1、第12讲 解析几何填空压轴题1（山东临沂模拟）如图，抛物线的焦点为为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切(切点为)且交轴于点，过点作圆的另一条切线(切点为)交轴于点若已知，则的最小值为_【答案】【分析】选设出点的坐标，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再根据角的互余，得到的正切值，最后再中，由正弦定理可得到的表达式，再通过其表达式求出最小值【解析】，设，由，则，抛物线，不妨设，则，在中，由正弦定理有当且仅当时，即时，【名师点睛】关键点睛：解决本题一是要将问题转化到中运用正弦定理，二是要运用三倍角公式，三是要构造二次齐式，最后是要使用基本不等式2（湖北武汉高三月考）已知过抛物线的
2、焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则_【答案】【分析】根据斜率及焦点坐标，求得直线方程，联立直线与抛物线方程，结合抛物线的定义即可求得【解析】抛物线的焦点的坐标为，斜率为且过焦点的直线方程为 ，联立抛物线方程，得，化简得，设两个交点坐标分别为，则，【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的综合应用，用两个交点表示弦长，属于难题3（内蒙古赤峰高三月考（文）过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，若，求的离心率的取值范围为_【答案】【分析】由题意得右焦点，设一条渐近线的方程为，则另一条渐近线方程为，由垂直可得直线FA的方程，分别与渐近线联立得到A，B的横
3、坐标，由向量共线的坐标表示，结合，即可求出离心率的取值范围【解析】设右焦点，设一条渐近线的方程为，另一条渐近线的方程为，由，可得的方程为：，联立方程，即，联立方程，即，又，解得：，又，即，解得：，即【名师点睛】方法点睛：本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解4（山东烟台高三一模）已知点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直径的圆与交于点(异于)，若，则点的横坐标的取值范围为_【答案】【分析】根据题意求出圆
4、的方程，进而求出点坐标，根据圆的几何性质，结合锐角三角函数定义及性质进行求解即可【解析】由题意设，设的中点为，由中点坐标公式可得：，以为直径的圆的方程为：，把代入得：，是直径，因此，即，化简得：，而，解得【名师点睛】关键点睛：利用直径所对的圆周角为直角这一性质是解题的关键5（2021中学生标准学术能力3月测试）已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为_【答案】【分析】中，利用正弦定理：，求得，设，再利用余弦定理求得，然后由求解【解析】双曲线的焦点为，在中，由正弦定理得：，解得，设，在中，由余弦定理得：，解得， ，又，则 ， ，整理得，则 ，解
5、得或（舍去）【名师点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及化简求解6（山东日照高三一模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心，则的取值范围是_【答案】【分析】根据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围【解析】如图：设的内切圆与分别切于，又，又，与重合，的横坐标为，同理可得的横坐标也为，设直线的倾斜角为则，当时，当时，由题知，两点在双曲线的右支上，且，或，且，综上所述，【名师点睛】关键点点
6、睛：根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出，的内切圆与轴同时切于双曲线的右顶点，并将用直线的倾斜角表示出来是解题关键7（辽宁沈阳高三一模）已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_【答案】【分析】先用导数求出切线的方程，分析得直线的方程为，求出，表示出，用“设而不求法”表示出，从而求出的范围【解析】设切点，由抛物线，切线，同理切线， 又点是两条切线的交点，直线的方程为，即此直线恒过，则，消去，得，即，令，则，即，解得，即故答案为：【名师点睛】在研究直线与抛物线的位置关系要注意：（1）可以用导数求切线，有时可以简化运算；（2）“设而不求法”是研究直线与二次曲线
7、相交的一般方法8（湖南长沙雅礼中学高三月考）设双曲线C：的左右焦点分别为，过直线的l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，且，则双曲线C的离心率为_【答案】【分析】作于D，利用双曲线的定义以及等腰直角三角形的性质可得，在中可得，化简可得答案【解析】如图，作于D，根据双曲线定义，又，三角形是等腰直角三角形，在中，化简得，故答案为：【名师点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解9（湖北B4新高考的研）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率
