初一数学暑假提升讲义13：相交线与平行线二（教师版）

1、第13讲 相交线与平行线（二）模块一 平行的性质及判定能力提升【例1】 如图，分别能得出哪两条直线平行？【解析】（已知），（内错角相等，两直线平行）（已知），（内错角相等，两直线平行）（已知），（内错角相等，两直线平行）（已知），（内错角相等，两直线平行）【例2】 如图，直线、被所截，那么与平行吗？为什么？【解析】，（已知），（同旁内角互补，两直线平行）【例3】 如图，中于，交于点过上任意一点，作于，求证： 如图，和分别在同一直线上，分别交于点已知求证：【解析】 ， ，又模块二 基本模型中平行线的证明模 型示例剖析若，则若，则若，则若，则夯实基础【例4】 如下右图所示，已知：，求证：；已知：，

2、求证： 【解析】（已知），（两直线平行，内错角相等）（已知），（等量减等量差相等）（内错角相等，两直线平行）（已知），（两直线平行，内错角相等）又（已知），（两直线平行，内错角相等）（等量减等量差相等）【例5】 已知：如图,点为其内部任意一点，求证： 已知：如图，点为其内部任意一点，. 求证： 【解析】 过点作,（已知）（平行于同一条直线的两直线平行）（已知）（两直线平行，内错角相等）（已知）（两直线平行，内错角相等）（等量代换） 如图过点做,又【例6】 如下图，已知：，求证：【解析】（法1）如图所示，过点作，过点作，则，则，又因为，所以，即（法2）如图所示，延长，相交于点， ，如果延长，相交

3、于点，如右图，也可用同样的方法证明 （法3）如右图所示，连接点，【例7】 如右图，在折线中，已知，延长、交于点试探索与的关系，并说明理由【解析】理由如下：，（内错角相等，两直线平行），（内错角相等，两直线平行）（平行于同一条直线的两直线平行）（两直线平行，同位角相等）又，能力提升【例8】 如图，已知，求的度数 已知如右图所示，求证【解析】 过点作且（已知）（平行于同一条直线的两直线平行）且（已知）（两直线平行，内错角相等）且（已知）（两直线平行，同旁内角互补） 过作，如下图所示，则有，因为，故，即【例9】 如图所示，证明：【答案】证法l：因为，所以(两直线平行，同旁内角互补)过作由，得 (平行

4、于同一条直线的两条直线平行)因为，有 (两直线平行，内错角相等)又，有，(两直线平行，内错角相等)所以 (周角定义)所以 (等量代换)证法2： 由，得(两直线平行，同旁内角互补)过作 （如图）由，得.(平行于同一条直线的两条直线平行)因为 ，所以(两直线平行，同旁内角互补)，又 ，所以(两直线平行，同旁内角互补)所以所以(等量代换)探索创新【例10】 如图，已知，求的度数【解析】 如图延长交直线于点，（已知）（对顶角相等）（等量代换），（同旁内角互补，两直线平行）（两直线平行，内错角相等），（已知）（等量代换），（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同旁内角互补），【例11】 如图，直线，则

5、的大小是 . 【解析】过点，作，的平行线，那么，在中,又，【例12】 已知，点分别在上1 间有一点，点在直线左侧，如图1，求证； 当间的点在直线右侧时，如图2，之间有什么关系？ 如图3，当点在外侧时，探索之间有何关系？【答案】 过点作， 过点作，过点作， .实战演练知识模块一 平行的性质及判定 课后演练【演练1】 已知：如图，、交于点，平分，平分，那么与平行吗？为什么？【解析】（已知），（内错角相等，两直线平行）平分，平分（已知），从而（内错角相等，两直线平行）【演练2】 如图，已知，平分，平分，求证：【解析】 平分，平分，即【演练3】 已知：如图，和互余，于求证： (北京八中期中) 【证明】 （已知）（同位角相等，两直线平行）又（已知）（两直线平行，同位角相等）（平角定义）又（已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练【演练4】 如图，已知，则 .【解析】 分别过点，做和的平行线，易得：.【演练5】 已知如图所示，,，求的度数. 【解析】过点作直线，因为,所以，因为， 因为，所以，因为，所以【演练6】 如图，已知，试判断与的大小关系，并对结论进行证明【解析】 法一：，