1、2022 年广东省广州市高考数学一模试卷年广东省广州市高考数学一模试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。 1 （5 分）已知集合 AxZ|1x1，Bx|0 x2，则 AB 的子集个数为（ ） A2 B3 C4 D6 2 （5 分）若复数 =21+，则|zi|（ ） A2 B5 C4 D5 3 （5 分）甲、乙两人在 5 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数
2、，则下列结论正确的是（ ） A在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同 B在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C在这 5 天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D在这 5 天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 4 （5 分）曲线 yx3+1 在点（1，a）处的切线方程为（ ） Ay3x+3 By3x+1 Cy3x1 Dy3x3 5 （5 分） （x+3y） （x2y）6的展开式中 x5y2的系数为（ ） A60 B24 C12 D48 6 （5 分）若函数 yf（x）的大致图像如图，则 f（x）的解析式可能是（ ） A() =22+1 B() =2+12 C
3、() =221 D() =212 7 （5 分）设抛物线 E：y28x 的焦点为 F，过点 M（4，0）的直线与 E 相交于 A，B 两点，与 E 的准线相交于点 C，点 B 在线段 AC 上，|BF|3，则BCF 与ACF 的面积之比=（ ） A14 B15 C16 D17 8 （5 分）若正实数 a，b 满足 ab，且 lnalnb0，则下列不等式一定成立的是（ ） Alogab0 B 1 1 C2ab+12a+b Dab1ba1 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，
4、有多项符合题目要求.全部选全部选对的得对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. （多选）9 （5 分）已知直线 l：x+y2 =0 与圆 C： （x1）2+（y+1）24，则（ ） A直线 l 与圆 C 相离 B直线 l 与圆 C 相交 C圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点共有 2 个 D圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点共有 3 个 （多选）10 （5 分）将函数 ysin2x 的图像向右平移 个单位，得到函数 yf（x）的图像，则下列说法正确的是（ ） A若 =4，则 yf（x）是偶函数 B若 =4，则 yf（x）在区间0，2上
5、单调递减 C若 =2，则 yf（x）的图像关于点(2，0)对称 D若 =2，则 yf（x）在区间0，2上单调递增 （多选）11 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13，AD4，则下列命题为真命题的是（ ） A若直线 AC1与直线 CD 所成的角为 ，则 =52 B若经过点 A 的直线 l 与长方体所有棱所成的角相等，且 l 与面 BCC1B1交于点 M，则 = 29 C若经过点 A 的直线 m 与长方体所有面所成的角都为 ，则 =33 D若经过点 A 的平面 与长方体所有面所成的二面角都为 ，则 =63 （多选）12 （5 分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数
6、学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第 1 次操作；再将剩下的两个区间0，13，23，1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 2 次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段， 同样各自去掉中间的区间段； 操作过程不断地进行下去， 剩下的区间集合即是 “康托三分集” 若第 n 次操作去掉的区间长度记为 （n） ，则（ ） A(:1)()=32 Bln（n）+10 C（n）+（3n）2（2n） Dn2（n）64（8） 三、填空题：本题共三、填空题
7、：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知 sin=35，2，则 tan 14 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，点 P 在 BC 边上（包括端点） ，则 的取值范围是 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 的棱 AP，AB，AC 两两互相垂直，APABAC23，以顶点 P 为球心，4 为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 16 （5 分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点 O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动 6 次，则事件“质点位于2 的位置”的概率为 四、