8、为若动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，则双曲线的渐近线的方程为_【答案】【分析】取特殊位置轴，此时，将代入抛物线得，可得，分别讨论，可得，进而可求得渐近线方程为【解析】如图：恒成立，取特殊位置轴时，此时，在中，双曲线中，将代入双曲线方程得，整理可得：，取点位于第一象限，则，当时，此时不符合题意，故不成立，当时，此时不符合题意，故不成立，当时，即，可得，双曲线的渐近线方程为 【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是去特殊位置轴时，可得计算其正切值可得，经过讨论求出离心率10（江苏徐州徐州一中高三期末）已知分别为双曲线的两个焦点，上的点到原点的距离为，且，则双曲线的渐近线方程为_
9、【答案】【分析】作出图像结合图像分析，由及正弦定理，双曲线定义可得，根据图形得，将余弦值表示出来化简即可得出得，进而得双曲线的渐近线方程【解析】由及正弦定理可得根据双曲线定义可得又，在中由余弦定理可得化简得，双曲线的渐近线方程为故答案为：【名师点睛】求解双曲线离心率、渐近线、标准方程问题策略：（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；（2）求渐近线时，利用转化为关于的方程双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：；（3）求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何
10、关系转化为关于的关系式，结合，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程11（沙坪坝区重庆一中高三月考）抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则面积的最大值为_【答案】【分析】先联立直线方程和抛物线方程求得，接着有两种方法：方法一是将点D到直线的距离用坐标表示出来，借助二次函数求出最值；方法二是利用相切时点D到直线的距离最大，此时两平行线间的距离即为点D到直线的距离最大值，进而求出面积的最大值即可【解析】由题意可知抛物线的焦点为，直线方程为：，联立得设，由韦达定理知：，故，方法一：设，直线方程为：，其中当且仅当时等号成
11、立，此时满足点D在l的右下方，面积的最大值为方法二： ，要想面积的最大，只需点到直线的距离最大，如图，设斜率为2的直线与抛物线相切与点，当点在点位置时，点到直线的距离最大，直线方程为：设切线方程为，联立抛物线得：，令，解得，此时面积的最大值为【名师点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点且焦点在y轴上，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式12（江苏三校联考）平面直角坐标系中，已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆交圆于、两点，点在上且满足，则点的轨
12、迹方程是_【答案】【分析】延长交于点，设，利用三角形全等证明出，可得出为线段的垂直平分线，设点，求出以为直径的圆的方程，可求得两圆的公共弦所在直线的方程，求出直线所过定点的坐标，利用垂直平分线的性质可得出，由此可求得动点的轨迹方程【解析】延长交于点，则，设，以为直径的圆交圆于点、，则，可得，在和中，则为的中点，且，则为的中点，设点，则，的中点坐标为，以线段为直径的圆的方程为，即，将圆与圆的方程相减得，即直线的方程为，即，由，解得，直线过定点，由于为线段的垂直平分线，则，点的轨迹方程为【名师点睛】求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；（2）定义法：根据圆的
13、定义写出方程；（3）几何法：利用圆的性质列方程；（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式13（浙江宁波模拟）已知双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【分析】如图所示：过点作于，点到渐进线的距离为即得到答案【解析】如图所示：过点作于，则 ，一条渐近线方程为：，点到直线的距离为 ，即 14（广西南宁南宁三中（理）已知，若点是抛物线上的任意一点，点是圆上任意一点，则最小值是_【答案】【分析】抛物线的焦点为，准线方程为由题意得，即的最小值为令，则点的横坐标为，由此得，然后再根据基本不等式求解
14、可得结果【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为又点是抛物线上一点，点是圆上任意一点，令，点的坐标为，则，当且仅当，即时等号成立的最小值为【名师点睛】本题考查抛物线定义及其应用，点与圆的位置关系、距离等问题，解题的关键是首先得到的最小值，然后再根据基本不等式求出在最小值的最小值考查推理论证和转化思想的运用及计算能力，属于中高档题15（三省三校诊断性测试（理）已知双曲线的左，右焦点分别为，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点(点位于第一象限)，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率为_【答案】【分析】数形结合，设，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可【解
