湖北省部分重点中学2022届高三4月联考数学试题（含答案）

1、 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 8 : f I d : 8 1 3 9 4 8 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 1 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 2 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2022 届高三届高三 4 月联考月联考 数学数学试题试题 命题学校：襄阳四中 命题人：程孟良 审题人：范娜 一、单选题一、单选题 1命题:“,0 ,34xxx ”的否定为（ ） A0000,34xxx B0000,34xxx C000,0 ,34xxx D000,0 ,

2、34xxx 2若z为纯虚数，且1z ，则12z（ ） A2155i B2155i C1255i D1255i 3已知非空集合 A，B 满足以下两个条件： （1）= 1,2,3,4AB，AB； （2）A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素. 则有序集合对,A B的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 4如图是函数sin()(0,0,02 )yAxA的部分图象，则该函数图象与直线2021xy 的交点个数为（ ） A8083 B8084 C8085 D8086 5若二项式*1nxnxN的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是（ ） A9 B36 C84 D126

3、6 设 A、 B 为圆221xy上的两动点， 且AOB=120 ， P 为直线 l： 3x 4y 15=0 上一动点， 则|PAPB的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 7已知函数 tan23fxx， 322xg xx.若 fx与 g x的图象在区间1725,22,22上的交点分别为 1122667788,x yxyxyxyxy， 则128128xxxyyy 的值为 （ ） A20 B30 C40 D42 8如图，已知1F，2F为双曲线E：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过点1F，2F分别作直线1l，2l交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且以AD

4、为直径的圆过1F，11DFAF，则双曲线E的离心率为（ ） A2 B3 C52 D102 二、多选题二、多选题 9 已知211,XN ，222,YN ，12，10，20， 则下列结论中一定成立的有 （ ） A若12，则1211PXP Y B若12，则1211PXP Y C若12，则211P XP Y D若12，则211P XP Y 10如图，正三棱柱111ABCABC各棱的长度均相等，D为1AA的中点，M、N分别是线段1BB和线段1CC上的动点 （含端点） ， 且满足1BMC N， 当M、N运动时，下列结论中正确的是（ ） A在DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B平面DMN 平面11BCC

5、 B C三棱锥1ADMN的体积为定值 DDMN可能为直角三角形 11已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于, A B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于,M N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是（ ） A若抛物线上的点(2, )Et到点F的距离为4，则抛物线的方程为24yx B以 AB 为直径的圆与准线相切 C线段 AB 长度的最小值是2p Dsin PMN的取值范围为1 ,1)2 12、已知a为常数，函数( )lnf xxxax有两个极值点1212,()x xxx，则（） A. 102a102a B.2()0f x C. 102a1( )0f x D.

6、102a21()2f x 三、填空题三、填空题 13 “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中某时段更新了 2 篇文章和 2 个视频,一位学员准备学习这 2 篇文章和这 2 个视频,要求这 2 篇文章学习时不相邻,则不同的学习顺序有_种.(用数字作答) 14斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.在实际生活中,很多花朵(

7、如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列 an满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an(nN*),则 1+a3+a5+a7+a9+a2021是斐波那契数列an中的第_项. 15.抛挪一枚硬币，每次正面出现得 1 分，反面出现得 2 分，则恰好得到 10 分的概率是_ 16已知12,e e是空间单位向量，1212e e，若空间向量b满足1252,2b eb e，且对于任意, x yR，120 10200()()2(),bxeyebx ey eyRx，则00 xyb_ 1 5 1 6 : u I d : 1 5

8、1 6 8 1 3 9 4 8 : f I d : 8 1 3 9 4 8 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 1 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 2 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2022 届高三届高三 4 月联考月联考 数学数学试题试题 命题学校：襄阳四中 命题人：程孟良 审题人：范娜 一、单选题一、单选题 1命题:“,0 ,34xxx ”的否定为（ ） A0000,34xxx B0000,34xxx C000,0 ,34xxx D000,0 ,34xxx 2若z为纯虚数，且1z ，则12z