8、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17在等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8 （1）写出 a1，a2，a3，并求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足= + (1)2，求数列bn的前 n 项和 Sn 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为(122 2) （1）证明：s
9、inA2sinB； （2）若 =32，求 cosA 19如图，在五面体 ABCDE 中，AD平面 ABC，ADBE，AD2BE，ABBC （1）求证：平面 CDE平面 ACD； （2）若 = 3，AC2，五面体 ABCDE 的体积为2，求直线 CE 与平面 ABED 所成角的正弦值 20人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品 1 月至 5 月的销售量如表： 月份 1 2 3 4 5 销售量 y（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了 y 关于 x 的回归模型
10、：= 2+ （1）根据所给数据与回归模型，求 y 关于 x 的回归方程（的值精确到 0.1） ； （2）已知该公司的月利润 z（单位：万元）与 x，y 的关系为 = 24 5+2，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线= + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= =1()() =1()2，= 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，0） ，B（2，0） ，点 M 满足直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为34，点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程； （2）已知点 F
11、（1，0） ，直线 l：x4 与 x 轴交于点 D，直线 AM 与 l 交于点 N，是否存在常数 ，使得MFDNFD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由 22已知函数 f（x）ex+sinxcosx，f（x）为 f（x）的导数 （1）证明：当 x0 时，f（x）2； （2）设 g（x）f（x）2x1，证明：g（x）有且仅有 2 个零点 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。 1 （5 分）已知集合 Ax
12、Z|1x1，Bx|0 x2，则 AB 的子集个数为（ ） A2 B3 C4 D6 【解答】解：集合 AxZ|1x11，0，1，Bx|0 x2， AB0，1， 则 AB 的子集个数为 224 故选：C 2 （5 分）若复数 =21+，则|zi|（ ） A2 B5 C4 D5 【解答】解： =21+=2(1)(1+)(1)=1i， 则|zi|1ii|12i|= 1 + 4 = 5， 故选：B 3 （5 分）甲、乙两人在 5 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ） A在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的极
13、差相同 B在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C在这 5 天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D在这 5 天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 【解答】解：对于 A，甲在 5 天中每天加工的零件的个数为 18，19，23，27，28， 乙在 5 天中每天加工零件的个数为 17，19，21，23，25， 对于 A，甲加工零件数的极差为 281810，乙加工零件数的极差为 25178，故 A 错误， 对于 B，甲加工零件数的中位数为 23，乙加工零件数的中位数为 21，故 B 错误， 对于 C，甲加工零件的平均数为18:19:23:27:285= 23， 乙加工零件
14、数的中位数为17:19:21:23:255= 21，故 C 正确， 对于 D，甲加工零件数的方差为52:42:02:42:525= 16.4， 乙加工零件数的方程为42:22:02:22:425= 8，故 D 错误 故选：C 4 （5 分）曲线 yx3+1 在点（1，a）处的切线方程为（ ） Ay3x+3 By3x+1 Cy3x1 Dy3x3 【解答】解：yx3+1，可得 y3x2，f（1）a0，f（1）3， 所以切线方程：y3（x+1） ，可得 3xy+30 故选：A 5 （5 分） （x+3y） （x2y）6的展开式中 x5y2的系数为（ ） A60 B24 C12 D48 【解答】解：
