1、 浙江省宁波市浙江省宁波市 2022 年中考冲刺年中考冲刺数学数学试卷试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1. 实数8，3，5，0中最小的数是( ) A. 0 B. 8 C. 5 D. 3 2. 2019年“五一”假期期间， 我市共接待国内、 外游客6.632万人次， 实现旅游综合收入502亿元， 则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是( ) A. 5.02 102 B. 5.02 106 C. 5.02 108 D. 5.02 1010 3. 下列运算正确的是( ) A. 72 52= 2 B. 6 + 2 = 8 C. ()2 4= 6 D. 6 2= 3 4. 使
2、分式3;3有意义的的取值范围是( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. = 3 5. 已知样本数据3，4，6，5，7，下列说法错误的是( ) A. 平均数是5 B. 方差是2 C. 中位数是6 D. 标准差是2 6. 如图，两个等直径圆柱构成如图所示的型管道，则其俯视图正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如图， 在矩形中， 对角线， 相交于点， 点、 分别是、 的中点，若 = 8，则 = ( ) A. B. 4C. 2D. 1 8. 某校为住校生分配宿舍，若每间7人，则余下3人；若每间8人，则有5个空床位设该校有住宿生人，宿舍间，则可列出的方程组是( ) A. 7 = + 38 +
3、 5 = B. 7 + 3 = 8 5 = C. 7 = 38 = + 5 D. 7 = + 38 = + 5 9. 已知抛物线 = 2+ + ， 0， 1.当 = 时， = 0；当0 0，则( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 10. 如图，在边长为3的正方形中，点是边上的一点，连结，将 绕着点顺时针旋转一定的角度，使得点落在线段上，记为点，此时点恰好落在边上记为点，则的长为( ) A. 335 B. 32 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共 6 小题，共 30 分） 第 2 页，共 21 页 11. 81的平方根_；16的算术平方根是_；27的立方根是_ 12. 在多项式：
4、2+ 2 2 2+ 2 2 2+ + 2 1 + +24中，能用完全平方公式分解因式的是_(填序号即可) 13. 一个袋子中装有4只白球，3个黄球和2只红球，这些球除颜色外其余均相同，搅匀后，从袋子中随机摸出一个球是红球的概率_ 14. 如图，、均为等边三角形，、三点在同一直线上，点在上，且 .以下结论： ； ； ； ， 正确的有(填序号) 15. 若反比例函数 =( 0)与正比例函数 = 7无交点，则的取值范围是_ 16. 图， 四边为矩形， 过点对角线的垂， 交的延长线于点的点连接， 4.设 = ， ， 则 + (42的值为_ 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分） 17. 已知关于
5、，的方程组 的解都不大于1， 四、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分） 18. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线(写出已知、求作、作法， 并画图，不证明) 19. 太原地铁是我省重要的一项民生基础实施建设工程，地铁开通后将大大方便市民的出行，带动太原都市区各地区的经济、文化、旅游等发展如图所示是某地铁站入口侧面示意图，是供乘客乘用的扶手式电梯，折线是步行便道，其中，是台阶式步行便道，便道与水平线平行数学实践活动小组的同学从施工方了解到， 地下通道距地面的垂直深度()为20米， 电梯的坡度= 1： 2，台阶式人行便道和的坡度= = 1：1.5， = 4米根据以上数据，请你分别计
6、算扶手式电梯()和步行便道(折线)的长度 参考数据：5 2.24，13 3.61 注：斜坡的坡度等于铅直高度与水平宽度的比 20. 已知抛物线过(1,0)，(0,3)两点，且对称轴为直线： = 2，求此抛物线的解析式 第 4 页，共 21 页 21. 为了了解七年级同学对三种元旦活动方案的意见，校学生会对七年级全体同学进行了一次调查(每人至多赞成一种方案).结果有115人赞成方案1，62人赞成方案2，40人赞成方案3，8人弃权，请用扇形图描述这些数据，并对校学生会采用哪种方案组织元旦活动提出建议 22. 为丰富学校文化社会，切实提高同学们的身心素质，在春意盎然的三月，田阳县某中学第八届春季运动
