1、第11讲 立体几何填空压轴题1（山东济宁一模）在长方体中，分别是棱，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是_【答案】【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点所在线段，可知当时，三角形面积最小，然后证明，得到 为三棱锥的外接球的直径，进一步求解得答案【解析】补全截面为截面 如图，设，直线与平面不存在公共点，平面，易知平面平面，且当与重合时，最短，此时的面积最小，由等面积法得，即，平面，则，又，为三棱锥的外接球的直径，长度为三棱锥的外接球的半径为，体积为【名师点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求
2、解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解，考查学生的空间想象能力与思维能力，是中档题2（浙江丽水月考）如图，在中，点D在线段上运动，沿将折到，使二面角的度数为，若点在平面内的射影为O，则的最小值为_【答案】【分析】本题需要作出空间图形，运用解三角形的知识求解【解析】如图，过点作于点，过点作于点，下面证明点即为在平面内的射影，即为二面角 的平面角，又 ，点即为在平面内
3、的射影，即为二面角 的平面角，设，则，又，即，在中由余弦定理得，在中由余弦定理求得，再由正弦定理解得 ，记，则 为减函数，当时，取得最小值，又， ，【名师点睛】本题属于一道综合性难题，需要极强的空间想象能力和运算能力能否准确作出空间图形是解决本题的关键，最后要得出正确答案，需要对解三角形，以及三角恒等变换知识非常熟练，计算能力要过硬，本题属于压轴题3（江西八校4月联考）在三棱锥中，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为_【答案】【分析】根据题意可求出点到面的距离为2，而三角形为直角三角形，由此可知球心在面内的射影为的中点，设球心到面的距离为h，根据勾股定理，即可求出h，算出外接球半径，
4、得到外接球的表面积【解析】平面平面，平面平面，平面，平面，取中点，连接，平面，D为的中点，又， 三棱锥外接球的球心在面内的射影为的中点，三棱锥外接球的球心在面的下方，如图，过O作于F，四边形OEDF为矩形设球心O到面ABC的距离为h，即，三棱锥外接球的半径为R，故，解得 ，球的表面积为【名师点睛】本题主要考查三棱锥的几何特征以及其外接球的表面积求法、涉及面面垂直的性质定理应用，解题的关键是找到球心，利用直角三角形勾股定理，列出方程，求出外接球的半径，从而求得表面积，意在考查学生直观想象能力和计算能力，属于较难题4（四川名校联考）已知在三棱锥中， ，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】【
5、分析】根据已知条件确定的外接圆圆心，及三棱锥的外接球球心O、AC边中点H的位置关系-四边形为矩形，进而应用正弦定理、侧面外接圆半径与外接球半径、点面距之间的关系，求外接球半径，即可求球的表面积【解析】如图分别为的外心由，即为中点，取的中点则，又面面，面面，面，即面设球心为，则平面，又，面，面面，面面，平面，又平面，即四边形为矩形 由正弦定理知：，即，若外接球半径为R，则，【名师点睛】关键点点睛：利用面面垂直、等腰直角三角形的性质，应用三棱锥侧面外接圆半径、外接球半径、点面距之间的几何关系，结合正弦定理求外接球半径，进而求表面积5（中学生标准学术能力3月测试）在棱长为的正四面体中，点分别为直线上
6、的动点，点为中点，为正四面体中心（满足），若，则长度为_【答案】【分析】将正四面体放在棱长为4的正方体中， 设分别是的中点， 连接，设的中点为，连接，结合勾股定理和中位线定理可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而证明是直角三角形，结合勾股定理即可求出【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则，为正方体的中心，设分别是的中点，则是的中点，连接，设的中点为，连接，是的中位线，同理，即，则，平面，在中，【名师点睛】关键点睛：本题考查了线面垂直的判定定理和线面垂直的性质，关键是将几何体放入正方体中便于分析垂直关系6（江苏省天一中学高三二模）九章算术是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几
7、里得的几何原本并称现代数学的两大源泉九章算术卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，（长度单位：丈）则楔体的体积为_（体积单位：立方丈） 【答案】【分析】将几何体补成直三棱柱，计算出三棱柱、三棱锥、三棱锥的体积，进而可求得楔体的体积【解析】延长至点，使得，延长至点，使得，分别取、的中点、，连接、，如下图所示：四边形为矩形，则且，又、分别为、的中点，则且，四边形为平行四边形，且，为矩形的中心，则为的中点，、分别为、的中点，则且，四边形为平行四边形，、互相平分，为
