1、1 / 63第第 1 讲函数选择压轴题讲函数选择压轴题一、单选题：1 （广西玉林模拟（理） ）23(2ln3)1ln3,3abcee，则 a，b，c 的大小顺序为（）AacbBcabCabcDbac【答案】A【分析】构造函数ln( )xf xx ，应用导数研究其单调性，进而比较2()3eaf，( )bf e，(3)cf的大小，若ln xtx有两个解12,x x，则121xex，1(0, )te，构造2(1)( )ln(1)1xg xxxx，利用导数确定( )0g x，进而得到212121lnln2xxxxxx，即可判断 a、c 的大小，即可知正确选项【解析】令ln( )xf xx ，则222l
2、n3()33eeafe，ln( )ebf ee，ln3(3)3cf，而21 ln( )xfxx且0 x ，即0 xe时( )f x单调增，xe时( )f x单调减，又2133ee，bc，ba若ln xtx有两个解12,x x，则121xex，1(0, )te，即2121lnlnxxtxx，1212ln x xxxt，令2(1)( )ln(1)1xg xxxx，则22(1)( )0(1)xg xx x，即( )g x在(1,)上递增，( )(1)0g xg，即在(1,)上，2(1)ln1xxx，若21xxx即212121lnln2xxxxxx，故122lnttx x，有212x xe，当23x
3、时，213eex，故21()()(3)3eff xf，综上：bca 故选 A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a，b，c 的大小2 / 632 （江苏省天一中学高三二模）若不等式32ln(1)20axxx在区间(0,)内的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是A932,2ln2 ln5B932,2ln2 ln5C932,2ln2 ln5D9,2ln2【答案】C【分析】由题可知，设函数( )ln(1)f xax，32( )2g xxx，根据导数求出 g x的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20axxx在区间(0,)内的解集中有且
4、仅有三个整数，转化为( )( )f xg x在区间(0,)内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a的取值范围【解析】设函数( )ln(1)f xax，32( )2g xxx，2( )34g xxx，( )0g x，0 x或43x ，403x时，( )0g x，43x 或0 x 时，( )0g x，(0)(2)0gg，其图象如下：当0a时，( )( )f xg x至多一个整数根；当0a 时，( )( )f xg x在(0,)内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)fgfg，3232ln432 3ln5 42 4aa ，9322ln2ln5a 故选 C【点睛】本题考查不等式的
5、解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力3 / 633 （黑龙江齐齐哈尔市实验中学高三期末（理） ）已知函数21,1( )|ln(1) ,1xxf xxx，则方程( ( )1ff x的根的个数为（）A7B5C3D2【答案】A【分析】令 uf x，先求出方程 1f u 的三个根11u ，211ue ，31ue ，然后分别作出直线1u ，11ue ，1ue 与函数 uf x的图象，得出交点的总数即为所求结果【解析】令 uf x，先解方程 1f u （1）当1u 时，则 21 1f uu ，得11u ；（2）当1u 时，则 ln11f uu，即ln11u
6、，解得211ue ，31ue 如下图所示：直线1u ，11ue ，1ue 与函数 uf x的交点个数为3、2、2，方程 1ffx 的根的个数为3227，故选 A【点睛】本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题4（湖北 B4 调研） 已知集合1ln1xaeaxAx xx， 集合2021ln2021Bxxx， 若BA，则实数a的取值范围为（）4 / 63A,1eB, e eC1,eD1,1【答案】A【分析】先求出集合B，再根据包含关系可得1ln1xaeaxxx在1
7、,上恒成立即lnlnxaxaxxee在1,上恒成立，就0,01,1aaa分类讨论后可得正确的选项【解析】先考虑不等式2021ln2021xx的解，2021 ,lnyx yx均为0,上的增函数，故 2021lnf xxx为0,上的增函数，故1,B 故1,为不等式1ln1xaeaxxx的解集的子集，即1ln1xaeaxxx在1,上恒成立，故lnlnxaxaxxee在1,上恒成立令 lng ttt ，则 111tg ttt ，故当01t 时， 0g t，故 g t在0,1上为减函数；当1t 时， 0g t，故 g t在1,上为增函数；当0a 时，1x，故10,1 ,0,axxee，故axxe在1,上
