1、第6讲 解析几何选择压轴题1（北京海淀区高三期末）如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（GDandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球若圆锥的母线与它的轴的夹角为， 的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是（ ）A6B8CD【答案】A【分析】在椭圆上任取一点，可证明，可得 ，设点沿圆锥表面到达的路线长为，则，当且仅当 为直线与椭圆交点时取等号，
2、即可求解【解析】在椭圆上任取一点，连接交球于点 ，交球于点，连接， ，在与中有： ，（为球的半径）， 为公共边，设点沿圆锥表面到达的路线长为，则，当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，最小值为，故选A【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明得出 ，从而，转化为 三点共线时求2（北京高三二模）点P在函数yex的图象上若满足到直线yx+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）ABC3D4【答案】C【分析】要满足到直线yx+a的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数yex的图象相交，而且点P在函数yex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为于是就涉及到切线问
3、题，需要求导数，求切点从而解决问题【解析】过函数yex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线yx+a平行，yex，于是，则x00，y01，P（0，1），于是当点P到直线yx+a的距离为时，则满足到直线yx+a的距离为的点P有且仅有3个，解得a1或a3，又当a1时，函数yex的图象与直线yx1相切，从而只有两个点到直线距离为，不满足，故a3，故选C【名师点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大3（北京延庆区高三模拟）在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ）ABCD【答案】B【分析】由直线方程得
4、直线横过定点，再将求半径最值转化为求点到直线距离的最值问题【解析】由直线方程可得该直线横过定点，又由相切可得该圆的半径等于圆心到直线的距离，最大值为，故选B【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法4（北京延庆区高三模拟）已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为（ ）ABCD【答案】B【分析】设出坐标，根据长度以及抛物线的焦半径公式求解出的值，则的横坐标可求【解析】设，故选B【名师点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物
5、线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则5（北京西城区高三一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（ ）ABCD【答案】C【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，求出，同理求出，再根据计算可得；【解析】由得，即；消去得，或（舍去），即；同理即
6、；消去得，或（舍去），即；，即两条反射光线和之间的距离为故选C6（北京海淀区高三期中）已知点，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据三个点的坐标可知，点在抛物线上，为抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果【解析】由，可知，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若是等边三角形，则，根据抛物线的定义可知，两点到准线的距离相等，直线与轴平行，其斜率为0，若直线的斜率为0，则两点到准线的距离相等，则，只能得到是等腰三角形，不能推出是等边三角形，“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的充
7、分不必要条件故选A【名师点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义以及充分不必要条件的定义求解是解题关键7（北京东城区高三一模）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的公共点，且轴，那么椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到，将其代入椭圆方程得到，根据离心率公式得到，解方程可得结果【解析】由得，不妨设在第一象限，轴，又在椭圆中，即，整理得，解得或（舍），故选A【名师点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到，将其代入椭圆方程得到，根据离心率公式可得关于的等量关系8（北京石景山
8、区高三一模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作，点，点，且其“欧拉线”与圆相切则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）ABCD6【答案】A【分析】由等腰三角形的性质可得边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为边的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得边上的垂直平分线方程，再由点到直线的距离公式结合圆的对称性得出答案【解析】在中，边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线点，点，直线的斜率为，的垂直平分线的斜率为的垂直平分线方程为，即“欧拉线”与圆相
9、切可得圆心到“欧拉线”的距离为圆心到直线的距离为由圆的对称性可知，圆上的点到直线的距离的最小值为故选A.【名师点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用距离公式得出圆心到直线的距离，再由对称性得出最小值9（北京朝阳区高三一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（ ）A8BCD6【答案】B【分析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值【解析】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设 ，由题意知，直线l方程为，则，得，得 ，由，当三点共线时取等号，又 ，的最小值为，故选B。【名师点睛】关键点点睛：作点关于的对称点，
10、将化为，利用三点共线是求得最小值的关键点10（北京门头沟区高三一模）在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为M，则点与点M的距离的最小值是（ ）ABCD17【答案】A【分析】首先求出直线过定点，依题意可得在以为直径的圆上，求出圆的方程，即可判断点在圆外，求出到圆心的距离，减去半径即为距离最小值；【解析】，解得，直线过定点；从点向直线作垂线，垂足为M，则在以为直径的圆上，的中点为，圆的方程为，即的轨迹方程为，点在圆外，故选A。11（北京大兴区一模）抛物线的焦点为对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（ ）A2B4C5D6【答案】D【分析】由抛物线的定义可得准线垂