9、（ ） A2155i B2155i C1255i D1255i 3已知非空集合 A，B 满足以下两个条件： （1）= 1,2,3,4AB，AB； （2）A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素. 则有序集合对,A B的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 4如图是函数sin()(0,0,02 )yAxA的部分图象，则该函数图象与直线2021xy 的交点个数为（ ） A8083 B8084 C8085 D8086 5若二项式*1nxnxN的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是（ ） A9 B36 C84 D126 6 设 A、 B 为圆221xy上的两动点，

10、且AOB=120 ， P 为直线 l： 3x 4y 15=0 上一动点， 则|PAPB的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 7已知函数 tan23fxx， 322xg xx.若 fx与 g x的图象在区间1725,22,22上的交点分别为 1122667788,x yxyxyxyxy， 则128128xxxyyy 的值为 （ ） A20 B30 C40 D42 8如图，已知1F，2F为双曲线E：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过点1F，2F分别作直线1l，2l交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且以AD为直径的圆过1F，11DFAF，则双曲线E的离

11、心率为（ ） A2 B3 C52 D102 二、多选题二、多选题 9 已知211,XN ，222,YN ，12，10，20， 则下列结论中一定成立的有 （ ） A若12，则1211PXP Y B若12，则1211PXP Y C若12，则211P XP Y D若12，则211P XP Y 10如图，正三棱柱111ABCABC各棱的长度均相等，D为1AA的中点，M、N分别是线段1BB和线段1CC上的动点 （含端点） ， 且满足1BMC N， 当M、N运动时，下列结论中正确的是（ ） A在DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B平面DMN 平面11BCC B C三棱锥1ADMN的体积为定值 DDMN

12、可能为直角三角形 11已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于, A B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于,M N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是（ ） A若抛物线上的点(2, )Et到点F的距离为4，则抛物线的方程为24yx B以 AB 为直径的圆与准线相切 C线段 AB 长度的最小值是2p Dsin PMN的取值范围为1 ,1)2 12、已知a为常数，函数( )lnf xxxax有两个极值点1212,()x xxx，则（） A. 102a102a B.2()0f x C. 102a1( )0f x D. 102a21()2f x 三、填空题三、填空题

13、 13 “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中某时段更新了 2 篇文章和 2 个视频,一位学员准备学习这 2 篇文章和这 2 个视频,要求这 2 篇文章学习时不相邻,则不同的学习顺序有_种.(用数字作答) 14斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数

14、列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列 an满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an(nN*),则 1+a3+a5+a7+a9+a2021是斐波那契数列an中的第_项. 15.抛挪一枚硬币，每次正面出现得 1 分，反面出现得 2 分，则恰好得到 10 分的概率是_ 16已知12,e e是空间单位向量，1212e e，若空间向量b满足1252,2b eb e，且对于任意, x yR，120 10200()()2(),bxeyebx ey eyRx，则00 xyb_ 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 8 : f I d

15、 : 8 1 3 9 4 8 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 8 : f I d : 8 1 3 9 4 8 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 8 : f I d : 8 1 3 9 4 8 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 8 : f I d : 8 1 3 9 4 8 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 8 : f I d : 8 1 3 9 4 8 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 3 页（共 4 页） 湖北省

16、部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 4 页（共 4 页） 三、解答题三、解答题 17如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2 coscoscos0bBaCcA (1)求 B； (2)若2ABCD，ABC的面积为 2，求AD 18已知各项均为正数的数列 na的前 n 项和为nS，11a ，*1,2nnnaSSnnN. （1）求证；数列nS是等差数列，并求 na的通项公式； （2）若 x表示不超过x的最大整数，如122 ，2,12，求22212111naaa 的值. 19 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和

17、14个圆柱拼接而成， 点G为弧CD的中点，且C、E、D、G四点共面. （1）证明：平面BFD 平面BCG； （2） 若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155， 求直线DF与平面ABF所成角的大小. 20.手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图： 由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为 125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 （1）试计算图中的 a、b 值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值 ； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为 ，其超

18、过平均值 的百分数 ，若 （0，10，职工获得一次抽奖机会；若 （10，20，职工获得二次抽奖机会；若 （20，30，职工获得三次抽奖机会；若 （30，40，职工获得四次抽奖机会；若 超过 50，职工获得五次抽奖机会设职工获得抽奖次数为 n 方案甲：从装有 1 个红球和 2 个白球的口袋中有放回的抽取 n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次； 方案乙：从装有 6 个红球和 4 个白球的口袋中无放回的抽取 n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次； 若某职工日步行数为 15700 步， 试计算他参与甲、 乙两种抽奖方案中奖次数的分布列 若是你，更喜欢哪个方案？ 21 已知椭圆2222:

19、10 xyCabab与直线2xb 有且只有一个交点， 点P为椭圆C上任一点，121,0 ,1,0PP，且12PP PP的最小值为2a. （1）求椭圆C的方程； （2） 设直线: l ykxm与椭圆C交于不同两点, A B， 点O为坐标原点， 且12OMOAOB，当AOB的面积S最大时，求22112TMPMP的取值范围. 22已知函数 e cosxf xx， cos0g xaxx a，曲线 yg x在6x处的切线的斜率为32. (1)求实数a的值； (2)对任意的,02x ， 0tf xgx恒成立，求实数t的取值范围； (3)设方程 f xgx在区间2,232nnn+N内的根从小到大依次为1x、

20、2x、nx、，求证：12nnxx 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 3 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学试题 第 4 页（共 4 页） 三、解答题三、解答题 17如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2 coscoscos0bBaCcA (1)求 B； (2)若2ABCD，ABC的面积为 2，求AD 18已知各项均为正数的数列 na的前 n 项和为nS，11a ，*1,2nnnaSSnnN. （1）求证；数列nS是等差数列，并求 na的通项公式； （2）若 x

21、表示不超过x的最大整数，如122 ，2,12，求22212111naaa 的值. 19 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成， 点G为弧CD的中点，且C、E、D、G四点共面. （1）证明：平面BFD 平面BCG； （2） 若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155， 求直线DF与平面ABF所成角的大小. 20.手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图： 由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为 125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 （1）试计算图中的 a、b 值，并以此估计该单位职

22、工一天行走步数的平均值 ； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为 ，其超过平均值 的百分数 ，若 （0，10，职工获得一次抽奖机会；若 （10，20，职工获得二次抽奖机会；若 （20，30，职工获得三次抽奖机会；若 （30，40，职工获得四次抽奖机会；若 超过 50，职工获得五次抽奖机会设职工获得抽奖次数为 n 方案甲：从装有 1 个红球和 2 个白球的口袋中有放回的抽取 n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次； 方案乙：从装有 6 个红球和 4 个白球的口袋中无放回的抽取 n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次； 若某职工日步行

23、数为 15700 步， 试计算他参与甲、 乙两种抽奖方案中奖次数的分布列 若是你，更喜欢哪个方案？ 21 已知椭圆2222:10 xyCabab与直线2xb 有且只有一个交点， 点P为椭圆C上任一点，121,0 ,1,0PP，且12PP PP的最小值为2a. （1）求椭圆C的方程； （2） 设直线: l ykxm与椭圆C交于不同两点, A B， 点O为坐标原点， 且12OMOAOB，当AOB的面积S最大时，求22112TMPMP的取值范围. 22已知函数 e cosxf xx， cos0g xaxx a，曲线 yg x在6x处的切线的斜率为32. (1)求实数a的值； (2)对任意的,02x

24、， 0tf xgx恒成立，求实数t的取值范围； (3)设方程 f xgx在区间2,232nnn+N内的根从小到大依次为1x、2x、nx、，求证：12nnxx 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 9 : f I d : 8 1 3 9 4 9 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学参考答案 第 1 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学参考答案 第 2 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2022 届高三届高三 4 月联考月联考 数学参考答案数学参考答案 一、单选 CABCC, CCD 二、多选

25、 AC,ABC,BCD,AC 三、填空题三、填空题 12，2022，6831024，6 16.问题等价于12()bxeye当且仅当，时取到最小值 ，两边平方即 在，时，取到最小值 ，2245bxyxyxy 22(4)5|xyxyb22243()(2)7 |24yxyb ， .0000024012202372yxxyybb 17、因为2 coscoscos0bBaCcA，由正弦定理得2sincossin coscossin0BBACAC，所以2sin cossin0BBA C， 所以2sincossin0BBB，因为0B，所以sin0B 所以2cos2B 所以34B5 分 (2)因为ABC的面积