8、的中点，则为的中点，则，又且，且，四边形为平行四边形，且，为的中点，且，则为的中点，为的中点，且，四边形为平行四边形，点在底面上的投影为矩形的中心点，则平面，平面，平面，四边形为矩形，则，平面，且，几何体为直三棱柱，平面，平面，四边形为平行四边形，则，同理可得，因此，楔体的体积为【名师点睛】方法点睛：求解多面体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解7（江西重点中学协作联考（理）在四棱锥中，平面AB
9、CD，底面ABCD是直角梯形，若动点Q在平面PAD内运动，使得与相等，则三棱锥的体积最大时的外接球的体积为_【答案】【分析】根据题意推出，再根据推出，在平面内，建立直角坐标系求出点轨迹是圆，从而可求出点到的距离最大为，即三棱锥的高的最大值为，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果【解析】平面，平面平面，平面，平面，在内及边上，、在平面内，在内，在内，在平面内，以的中点为原点O，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系：则，设，则，由得，化简得，动点Q在平面PAD内运动，点轨迹是圆，如图所示，当在过圆心的垂线时点到的距离最大为半径，也就是三棱锥的高的最大值为，下面的计算不
10、妨设点在x轴上方，外接圆圆心在中垂线上，即y轴上，设外接圆圆心N，半径r，则，而，故，故，则如图三棱锥，平面，的外接圆圆心在斜边中点M上，过M，N作平面和平面的垂线，交于点I，即是三棱锥外接球球心，三棱锥外接球半径， 三棱锥的外接球的体积为【名师点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也
11、是半径，列关系求解即可8（江西宜春期末（理）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120， ，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【分析】将沿折起后，取中点为，连接，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长，分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积【解析】将沿折起后，取中点为，连接，则，即为二面角的平面角，；设，则，在中，即 ，解得，即，与是边长为的等边三角形分别记三角形与的重心为、，则，；即；与都是边长为的等边三角形，点是的外心，点是的外心；记该几何体的外接球球心为，连接，根据球的性质，可得平面
12、，平面，与都是直角三角形，且为公共边，与全等，因此，；，且平面，平面，平面；又平面，连接，则外接球半径为，外接球表面积为【名师点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径9（浙江绍兴期末）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，与底面成角，是平面内任意一点，则的最小值是_【答案】【分析】作，再由，易得，从而平面ABE，由面面垂直的判定定理得
13、到平面ABE平面BCD，得到与底面成的角为，然后在中，设 ，BA与BP的夹角为，利用余弦定理得，根据直线与平面所成的角是平面内直线与该直线所成的角中最小的角，得到，再利用二次函数性质求解【解析】如图所示：作，垂足为E，连接BE，平面ACD，则，又，平面ABE，又平面BCD，平面ABE平面BCD，点A的射影在直线BE上，与底面成的角为，在中，设 ，BA与BP的夹角为，由余弦定理得，两边同除以得 ，直线与平面所成的角是平面内直线与该直线所成的角中最小的角， ，当点在BE上取等号，又 ，当时，即点P在E处，取得最小值，的最小值是【名师点睛】关键点点睛：本题关键是在中，根据直线与平面所成的角是平面内直
14、线与该直线所成的角中最小的角，得到 ，将余弦定理，转化为，由点在BE上求解10（江苏南通期末）我国古代数学名著九章算数中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，且，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【分析】如图，连接，取的中点为，连接，可证，设，则，利用基本不等式可求何时取最小值，又可证为三棱锥的外接球的球心，从而可求此时外接球的表面积【解析】如图，连接，取的中点为，连接三棱柱为直棱柱，故平面，而平面，故，又，故平面，平面，故，故平面，平面，故设，在直角三角形中，同理，整理得
15、到又，当且仅当时等号成立，也就是时，的面积取最小值平面，平面，故，故，而为直角三角形，故，故为三棱锥的外接球的球心，故外接球的直径为，外接球的表面积为【名师点睛】方法点睛：空间中线线垂直、线面垂直可以相互转化，而三棱锥外接球的表面积体积的计算关键是球心位置的确定，可用球心到各顶点的距离相等来判断，必要时可补体，通过规则几何体的外接球来确定球心的位置11（浙江杭州期末）在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，点在平面内，作平面，垂足为当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_【答案】【分析】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正 投影图形全等，故可
