1、2020-2021 学年天津市南开区八年级学年天津市南开区八年级下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）如图，点 P 是平面坐标系中一点，则点 P 到原点的距离是（ ） A3 B2 C7 D53 2 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（a2）x2+2x+a240 有一个根为 0，则 a 的值为（ ） A2 B2 C2 D2 3 （3 分）为庆祝建党 100 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进入决赛 如果小明知道了自己的比赛成绩， 要判断能否进入决赛
2、， 小明需要知道这 11 名同学成绩的 （ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 4 （3 分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） Ax2+2x+10 Bx2+x+20 Cx22x0 D （x3）220 5 （3 分）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ） A三个内角度数之比是 3：4：5 B三边的平方之比是 5：12：13 C三边长度之比是 1：2：3 D三个内角度数之比是 2：3：4 6 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC COAO
3、C，OBOD DABDC，ADBC 7 （3 分）一次函数 y2x+1 的图象过点（a1，y1） ， （a，y2） ， （a+1，y3） ，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将函数 y2x 的图象向上平移 4 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴交点的坐标为（ ） A （4，0） B （2，0） C （2，0） D （4，0） 9（3 分） 已知菱形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 交于点 O， BAD120， AC4， 则该菱形的面积是 （ ） A163 B16 C83 D8 10 （3 分）若某一样本的方差为
4、 s2=15|（57）2+（77）2+（87）2+（x7）2+（y7）2|，样本容量为 5，则下列说法： 当 x9 时，y6； 该样本的平均数为 7； x，y 的平均数是 7； 该样本的方差与 x，y 的值无关 其中不正确的是（ ） A B C D 11 （3 分）某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元，3 月份的营业额比 2 月份增加 10%，5 月份的营业额达到633.6万元 若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 则下面列出的方程中正确的是 （ ） A633.6（1+x）2400（1+10%） B633.6（1+2x）2400（1+10%） C400（1+10%） （1+
5、2x）2633.6 D400（1+10%） （1+x）2633.6 12 （3 分）在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程 y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示有下列说法：前半小时甲选手的速度为 8 千米/时；第 1 小时两人都跑了 10 千米；甲比乙先到达终点；甲选手的速度一直比乙慢其中正确的说法有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分请将答案直接填在答题纸中对应的横线上分请将答案直接填在答题纸中对应的横线上 13 （3 分）若一直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则斜边
6、长为 14 （3 分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人 10 次射击成绩的平均值都是 7 环，方差分别为 S甲22.5，S乙21.2，则两人成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙” ） 15 （3 分） 在同一平面直角坐标系中， 函数 y1kx+b 与 y2mx+n 的图象如图所示， 则关于 x 的不等式 kx+bmx+n 的解集为 16 （3 分）将方程 3x26x80 配方为 a（xh）2k，其结果是 17 （3 分）如图所示，四边形 ABCD 是长方形，把ACD 沿 AC 折叠到ACD，AD与 BC 交于点 E，若 AD4，DC3，则 BE 的长为 18 （3 分）如图所示的网格是正
7、方形网格，点 A，B，C，D，E 是网格线交点，则BACDAE 的度数为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 46 分）分） 19 （8 分）解方程： （） （x+3）236； （）3x216x 20（7 分） 某校为了解学生每周参加家务劳动的情况， 随机调查了该校部分学生每周参加家务劳动的时间 根据调查结果，绘制出如图的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题： （）本次接受调查的学生人数为 ，图中 m 的值为 ； （）求统计的这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数； （）根据统计的这组每周参加家务劳动时间的样本数据，若该校共有 800 名学生，估计该校每周参加