26、2S ，所以1sin22ABCSacB，即222a ，所以2 2a ， 由余弦定理得2482 2 2 22 52AC ， 所以22242082cos22 2 2 55ABACBCCABAB AC ， 因为AC平分BAD，所以coscosCABCAD， 所以2222cosCDACADAC ADCAD， 所以224202 2 55ADAD ，所以28160ADAD，所以4AD10 分 18、 （1）因为1nnnaSS，所以当2n时，11nnnnSSSS， 即111nnnnnnSSSSSS，而0na ，有10nnSS， 所以112nnSSn3 分 所以数列nS是以111Sa为首项，公差为 1 的等差

27、数列； 111nSnn ，则2nSn，4 分 当2n时，1121nnnaSSnnn ，又11a 满足上式，5 分 所以 na的通项公式为21nan；6 分 （2）22211144121nannn，当2n时，22111114441nannnn， （8 分） 故222121111 111111111511114 12231444naaannn ， （10 分） 当1n 时，211514a ，所以对任意的*nN，都有2221211154naaa， （11 分） 又222212111111naaaa，所以22212111514naaa.所以222121111naaa.（12 分） 19、 （1）如图，

28、连接CE，因为几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成， 所以45ECDDCG，90ECG，CECG，因为/BC EF，BCEF， 所以四边形BCEF为平行四边形，/BF EC，BFCG， 因为BC 平面ABF，BF 平面ABF，所以BCBF， 因为BCCGC，所以BF 平面BCG， 因为因为BF 平面BFD，所以平面BFD 平面BCG.4 分 （2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设2AF ，ADt， 则0,0,0A、0,2,0B、2,0,0F、0,0,Dt、1,1,Gt， 0,2,0AB ，1,1,AGt ，2,2,0FB ，2,0,FDt ， 设平面BDF的一个法向量为, ,

29、nx y z， 则00n FBn FD ，整理得22020 xyxtz，令2z ，则, ,2nt t， （6 分） 设平面ABG的一个法向量为,mx y z ， 则00m ABm AG，整理得00yxytz，令1z ，则,0,1mt， （8 分） 2222cos,241m ntm nmntt， 因为平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155， 所以2222155241ttt，解得2t ，即2AD ， （10 分） 因为DA平面ABF，所以DFA即直线DF与平面ABF所成的角， 在ADF中，因为90DAF，2ADAF，所以45DFA， 故直线DF与平面ABF所成的角为45.（12 分）

30、20、【解析】（1）由题意得： （ ） （ ） ， 解得 a0012，b0010， 60 0002 20+80 0006 20+100 0008 20+120 0012 20+140 0010 20+160 0008 20+180 0002 20+200 0002 201256（4 分） （2）某职工日行步数 157（百步）， 25，(5 分) 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 9 : f I d : 8 1 3 9 4 9 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学参考答案 第 1 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月

31、联考数学参考答案 第 2 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2022 届高三届高三 4 月联考月联考 数学参考答案数学参考答案 一、单选 CABCC, CCD 二、多选 AC,ABC,BCD,AC 三、填空题三、填空题 12，2022，6831024，6 16.问题等价于12()bxeye当且仅当，时取到最小值 ，两边平方即 在，时，取到最小值 ，2245bxyxyxy 22(4)5|xyxyb22243()(2)7 |24yxyb ， .0000024012202372yxxyybb 17、因为2 coscoscos0bBaCcA，由正弦定理得2sincossin co

32、scossin0BBACAC，所以2sin cossin0BBA C， 所以2sincossin0BBB，因为0B，所以sin0B 所以2cos2B 所以34B5 分 (2)因为ABC的面积2S ，所以1sin22ABCSacB，即222a ，所以2 2a ， 由余弦定理得2482 2 2 22 52AC ， 所以22242082cos22 2 2 55ABACBCCABAB AC ， 因为AC平分BAD，所以coscosCABCAD， 所以2222cosCDACADAC ADCAD， 所以224202 2 55ADAD ，所以28160ADAD，所以4AD10 分 18、 （1）因为1nnn