11、直时，为等腰三角形，线段的垂直平分线交准线于点此时为等腰三角形，点与重合，即可得为等边三角形，利用即可求解【解析】准线垂直时，由抛物线的定义可得，此时为等腰三角形，作线段的垂直平分线交准线于点，则，此时为等腰三角形，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，与重合，为等边三角形，整理可得：，解得：或（舍），则点的横坐标为，故选D。【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是紧扣准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，可得准线垂直时的点应该是线段的垂直平分线与准线的交点，可得为等边三角形12（北京海淀区首都师大二附高三开学考试）曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：
12、曲线关于轴对称； 若点在曲线上，则；若点在曲线上，则其中真命题的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】D【分析】由题得曲线的轨迹方程为：，再依次讨论即可【解析】点在曲线上，则有，化简得：对于，将换为，表达式不变，故正确对于， ，故正确对于， ， ，故正确故选D【名师点睛】本题考查曲线的轨迹方程，利用方程研究曲线的性质，考查运算求解能力本题解题的关键在于根据已知条件得曲线上的点满足，再分类讨论得曲线的方程，进而求解13（北京大兴区一模）已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ）ABCD【答案】B【分析】分析可知，点在圆上，利用圆的几何性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项【解析】由题意可得，即
13、，即点在圆上，原点在圆内，如下图所示：圆的圆心为，半径为，由三角不等式可得，即，B选项合乎要求故选B【名师点睛】结论点睛：若点在圆内，为圆上一点，则14（北京朝阳区高三期末）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，三点若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据直线与曲线都关于原点对称，得到，关于点B对称，则，即为，然后将问题转化为点B到直线的距离不大于1求解【解析】直线与曲线都关于原点对称，且都过原点，为原点，关于点B对称，直线：（）上存在点满足，则点B到直线的距离不大于1，即，解得或，实数的取值范围是故选D。15（北京房山区高三期末）众所
14、周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线给出以下命题：当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点其中所有正确命题的序号是（）ABCD【答案】A【分析】根据图形的特征，注意到直线l恒过定点(2，0)，利用直线与圆相切的条件和圆的面积公式，对选项进行逐一分析即可【解析】如图所示：大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为，小圆面积为，大圆的四分之一面积为，小圆的一半面积
15、为， 对：当a=0时，直线方程为 y=0，即直线l为x轴，直线l截阴影部分的面积分为两部分，故正确对：根据题意，半圆在第一象限的方程为，若当时，直线方程为，即，与小圆圆心的距离，等于小圆半径，直线与该半圆弧相切，如图所示，直线与阴影区域只有一个公共点，故正确；对：当时，如图所示：直线与黑色阴影部分的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故错误；综上所述，正确故选A【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，关键是将形成阴影的边界分解，厘清有关圆弧的方程和计算分割成的各部分的面积，并注意直线经过定点(2，0)，斜率为a16（北京丰台区高三期末）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且若对于任意点，
16、存在，使成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】可得P是圆上任意一点，且需存在，使点P又在以为直径的圆上，故只需满足圆上点到直线的最远距离小于等于5即可求出【解析】设，则，满足，则点P在圆上，又存在，使成立，则点P又在以为直径的圆上，P是圆上任意一点，是直线上的两点，则应满足圆上点到直线的最远距离小于等于5，原点到直线的距离为，则只需满足，解得故选C【名师点睛】本题考查只需与圆的位置关系，解题的关键是得出圆上点到直线的最远距离小于等于517（北京朝阳区高三期末）已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足若，则的离心率为（ ）ABCD【答案】B【分析】首先利用
17、，求点的坐标，再利用与渐近线垂直，构造关于的齐次方程，求离心率【解析】由条件可知，由对称性可设条件中的渐近线方程是，线段的中垂线方程是，与渐近线方程联立方程，解得，即，与渐近线垂直，则，化简为，即，即，两边同时除以，得，解得：（舍）或故选B。【名师点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，一般求双曲线离心率的方法是1直接法：直接求出，然后利用公式求解；2公式法：，3构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程18（北京东城区高三期末）已知抛物线（）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，则点A
18、到y轴的距离为（ ）A5B4C3D2【答案】C【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出，再由焦半径公式表示出，得到，结合这两个关系式可求解【解析】已知焦点F到准线的距离为2，得，可得，设，与抛物线方程联立可得：，又，根据解得，点A到y轴的距离为，故选C。【名师点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线的焦点为F，为抛物线上的一点，则，解题时可灵活运用，减少计算难度19（北京人大附中高三月考）已知(0，)，直线l：与圆C：的公共点的个数是（ ）A2个B1个C0个D以上都不对【答案】D【分析】由圆的方程求得圆心坐标 与半径，再由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，分析与半径的大小关系得结论【解析
19、】圆C：的圆心坐标为 ，半径为2，圆心到直线：的距离；，则，可得，则直线与圆公共点的个数可能是2个，也可能是1个，故选D【名师点睛】方法点睛：直线与圆的位置关系可以转换为求圆心到直线的距离公式，进而判断其与半径的大小关系20（北京密云区高三期中）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、，使得，则的取值为（ ）ABCD【答案】A【分析】设，可知直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出的可能取值【解析】，则代数式表示曲线上的点与原点连线的斜率，设，可知直线与函数的图象有个交点，作出函数与直线的图象如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有或或或个交点，因此，的可能取值的集合为，故选A【名师点
20、睛】关键点点睛：本题考查图象的应用，令，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数问题是解题的关键，在解题时应充分理解一些代数式的几何意义，充分利用数形结合思想来求解21（北京市第一六一中学高三期中）以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是（ ）A内切B相交C相离D无法确定【答案】A【分析】画出图形，分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点，则，以为直径的圆的圆心是C，连接、，然后根据由三角形中位线定理可得出两圆圆心的长，进而判断出位置关系【解析】分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点，则，以为直径的圆的圆心是C，连接、，由三角形中位线定理可得：，即两圆的圆