7、会即将拉开序幕，大会决定购买、两种奖品，若购买种奖品2件和种奖品3件，共需65元，若购买种奖品3件和种奖品4件，共需90元 (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校决定购买、两种奖品共120件，购买费用不超过1425元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的2倍设购买种奖品件，购买总费用为元，求与的函数关系式；当购买种奖品多少件时，购买总费用最少？并求出这个最少费用 23. 如图，在矩形中， = 4，点是上的一个动点，连接，作点关于的对称点，连接，过点作 交于点，设= (1)求证： = ； (2)当点落在边上，求的值； (3)当点落在矩形的内部且以点，为顶点的三角形是直角三角形时，求的值 2
8、4. 【问题提出】 、是某区的三条道路，其中 = 6， = 60， = 45，该区想在道路边建物资总站点， 在、 道路边分别建物资分站点、 ， 即在线段、 、 上分别选取点、 、 .由于该区工作人员每天要将物资在各物资站点间按 的路径进行运输，因此，该区工作人员开始研究线段、之和的最短问题 【方案设计】 如图， 过点作 ， 垂足为， 分别作关于、 对称线段1， 2.连接12， 12与、 交于、，此时、距离之和最短.试求 + + 的最小值 【拓展延伸】 该区的三条道路改为如图所示的、弧的方式，其中 = 6， = 3， = 60，弧为60.分别在弧、 和上选取点、 、 .使得线段、 、 之和最短，
9、 画出图形确定、 、 的位置，并求 + + 的最小值 第 6 页，共 21 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】 解：实数8，3，5，0中最小的数是8， 故选： 根据有理数的大小比较法则比较即可 本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，能熟记法则内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小 2.【答案】 【解析】 解：502亿= 50200000000 = 5.02 1010 故选： 科学记数法的表示形式为 10的形式， 其中1 | 10， 为整数 确定的值时， 要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移
10、动的位数相同当原数绝对值 10时，是正数；当原数的绝对值 1时，是负数 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1 | ) 4.【答案】 【解析】 解：分式3;3有意义， 3 0 解得： 3 故选： 分式有意义的条件是分母不等于零，从而得到 3 0 本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义时，分式的分母不为零是解题的关键 5.【答案】 【解析】 解：这组数据的平均数3:4:6:5:75= 5，中位数为5， 方差2=15 (3 5)2+ (4 5)2+ (5 5)2+ (6 5)2+ (7 5)2 = 2， 标准差 = 2 故选： 根据算术平均数、中位数、方差
11、和标准差的定义求解即可 本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数、中位数、方差和标准差的定义 6.【答案】 【解析】 解：两个等直径圆柱构成如图所示的型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且圆位于矩形的中心位置， 故选： 第 8 页，共 21 页 俯视图是从物体的上面看，所得到的图形 本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力 7.【答案】 【解析】 先求出矩形的对角线，根据中位线定理可得出，继而可得出 的周长四边形为矩形， = = 8， 又矩形对角线的交点等分对角线， = 4， 又在 中，为 的中位线， = 2. 故选 C。 8.【答案】 【解析】 解：依题意，得：7 = 38
12、 = + 5 故选： 根据“若每间7人，则余下3人；若每间8人，则有5个空床位”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 9.【答案】 【解析】 解：当 = 时， = 0，即2+ + = 0， 即：( + + 1) = 0， = 0(不符合题意)或 + + 1 = 0， 则 = 1 ， 当0 0， 对称轴直线 = 2在 = 的右侧或就是 = 时，即2 ， 把 = 1 代入， 得;1;2 ， 1 + 2， 1 ， 1 故选： 由 0，可得抛物线开口向上；当 = 时， = 0即2+ + = 0，因为 1，
13、所以 + + 1 = 0， = 1 ，再由当0 0，得到2 ，把 = 1 代入即可得 1 本题主要考查了图象的性质本题的关键是得到 = 1 和2 10.【答案】 【解析】 解：根据旋转的性质可知： ， = ， = ， 四边形是正方形， = = ， = = = 90， + = + = 90, 故 = 90, ， = = = 30， 在 中， = 30 = 3 33= 1， 故选： 利用旋转的性质以及全等三角形的性质证明 = = = 30即可解决问题 本题考查性质的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 11.【答案