15、析】设圆与的三边的切点分别为，如图令，根据双曲线的定义可得可得，由此可知，在中，轴于，同理轴于，轴过圆心作的垂线，垂足为易知直线的倾斜角与大小相等不妨设，则，根据勾股定理，【名师点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算16（内蒙古赤峰高三月考（理）已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，(为坐标原点)，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为_【答案】【分析】由向量的数量积以及双曲线中之间的关系，可得，再在中，结合双曲线的定义以及余弦定理，可建立之间的等量关系从而可求出离心率【解析】，则，双曲线的渐近线方程为，则，记，则，由，解得，
16、由双曲线的定义可得，又，由余弦定理可得，则，整理得，解得，双曲线的离心率为【名师点睛】关键点睛：解决本题，一是要将垂直转化为斜率之间的关系，二是运用双曲线的定义，三是要运用余弦定理17（陕西下学期质检）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点，若为的重心，则该双曲线的离心率为_【答案】【分析】先由为的重心，求出P，代入得到关于abc的齐次式，求出离心率【解析】设，则由重心坐标公式可得解得点的坐标为点在曲线上，（），解得或（舍），【名师点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可
17、求出离心率18（华大新高考联盟3月质检（文）已知点在抛物线：上运动，圆过点，过点引直线，与圆相切，切点分别为，则的取值范围为_【答案】【分析】先由已知条件求出圆的方程，然后画出图形，则由圆的性质可得，四边形的面积为，而四边形的面积为面积的两倍，从而得，进而有，由此可求出的最小值，而当当正无穷大时，趋近圆的直径4，从而可得结果【解析】设圆的方程为，将，分别代入，可得，解得，即圆：；如图，连接，易得，四边形的面积为；另外四边形的面积为面积的两倍，故，故当最小时，最小，设，则，当时，当正无穷大时，趋近圆的直径4，故的取值范围为【名师点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查抛物线的有关知识，解题
18、的关键是求出圆的方程，然后结合题意画出图形，由图可得四边形的面积为面积的两倍，从而可得，由此可求出的最小值，考查计算能力，属于中档题19（江苏徐州高三二模）已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为_【答案】【解析】设抛物线的方程为由题得，代入椭圆的方程得，【名师点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解） 要根据已知条件灵活选择方法求解20（山西高三一模（文）已知抛物线的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交
19、于两点，若，且，则_【答案】6【分析】设的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，计算得，故，根据求得，进而求得，从而求得，利用列方程，解方程求得的值【解析】设的方程为，则由得，又为锐角，不妨设，如图，作轴，垂足为H，过M作直线轴，垂足为，则，故【名师点睛】直线和圆锥曲线相交所得弦长有关计算问题，要注意熟练应用弦长公式21（河南高三一模（理）已知直线：交双曲线：于，两点，过作直线的垂线交双曲线于点若，则双曲线的离心率为_【答案】【分析】联立直线和双曲线方程可得，的坐标，以及，直角三角形的性质可得，设出直线的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得的横坐标，由弦长公式，化简计算可
20、得，进而得到所求离心率【解析】联立直线和双曲线方程可得，可设，可得，在直角三角形中，可得，设直线的方程为，代入双曲线方程可得，可得，即有，可得，即为，可得，【名师点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力22（内蒙古呼和浩特高三一模（文）古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线某同学用过母线的中点且与底面圆的直径垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线已知圆锥的高，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为_【答案】【分析】根据题意，建立如图的直角坐标系，不妨设双曲线的方程为：，进
21、而根据几何关系得，待定系数得，进一步设两条渐近线的夹角为，根据三角函数关系求解即可得答案【解析】解：根据题意，设双曲线与圆锥底面圆的交点为，连接交于，连接，并延长，使得，进而在平面中，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设双曲线的方程为：，由于底面，底面圆的半径为4，为的中点，在双曲线中，解得，双曲线的渐近线方程为，设双曲线的两条渐近线的夹角为，则，【名师点睛】本题考查双曲线的方程，渐近线，三角函数变换，考查综合分析应用能力，是中档题本题解题的关键在于根据题意建立如图的直角坐标系，进而将空间问题转化为平面问题，根据待定系数法求得方程23（江西九校联考（理）已知离心率为2的双