8、家务劳动的时间大于 1h 的学生人数 21 （7 分）如图，直线 l1分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （0，3） ，过点 B的直线 l2：y=12x+3 交 x 轴于点 C点 D（n，6）是直线 l1上的一点，连接 CD （1）求 l1的解析式； （2）求 C、D 的坐标； （3）求BCD 的面积 22 （8 分）在ABC 中，D 为 AC 的中点，DMAB 于 M，DNBC 于 N，且 DMDN （）求证：ADMCDN （）若 AM2，ABAC，求四边形 DMBN 的周长 23 （8 分）某书店购一批故事书进行销售，其进价为每本 40 元，如果按
9、每本故事书 50 元进行出售，每月可以售出 500 本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书每涨价 1 元，则故事书的销量每月减少20 本，设每本故事书涨价 x 元（x0） （）根据题意填表： 每本故事书涨价（元） 1 2 x 每本故事书所获利润（元） 11 12 故事书每月的销量（本） 480 （）该书店要保证每月销售此种故事书盈利 6000 元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？ （）若使该故事书的月销量不低于 300 本，则每本故事书的售价应不高于 元 24 （8 分）如图 1，在正方形 OABC 中，边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（4，
10、4） ，点 D 在线段 OA 上，以点 D 为直角顶点，BD 为直角边作等腰直角三角形 BDE，BE 交 y 轴于点 F （）当 AD1 时，则点 E 的坐标为 ； （）如图 2，连接 DF，当点 D 在线段 OA 上运动时，ODF 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （）如图 3，连接 CE，当点 D 在线段 OA 上运动时，直接写出 CE 的最小值： 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）如图，点 P 是平面坐标系中一点，则点 P 到原点的距离是（ ） A
11、3 B2 C7 D53 【分析】 连接 PO， 在直角坐标系中， 根据点 P 的坐标是 （2， 7） ， 可知 P 的横坐标为2， 纵坐标为7， 然后利用勾股定理即可求解 【解答】解：连接 PO，点 P 的坐标是（2，7） ， 点 P 到原点的距离=22+ 72=3 故选：A 【点评】此题主要考查学生对勾股定理、坐标与图形性质的理解和掌握，解答此题的关键是明确点 P 的横坐标为2，纵坐标为7 2 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（a2）x2+2x+a240 有一个根为 0，则 a 的值为（ ） A2 B2 C2 D2 【分析】把 x0 代入方程计算，检验即可求出 a 的值 【解答】解：把
12、x0 代入方程得：a240， （a2） （a+2）0， 可得 a20 或 a+20， 解得：a2 或 a2， 当 a2 时，a20，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则 a 的值为2 故选：A 【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键 3 （3 分）为庆祝建党 100 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进入决赛 如果小明知道了自己的比赛成绩， 要判断能否进入决赛， 小明需要知道这 11 名同学成绩的 （ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】由于比赛取前 5 名参加决赛，共有 11
13、名选手参加，根据中位数的意义分析即可 【解答】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 6 个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了 故选：B 【点评】本题考查了中位数意义解题的关键是正确的求出这组数据的中位数 4 （3 分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） Ax2+2x+10 Bx2+x+20 Cx22x0 D （x3）220 【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可 【解答】解：A、22410，则方程有两个相等的实数根，所以 A 选项不符合题意； B、124270，则方程没有实数根，所以 B 选项符合
14、题意； C、（2）24040，则方程有两个不相等的实数根，所以 C 选项不符合题意； D、整理整理为 x26x+70，624780，则方程有两个不相等的实数根，所以 D 选项不符合题意 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 5 （3 分）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ） A三个内角度数之比是 3：4：5 B三边的平方之比是 5：12：13 C三边长度之比是 1：2：3 D三个内角度数之比是 2：3：4 【分析】根据三