33、aSS，所以当2n时，11nnnnSSSS， 即111nnnnnnSSSSSS，而0na ，有10nnSS， 所以112nnSSn3 分 所以数列nS是以111Sa为首项，公差为 1 的等差数列； 111nSnn ，则2nSn，4 分 当2n时，1121nnnaSSnnn ，又11a 满足上式，5 分 所以 na的通项公式为21nan；6 分 （2）22211144121nannn，当2n时，22111114441nannnn， （8 分） 故222121111 111111111511114 12231444naaannn ， （10 分） 当1n 时，211514a ，所以对任意的*nN，

34、都有2221211154naaa， （11 分） 又222212111111naaaa，所以22212111514naaa.所以222121111naaa.（12 分） 19、 （1）如图，连接CE，因为几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成， 所以45ECDDCG，90ECG，CECG，因为/BC EF，BCEF， 所以四边形BCEF为平行四边形，/BF EC，BFCG， 因为BC 平面ABF，BF 平面ABF，所以BCBF， 因为BCCGC，所以BF 平面BCG， 因为因为BF 平面BFD，所以平面BFD 平面BCG.4 分 （2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设2AF ，

35、ADt， 则0,0,0A、0,2,0B、2,0,0F、0,0,Dt、1,1,Gt， 0,2,0AB ，1,1,AGt ，2,2,0FB ，2,0,FDt ， 设平面BDF的一个法向量为, ,nx y z， 则00n FBn FD ，整理得22020 xyxtz，令2z ，则, ,2nt t， （6 分） 设平面ABG的一个法向量为,mx y z ， 则00m ABm AG，整理得00yxytz，令1z ，则,0,1mt， （8 分） 2222cos,241m ntm nmntt， 因为平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155， 所以2222155241ttt，解得2t ，即2AD ，

36、 （10 分） 因为DA平面ABF，所以DFA即直线DF与平面ABF所成的角， 在ADF中，因为90DAF，2ADAF，所以45DFA， 故直线DF与平面ABF所成的角为45.（12 分） 20、【解析】（1）由题意得： （ ） （ ） ， 解得 a0012，b0010， 60 0002 20+80 0006 20+100 0008 20+120 0012 20+140 0010 20+160 0008 20+180 0002 20+200 0002 201256（4 分） （2）某职工日行步数 157（百步）， 25，(5 分) 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3

37、 9 4 9 : f I d : 8 1 3 9 4 9 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 9 : f I d : 8 1 3 9 4 9 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 9 : f I d : 8 1 3 9 4 9 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 9 : f I d : 8 1 3 9 4 9 1 5 1 6 : u I d : 1 5 1 6 8 1 3 9 4 9 : f I d : 8 1 3 9 4 9 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学参考答案

38、第 3 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学参考答案 第 4 页（共 4 页） 职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为 X，在方案甲下 （ ， ）， X 0 1 2 3 P E（X） 1，（8 分） 在方案乙下，服从超几何分布。 X 0 1 2 3 P E（X） 18，（11 分）更喜欢方案乙（12 分） 21、解：、解： （1）设点,P x y，由题意知2ab，222:2C xya，则 22221211PP PPxyya ， 当yb 时，12PP PP取得最小值，即2212aab ， 212,222aaab ，故椭圆C的22142xy；4 分 （2）设112

39、200,A x yB xyM xy，则 由2224xyykxm得222214240kxmkxm 2121222424,2121mkmxxx xkk ，点O到直线l的距离21mdk， 22222211424142221211mmkmSdABkkkk 22222222424222222121mkmmkmkk S取得最大值2，当且仅当22242mkm 即2221mk，7 分 此时21200022221,221xxmkkkxykxmmkmmm ，即 00001,22xmmkxyy 代入式整理得22000102xyy， 即 点M的 轨 迹 为 椭 圆221:102xCyy且 点12,P P为 椭 圆1C

40、的 左 、 右 焦 点 ， 即122 2MPMP9 分记1tMP，则21, 21t 从而2222111122 2 224 2TMPttttMP，则322Tt ， 令0T可得1t ，即在T在21,1单调递减，在1,21单调递增， 且 134 2,2112154 2TTT ， 故T的取值范围为34 2,112 分 22、解：(1)因为 cos0g xaxx a，则 1singxax ， 由已知可得131622ga ，解得1a .（3 分） (2)由（1）可知 1 singxx ，对任意的,02x ， 0tf xgx恒成立， 即e cos1 sinxtxx 对任意的,02x 恒成立，当2x 时，则有