8、恒成立，即lnxax 在1,上恒成立，令 lnxS xx ，故 2ln1lnxSxx ，当1xe时， 0Sx，当xe时， 0Sx，故 S x在1,e上为增函数，在, e 上为减函数，故 maxlneS xee ，故ae 即0ea 若0a ，当01a时，1x，故1axx，lnlnaaxxxxxxe（注意lnxex 恒成立） ，故01a符合题意当1a 时，lnlnxaxaxxee在1,上恒成立，故33333lnln3aaeeeeeeeee，即3333aeeeae，设 33 ,1aaTeaa，则 3330aTae，故 T a在1,上为增函数，故 33351011331231328T aTeeee ，
9、 故3333aeeeae不成立， 故1a 舍去，综上，1ea 故选 A【点睛】思路点睛：导数背景下的不等式恒成立问题，应该根据不等式中解析式的特点合理转化，特别是5 / 63对于指数与对数同时出现的形式，可利用同构的思想进行转化5 （河南皖豫名校联盟体联考（理） ）已知函数 248 ,0,248,2,xx xg xxx， 2f xkxg x在0,上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A4 28,B4 28,11,C4 28,4D4 28,11,4【答案】D【分析】由题意可知，函数2ykx与 g x的图象在0,上有三个交点，对实数k的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数k的不等式组，综
10、合可解得实数k的取值范围【解析】函数 2f xkxg x在0,上有3个不同的零点，关于x的方程 2kxg x在0,上有3个不同的实数根，作出函数 g x的图象如下图所示：函数2ykx的图象恒过点0,2，当0k 时，函数2ykx的图象与x轴的交点为2,0k，当2102k时，即当4k 时，函数2ykx与 g x的图象在0,上仅有2个不同的交点，如下图所示：6 / 63当1222k时， 即当14k时， 函数2ykx与 g x的图象在20,k上有1个交点， 在2,k上有2个交点，如下图所示：当22k时，即当01k时，函数2ykx与 g x的图象在20,k上有3个交点，在2,k上有0个交点，如下图所示：
11、当22k时，即当1k 时，函数2ykx与 g x的图象在0,上有2个交点，如下图所示：7 / 63当0k 时，要使得函数2ykx与 g x的图象在0,上有3个交点，则2ykx与 g x的图象在0,上有3个交点，则2ykx与函数248yxx 在0,2上的图象有两个交点，即方程2248kxxx 在0,2上有两个不等的实根，设 2482h xxkx，则 h x在0,2上有两个零点，可得 2832080280202220kkffk ，解得4 281k ，此时4 280k 且2ykx与48yx的图象在2,上有一个交点，则04k ，解得40k 由上可知，4 280k ；当0k 时，22ykx，如下图所示：
12、8 / 63直线2y 与函数 g x在0,上的图象有三个交点综上所述，实数k的取值范围是4 28,11,4故选 D【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6 （郁南县蔡朝焜纪念中学高三月考）已知偶函数 f x满足33fxfx，且当0,3x时， 2xfxxe，若关于 x 的不等式 20fxtf x在150,150上有
13、且只有 150 个整数解，则实数 t 的取值范围是（）A120,eB1322,3eeC3123,2eeD112,2ee【答案】B【分析】 根据偶函数 f x满足33fxfx， 得到函数 f x是以 6 为周期的周期函数， 由0,3x时， 2xfxxe， 用导数法结合偶函数， 作出数 f x在( 3,3上的图象， 将不等式 20fxtf x在150,150上有且只有 150 个整数解，转化为在一个周期( 3,3上 f xt有 3 个整数解分别为-2，2，3求解【解析】偶函数 f x满足33fxfx， 6fxf xfx，即 6+fxf x，函数 f x是以 6 为周期的周期函数，当0,3x时， 2
14、xfxxe， 22xxfxe（1-），9 / 63当02x时， 0fx，函数 f x递增；当23x时， 0fx，函数 f x递减；当当2x 时，函数 f x取得极大值 2f xe，作出函数 f x在( 3,3上的图象，如图所示：不等式 20fxtf x在150,150上有且只有 150 个整数解，不等式 20fxtf x在( 3,3上有且只有 3 个整数解，当 0f x 时，不符合题意，故不等式 f xt在( 3,3上有且只有 3 个整数解， 1322133,fefe， 3311ffe，即( )( )13ff，故不等式 f xt在( 3,3上的 3 个整数解分别为-2，2，3， 13fft ，
15、即32123tee ，故选 B。【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决7 （江苏南通期中）已知 f x是定义域为0,的单调函数，若对任意的0,x，都有 13log4ff xx，且方程 3f xa在区间0,3上有两解，则实数a的取值范围是（）A01aB1a C01aD1a 【答案】A【分析】根据函数 f x的定义域和单调函数，可得必存在唯一的正实数m满足13( )logf xxm，10 / 63 4f m，结合13( )logf mmm，可得3m，函数13( )3logf
