1、20222022 年高考数学复习专题（三）年高考数学复习专题（三）第第 1 1 讲讲 等差数列与等比数列等差数列与等比数列 【要点提炼】 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(nN N*) (1)等差数列的通项公式：ana1(n1)d； (2)等比数列的通项公式：ana1qn1. (3)等差数列的求和公式：Snna1an2na1nn12d； (4)等比数列的求和公式：Sn a11qn1qa1anq1q，q1，na1，q1. 【热点突破】 【典例】1 (1)周髀算经中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气
2、的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为 37.5尺，芒种的日影长为 4.5 尺，则冬至的日影长为( ) A15.5 尺 B12.5 尺 C10.5 尺 D9.5 尺 (2)已知点(n，an)在函数 f(x)2x1的图象上(nN N*)数列an的前 n 项和为 Sn，设 bn21log64ns ，数列bn的前 n 项和为 Tn.则 Tn的最小值为_ 【拓展训练】1 (1)(2020全国)数列an中，a12，amnaman，若 ak1ak2ak1021525，则 k等于( ) A2 B3 C4 D5 (2)(多选)(2020威海模拟)等差数列an的前 n 项和记为 Sn，若 a1
3、0，S10S20，则( ) Ad0 Ba160 CSnS15 D当且仅当 n32 时，Sn1， nN N* *， 满足 Sn1Sn12(Sn1)， 则( ) Aa917 Ba1019 CS981 DS1091 6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第 1 个正方形的边长是 m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为 Sn，则( ) ASn无限大 BSn3(3 5)m CSn3(3 5)m DSn可以取 100m 二、多项选择题 7(2020厦门模拟)记 Sn为等差数列a
4、n的前 n 项和，若 a13a5S7，则以下结论一定正确的是( ) Aa40 BSn的最大值为 S3 CS1S6 D|a3|1，a6a7a6a712，记an的前 n 项积为 Tn，则下列选项中正确的是( ) A0q1 CT121 DT131 三、填空题 9(2020江苏)设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列anbn的前 n 项和Snn2n2n1(nN N*)，则 dq 的值是_ 10(2020北京市顺义区质检)设 Sn为公比 q1 的等比数列an的前 n 项和，且 3a1，2a2，a3成等差数列，则 q_，S4S2_. 11(2020潍坊模拟)九连环是我国从古至
5、今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中，用 an表示解下 n(n9，nN N*)个圆环所需移动的最少次数，an满足 a11，且 an 2an11n2an12n则解下 5 个圆环需最少移动_次 12已知等比数列an的首项为32，公比为12，前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN N*，都有 A2Sn1SnB 恒成立，则 BA 的最小值为_ 四、解答题 13(2020聊城模拟)在a5b3b5，S387，a9a10b1b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，_，a1b6，若对于任意 nN N*都有 Tn2bn1，且
6、SnSk(k 为常数)，求正整数 k 的值 14已知等比数列an的公比 q1，a12，且 a1，a2，a38 成等差数列，数列anbn的前 n 项和为2n13n12. (1)分别求出数列an和bn的通项公式； (2)设数列1an的前 n 项和为 Sn，任意 nN N* *，Snm 恒成立，求实数 m 的最小值 20222022 年高考数学复习专题（三）第年高考数学复习专题（三）第 1 1 讲讲 等差数列与等比数列等差数列与等比数列 【要点提炼】 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(nN N*) (1)等差数列的通项公式：ana1(n1)d； (2)等比数列的通项
7、公式：ana1qn1. (3)等差数列的求和公式：Snna1an2na1nn12d； (4)等比数列的求和公式：Sn a11qn1qa1anq1q，q1，na1，q1. 【热点突破】 【典例】1 (1)周髀算经中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为 37.5尺，芒种的日影长为 4.5 尺，则冬至的日影长为( ) A15.5 尺 B12.5 尺 C10.5 尺 D9.5 尺 【答案】 A 【解析】 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为 a1，a2，a3，a12，由题意，有 a1
8、a4a737.5，根据等差数列的性质，得 a412.5，而 a124.5，设公差为 d，则 a13d12.5，a111d4.5，解得 a115.5，d1，所以冬至的日影长为 15.5 尺 (2)已知点(n，an)在函数 f(x)2x1的图象上(nN N*)数列an的前 n 项和为 Sn，设 bn21log64ns ，数列bn的前 n 项和为 Tn.则 Tn的最小值为_ 【答案】 30 【解析】 点(n，an)在函数 f(x)2x1的图象上， an2n1(nN N*)， an是首项为 a11，公比 q2 的等比数列， Sn112n122n1， 则 bn22log64n2n12(nN N*)， b
9、n是首项为10，公差为 2 的等差数列， Tn10nnn122n211nn11221214. 又 nN N*， Tn的最小值为 T5T6122121430. 规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项 a1、公差 d 或公比 q. (2)熟悉一些结构特征，如前 n 项和为 Snan2bn(a，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为 anpqn1(p，q0)的形式的数列为等比数列 (3)由于等比数列的通项公式、前 n 项和公式中变量 n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算 【拓展训练】1 (1)(2020全国)数列an中，a12，amnama