41、00对任意的Rt恒成立； 当02x时，cos0 x ，则1 sine cosxxtx，令 1 sine cosxxh xx，其中02x， 222e cosecossin1 sin1 cos1 sin0e cose cosxxxxxxxxxxh xxx且 h x不恒为零， 故函数 h x在,02上单调递增，则 max01h xh，故1t . 综上所述，1t .（6 分） (3)证明：由 f xgx可得e cos1 sinxxx ， 令 e cossin1xxxx，则 ecossincosxxxxx， 因为2,232xnnn+N，则sincos0 xx， 所以， 0 x，所以，函数 x在2,232

42、nnn+N上单调递减， 因为2233132ecos 2sin 21e133322nnnnn 23e31022 ，2202n ， 所以，存在唯一的02,232xnnn+N，使得00 x， （9 分） 所以，2,232nxnnn+N，则122,232nxnnn+N， 所以，121112ecos2sin21nxnnnxxx 1111122211111ecossin1ecosecoseecos0nnnnnxxxxxnnnnnnxxxxxx ， 因为函数 x在2,232nnn+N上单调递减，故12nnxx ，即12nnxx .（12 分） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学参考答案 第

43、 3 页（共 4 页） 湖北省部分重点中学 2022 届高三 4 月联考数学参考答案 第 4 页（共 4 页） 职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为 X，在方案甲下 （ ， ）， X 0 1 2 3 P E（X） 1，（8 分） 在方案乙下，服从超几何分布。 X 0 1 2 3 P E（X） 18，（11 分）更喜欢方案乙（12 分） 21、解：、解： （1）设点,P x y，由题意知2ab，222:2C xya，则 22221211PP PPxyya ， 当yb 时，12PP PP取得最小值，即2212aab ， 212,222aaab ，故椭圆C的22142xy；4 分 （2）设1122

44、00,A x yB xyM xy，则 由2224xyykxm得222214240kxmkxm 2121222424,2121mkmxxx xkk ，点O到直线l的距离21mdk， 22222211424142221211mmkmSdABkkkk 22222222424222222121mkmmkmkk S取得最大值2，当且仅当22242mkm 即2221mk，7 分 此时21200022221,221xxmkkkxykxmmkmmm ，即 00001,22xmmkxyy 代入式整理得22000102xyy， 即 点M的 轨 迹 为 椭 圆221:102xCyy且 点12,P P为 椭 圆1C的

45、 左 、 右 焦 点 ， 即122 2MPMP9 分记1tMP，则21, 21t 从而2222111122 2 224 2TMPttttMP，则322Tt ， 令0T可得1t ，即在T在21,1单调递减，在1,21单调递增， 且 134 2,2112154 2TTT ， 故T的取值范围为34 2,112 分 22、解：(1)因为 cos0g xaxx a，则 1singxax ， 由已知可得131622ga ，解得1a .（3 分） (2)由（1）可知 1 singxx ，对任意的,02x ， 0tf xgx恒成立， 即e cos1 sinxtxx 对任意的,02x 恒成立，当2x 时，则有0

46、0对任意的Rt恒成立； 当02x时，cos0 x ，则1 sine cosxxtx，令 1 sine cosxxh xx，其中02x， 222e cosecossin1 sin1 cos1 sin0e cose cosxxxxxxxxxxh xxx且 h x不恒为零， 故函数 h x在,02上单调递增，则 max01h xh，故1t . 综上所述，1t .（6 分） (3)证明：由 f xgx可得e cos1 sinxxx ， 令 e cossin1xxxx，则 ecossincosxxxxx， 因为2,232xnnn+N，则sincos0 xx， 所以， 0 x，所以，函数 x在2,232nnn+N上单调递减， 因为2233132ecos 2sin 21e133322nnnnn 23e31022 ，2202n ， 所以，存在唯一的02,232xnnn+N，使得00 x， （9 分） 所以，2,232nxnnn+N，则122,232nxnnn+N， 所以，121112ecos2sin21nxnnnxxx 1111122211111ecossin1ecosecoseecos0nnnnnxxxxxnnnnnnxxxxxx ， 因为函数 x在2,232nnn+N上单调递减，故12nnxx ，即12nnxx .（12 分）