16、求得投影的面积，即为所求解【解析】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，又为正三棱锥，故正投影如图，即再平面的正投影为，且，点的轨迹所组成的图形的面积为12（江苏南京市南京一中高三月考）我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为_【答案】【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可【解析】假设为刍童外接球的球心，连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可
17、知、在同一条直线上，由题意可知，平面，平面，设，在中，在矩形中，在中，在矩形中，设外接球半径，解得，则，即，则该刍童的外接球半径为，该刍童外接球的表面积为：，13（江苏徐州期末）已知三棱锥外接球的表面积为，平面，则三棱锥体积的最大值为_【答案】【分析】设三边的长分别为，由三棱锥体积公式有，由外接球表面积知外接球半径，应用正弦定理以及含有棱面垂直关系的三棱锥：外接圆半径R、对应面外接圆半径r、棱长三者的关系有，即可求，再结合余弦定理求最值，进而求体积的最大值【解析】设三边的长分别为，则三棱锥体积，设外接球的半径为，由得，设外接圆的半径为，由正弦定理得，即，又平面知，即，故，当且仅当时取等号【名师
18、点睛】关键点点睛：由正弦定理、三角形面积公式得到三棱锥体积表达式，应用外接球半径R、有棱面垂直关系的三棱锥中棱长m、面的外接圆半径r的关系，并结合余弦定理求三棱锥体积的最值14（黑龙江齐齐哈尔市实验中学高三期末（理）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：与平面垂直的直线必与直线垂直；线段的长为；异面直线与所成角的正切值为；当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是其中正确结论的序号是_（请写出所有正确结论的序号）【答案】【分析】平面，则可判断；通过线段相等，可求出线段的长；异面直线与所成角为，求出其正切值即可；找出球心，求出半径即可判断其
19、真假从而得到正确结论的序号【解析】如图，取的中点为，的中点为，连接，则四边形为平行四边形，直线平面，正确；，正确；，异面直线与的所成角为，错误；当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，可计算出，同理，三棱锥外接球的球心为，半径为1，外接球的表面积是，正确故答案为：【名师点睛】本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于较难题目15（浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，则球的半径为_；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_【答案】 【分析】过底面外接圆的圆心作垂直于底面的
20、直线，则球心在该直线上，可得，然后即可求出球的半径，若是的中点，重合，过点作球的截面，则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，然后算出答案即可【解析】如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，底面外接圆的半径，过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，连接，设外接球的半径为，解得若是的中点，重合，过点作球的截面，则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，截面面积为【名师点睛】几何体的外接球球心一定在过底面多边形的外心作垂直于底面的直线上16（安徽六安市六安一中高三月考（理）在三棱锥中，两两垂直且，点为的外接球上任意一
21、点，则的最大值为_【答案】【分析】先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题，即可求得结果【解析】两两垂直且，故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示：容易知外接球半径为设线段的中点为，故可得，故当取得最大值时，取得最大值而当在同一个大圆上，且，点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示，此时，故答案为：【名师点睛】本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题17（山西阳泉期末（理）如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱
22、都在平面的同侧，如顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离为_；【答案】【分析】连接BC，CD，BD，则四面体为直角四面体，即已知直角四面体的三个顶点A，B，C到平面的距离分别为0，1，求D点到平面的距离，结合几何性质，即可进行求解【解析】如图，连接BC，CD，BD，则四面体为直角四面体，做平面的法线AH，再做平面于，平面于，平面 于，连接，设AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，由等体积可得，令，可得，设，即点D到平面的距离为【名师点睛】本题中正方体的位置特殊，难以下手，突破点在于正方体的8个顶点中，有关系的只有4个，这4个点组成直角四面体，再进行求解本题考查锥体体积的求法，考查分析、推
23、理、化简、计算、空间想象的能力，属中档题18（浙江宁波模拟）已知圆锥的顶点为，为底面中心，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，为的中点设直线与平面所成角为，则的最大值为_【答案】【分析】由题意建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论和均值不等式确定的最大值即可【解析】以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则：，如图所示，由对称性不妨设且，则，易知平面SAB的一个法向量为，据此有： ，当且仅当时等号成立，综上可得：的最大值为【名师点睛】本题主要考查空间向量及其应用，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力19（江苏省天一中学高三二模）在棱长为1
24、的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为_【答案】【解析】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，则，同理，故弧的长为，而这样的弧共有三条在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，弧的长为，这样的弧也有三条，于是，所得的曲线长为，故答案为20（江西3校3月联考（理）如图所示，三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， 是线段的中点， ，且，若， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】三棱锥中，是
25、边长为3的等边三角形，设的外心为，外接圆的半径，在中，满足，为直角三角形，的外接圆的圆心为，由于，为二面角的平面角，分别过两个三角形的外心作两个半平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接球的球心，在中，则，连接，设，则，【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方
26、法21（陕西下学期质检）如图，在三棱锥中，若该三棱锥的侧面积是底面积的倍，则该三被锥外接球的表面积为_【答案】【分析】取边的中点，外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为，求出斜高，从而得侧面积和底面积，由已知求得，确定在延长线上，利用勾股定理求得外接球半径可得球表面积【解析】如图，取边的中点，外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为如图所示，且点为的中点，由此可知该三棱锥的侧面积，底面的面积为，解得（舍负）设三棱锥外接球半径为，点在底面上的射影为点，故三棱锥外接球球心在直线的延长线上，为外接圆的半径，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，解得，外接球的表面积【名师点睛】结论点睛：本题考查正三棱锥的
27、外接球问题，解题关键是确定于球心位置，求得球半径三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上这是我们寻找外接球球心的根据22（黑龙江哈尔滨三中高三二模（理）已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，且，则球的表面积为_【答案】【分析】由已知先确定外接球的球心位置，然后结合球的性质求出外接球的半径，再由球的表面积公式即可求解【解析】取中点，连接，的外心为的中点，为等边三角形，故，和所在的平面互相垂直，平面，则球心在上，中，则，故，【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截
28、面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径23（湖南衡阳一模）设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为_【答案】或【分析】计算出三棱锥的外接球的半径，利用勾股定理可求得圆锥的高，进而可求得该圆锥的体积【解析】设圆锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为，则，解得由勾股定理得，即，可得，即，解得或当时，圆锥的体积为；当时，圆锥的体积为【名师点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，