15、角形内角和可以判断 A 和 D 是否符合题意，根据勾股定理的逆定理，可以判断 B 和 C是否符合题意 【解答】解：当三个内角度数之比是 3：4：5 时，最大的角的度数是：18053+4+5=7590，故选项 A 不符合题意； 当三边长的平方比为 5：12：13 时，因为（5）2+（12）2（13）2，故该三角形不是直角三角形，故选项 B 不符合题意； 当三边长度是 1：2：3时，12+（2）2（3）2，故该三角形不是直角三角形，故选项 C 符合题意； 三个内角度数比为 2：3：4 时，最大的角的度数是：18042+3+4=8090，故选项 D 不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查勾股定理的
16、逆定理、三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理解答 6 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC COAOC，OBOD DABDC，ADBC 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可 【解答】解：A、ABDC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 A 不符合题意； B、ABDC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 B 不符合题意； C、OAOC，OBOD， 四边形 AB
17、CD 是平行四边形，故选项 C 不符合题意； D、ABDC，ADBC， 四边形 ABCD 不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项 D 符合题意， 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键 7 （3 分）一次函数 y2x+1 的图象过点（a1，y1） ， （a，y2） ， （a+1，y3） ，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2 【分析】根据一次函数的性质，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大可得答案 【解答】解：k20， y 随 x 的增大而增大， a1aa+1， y1y2y3 故选：A 【点评】此题
18、主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将函数 y2x 的图象向上平移 4 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴交点的坐标为（ ） A （4，0） B （2，0） C （2，0） D （4，0） 【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与 x 轴交点的坐标 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数 y2x 的图象向上平移 4 个单位长度所得函数的解析式为 y2x+4 令 y0，则 x2， 即平移后的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0） 故选：C 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，
19、熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键 9（3 分） 已知菱形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 交于点 O， BAD120， AC4， 则该菱形的面积是 （ ） A163 B16 C83 D8 【分析】根据菱形的性质得出 ABBC，AOCO，ACBD，BODO，ADBC，求出ABC60，求出ABC 是等边三角形，求出 AB4，根据勾股定理求出 BO，求出 BD，再求出菱形的面积即可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBC，AOCO，ACBD，BODO，ADBC， BAD+ABC180， BAD120， ABC60， ABC 是等边三角形， AC4， AO2，ABAC4， 在
20、RtAOB 中，由勾股定理得：DOBO= 2 2= 42 22=23， BD43， 菱形 ABCD 的面积 S=12ACBD=12443 =83， 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键 10 （3 分）若某一样本的方差为 s2=15|（57）2+（77）2+（87）2+（x7）2+（y7）2|，样本容量为 5，则下列说法： 当 x9 时，y6； 该样本的平均数为 7； x，y 的平均数是 7； 该样本的方差与 x，y 的值无关 其中不正确的是（ ） A B C D 【分析】先根据方差的定义及其计算公式得出：这组数据为
21、5、7、8、x、y 且这组数据的平均数为 7，继而知 x+y15，再逐一判断即可 【解答】解：s2=15（57）2+（77）2+（87）2+（x7）2+（y7）2， 这组数据为 5、7、8、x、y，且这组数据的平均数为 7， 5+7+8+x+y35， x+y15， 当 x9 时，y6，此说法正确； 这组数据的平均数为 7，故此说法正确； x、y 的平均数为152=7.5，故此说法错误； 该样本的方差与 x，y 的值有关，故此说法错误； 故选：D 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式 11 （3 分）某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元，3 月份的营业额比 2