16、xx，由方程( )3f xa在区间(0,3上有两解，则13log xa在区间(0,3上有两解，设 13logg xx，作出函数 g x在(0,3上的图象， 结合图象，可得实数a的取值范围【解析】 函数 f x是定义域为(0,)的单调函数， 对于任意的(0,)x， 都有13 ( )log4f f xx，必存在唯一的正实数m满足13( )logf xxm， 4f m，13( )logf mmm，可得134log mm，即13log4mm，3m，13( )log3f xx，函数13( )3logf xx，由方程( )3f xa在区间(0,3上有两解，则13log xa在区间(0,3上有两解，设 13
17、logg xx，作出函数 g x在(0,3上的图象，如图所示， 结合图象，可得方程( )3f xa在区间(0,3上有两解， 实数a满足01a故选 A。【点睛】本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题， 注意挖掘题设中的隐含条件， 合理进行等价转化， 本题的解答中根据13 ( )log4f f xx，等价转换求得函数 f x的解析式是解答的关键8 （天津一中高三月考）已知函数2( ) f xxpxq对,p qR，总有01,5x，使0f xm成立，则m的范围是（）A5,2B(,2C(,3D(,4【答案】B11 / 63【分析】根据已知条件先
18、分析得到 maxminmf x，然后分析2( ) f xxpxq的几何意义，通过分析 2g xx与 h xpxq 在横坐标相等时，纵坐标竖直距离取最大值的最小值时对应的, p q的取值，由此确定出 f x的解析式，同时求解出 maxf x，由此m的范围可知【解析】由题意可知：01,5x，0f xm成立，即 maxmf x，又对,p qR， maxmf x， maxminmf x，又2( ) f xxpxq可看作 2g xx与 h xpxq 在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，由 2g xx，1,5x，可取1,1 ,5,25AB，AB的直线方程为1:65lyx，设l与AB平行且与 2g xx相切于
19、00,C x y， 0026gxx， 03x ， 切线为2:69lyx，当 h x与12, l l平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在12, l l的中间，此时 2g xx与 h xpxq 在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值，此时 67h xx，则 222676732f xxxxxx，又1,5x，230,4x， max422f x，此时1x 或3或5，m的范围是,2，故选 B【点睛】结论点睛： h xf xg x的几何意义：当 f x与 g x在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离9 （北京怀柔区高三其他模拟）形状节奏声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构即相同的形式会按比例逐渐缩小，
20、并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图 1 的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图 2， 称为“一次分形”； 用同样的方法把图 2 中的每条线段重复上述操作， 得到图 3， 称为“二次分形”； 依次进行“n 次分形”， 得到一个周长不小于初始三角形周长 100 倍的分形图， 则 n 最小值是 （）(取lg30.4771,lg20.3010)12 / 63A15B16C17D18【答案】C【分析】根据分形的变化规律，得出一条长为 a 线段 n 次分形后变为长为43na的折线，建立不等关系，利用对数
21、求解即可【解析】设正三角形的一条边长为 a，“一次分形”后变为长为43a的折线，“二次分形”后折线长度为243a，“n 次分形”后折线长度为43na，得到一个周长不小于初始三角形周长 100 倍的分形图，只需满足41003naa，两边同时取常用对数得：4lglg10023n，即得：(2lg2lg3)2n，解得2216.012lg2lg30.60200.4771n ，故至少需要 17 次分形，故选 C【点睛】关键点点睛：仔细读题，弄懂分形变化的规律，即正三角形的一条边长为 a，“一次分形”后变为长为43a的折线，“二次分形”后折线长度为243a，“n 次分形”后折线长度为43na是解题的关键10