29、或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可24（山东烟台一模）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为_【答案】【分析】根据正三棱锥的性质结合图形，利用比例关系求出内切圆的半径，再求出侧面切点所在圆的半径，即可求出【解析】如图，设正三棱锥内切球的半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为，为等边三角形
30、， ， 即，解得，由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故， 由余弦定理可得，【名师点睛】关键点点睛：根据正棱锥性质、正三角形的性质，利用相似三角形，求出内切球的半径，是解决问题的关键，属于中档题25（广东汕头一模）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，是以为斜边的直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】【分析】设三棱锥的外接球为球，过点作平面，垂足为点，则为的中点，设，球的半径为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可求得球的表面积【解析】设三棱锥的外接球为球，过点作平面，垂足为点，则为的中点，设，为的外接圆半径，平面
31、，平面，由勾股定理得，设外接球的半径为，则，是等边三角形，且为的中点，由球的几何性质可得平面，平面，为二面角的余角，又二面角的大小为，在中，由余弦定理得，为等边的高，则，由得，因此，球的表面积为【名师点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元
32、素，建立关于球的半径的方程，并求解26（河南平顶山二模（理）已知四棱锥的顶点均在球的球面上，底面是矩形，二面角大小为120，当面积最大时，球的表面积为_【答案】【分析】设矩形的中心为，的外接圆圆心为，中点为，根据题意得当面积最大时，为等边三角形，并根据几何关系得：，此外，再证明是二面角的平面角，故问题转化为在四边形中求解的长度，最后根据求解即可【解析】如图1，设矩形的中心为，的外接圆圆心为，连接，取中点，连接，由球的截面性质可知，平面，平面在圆中，当优弧上运动，且在中垂线与圆的交点处时面积最大，如图2，此时，故必过圆的圆心， 即当面积最大时，为等边三角形，在矩形中，为中点，为中点，是二面角的平
33、面角，即，由平面，平面，在四边形中，如图3，在直角三角形中，球的表面积为 【名师点睛】本题考查空间几何体的外接球的问题，考查运算求解能力，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题解题的关键在于根据已知条件得当面积最大时，为等边三角形，进而寻求二面角的平面角，将问题放到四边形中求解的长度27（内蒙古呼和浩特一模）古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线某同学用过母线的中点且与底面圆的直径垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线已知圆锥的高，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为_【答案】【分析】根据题意，建立如图的直角坐标系，不妨设双曲线的方程为：
34、，进而根据几何关系得，待定系数得，进一步设两条渐近线的夹角为，根据三角函数关系求解即可得答案【解析】根据题意，设双曲线与圆锥底面圆的交点为，连接交于，连接，并延长，使得，进而在平面中，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设双曲线的方程为：，由于底面，底面圆的半径为4，为的中点，在双曲线中，解得，双曲线的渐近线方程为，设双曲线的两条渐近线的夹角为，则，【名师点睛】本题考查双曲线的方程，渐近线，三角函数变换，考查综合分析应用能力，是中档题本题解题的关键在于根据题意建立如图的直角坐标系，进而将空间问题转化为平面问题，根据待定系数法求得方程28（湖北八市3月联考）在棱长为1的正方体
35、中，是棱的中点，是侧面 内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最小时，记过点的平面截正方体所得到的截面为，所有的面积组成的集合记为，则_【答案】【分析】取为 中点，为中点，进而证明平面平面，故在上，再根据直线与平面所成角的正弦值为得与 重合时，直线与平面所成角最小，再分别讨论的两种位置情况即可得答案【解析】取为 中点，为中点，如图，由正方体的性质得，四边形是平行四边形，平面，平面，平面；由中位线性质得：，又，平面，平面，平面，又，平面平面，在上，又直线与平面所成角为，当最大时，直线与平面所成角最小，即与 重合时，直线与平面所成角最小，当与 重合时，过点的平面截正方体所得到的截面为四边形，
