2022年浙江省衢州市衢江区中考第一次模拟数学试卷（含答案解析）

1、2022年浙江省衢州市衢江区中考第一次模拟数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1. 的绝对值是（ ）A. B. 2C. D. 2. 如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 3. 截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数据277000000用科学记数法可表示为（）A. 277106B. 27.7107C. 2.77108D. 0.2771094. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 一个

2、布袋里放有3个红球、2个白球和2个蓝球，它们除颜色外其余都相同从布袋中任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在中，则的度数为（ ）A. 35B. 45C. 55D. 657. 不等式2x60的解集在数轴上表示正确的是( )A. B C. D. 8. 如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD100，则BCD的度数为：（ ）A. 50B. 80C. 100D. 1309. 如图，点是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，延长交圆于点，连结，则的面积是（ ）A. 3B. C. D. 10. 甲、乙两辆遥控车沿直线AC作同方向的匀速

3、运动甲、乙同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t分钟后甲、乙两车与B处的距离分别为S1，S2，函数关系如图所示当两车的距离小于10米时，信号会产生相互干扰那么t是下列哪个值时两车的信号会相互干扰（ ）A. B. 2C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11 分解因式：_12. 二次根式中字母的取值范围是_13. 随着体育中考的临近，某校随机地调查了45名学生的跳远成绩，结果如下表所示：跳远成绩160170180190200220人数3969153则这些同学的跳远成绩的的众数为_，中位数为_14. 已知，将此三角形绕旋转一周所形成的圆锥

4、的侧面积是_15. 如图，在平面直角坐标系中，RtABC顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA2，OB1，斜边ACx轴若反比例函数y（k0，x0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 _16. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，（1）如图2，当与相切时，则_（2）若磨盘转动10周，则点在轨道上滑动路径长是_三、解答题（本题共有8小题，共66分请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：18. 先化简，再求值：，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的代入求值19. 定义

5、：等腰三角形，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形是等腰倍边三角形（1）如图1，在等腰倍边三角形中，求和的值（2）如图2，平行四边形，对角线交于点，分成的四个以为顶点的三角形中，若和为等腰倍边三角形，请你求出的值21. 垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：根据图表解答下列问题：（1）在抽样数据中，产生的垃圾一共有多少吨？（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾有多少吨？并补全条形统计图.（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料假设该城市每月产生的生

6、活垃圾为5000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？23. 如图，是的外接圆，是的直径，与的延长线交于点，连结（1）求证：是的切线；（2）若，求与的长25. 3月14日，衢州进行了第一次全民核酸检测，某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：时间（分）0153045759095100110人数（个）601151601952352401801200小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在090分钟，是二次函数，在90110分钟，是

7、的一次函数（1）如果是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？（3）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？27. 已知二次函数，（，为常数，）（1）若，求二次函数的顶点坐标（2）若，设函数的对称轴为直线，求的值（3）点在函数图象上，点在函数图象上若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小28. 在四边形中，与互相垂直且平分（1）【推理探究】如图1，已知，点是线段上任意一点，交于点，垂足为点，求证：（2）【类比应用】如图2，已知，点在的延

8、长线上，且，交的延长线于点，求的值（3）【拓展延伸】如图3，已知，点是的三等分点，交直线于点，垂足为点，求的值2022年浙江省衢州市衢江区中考第一次模拟数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1. 的绝对值是（ ）A. B. 2C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】直接根据绝对值的定义计算【详解】解：负数的绝对值等于其相反数，-2的绝对值是2，故选：B【点睛】本题考查绝对值熟记正数的绝对值等于本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于相反数，是解题的关键2. 如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体

9、的主视图是（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】A【解析】【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.【详解】从物体正面观察可得，左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体.故答案为A.【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图3. 截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数据277000000用科学记数法可表示为（）A. 277106B. 27.7107C. 2.77108D. 0.277109【3题答案】【答案】C【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一

10、般形式为a10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答【详解】解：277000000用科学记数法可表示为2.77108故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂除法法则计算并判定A；根据合并同类项法则计算并判定B；根据完全平方公式判定C；根据平方差公式判定D【详解】解：A、a8a2=a6，故此选项不符合题意；B、b3+b3=2b3，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选

11、项符合题意；故选：D【点睛】本题考查同底数幂相除，合并同类项，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握同底数幂除法法则、合并同类项法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键5. 一个布袋里放有3个红球、2个白球和2个蓝球，它们除颜色外其余都相同从布袋中任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率【详解】解：在一个布袋里放有3个红球、2个白球和2个蓝球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是红球的概率为，故选：C【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出