22、 （天津和平区高三一模）已知aR，设函数 222 ,1ln1,1xaxa xf xxx，若关于x的方程 14f xxa 恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（）A,0B52 6,813 / 63C52 6,0,8D52 65,84【答案】D【分析】 就2122,14xaxaxa x 及1ln1,14xxa x 的根的个数分类讨论后可得实数a的取值范围【解析】关于x的方程 14f xxa 恰有两个互异的实数解，故2122,14xaxaxa x 有两个不同的实数根且1ln1,14xxa x 无实根或2122,14xaxaxa x 、1ln1,14xxa x 各有一个实数根或2122,14xa
23、xaxa x 无实根且1ln1,14xxa x 有两个实数根若1ln1,14xxa x 有两个不同的实数根，则1ln10,14xxax 有两个不同的实数根，1ln1,14xxayx 为增函数，故1ln10,14xxax 有两个不同的实数根不成立若2122,14xaxaxa x 、1ln1,14xxa x 各有一个实数根，先考虑1ln1,14xxa x 有一个实数根即1ln10,14xxax 有一个实数根，1ln1,14xxayx 为增函数，故1ln1104a ，故54a 再考虑2122,14xaxaxa x 有一个实数根即21(2)0,14xaxax有一个实数根令 21(2),14h xxax
24、a x， 111204haa ，故21(2)0,14xaxax有一个实数根故54a 时，2122,14xaxaxa x 、1ln1,14xxa x 各有一个实数根若2122,14xaxaxa x 有两个不同的实数根且1ln1,14xxa x 无实根，1ln1,14xxa x 无实根，则由前述讨论可得54a ，14 / 632122,14xaxaxa x 有两个不同的实数根，故2124121240411 204aaaaa，解得52 68a，综上，52 65,84a ，故选 D【点睛】方法点睛：知道分段函数零点个数，则可以根据各段函数的形式确定各段上零点的个数，并结合相应的函数的特征再利用单调性或
25、根分布等方法来处理即可11（陕西下学期质检 （文） ） 已知函数 ln,0,1 ,0 xx xf xx xx关于x的方程 210fxtf x （tR）有 8 个不同的实数根，则t的取值范围是（）A1e,eB211,ee2e C17,4 D172,4 【答案】C【分析】根据分段函数得解析式，利用导数研究函数 f x的性质，作出函数 f x的图象，将方程有 8 个不同的实数根转化为方程210mtm 在1 1,4 e存在两个不同的实数根或在1,e和10,4上各有 1个根，进而得到t的取值范围【解析】当0 x 时， lnf xxx令 lnF xxx，则 ln1Fxx令 0Fx，则1ex ，e1e1F
26、，11eef，故当0 x 时，函数 f x在10,e上单调递增，在1,1e上单调递减，在()1,+单调递增；15 / 63当0 x 时，易知函数 f x在, 1 上单调递减，在11,2 上单调递增，在1,02单调递减又1124f，11eef，故可画出函数 f x的大致图象如图所示，令 mf x，则已知方程可化为210mtm 观察图象可知，当1em 时，只有 2 个交点；当1em 时有 3 个交点；当114em时，有 4 个交点；当14m 时有 5 个交点；当104m时，有 6 个交点要想满足题意，则只需使得方程210mtm 在1 1,4 e存在两个不同的实数根或在1,e和10,4上各有 1 个
27、根方程210mtm 的两根之积为 1，令 21g mmtm，由题意只需 10,440,gg 解得174t ，故选 C【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点12（天津十二区重点中学联考） 已知定义在 R 上的函数2ln ,1( ),1x xf xxx
28、 x， 若函数( )( )k xf xax恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围为（）16 / 63A 1,0(1,)e B 11,0(1,)e C111,0,ee D1(, 1)0,1e 【答案】B【分析】函数( )( )k xf xax恰有 2 个零点，转化为直线yax与( )yf x的图象有两个交点，作出函数( )f x的图象及直线yax观察它们交点个数，对函数( )f x要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率【解析】如图，数形结合，观察直线yax与曲线( )yf x的位置关系当2(,0, ( ),( )21,(0)1xf xxx fxxf ，故在(0,0)处的切线方程为1yx 当2
29、0,1, ( )xf xxx ，同理可得在(0,0)处的切线方程为2yx当1(1,), ( )ln ,( )xf xx fxx，设切点为( ,ln )tt，其中1t ，则过该点的切线方程为1ln()ytxtt，代入(0,0)，得te，故过( ,1)e的切线方程为31yxe可得当1(, 1)0,1ae 时，有两个交点，即函数( )yk x恰有两个零点，此时11,0(1,)ae ，故选 B。13 （浙江新高考测评）已知函数 22673 ,log113 ,xxxf xxx 若关于x的方程 220f xmf xm有 6 个根，则m的取值范围为（）17 / 63A,22 3B2,22 3C2,D2,22