36、其面积为；当与重合时，过点的平面截正方体所得到的截面为梯形，该梯形为等腰梯形，上底为，下底为，腰为，其面积为；故【名师点睛】本题考查线面所成角，面面平行的判定，正方体中的截面问题，考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题本题解题的关键在于根据题意寻找在平面内的轨迹，进而根据线面角的概念求解29（江西九校3月联考（理）已知三棱锥，则以点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_【答案】【分析】作的中点，连接，作的中点，连接，结合已知条件求出，判断出交线形状，求出交线的半径，从而求出周长即可得正确答案【解析】作的中点，连接，作的中点，连接，又，则，设到边的距离为，则，解得，以点为球心，为半径作球与面相
37、交构成一个圆，圆心为，设半径为 设球的半径为，圆的周长为 【名师点睛】关键点睛：本题的关键是判断出球面和侧面交线的形状，结合勾股定理求出半径30（河南平顶山二模）已知四棱锥的顶点均在球的球面上，底面是正方形，当时，球的表面积为_【答案】【分析】根据三角形外心的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理和性质，结合正弦定理、勾股定理、球的表面积公式进行求解即可【解析】设正方形的中心为，的外心为，的中点为，连同球心组成四边形，连接，如图所示，是正方形，又，平面，平面，而平面，因此平面平面，而平面平面，显然，平面，而平面，因此，同理，显然，因此四边形是矩形，由正弦定理可知：，的中点为，在直角三角形
38、中，在正方形中，显然，在矩形中，在直角三角形中，球的半径为，因此球的表面积为31（东北三省四市模拟）已知长方体中，是的中点，且异面直线与所成的角是则在此长方体的表面上，从到的路径中，最短路径的长度为_【答案】【分析】取中点，连接，可得即为与所成的角，由余弦定理可求出，再求出三种情况下的展开图求最短路径，比较大小可得【解析】如图，取中点，连接，则可得且，则四边形为平行四边形，则即为与所成的角，即，设，则，则，解得，（1）若展开图如图，此时从到的路径中，最短路径的长度为（2）若展开图如下图，此时从到的路径中，最短路径的长度为（3）若展开图如下图，此时从到的路径中，最短路径的长度为，综上，从到的路径
39、中，最短路径的长度为【名师点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角32（江苏常州期末）矩形中，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为_；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为_【答案】； 【分析】根据题意，由矩形可求出，从而确
40、定点是四面体外接球的球心，得出外接球的半径，由球的体积公式即可求出该四面体外接球的体积；利用几何法作、且，确定二面角的平面角为，则，根据空间向量的线性运算和向量的数量积公式，得出，结合，即可求出的范围【解析】已知矩形中，在矩形中，连接和交于点，可知点是四面体外接球的球心，则外接球的半径，该四面体外接球的体积；在四面体中，作交于点，交于点，再作交于点，则，二面角的平面角为，则，在矩形中，可知，是等边三角形，由四面体可知，则，而即，当在内变化时，则，即的范围为【名师点睛】关键点点睛：本题考查四面体外接球的体积和空间二面角的求法，利用空间向量的线性运算求出是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力
41、33（江西八校联考（理）已知是球O的内接三棱锥，二面角为，则球O的半径为_【答案】【分析】取的中点E，设的外心和的外心，求出，连，则，求出，再根据勾股定理可求出，即为球的半径【解析】取的中点E，设的外心和的外心，也为的重心，为的中点，且，为二面角的平面角，连，则平面，平面，又为的中点，球O的半径34（江西上饶一模）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为_【答案】【分析】取的中点，连接、，计算得出，可得出点为三棱锥的外接球球心，设球的半径为，推导出平面，可得出三棱锥的体积为，再由余弦定理得出，结合可求得的值，进而利用球体的体积公式可求得结果【解析】取的中点，连接、，如下图所示：，
42、且，则，、均为等腰直角三角形，且，为三棱锥的外接球直径，设，可得，设，为的中点，则，同理可得，平面，在中，由余弦定理可得，即，可得，由，可得，化简可得，即，解得，因此，三棱锥外接球的体积为【名师点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可35（江西赣州期末（理）在边长为1的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，半径分别为，则的最小值为_【答案】【分析】找出，的关系，用基本不等式求解即可【解析】由已知得，故最小值为【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径
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