15、（x2y）6的展开式中第 r+1 项为 Tr+1= 6 （2）rx6ryr， 令 6r4，得 r2；令 6r5，得 r1 （x+3y） （x2y）6展开式中 x5y2的系数为62 （2）2+3 61（2）124 故选：B 6 （5 分）若函数 yf（x）的大致图像如图，则 f（x）的解析式可能是（ ） A() =22+1 B() =2+12 C() =221 D() =212 【解答】解：由已知图像可得 f（x）为奇函数， 对于 A，f（x）=2+是偶函数，故 A 错误； 对于 B，f（x）=+2的定义域为x|x0，且 f（x）f（x） ，可得 f（x）为偶函数，故 B 错误； 对于 C，f（
16、x）=2的定义域为x|x0，且 f（x）f（x） ， 可得 f（x）为奇函数，且 x+，yex比 yx20 增加快，所以 f（x）0，故 C 错误； 对于 D，f（x）=2的定义域为x|x0，且 f（x）f（x） ， 可得 f（x）为奇函数，且 x+，f（x）+，故 D 正确 故选：D 7 （5 分）设抛物线 E：y28x 的焦点为 F，过点 M（4，0）的直线与 E 相交于 A，B 两点，与 E 的准线相交于点 C，点 B 在线段 AC 上，|BF|3，则BCF 与ACF 的面积之比=（ ） A14 B15 C16 D17 【解答】解：抛物线方程为 y28x， 焦点 F 的坐标为（2，0）
17、，准线方程为 x2， 如图，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 过 A，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 E，N， 则|BF|x2+23，x21， 把 x21 代入抛物线 y28x，得，y222， 直线 AB 过点 M（4，0）与（1，22） ， 方程为 22x3y82 =0，代入抛物线方程，解得，x116， |AE|16+218， 在AEC 中，BNAE， =|=|=318=16 故选：C 8 （5 分）若正实数 a，b 满足 ab，且 lnalnb0，则下列不等式一定成立的是（ ） Alogab0 B 1 1 C2ab+12a+b Dab1ba1 【解答】解：根据题意，正
18、实数 a，b 满足 ab 且 lnalnb0，则有 ab1 或 0ba1， 依次分析选项： 对于 A，无论 ab1 或 0ba1，都有 logab0，所以 A 错误； 对于 B，a1b+1=ab+11=ab（;）（ab）;1， 当 0ba1 时，a1b+10，即 a1b1，所以 B 错误； 对于 C，因为 ab+1ab（a1） （b1）0，所以 ab+1a+b， 所以 2ab+12a+b，即选项 C 错误； 对于 D，由 ab1ba1，两边取自然对数，得（b1）lna（a1）lnb， 因为（a1） （b1）0，所以;1;1， 设 f（x）=1，x（0，1）（1，+） ，则 f（x）=11(1)
19、2， 设 g（x）11lnx，x（0，1）（1，+） ，则 g（x）=121=12， 当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）g（1）0，所以 f（x）0，f（x）在（0，1）和（1，+）上都是单调减函数， 所以 f（a）f（b） ，即选项 D 正确 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选全部选对的得对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得
20、分，有选错的得 0 分分. （多选）9 （5 分）已知直线 l：x+y2 =0 与圆 C： （x1）2+（y+1）24，则（ ） A直线 l 与圆 C 相离 B直线 l 与圆 C 相交 C圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点共有 2 个 D圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点共有 3 个 【解答】解：圆 C： （x1）2+（y+1）24，即圆心坐标为（1，1） ，半径 r2， 圆心（1，1）到直线 l：x+y2 =0 的距离 d=|112|12+12= 12，即直线 l 与圆相交，圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点共有 3 个 故选：BD （多选）10 （5 分）将函数 ysin
21、2x 的图像向右平移 个单位，得到函数 yf（x）的图像，则下列说法正确的是（ ） A若 =4，则 yf（x）是偶函数 B若 =4，则 yf（x）在区间0，2上单调递减 C若 =2，则 yf（x）的图像关于点(2，0)对称 D若 =2，则 yf（x）在区间0，2上单调递增 【解答】解：将函数 ysin2x 的图像向右平移 个单位，得到函数 yf（x）的图像， 得 ysin2（x）sin（2x2） ， 若 =4，则 ysin（2x2）cos2x，则函数 f（x）为偶函数，故 A 正确， 当 x0，2，则 2x0，此时 ycos2x 为减函数，则 f（x）cos2x 为增函数，故 B 错误， 若