22、月份增加 10%，5 月份的营业额达到633.6万元 若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 则下面列出的方程中正确的是 （ ） A633.6（1+x）2400（1+10%） B633.6（1+2x）2400（1+10%） C400（1+10%） （1+2x）2633.6 D400（1+10%） （1+x）2633.6 【分析】设平均增长率为 x，由题意得出 400（1+10%）是 3 月份的营业额，633.6 万元即 5 月份的营业额，根据三月份的营业额（1+x）2五月份的营业额列出方程即可 【解答】解：设 3 月份到 5 月份营业额的月平均增长率为 x， 根据题意得，400（1+
23、10%） （1+x）2633.6 故选：D 【点评】 本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程， 掌握求平均变化率的方法： 若设变化前的量为 a，变化后的量为 b， 平均变化率为 x， 则经过两次变化后的数量关系为 a （1x）2b （当增长时中间的 “”号选“+” ，当降低时中间的“”号选“” ） 12 （3 分）在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程 y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示有下列说法：前半小时甲选手的速度为 8 千米/时；第 1 小时两人都跑了 10 千米；甲比乙先到达终点；甲选手的速度一直比乙慢其中正确的说法有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】
24、根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：由图象可得， 前半小时甲选手的速度为：80.516（千米/小时） ，故错误； 第 1 小时两人都跑了 10 千米，故正确； 甲比乙晚到达终点，故错误； 甲选手前 0.5 小时的速度比乙选手快，0.5 小时以后的速度小于乙选手的速度，故错误； 故选：A 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分请将答案直接填在答题纸中对应的横线上分请将答案直接填在答题纸
25、中对应的横线上 13 （3 分）若一直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则斜边长为 10 【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解 【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和， 故斜边长= 62+ 82=10， 故答案为 10 【点评】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键 14 （3 分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人 10 次射击成绩的平均值都是 7 环，方差分别为 S甲22.5，S乙21.2，则两人成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙” ） 【分析】根据方差的意义求解即可 【解答】解：S甲22.5，S乙21.2，
26、S乙2S甲2， 两人成绩比较稳定的是乙， 故答案为：乙 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 15 （3 分） 在同一平面直角坐标系中， 函数 y1kx+b 与 y2mx+n 的图象如图所示， 则关于 x 的不等式 kx+bmx+n 的解集为 x2 【分析】直接利用函数图象，结合 kx+bmx+n，得出 x 的取值范围 【解答】解：如图所示：不等式 kx+bmx+n 的解集为：x2 故答案为：x2 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图
27、象分析是解题关键 16 （3 分）将方程 3x26x80 配方为 a（xh）2k，其结果是 3（x1）211 【分析】 先将一元二次方程的二次项系数化为 1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方可得 【解答】解：3x26x80， 3（x22x+1）8+3， 3（x1）211， 故答案为：3（x1）211 【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键 17 （3 分）如图所示，四边形 ABCD 是长方形，把ACD 沿 AC 折叠到ACD，AD与 BC 交于点 E，若 AD4，DC3，则 BE 的长为 78 【分析】根据矩形性质得 ABDC3，BCA
28、D4，ADBC，B90，再根据折叠性质得DACDAC，而DACACB，则DACACB，所以 AEEC，设 BEx，则 EC4x，AE4x，然后在 RtABE 中利用勾股定理可计算出 BE 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ABDC3，BCAD4，ADBC，B90 ACD 沿 AC 折叠到ACD，AD与 BC 交于点 E， DACDAC， ADBC， DACACB， DACACB， AEEC 设 BEx，则 EC4x，AE4x， 在 RtABE 中，AB2+BE2AE2， 32+x2（4x）2，解得 x=78， 即 BE 的长为78 故答案为78 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对