22、曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是与的公共点，若，则的标准方程为_【答案】【分析】由离心率设方程为，联立可得M点的横坐标，进而可得结果【解析】，双曲线方程为：，设抛物线方程为： ，联立方程可得：，解得或(舍)，双曲线方程为：【名师点睛】关键点点睛：利用抛物线定义列方程是解决问题的关键点本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目24（中学生标准学术能力3月测试（文）已知双曲线，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”若的面积最大值为，则_【答案】【解析】由题意作出图形，如图，设双曲线的焦距为，当时，的面
23、积取最大值，即，【名师点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用双曲线的性质转化条件为，再结合面积的最值即可得解25（广东广州高三一模）已知圆与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为，且，则的离心率为_【答案】【分析】由对称性知关于轴对称，关于轴对称，设得渐近线方程，设，由可得，渐近线方程与圆方程联立消元后由韦达定理得，结合可求得，从而可得离心率【解析】设，渐近线方程是，如图，由对称性可设，则，由，得，代入得，代入得，解得，【名师点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出渐近线的斜率，为此设渐近线方程为，设出圆与双曲线的四个交点的坐标，渐近线方程代入圆方程后应用韦达定
24、理得，由已知弦长关系可得，从而结合后可求得26（安徽江南十校联考（文）如图，分别为双曲线的右顶点和右焦点，过作轴的垂线交双曲线于，且在第一象限，到同一条渐近线的距离分别为，且是和的等差中项，则的离心率为_【答案】【分析】根据题意得点到渐近线的距离等于的中点到渐近线的距离，进而将问题转化为过的中点线和点的直线与渐近线平行，再结合斜率求解即可【解析】是和的等差中项，点到渐近线的距离等于的中点到渐近线的距离，由于，将代入方程易得，的中点坐标为过的中点线和点的直线与渐近线平行，即故又【名师点睛】本题考查双曲线的离心率问题，解题的关键在于根据已知条件将问题转化为过的中点线和点的直线与渐近线平行，进而利用
25、斜率求解考查运算求解能力，是中档题27（吉林吉林高三三模（理）己知圆是圆上任意点，若，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是_若A是圆所在平面内的一定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是：一个点圆椭圆双曲线抛物线，其中可能的结果有_【答案】 【解析】由圆则圆心，半径r=4；线段的垂直平分线与直线相交于点，如图（1）示：， ，符合椭圆的定义，点的轨迹是以为焦点，长轴为4 的椭圆，故，点的轨迹方程是；（1）若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有，符合椭圆的定义，故点的轨迹是以为焦点，长轴为4 的椭圆，正确；（2）若点A与C重合，如图（2）所示，则有，符合圆的定义，故
26、点的轨迹是以为圆心，2为半径 的圆，正确；（3）若点A在圆C上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C，故Q与C重合故点的轨迹一个点，正确；（4）若点A在圆C外，如图（4）所示，则，故点的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的一支，不正确；（5）点A不论在什么位置，点的轨迹都不可能是抛物线，故不正确故答案为：；28（浙江省宁海中学高三月考）如图，已知，为椭圆：()的两焦点，为坐标原点，分别，在的切线上的射影，则点的轨迹方程是_；若有且仅有2条使得的面积最大，则离心率的最大值是_【答案】 【分析】延长至，使得，取切点，连，作，由椭圆的光学性质得，在直角中，分别求出，从而可得到，
27、从而点的轨迹方程，有且仅有两个点使得最接近，从而得出答案【解析】如图，延长至，使得，故，三点共线为斜边上的中线，故取切点，连，作，由椭圆的光学性质得，在直角中，可得，同理可得，即点的轨迹方程是；由上分析可得，要使有且仅有2条使得的面积最大，即有且仅有两个点使得最接近，即，故，离心率的最大值是【名师点睛】关键点睛：本题考查椭圆的切线的性质和求动点的轨迹方程以及椭圆离心率问题，解答本题的关键是在直角中，分别求出，以及由表示出其面积，属于难题29（安徽黄山高三一模（理）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称
28、这个圆为阿波罗尼斯圆现有双曲线，分别为双曲线的左右焦点，A，B为双曲线虛轴的上下端点，动点P满足，面积的最大值为4点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是_；过的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点分别为的内心，则的范围是_【答案】 【分析】设，根据，求得，结合的最大面积得到，再根据，得出，设边上的切点分别为，根据内心的性质，得到轴，设直线的倾斜角为，在中，得到，进而求得的取值范围【解析】设，由题意知，可得，即，整理得，可得圆心为，半径，的最大面积为，解得，即，设，则，则，可得，同理则，则，整理得，双曲线的方程为如图所示，设