30、 3【答案】B【分析】作出函数 f x的图象，令 tf x，则原方程可化为220tmtm在0,2上有 2 个不相等的实根，再数形结合得解【解析】作出函数 f x的图象如图所示 令 tf x， 则 220f xmf xm可化为220tmtm，要使关于x的方程 220f xmf xm有 6 个根， 数形结合知需方程220tmtm在0,2上有 2 个不相等的实根1t，2t，不妨设1220tt， 22tmtmgt，则 2420,02,2020,24220mmmgmgmm 解得222 3m ，故m的取值范围为( 2,22 3)，故选 B【点睛】形如 ygf x的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理
31、问题的基础和关键是作出 f x， g x的图象若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令 tf x，先估计关于t的方程18 / 63 0g t 的解的个数，再根据 f x的图象特点，观察直线yt与 yf x图象的交点个数，进而确定参数的范围14 （浙江宁波月考）已知函数 2coslg1xf xxx ，则其图像可能是（）ABCD【答案】A【分析】通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除CD、再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像【解析】( )f x的定义域为0 x ，22222cos()coscos()( )1lg(1)lg(1)lg()1+xxxfxf xxxxxxxxx
32、，( )f x为奇函数，则CD、排除，若0 x ，且0 x ，则2cos1,lg(1)0,( )xxxf x ；若0 x ，且0 x ，则2cos1,lg(1),( )xxxf x ，cos1(1)=0lg( 21)f，cos1( 1)=0lg( 21)f ，021 1 ，lg( 21)0，故选 A。【点睛】判断图像类问题，主要考虑以下几点：函数的定义域；函数的奇偶性；函数的单调性；像中的特殊值，并且通常用到排除法15 （河南金太阳 3 月联考（理） ）已知函数22, 21( )ln1,1exxf xxx ，若关于x的方程 f xm恰有两个不同解1212,x xxx，则 212xxf x的取值
33、范围是（）A( 1,0B( 2,0C3,02D5,0219 / 63【答案】D【分析】由函数图像可得122mx，12emx，( 1,0m ， 12122e2mmxxf xm， ，构造函数，对函数求导，进而求出取值范围【解析】如图，( )f xm的两根为1212,x xxx，122mx，12emx，( 1,0m ，从而 12122e2mmxxf xm21e2mmmm令121( )e2xg xxxx，( 1,0 x ，则1( )(1)e1xg xxx，( 1,0 x ( 1,0 x ，10 x ，10ee1,x，10 x ，( )0g x在( 1,0上恒成立，从而( )g x在( 1,0上单调递增
34、又(0)0g，5( 1)2g ，5( ),02g x ，即212xxf x的取值范围是5,02故选 D。【点睛】关键点点睛：结合函数图像得出122mx，12emx，( 1,0m ，把所求 212xxf x转化为求函数值域问题是本题的关键本题考查了运算求解能力、转化的数学思维和逻辑推理能力，属于难题16（江西九校 3 月联考 （理） ） 关于x的方程ln1xxkex在0,上只有一个实根， 则实数k （）A1e B1C0De【答案】B【分析】ln1lnxxxkekxexxx ，设函数( )lnxg xxexx，对函数求导，求出函数的单20 / 63调区间和最值，进而可得结果【解析】ln1lnxxx
35、kekxexxx ，设1(1)(1)( )ln,( )1xxxxxxeg xxexx g xexexx ，当0,10 xx ，设( )1xh xxe，函数单调递增，0(0)10, (1)10,(0,1)hhex ，使得000()1=0 xh xx e，当0(0,)xx，( )0, ( )g xg x函数单调递减；当0(+ )xx，( )0, ( )g xg x函数单调递增；0min000000( )()ln1 (ln)xg xg xx exxxx 00001 (lnln)1 ln1 ln11xxxex e 方程只有一个根，即yk与( )lnxg xxexx只有一个交点，1k ，故选 B。【点睛
36、】关键点点睛：ln1lnxxxkekxexxx ，将方程有根问题转化为两个函数只有一个交点问题，设函数，求函数的单调区间和最值是常用的方法本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题17已知aR，21 ln0axxax在1,22x上恒成立，则实数a的取值范围为（）A1,2B1 1,3 2C1,3D1,3【答案】D【分析】不等式21 ln0axxax等价于(1)(1)ln0 xaxax，分类讨论1,12x，1x 和(1,2x，分别求出实数a的取值范围，最后取交集即可【解析】易知21(1)(1)axxaxaxa ，不等式21 ln0axxax，即(1)(1)ln0 xaxax21 / 63当1,