29、称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质和勾股定理 18 （3 分）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，E 是网格线交点，则BACDAE 的度数为 45 【分析】如图，连接 CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得CAG90，从而知CAG 是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：BACDAEACG，即可得解 【解答】解：如图，连接 CG、AG， 由勾股定理得：AC2AG212+225，CG212+3210， AC2+AG2CG2， CAG90， CAG 是等腰直角三角形， ACG45， CFAB， ACFBAC，
30、在CFG 和ADE 中， = = = 90 = ， CFGADE（SAS） ， FCGDAE， BACDAEACFFCGACG45， 故答案为：45 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 46 分）分） 19 （8 分）解方程： （） （x+3）236； （）3x216x 【分析】 （）用直接开平方法解一元二次方程； （）用公式法解一元二次方程 【解答】解： （） （x+3）236， x+36， x+36， x13， x+36， x29， x13，x29
31、， （）3x216x， 3x26x10， a3，b6，c1， b24ac（6）243（1）480， 方程有两个不相等的实数根， x=242=6436， x1=3+233，x2=3233 【点评】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程的步骤是解题基础 20（7 分） 某校为了解学生每周参加家务劳动的情况， 随机调查了该校部分学生每周参加家务劳动的时间 根据调查结果，绘制出如图的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题： （）本次接受调查的学生人数为 40 ，图中 m 的值为 25 ； （）求统计的这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数； （）根据统计的这组每周参
32、加家务劳动时间的样本数据，若该校共有 800 名学生，估计该校每周参加家务劳动的时间大于 1h 的学生人数 【分析】 （）由两个统计图可知，0.5h 的有 4 人，占调查人数的 10%，可求出调查人数；进而求出 2h的所占的百分比，确定 m 的值； （）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可； （）样本估计总体，样本中“每周参加家务劳动时间大于 1h”的学生人数占调查人数的 70%，因此估计总体 800 人的 70%是“每周参加家务劳动时间大于 1h”的学生人数； 【解答】解： （）410%40（人） ，104025%，即 m25， 故答案为：40、25； （）在这组数据中，1.5h
33、出现的次数最多是 15 次，因此众数是 1.5， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是 1.5，因此中位数是 1.5， 平均数为 =0.44+18+1.515+210+2.5340=1.5， 答：这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数都是 1.5； （）800（37.5%+25%+7.5%）80070%560（人） ， 答：该校 800 名学生中每周参加家务劳动的时间大于 1h 的学生有 560 人 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中数量之间的关系是正确计算的前提 21 （7 分）如图，直线 l1分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点
34、，A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （0，3） ，过点 B的直线 l2：y=12x+3 交 x 轴于点 C点 D（n，6）是直线 l1上的一点，连接 CD （1）求 l1的解析式； （2）求 C、D 的坐标； （3）求BCD 的面积 【分析】 （1）利用待定系数法求 AB 的解析式； （2）先解方程12x+30 得 C 点坐标为（6，0） ，然后把 D（n，6）代入 y= 32x+3 中求出 n 得到 D 点坐标； （3）利用三角形面积公式，根据 SBCDSDACSBAC进行计算 【解答】解： （1）设直线 l1的解析式为 ykx+b， 把 A（2，0） 、B（0，3）代入得2 + = 0
35、= 3，解得 = 32 = 3， 直线 l1的解析式为 y= 32x+3； （2）当 y0 时，12x+30，解得 x6， C 点坐标为（6，0） ， 把 D（n，6）代入 y= 32x+3 得32n+36，解得 n2， D 点坐标为（2，6） ； （3）SBCDSDACSBAC =12（2+6）612（2+6）3 12 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一个已知点的坐标就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数 ykx+b，则需要两组 x，y 的值 22 （8 分）在ABC 中，D 为 AC 的中点，DMAB 于 M，DNBC 于 N，且 DMDN （）求证：
36、ADMCDN （）若 AM2，ABAC，求四边形 DMBN 的周长 【分析】 （）根据 HL 证明三角形全等即可 （）证明ABC 是等边三角形，求出 BM，DM，可得结论 【解答】 （）证明：DMAB 于 M，DNBC 于 N， DMADNC90， D 是 AC 的中点， DADC， 在 RtADM 和 RtCDN 中， = = ， RtADMRtCDN（HL） （）解：ADMCDN， AC，AMCN2， BABC， ABAC， ABACBC， ABC 是等边三角形， AC60， AD2AM4， AC2AD8， ABCB8， AMCN， BMBN826， 在 RtADM 中，DM= 2 2=