22、=2时，则 ysin（2x）sin2x， 当 x=2时，f（2）sin00，则 yf（x）的图像关于点(2，0)对称，故 C 正确， 当 x0，2，则 2x0，此时 ysin2x 不单调，则 f（x）sin2x 不单调性，故 D 错误， 故选：AC （多选）11 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13，AD4，则下列命题为真命题的是（ ） A若直线 AC1与直线 CD 所成的角为 ，则 =52 B若经过点 A 的直线 l 与长方体所有棱所成的角相等，且 l 与面 BCC1B1交于点 M，则 = 29 C若经过点 A 的直线 m 与长方体所有面所成的角都为 ，则 =33
23、 D若经过点 A 的平面 与长方体所有面所成的二面角都为 ，则 =63 【解答】解：对于 A，如图，直线 AC1与直线 CD 所成角，即为直线 AC1与直线 AB 所成角为BAC1， 则 tantanBAC1=1=52，故 A 正确； 对于 B，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 过 A 的 l 与长方体所有棱所成的角都相等，与面 BCC1B1交于 M（x，2，z） ，且 x，z0， 1=（0，0，3） ，=（0，2，0） ，=（4，0，0） ， 则cos1，=1|1|=2+4+2=cos，=|=22+4+2=cos，=|=2+4+2， xz2，AM23，故 B 错误； 对于 C，
24、如图，过 A 的直线 m 与长方体所有面所成角都为 ， 则直线 m 为以 4 为棱长的正方体的体对角线 AM， sin=33，故 C 正确； 对于 D，如图，过 A 的平面 与长方体所有面所成的二面角都为 ， 只需面 与以 4 为棱长的正方体中相邻的三条棱的顶点所在平面平行，如面 EDF， cos=33，sin=63，故 D 正确 故选：ACD （多选）12 （5 分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第 1 次操作；再将剩下的两个区间0
25、，13，23，1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 2 次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段， 同样各自去掉中间的区间段； 操作过程不断地进行下去， 剩下的区间集合即是 “康托三分集” 若第 n 次操作去掉的区间长度记为 （n） ，则（ ） A(:1)()=32 Bln（n）+10 C（n）+（3n）2（2n） Dn2（n）64（8） 【解答】 解： 由题可得 （1） =13， （2） 21313， （3） 2131313， （4） 213131313， 由此可知 （n）2n1 (13)=12(23)，即为一个等比数列， 对 A：(:1)()=12
26、(23)+112(23)=23，故 A 错误； 对 B：ln（n）+1ln12(23)+1nln23ln2+10，因为 ln230，故该数列为递减数列， 又因为 n1 时，ln（1）+1ln23ln2+1ln3+10，故 B 正确； 对 C： 要证 （n） + （3n） 2 （2n） ， 即证12(23)+12(23)3212(23)2， 整理可得 1+(23)22(23)， 当 n1 时，1+49=139223，符合条件； 当 n2 时，12(23)恒成立，所以 1+(23)22(23)恒成立，故 C 正确； 对 D： 令 k （n） n2 （n） ， 则 k （n+1） k （n） （n+
27、1）2 （n+1） n2 （n） （n+1） 12(23):1n12(23)， 整理可得 k（n+1）k（n）=16(23)（n+4n+2） ， 令n+4n+20 解得 n2+6或 n26（舍） ，因为 nN*，所以 4n5， 由此可知 n4 时 k（n+1）k（n）0；n5 时，k（n+1）k（n）0， 故 k（5）为最大值，k（8）8（8）64（8） ， 根据单调性，k（5）k（8） ，故 n2（n）64（8）不成立，故 D 错误； 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知 sin=35，2，则 t
28、an 34 【解答】解：因为 sin=35，2， 所以 cos= 1 2 = 45， 则 tan= 34 故答案为：34 14 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，点 P 在 BC 边上（包括端点） ，则 的取值范围是 2，2 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 A（0，0） ，D（2，0） ，C（1，3） ，D（1，3） 当点 P 在 BC 上时，设 P（x，3） ，x1，1，=（2，0） ，=（x，3） ， 则 =2x2，2 故答案为：2，2 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 的棱 AP，AB，AC 两两互相垂直，APABAC23，以顶点 P 为球心，4