10、n，若 ak1ak2ak1021525，则 k等于( ) A2 B3 C4 D5 【答案】 C 【解析】 a12，amnaman， 令 m1，则 an1a1an2an， an是以 a12 为首项，2 为公比的等比数列， an22n12n. 又ak1ak2ak1021525， 2k112101221525， 即 2k1(2101)25(2101)， 2k125，k15，k4. (2)(多选)(2020威海模拟)等差数列an的前 n 项和记为 Sn，若 a10，S10S20，则( ) Ad0 Ba160 CSnS15 D当且仅当 n32 时，Sn0，所以 d0，故 A 正确；因为 a16a115d
11、292d15d12d，又 d0，所以 a160，a160，所以 S15最大，即 SnS15，故 C 正确；Snna1nn12dnn302d，若 Sn0，又 d30，故当且仅当 n31 时，Sn1， nN N* *， 满足 Sn1Sn12(Sn1)， 则( ) Aa917 Ba1019 CS981 DS1091 【答案】 D 【解析】 对于任意 n1，nN N* *，满足 Sn1Sn12(Sn1)， Sn1SnSnSn12， an1an2. 数列an在 n1，nN N*时是等差数列，公差为 2， 又 a11，a22， an2(n2)22n2(n1，nN N*)， a929216，a1021021
12、8，S9182872273，S10192982291.故选 D. 6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第 1 个正方形的边长是 m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为 Sn，则( ) ASn无限大 BSn3(3 5)m CSn3(3 5)m DSn可以取 100m 【答案】 B 【解析】 由题意可得，外围第 2 个正方形的边长为 13m223m253m； 外围第 3 个正方形的边长为 1353m22353m259m； 外围第 n 个正方形的边长为53n1m. 所以
13、蜘蛛网的长度 Sn4m1535953n1 4m153n1534m1153 3(3 5)m.故选 B. 二、多项选择题 7(2020厦门模拟)记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a13a5S7，则以下结论一定正确的是( ) Aa40 BSn的最大值为 S3 CS1S6 D|a3|1，a6a7a6a712，记an的前 n 项积为 Tn，则下列选项中正确的是( ) A0q1 CT121 DT131 【答案】 ABC 【解析】 由于等比数列an的各项均为正数， 公比为 q， 且 a11， a6a7a6a712， 所以(a61)(a71)1， a71， 所以 0q2， 所以 a6a71， T12a
14、1 a2 a11 a12(a6a7)61，T13a1371 的最大正整数 n 的值为 12，C 正确，D 错误 三、填空题 9(2020江苏)设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列anbn的前 n 项和Snn2n2n1(nN N*)，则 dq 的值是_ 【答案】 4 【解析】 由题意知 q1， 所以 Sn(a1a2an)(b1b2bn) na1nn12db11qn1q d2n2a1d2nb11qb1qn1q n2n2n1， 所以 d21，a1d21，b11q1，b11qqn2n，解得 d2，q2， 所以 dq4. 10(2020北京市顺义区质检)设 Sn为公比 q
15、1 的等比数列an的前 n 项和，且 3a1，2a2，a3成等差数列，则 q_，S4S2_. 【答案】 3 10 【解析】 设等比数列的通项公式 ana1qn1，又因为 3a1,2a2，a3成等差数列，所以 22a23a1a3，即 4a1q3a1a1q2，解得 q3 或 q1(舍)，S4S2a113413a11321313413210. 11(2020潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中，用 an表示解下 n(n9，nN N*)个圆环所需移动的最少次数，an满足 a11，且 an 2an11n2an12n则解下 5 个圆环需最少移动_次 【答案】 16 【解析】 因
16、为 a52a422(2a31)24a3， 所以 a54a34(2a22)8a288(2a11)816a116， 所以解下 5 个圆环需最少移动的次数为 16. 12已知等比数列an的首项为32，公比为12，前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN N*，都有 A2Sn1SnB 恒成立，则 BA 的最小值为_ 【答案】 136 【解析】 等比数列an的首项为32，公比为12， Sn32112n112112n， 令 t12n，则12t14，Sn1t， 34Sn32， 2Sn1Sn的最小值为16，最大值为73， 又 A2Sn1SnB 对任意 nN N*恒成立， BA 的最小值为7316136. 四、解
17、答题 13(2020聊城模拟)在a5b3b5，S387，a9a10b1b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，_，a1b6，若对于任意 nN N*都有 Tn2bn1，且 SnSk(k 为常数)，求正整数 k 的值 【解析】 由 Tn2bn1，nN N*得， 当 n1 时，b11； 当 n2 时，Tn12bn11， 从而 bn2bn2bn1，即 bn2bn1， 由此可知，数列bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 故 bn2n1. 当 a5b3b5时，a132，a520， 设数列an的公差为 d，则 a5a
18、14d， 即 20324d，解得 d3， 所以 an323(n1)353n， 因为当 n11 时，an0，当 n11 时，an0，当 n11 时，an0，当 n11 时，an1，a12，且 a1，a2，a38 成等差数列，数列anbn的前 n 项和为2n13n12. (1)分别求出数列an和bn的通项公式； (2)设数列1an的前 n 项和为 Sn，任意 nN N* *，Snm 恒成立，求实数 m 的最小值 【解析】 (1)因为 a12，且 a1，a2，a38 成等差数列， 所以 2a2a1a38， 即 2a1qa1a1q28，所以 q22q30， 所以 q3 或 q1，又 q1，所以 q3， 所以 an23n1(nN N*) 因为 a1b1a2b2anbn2n13n12， 所以 a1b1a2b2an1bn12n33n112(n2)， 两式相减，得 anbn2n3n1(n2)， 因为 an23n1，所以 bnn(n2)， 当 n1 时，由 a1b12 及 a12，得 b11(符合上式)， 所以 bnn(nN N*) (2)因为数列an是首项为 2，公比为 3 的等比数列， 所以数列1an是首项为12，公比为13的等比数列， 所以 Sn12113n11334113n34. 因为任意 nN N*，Snm 恒成立， 所以 m34，即实数 m 的最小值为34.
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