37、42 22=23， DMDN23， 四边形 DMBN 的周长12+43 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形 30角的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，第二个问题的解题的关键是证明ABC 是等边三角形 23 （8 分）某书店购一批故事书进行销售，其进价为每本 40 元，如果按每本故事书 50 元进行出售，每月可以售出 500 本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书每涨价 1 元，则故事书的销量每月减少20 本，设每本故事书涨价 x 元（x0） （）根据题意填表： 每本故事书涨价（元） 1 2 x 每本故事书所获利润（元） 11 12 （10+x） 故事书每月的销
38、量（本） 480 460 （50020 x） （）该书店要保证每月销售此种故事书盈利 6000 元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？ （）若使该故事书的月销量不低于 300 本，则每本故事书的售价应不高于 60 元 【分析】 （I）利用每本故事书获得的利润5040+每本故事书上涨的价格及每月的销售量50020每本故事书上涨的价格，即可得出结论； （II）利用每月销售此种故事书获得的利润每本故事书获得的利润每月的销售量，即可得出关于 x的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再结合要使购书者得到实惠，即可确定 x 的值； （III）根据该故事书的月销量不低于 300 本，即可
39、得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，进而可得出（50+x）的取值范围，再取其最大值即可得出结论 【解答】解： （I）每本故事书涨价 2 元时，每月的销售量为 500202460（本） ， 每本故事书涨价 x 元时， 每本故事书所获利润为 （5040+x） （10+x） 元， 每月的销售量为 （50020 x）本 故答案为：460； （10+x） ； （50020 x） （II）依题意得： （10+x） （50020 x）6000， 整理得：x215x+500， 解得：x15，x210 要使购书者得到实惠， x5 答：每本故事书需涨价 5 元 （III）依题意得：500
40、20 x300， 解得：x10， 50+x60 故答案为：60 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （I）根据各数量之间的关系， 用含 x 的代数式表示出各量； （II） 找准等量关系， 正确列出一元二次方程； （III）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 24 （8 分）如图 1，在正方形 OABC 中，边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（4，4） ，点 D 在线段 OA 上，以点 D 为直角顶点，BD 为直角边作等腰直角三角形 BDE，BE 交 y 轴于点 F （）当 AD1 时，则点 E 的坐标为 （1
41、，1） ； （）如图 2，连接 DF，当点 D 在线段 OA 上运动时，ODF 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （）如图 3，连接 CE，当点 D 在线段 OA 上运动时，直接写出 CE 的最小值： 22 【分析】 （）如图 1，过点 E 作 EHx 轴于 H证明EDHDBA（AAS） ，推出 DHAB，EHAD1，可得结论 （） 结论： ODF 的周长不变 将BCF 绕点 B 逆时针旋转 90得到BAJ 证明DBFDBJ （SAS） ，根据全等三角形的性质得 DFDJ，由 DJDA+AJ，CFAJ 即可得出 DFCF+AD，则ODF 的周长OF+DF+ODOF+CF
42、+OD+ADOC+OA8； （）由（）可知，OHEH1，推出EOHCOE45，推出点 E 的运动轨迹是射线 OE，过点 C 作 CTOE 于 T，当点 E 与点 T 重合时，EC 的值最小 【解答】解： （）如图 1，过点 E 作 EHx 轴于 H 四边形 OABC 是正方形，B（4，4） ， OAAB4，BAD90， BDE 是等腰直角三角形， DEDB，EDBEHDBAD90， EDH+BDA90，BDA+ABD90， EDHABD， EDHDBA（AAS） ， DHAB，EHAD1， OAAB， DHOA， OHDA1， E（1，1） 故答案为： （1，1） ； （）结论：ODF 的周长
43、不变 理由：将BCF 绕点 B 逆时针旋转 90得到BAJ CBFABJ， CBAFBJ90， EBD45， CBF+ABD45， DBJABJ+ABD45， DBFDBJ45， DBDB，BFBJ， DBFDBJ（SAS） ， DFDJ， DJDA+AJ，CFAJ， DFCF+AD， ODF 的周长OF+DF+ODOF+CF+OD+ADOC+OA8； （）由（）可知，OHEH1， EOHCOE45， 点 E 的运动轨迹是射线 OE， 过点 C 作 CTOE 于 T，当点 E 与点 T 重合时，EC 的值最小， COE45， 最小值 CTOCsin45422=22， EC 的最小值为 22， 故答案为：22 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题
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