29、为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 43 【解答】解：将三棱锥 PABC 补全为棱长为23的正方体， 如下图所示， 若 ADAF2，则 PDPF4， 即 D，F 在 P 为球心，4 为半径的球面上，且 O 为底面中心， 又 OA= 62，OP= 324， 所以面 ABC 与球面所成弧是以 A 为圆心，2 为半径的四分之一圆弧，弧长为 ， 面 PBA，PCA 与球面所成弧是以 P 为圆心，4 为半径且圆心角为12的圆弧，故弧长为3， 面 PBC 与球面所成弧以 P 为圆心，4 为半径且圆心角为3的圆弧，故弧长为43， 综上所述，最长弧的弧长为43 故答案为：4
30、3 16 （5 分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点 O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动 6 次，则事件“质点位于2 的位置”的概率为 1564 【解答】解：质点移动 6 次，可能结果共有 22222264 种， 质若点位于2 的位置，则质点需要向左移动 4 次，然后向右移动 2 次， 则有64=15 种， 则对应的概率 P=1564， 故答案为：1564 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17在等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一，第
31、二，第三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8 （1）写出 a1，a2，a3，并求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足= + (1)2，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到 a12，a24，a38， 即数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故= 2 2;1= 2 （2）因为= + (1)2= 2+ (1)22= 2+ (1)， 当 n 为偶数时，= (21+ 22+ + 2)+ 1 + 2 3 + 4 ( 1) +
32、=22+112+2= 2:1+2 2， 当 n 为奇数时，= (21+ 22+ + 2)+ 1 + 2 3 + 4 + ( 1) =22+112+12 =2:1+12 2 = 2:1252， 综上所述，= 2:1+2 2，为偶数2:1252，为奇数 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为(122 2) （1）证明：sinA2sinB； （2）若 =32，求 cosA 【解答】 （1）证明：由题设，12 = (122 2)， 又 sinC0， 所以12 =122 2， 由正弦定理可得 sinAsinBsin2A2sin2B， 所以 sinB（sinA+si
33、nB）sin2Asin2B（sinA+sinB） （sinAsinB） ， 又 sinA+sinB0， 所以 sinBsinAsinB， 即 sinA2sinB 解： （2）由（1）及题设， = 2 =32，且 sinB0， 所以 =34 (22，32)， 则43，故 =74， 又 =2+222=2+222=5271642=34， 可得 =148， 若 = 52832，则56，而23 + 34，故不合题设； 所以 =528， 所以 = ( + ) = ( + ) = =1487452834= 24 19如图，在五面体 ABCDE 中，AD平面 ABC，ADBE，AD2BE，ABBC （1）求证
34、：平面 CDE平面 ACD； （2）若 = 3，AC2，五面体 ABCDE 的体积为2，求直线 CE 与平面 ABED 所成角的正弦值 【解答】证明： （1）若 O 是 AC 中点，连接 OB，作 OzAD，由 ABBC 知：OBAC， 因为 AD面 ABC，则 Oz面 ABC，又 OB，AC面 ABC， 所以 OzOB，OzAC， 综上，Oz，OB，AC 两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系 Oxyz， 令 AD2BE2a，OBc，OAOCb，则 D（0，b，2a） ，C（0，b，0） ，E（c，0，a） ， 所以= (0， 2，2)，= (， ，)， 若=（x，y，z） 是面 CDE
35、 的一个法向量，即 = 2 + 2 = 0 = + = 0，令 zb，则=（0，a，b） ， 又 = (1，0，0) 是面 ACD 的一个法向量，则 = 0， 所以面 CDE面 ACD 解： （2）由 AD面 ABC，AD面 ABED，则面 ABED面 ABC，故 C 到面 ABED 的距离，即为ABC中 AB 上的高， 因为 = = 3， = 2，则 =3+34233=13，故 =223， 所以 AB 上的高 = =263 又 AB面 ABC，则 ADAB，而 ADBE，有 BEAB，AD2BE， 所以 ABED 为直角梯形，令 AD2BE2a，则=12 3 3 =332， 综上，=1326
