，过点 P1作 P1N1B1M1于点 N1，则P1N1B1B1M1G190 ，P1B1N1+M1B1G190 ， P1B1N1+N1P1B190 ， M1B1G1N1P1B1
48、， M1B1G1N1P1B1（AAS） ， M1G1B1N1，P1N1B1M1， M1G134 x+3y，B1N12，P1N192，B1M1x， 34x+3y2，且 x924，舍去； 如图 3，当点 B2在 y轴右侧，G2P2B290 时，B2P2P2G2，过点 P2作 P2N2y 轴于点 N2，过点 B2作 B2M2N2P2的延长线于点 M2，则P2N2G2B2M2P290 ， P2B2M2+M2P2B290 ， N2P2G2+M2P2B290 ， N2P2G2P2B2M2， N2P2G2M2B2P2（AAS） ， N2G2P2M2，P2N2B2M2， N2G234 x152y，P2M22，
49、P2N2x2，B2M292， 34x152y2，且 x292， x1324，y52，舍去； 如图 4，当点 B3在 y 轴左侧，G3P3B390 时，B3P3P3G3，过点 P3作 P3M3y 轴于点 M3，过点 B3作 B3N3M3P3于点 M3，则P3M3G3B3N2P390 ，P3B3N3+N3P3B390 ， M3P3G3+N3P3B390 ， P3B3N3M3P3G3， P3B3N3 G3P3M3（AAS） ， M3G3P3N3，P3M3B3N3， M3G3y（34x152） ，P3N32，P3M3（x2） ，B2M292， y34x1522，且 2x92， x52 ，y52， 点
50、G3的坐标为（0，918） ； 如图 5，当点 B4在 y轴左侧，G4B4P490 时，B4P4B4G4，过点 B4作 B4N4y 轴于点 N4，过点 P4作 P4M4N4B4的延长线于点 M4，则P4M4B4B4N4G490 ,P4B4M4+N4B4G490 ， P4B4M4+M4P4B490 ， N4B4G4M4P4B4， N4B4G4M4P4B4（AAS） ， N4G4B4M4，P4M4B4N4， N4G4y（34x+3） ，B4M42，P4M492，B4N4x， y（34x+3）2，且x92， x92 ，y678， 点 G4的坐标为（0，678） ； 综上所述， GBP是以 BP为直角
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