21、心距离等于两圆的半径之差，因此，以椭圆上任意一点与焦点所连线的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是内切，故选A【名师点睛】两圆的位置关系的判定方法：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，（1）dR+r 两圆外离， （2）d=R+r 两圆外切； （3）d=R-r两圆内切，（4）dR-r两圆内含，（5） R-rdR+r 两圆相交。22（四川宜宾四中模拟）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）ABCD 【答案】D【分析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a， b的关系，即可求解【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为
22、，圆的圆心为，半径，则圆心到渐近线的距离为弦长，化简得：，即，解得， 故选D。【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力23（北京人大附中模拟）若圆P的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆P上一点作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）ABC2D4【答案】B【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，由勾股定理分析可得，当最小时，最小，由点与圆的位置关系分析的最小值，计算可得答案【解析】由题意可知，点在圆上，圆的圆心，半径过点作圆的切线，切点为，则当最小时，最小又由点在圆上，则的最小值为则的最小值为，故选B【名师点睛】本题主要考查了直线与圆位
23、置关系，涉及直线与圆相切的性质24（北京丰台区期末）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为ABCD【答案】B【分析】根据条件将的最大值转化为的最值，设，表示出，结合消去，得到关于的二次函数配成顶点坐标式即可得出答案【解析】设圆的圆心为，则，设则，当且仅当时取得最大值，故选B【名师点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如：，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系25（北京平谷区期末）已知点是圆上的动点，到直线的距离为
24、，当变化时，的最大值为（ ）ABCD【答案】D【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，由直线可得过定点，点在圆内，则点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，当时，圆心到直线的距离最大，可得答案【解析】设直线，圆的圆心为由圆可得 圆的圆心为，半径为 直线恒过定点，又点在圆内点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径当时，圆心到直线的距离最大，此时，点到直线的距离的最大值为 ，故选D。【名师点睛】关键点睛：本题考查求圆上的点到直线的距离的最大值问题，解答本题的关键是先分析出直线恒过定点，再由点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径当时，圆心到直线的距离最大26（北京101中
25、学期中）已知是不同的两点，点，且，则直线与圆的位置关系是（ ）A相离B相切C相交D以上三种情况都有可能【答案】C【分析】根据题意，可知直线与垂直，且点O到直线AB的距离为，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系【解析】，点C在圆上，根据圆的对称性，可知C点取圆上的任意点都可以，不妨设，在上的投影均为，如图所示：有直线与垂直，且到直线的距离为，直线与圆的位置关系是相交，故选C【名师点睛】思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意：（1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系；（2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果27（
26、北京市平谷区第五中学期中）已知焦点在x轴上的椭圆的方程为，随着a的增大该椭圆的形状A越扁B越接近于圆C先接近于圆后越扁D先越扁后接近于圆【答案】B【分析】首先根据椭圆成立的条件求出的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆的离心率的变化规律，最后确定结果【解析】依题意有解得，椭圆的离心率，令，容易判断在上单调递减，则，于是，当a越来越大时，e越来越趋近于0，椭圆越来越接近于圆，故选B。【名师点睛】本题考查的知识要点：椭圆成立的条件，椭圆中、的关系及函数的性质的应用28（北京市平谷区第五中学期中）设某曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，经过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，
27、则（ ）A6B8C9D10【答案】D【分析】利用抛物线的定义得到抛物线的方程，结合梯形中位线和抛物线的性质，计算即可【解析】由曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为，过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，分别过点A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，连接、，由梯形的中位线知，故选D【名师点睛】本题考查了抛物线定义的应用29（天一大联考）在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【分析】由题意可知，点在所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为、，长轴长为，然后以线段的中点为坐标原点，直线所在直线为轴，
28、以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得的最大值【解析】如图所示，在平面内，点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，椭圆方程为点在底面的投影设为点，则点为的中心，故点正好为椭圆短轴的一个端点，则，故只需计算的最大值设，则，则，当时，取最大值，即，因此可得，故的最大值为，故选B【名师点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用30（湖南岳阳市高三一
29、模）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A2BCD【答案】B【分析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当最小时，则值最大，当直线PA与抛物线相切时，最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，整理可得，可得，将代入，可得，即P的横坐标为1，即P的坐标，的最大值为：，故选B【名师点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利
30、用了抛物线的定义一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化31（河南金太阳3月联考）已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（ ）ABCD【答案】D【分析】设，求得，得到联立方程组，求得，求得点到直线的距离，进而求得，得到，利用基本不等式，即可求得面积的最大值【解析】由题意，不妨设在第一象限，则双曲线在点处的切线方程为，即又，联立可得，点到直线的距离，令，则，可得，当且仅当，即时，面积取得最大值，故选D【名师点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围
浙公网安备33030202001339号