37、12x时，ln0 x ，10 x ，则1101axaax ，又11 2,12 3x，12a ；当1x 时，ln0 x ，对任意的实数a，不等式恒成立；当(1,2x时，ln0 x ，10 x ，则1101axaax ，又11,32，13a ；综上，实数a的取值范围为1,3故选 D。【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：分离参数 af x恒成立( maxaf x即可)或 af x恒成立（ minaf x即可） ；数形结合( yf x图像在 yg x上方即可)；讨论最值 min0f x或 max0f x恒成立18 （超级全能生 1 月联考（理） ）已知函数 2
38、5,042ln,0 xxxf xxax x，若210,0 xx，使 120f xf x成立，则a的取值范围为（）A2 e,eB2 e,eC4,eDe,e【答案】A【分析】当0 x 时，求得函数 f x的值域为1,)，当0 x 时，求得 2fxax，当0a 时，利用导数求得函数的单调性，可得 22( )2ln2f xfaa，根据题意，转化为 1f x值域包含2f x的值域，得出不等式22ln21a ，求得20eae；当0a 时，求得 f x的值域为R，满足题意，进而求得实数a的取值范围【解析】当0 x 时，函数 2251()142fxxxx，函数 f x的值域为1,)，当0 x 时，函数 2ln
39、f xxax，可得 2fxax，当0a 时，令 0fx，解得2xa，22 / 63当2(,)xa时， 0fx， f x单调递减；当2(0,)xa时， 0fx， f x单调递增， 22( )2ln2f xfaa，对210,0 xx，使 120f xf x成立，转化为 1f x值域包含2f x的值域，22ln21a ，即21ln2a，解得22 eaee，20eae；当0a 时，令 20fxax，解得2xa，当2(,)xa时， 0fx， f x单调递增，此时值域为R，满足对210,0 xx，使 120f xf x成立，综上所述，实数a的取值范围为2(,ee故选 A【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成
40、立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大19 （广东广州一模）已知e2.71828是自然对数的底数，设2 1323,2,eln2eeabc，则（）AabcBbacCbcaDcab【答案】A【分析】 首先设 xfxxe， 利用导数判断函数的单调性， 比较, a b的大小， 设利用导数判断1xex，放缩2ln2c ，再设函数 lnxg
41、 xxe，利用导数判断单调性，得 20g，再比较, b c的大小，即可得到结果【解析】设 xfxxe， 112fxex，当204ex时， 0fx，函数单调递增，当24ex 时， 0fx，函数单调递减，23 / 63 3 ,2afbf，2234e时， 32ff，即ab，设1xyex，1xye，,0时，0y，函数单调递减，0,时，0y ，函数单调递增，当0 x 时，函数取得最小值， 00f，即1xex恒成立，即2 12e，令 lnxg xxe， 11gxex，0,xe时， 0gx， g x单调递减，,xe时， 0gx， g x单调递增，xe时， 函数取得最小值 0g e ， 即 20g， 得：2l
42、n2e， 那么222ln2e，即2 12ln22ln22ee，即bc，综上可知abc故选 A。【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据1xex，放缩2ln2c ，从而构造函数 lnxg xxe，比较大小20 （江西吉安模拟（理） ）已知定义在R上的函数23yf x是奇函数，当2,x时， 142fxxx，则不等式 3 ln10f xx的解集为（）A2,B1,0, eC0,2, eD1,02,【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出函数 f x的图像关于点2,3中心对称且 23f，然后根据基本不等式得出 0fx，则函数 f x在R上单调递增，最后将
43、不等式 3 ln10f xx转化为 30ln10fxx或 30ln10fxx，通过计算即可得出结果【解析】函数23f x是定义在R上的奇函数，函数 f x的图像关于点2,3中心对称，且 23f，当2,x时，20 x，则1114222220222xxxxxx ，当且仅当3x 时取等号，故 1402fxxx，函数 f x在2,上单调递增，函数 f x的图像关于点2,3中心对称，函数 f x在R上单调递增，24 / 63不等式 3 ln10f xx可化为 30ln10fxx或 30ln10fxx， 30ln10fxx，即20 xx，解得2x ； 30ln10fxx，即210 xx ，解得10 x ，