36、3332= 2 = 2，故 a1 由 （1）知：(0， 1，0)，(0， 1，2)，(0，1，0)，(2，0，1)， 所以 = (0，0，2)，= (2，1， 1)， 若 = (，)是面 ABED 的一个法向量，即 = 2 = 0 = 2 + = 0，令 m1，则 =(1，2，0)， 而 = (2， 1，1)，则|，| = | =2232=63， 所以直线 CE 与平面 ABED 所成角的正弦值为63 20人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品 1 月至 5 月的销售量如表： 月份 1 2 3 4 5 销售量
37、 y（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了 y 关于 x 的回归模型：= 2+ （1）根据所给数据与回归模型，求 y 关于 x 的回归方程（的值精确到 0.1） ； （2）已知该公司的月利润 z（单位：万元）与 x，y 的关系为 = 24 5+2，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线= + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= =1()() =1()2，= 【解答】解： （1）令 wx2， 则 =15 (1 + 4 + 9 + 1
38、6 + 25) = 11， =15 (4.9 + 5.8 + 6.8 + 8.3 + 10.2) = 7.2， = 5=1()() 5=1()2=81.1374 0.2，= =7.20.2115， 故 y 关于 x 的回归方程为 y0.2x2+5 （2）由（1）可知，y0.2x2+5， = 24 5+2=24 5(0.22+5)+2= 24 3227， 令 g（x）= 24 3227， 则 g（x）=1232 +272;32=32+24+272=3(9)(+1)2（x0） ， 令 g（x）0，解得 0 x9，令 g（x）0，解得 x9，令 g（x）0，解得 x9， 故 g（x）在 x9 处取得
39、极大值，也为最大值， 故 g（x）maxg（9）7227936， 故第 9 个月的月利润预报值最大 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，0） ，B（2，0） ，点 M 满足直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为34，点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程； （2）已知点 F（1，0） ，直线 l：x4 与 x 轴交于点 D，直线 AM 与 l 交于点 N，是否存在常数 ，使得MFDNFD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）设 M（x，y） ，则=+22= 34且 x2， 所以 M 的轨迹为曲线 C 方程为24+23= 1且 x2 （2）设 N（4，
40、n） ，则直线 AM 为 =6( + 2)， 联立曲线 C 得： =6( + 2)24+23= 1，整理得： （n2+27）x2+4n2x+4n21080， 由题设知：+ = 422+27，则=54222+27， 故=61082+27=182+27， 又 =1=692， =3， 所以21;2=231;29=69;2= ，即MFD2NFD， 很明显直线斜率不存在的时候也满足上述条件 所以存在 2，使MFD2NFD 22已知函数 f（x）ex+sinxcosx，f（x）为 f（x）的导数 （1）证明：当 x0 时，f（x）2； （2）设 g（x）f（x）2x1，证明：g（x）有且仅有 2 个零点
41、【解答】证明： （1）由 f（x）ex+sinxcosx，得 f（x）ex+cosx+sinx， 设 h（x）ex+cosx+sinx，则 h（x）exsinx+cosx， 当 x0 时，设 p（x）exxl，q（x）xsinx， 因为 p（x）ex10，q（x）1cosx0， 所以 p（x）和 q（x）在0，+）上单调递增， p（x）p（0）0，q（x）q（0）0， 所以当 x0 时，exx+1，xsinx， 则 h（x）exsinx+cosxx+1sinx+cosx（xsinx）+（1+cosx）0， 所以 h（x）ex+cosx+sinx 在0，+）上单调递增， 所以 h（x）h（0）2
42、，即当 x0 吋，f（x）2 （2）由已知得 g（x）ex+sinxcosx2x1， 当 x0 时，因为 g（x）ex+cosx+sinx2f（x）20， 所以 g（x）在0，+）上单调递增， 又因为 g（0）10，g（）e20， 所以由零点存在性定理可知 g（x）在0，+）上仅有一个零点， 当 x0 时，设 m（x）=2（x0） ，则 m（x）=2(1)0， 所以 m（x）在（，0）上单调递减， 所以 m（x）m（0）1，所以 ex+cosx+sinx20， 所以 g（x）ex+cosx+sin20， 所以 g（x）在（，0）上单调递减， 又因为 g（0）10，g（）e+20， 所以由零点存在性定理可知 g（x）在（，0）上仅有一个零点， 综上所述，g（x）有且仅有 2 个零点
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