29、边上的切点分别为，则横坐标相等，则，由，即，即，即，即点的横坐标为，则，于是，可得，同样内心的横坐标也为，则轴，设直线的倾斜角为，则，在中， ，由双曲线的方程，可得，则，可得，又由直线为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为，倾斜角为，可得，即，可得的取值范围是【名师点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法
30、；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围30（浙江温州高三二模）已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则_，椭圆的离心率为_【答案】 【分析】设，得到，根据椭圆的定义，求得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，结合离心率的定义，即可求解【解析】如图所示，不妨设，由椭圆的定义可得，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可，离心率【名师点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位
31、置，求出离心率31（江苏盐城高三一模）罗默伯努利家族莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计曲线C围成的图形的面积S_2（选填“”“”或“=”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是_【答案】 【解析】由题意知且既关于原点对称又关于y轴对称，当时，同理可得曲线在四条直线内部，设曲线C上的动点为，到原点的距离为，则，令，则，则，可得，故答案为：；【名师点睛】本题考查曲线与方程的关系，解题的关键判断出曲线在四条直线内部，并将距离关系化为二次函数关系式31（江苏连云港高三开学考试）焦点为的抛物线上一点，若以为直径的圆过点，则圆心坐标为_，抛物线的方程为_【答案】
32、【分析】可根据焦半径公式算得圆心横坐标和圆的半径，由圆过算得圆心纵坐标，和坐标表达式，代入抛物线方程得到值，从而求出抛物线方程【解析】设焦点坐标，由焦半径公式得，故，圆心是的中点，故根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，半径为，故可知圆与轴相切于，故圆心纵坐标也为，故圆心为，点的纵坐标为，则将代入中得，计算得，则抛物线方程为：【名师点睛】焦半径公式如下：抛物线的焦点为F，为抛物线上的一点，则32（江苏南通高三期末）在平面直角坐标系中，设抛物线与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为，抛物线的焦点恰与双曲线的右顶点重合，轴，则_；若，则_【答案】2 2 【分析】由题可得，表示出，则可求出，联立抛物
33、线与双曲线方程求出点P横坐标即可根据抛物线焦半径公式求出【解析】由题可得，则，即，则抛物线方程为，轴，是渐近线上的点，则，联立抛物线与双曲线方程可得，解得（舍负），则，则，解得，则33（江苏启东模拟）已知椭圆与直线交于点A，B，点M为的中点，直线（O为原点）的斜率为，则_；又，则_【答案】 【分析】根据点差法结合已知两直线的斜率即可求得第一空； 联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示可得第二空答案【解析】，即，消y可得，由，【名师点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，关键点是点差法和韦达定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力34（山东青岛高三期末）如图
34、所示，在平面直角坐标系中，圆过坐标原点，圆与圆外切则（1）圆的半径等于_；（2）已知过点和抛物线焦点的直线与抛物线交于，且，则_【答案】 2 【分析】（1）利用两圆外切可得圆心距等于半径之和即可求解，（2）求出抛物线的焦点坐标，由此求出直线的斜率即可求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量坐标运算即可求解【解析】设圆的半径，圆的半径，由题意可得，由两圆外切可得： ，解得：，设，由抛物线可得焦点坐标为，则，直线：，由，可得，解得，【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键的是利用两圆外切圆心距等于半径之和，求参数的值关键是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可得、代入即可35（浙江温州高三期末）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P是双曲线与以为直径的圆在第一象限内的交点，直线与直线交于点H，且点H是线段的中点，则_，双曲线的离心率为_【答案】1 【分析】设，可得，则可得，进而求出，表示出，利用定义可求出，进而求出，即可得出离心率【解析】是圆上一点，是中点，且，直线方程为，设，即，即，解得，在直角三角形中，则，则，由双曲线定义可得，即，解得，则，【名师点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是利用直线，在直角三角形中得出，进而求出各线段长
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