44、故不等式的解集为1,02,，故选 D。【点睛】 关键点点睛： 若函数yf xaaR是偶函数， 则函数 yf x的图像关于直线xa对称；若函数yf xbbR是奇函数， 则函数 yf x的图像关于点,0b中心对称， 考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性21 （江苏启东期末）已知4ln04aa ，3ln03bb，2ln02cc，则（）AcbaBbcaCabcDacb【答案】C【分析】构造函数( )lnf xxx，利用导数判断其单调性，由已知可得( )(4)f af，01a，( )(3)f bf，01b；( )(2)f cf，01c，进而利用单调性可得答案【解析】令( )lnf xx
45、x，11( )10 xfxxx ，1x ，01x时，( )0fx，则( )f x在(0,1)上递减；1x 时，( )0fx，则( )f x在(1,)上递增，由4ln04aa 可得04a，4ln4aa化为ln4ln4aa，( )(4)f af，则01a，同理( )(3)f bf，01b；( )(2)f cf，01c，4321， 432fff，可得 f af bf c，( )f x在(0,1)上递减，abc，故选 C25 / 63【点睛】方法点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：求出 fx，在定义域内分别令 0fx 求得x的范围，可得函数 f x增区间，由 0fx 求得x的范围，可得函数 f x的减
46、区间22 （浙江金华期末）已知函数 3f xxaxb，a、bR1x、2,xm n且满足 1f xf n， 2f xf m，对任意的,xm n恒有 f mf xf n，则当a、b取不同的值时， （）A12nx与22mx均为定值B12nx与22mx均为定值C12nx与22mx均为定值D12nx与22mx均为定值【答案】D【分析】分析得出0a ，利用导数分析函数 f x的单调性，可得知1x为函数 f x的极大值点，2x为函数 f x的极小值点，再由 1f xf n、 2f xf m结合因式分解可得出结论【解析】当0a 时， 230fxxa，此时，函数 f x在R上为增函数，当1x、2,xm n时，
47、1f xf n， 2f xf m，不合乎题意，0a 由 0fx可得3ax ，当3ax -时， 0fx；当33aax- -时， 0fx函数 f x的单调递增区间为,3a ，,3a，单调递减区间为,33aa 26 / 63对任意的,xm n恒有 f mf xf n， minf xf m， maxf xf n，又当1x、2,xm n且满足 1f xf n， 2f xf m，1x为函数 f x的极大值点，2x为函数 f x的极小值点，则13ax ，23ax ，由 1f xf n可得3311xaxbnanb，可得33110 xna xn，即221110 xnxnxna，1xn，则22110 xnxna，
48、13ax ，可得213ax ，221120nnxx，即1120nxnx，120nx，同理可得220mx，故选 D【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x、2x为函数 f x的极值点；（2）利用等式 1f xf n， 2f xf m结合因式化简得出结果23（浙江温州期末） 已知函数32( )(2)( , ,)f xxaxbxc a b cR， 若存在异于 a 的实数 m，()n mn，使得( )( )( )f mf nf a，则 b 的取值范围为（）A(,1)B(,1C4,5D4,15【答案】D27 / 63【 分 析 】 由 题 可 得,m n是 方 程 0f
49、 xf a的 两 个 不 等 实 根 ， 整 理 可 得 222222fxf axaxaxaab，则可得,m n是方程2222220 xaxaab的两个不等实根，利用判别式可得21ba ，即1b，再由a不可能是2222220 xaxaab的根， 可得2540aab对任意aR恒成立， 由判别式即可求出【解析】( )( )( )f mf nf a，且, ,m n a两两不相等， 00f mf af nf a，即,m n是方程 0f xf a的两个不等实根， 3232(2)(2)xaxbxcfxfaaabaca33222xaaxab xa222222xaxaxaab，,ma na，,m n是方程22
50、22220 xaxaab的两个不等实根，22224 220aaab ，即21ba ，211a ，1b ，方程2222220 xaxaab最多两个根，a不可能是该方程的根，即2222220aaaaab对任意aR恒成立，即2540aab对任意aR恒成立，244 50b ，解得45b ，综上，415b故选 D【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将题目转化为,m n是方程 0f xf a的两个不等实根，进而得出,m n是方程2222220 xaxaab的两个不等实根，且a不可能是该方程的根，利用判别式求解24 （天津高三期末）已知函数 2xefxx（e为自然对数的底数） ，关于x的方程
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