14、】 3 4 3 【解析】 第 10 页，共 21 页 解：81的平方根是3； 16的算术平方根是4； 27的立方根是3 故答案为：3，4，3 利用立方根、平方根和算术平方根的定义进行解答即可 本题考查了立方根、平方根及算术平方根的知识，属于基础题，比较简单 12.【答案】 【解析】 解：2+ 2 2，无法运用公式法分解因式； 2+ 2 2= ( )2，符合题意； 2+ + 2，无法运用公式法分解因式； 1 + +24= (2+ 1)2，符合题意 故答案为： 直接利用完全平方公式分别分解因式得出答案 此题主要考查了运用公式法分解因式，正确运用公式是解题关键 13.【答案】 29 【解析】 解：球
15、的总数为4 + 3 + 2 = 9， 摸到红球的概率为29， 故答案为：29 根据红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率进行解答 考查概率公式的应用；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14.【答案】 【解析】 本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形，相似三角形的性质，可根据等边三角形的性质证得 ，从而证得正确，由 = 进而可得正确；由中的结论及 = ， = ，可得： = ：，这显然是不成立，故错误；由 可证得正确 解： 过作/， 因为 、 均为等边三角形， 所以 是等边三角形，四边形是等腰梯形， 所以 = ， = 60， 所以 = 120， 又 = + = 120， 所以 +
16、 = + = 60， 所以 = ， 所以 ， 所以 = ，故正确； 所以 = ， 所以 = = = ，故正确； 若，因为 = ， = ， 所以有： = ：， 这显然是不成立，故错误； 又因为 = = = 60， = ， 所以 ， 所以： = ：， 第 12 页，共 21 页 所以，故正确 故答案为 15.【答案】 0 【解析】 解：正比例函数 = 7的图象过第一、三象限， 反比例函数 =( 0)与正比例函数 = 7无交点， 反比例函数 =( 0)的图象过第二、四象限， 0 故答案为 4， 点落在矩形内部，点在上， 第 18 页，共 21 页 ， 0， = ， = ， = 16， 如图4，当 =
17、 90时，则 + = 90， + = 90， = = ， = = 90， ， =， = ， = = 2 = ( 2)， (4)2= ( 2) ， = 8 + 42或 = 8 42(由于 4，所以舍)， 当 = 16或 = 8 + 42时，以点，为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 (1)直接利用等角的余角相等得出 = ，即可得出 = ，代换即可； (2)由轴对称的性质得出 = = = ，则可得出答案； (3)先判断出只有 = 90或 = 90，分两种情况建立方程求解即可 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关
18、键 24.【答案】 解：【方案设计】如图中， ， = 90， = = 45， = ， 2+ 2= 2= 36， = = 32()， 由对称的性质可知，1= = 2= 32，1= ，2= ， = 60， 12= 2 + 2 = 120， 过点作 12于， 1= 2= 32， 1= 2= 30，1 = 2， =121=322()， 第 20 页，共 21 页 1 = 1 30 =362()， 12= 21 = 36()， + + 的最小值为36 【拓展延伸】设连接，分别以、所在直线为对称轴，作出关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、， = = ， = ， = ， = + =
19、+ = 60， = 120 、在以为圆心，为半径的圆上， 设 = ，则 = 3()， = ， = ， + + = + + = = 3()， 当最小时， + + 可取得最小值， + ， ，即点在上时，可取得最小值， 设的中点为， = = 3()， = 60， = = = = 3()， = = 30， = 90， 由勾股定理可知： = 33()， = 60， = = 33， 是等边三角形， = 60， = 90， 由勾股定理可知： = 37()， = = 33， = = = (37 33)()， = 3(37 33) = (321 9)() 【解析】 【方案设计】过点作 12于，解直角三角形求出，证明1= 2= ，12= 120，解直角三角形求出12即可 【拓展延伸】设连接，分别以、所在直线为对称轴，作出关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、，求出的最小值，证明 = 3，即可解决问题 本题是圆的综合题，涉及到等边三角形、解直角三角形的有关知识，重点是作图，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来
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