12、小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键6. 如图，在中，则的度数为（ ）A. 35B. 45C. 55D. 65【6题答案】【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形的性质，平行线定理和等腰三角形的性质求答；【详解】解：ABCD是平行四边形，ABCD，B=180C=110，BAE中，BA=BE，BAE=BEA=（180B）=35，故选：A【点睛】本题考查平行线定理（两直线平行，同旁内角互补），等腰三角形的性质，平行四边形的性质（两组对边平行且相等），熟记其性质是解题关键7. 不等式2x60的解集在数轴上表示正确的是( )A. B. C. D. 【7题答案】【答案】A【解析】【详解】2x-6

13、0，移项得：2x6，把x的系数化为1：x3，故选A8. 如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD100，则BCD的度数为：（ ）A. 50B. 80C. 100D. 130【8题答案】【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，可得A=50，然后由圆内接四边形的对角互补可求得C=180-A=130.答案为D考点：圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补9. 如图，点是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，延长交圆于点，连结，则的面积是（ ）A 3B. C. D. 【9题答案】【答案】B【解析】【

14、分析】先根据反比例函数的性质可得，再求出点的坐标，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后根据三角形的面积公式即可得【详解】解：点是反比例函数的图象上的一个动点，延长交圆于点，且，由圆周角定理得：，即，的面积是，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键10. 甲、乙两辆遥控车沿直线AC作同方向的匀速运动甲、乙同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t分钟后甲、乙两车与B处的距离分别为S1，S2，函数关系如图所示当两车的距离小于10米时，信号会产生相互干扰那么t是下列哪个值时两车的信号会相互干扰（ ）A. B. 2

15、C. D. 【10题答案】【答案】D【解析】【分析】先求出S与t的关系式，再根据两车的距离，列出不等式，解不等式可得答案【详解】解：乙的速度v2=1203=40（米/分），甲的速度v甲=401.5=60米/分所以a=1分设函数解析式为S1=kt+b，0t1时，把（0，60）和（1，0）代入得S1=-60t+60，1t3时，把（1，0）和（3，120）代入得S1=60t-60；S2=40t，当0t1时，S2+S110，即-60t+60+40t10，解得t2.5，因为0t1，所以当0t1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1t3时，S2-S110，即40t-（60t-60）10，所以t2.5，当

16、2.5t3时，两遥控车的信号会产生相互干扰故选：D【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是利用待定系数法确定函数解析式，理解路程、速度、时间三者的关系，学会分类讨论的思想，转化的思想，把问题转化为不等式解决二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：_【11题答案】【答案】【解析】【分析】直接提取公因式即可【详解】解：故答案为: 12. 二次根式中字母的取值范围是_【12题答案】【答案】x4【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可【详解】解：由题意，得x-40，解得：x4，故答案为：x4【点睛】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，熟记二次

17、根式有意义的条件是解题的关键13. 随着体育中考的临近，某校随机地调查了45名学生的跳远成绩，结果如下表所示：跳远成绩160170180190200220人数3969153则这些同学的跳远成绩的的众数为_，中位数为_【13题答案】【答案】 . 200 . 190【解析】【分析】根据众数的概念即可求解；现将学生的跳远成绩从小到大排列，再根据中位数的概念即可求解【详解】解：有15名学生跳出了200cm的成绩，即200这个成绩在所有成绩中是出现的最多的一个成绩，即根据众数的概念，可知学生跳远的成绩的众数是200；根据表格将学生的成绩从小到大排列，为160（3名）、170（9名）、180（6名）、19

18、0（9名）、200（15名）、220（3名），共计45个数，第23个数为该组数的中卫数，即3+9+6+5=23，则可知第23个成绩数落在了9个190这个区域中，即该组数的中位数是190，故答案为：200，190【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，读懂表格含义是解答本题的关键14. 已知，将此三角形绕旋转一周所形成的圆锥的侧面积是_【14题答案】【答案】【解析】【分析】圆锥体的侧面展开是一个扇形，该扇形的弧长即为圆锥体底部的圆形的周长，据此可以可以计算出扇形的弧长占该扇形所在圆周长的比率，以此比率即可求出扇形的面也就是圆锥体侧面【详解】圆锥体的切面如图所示，在RtABC，C=90，AB=5cm

19、，AC=4cm，利用勾股定理可知，BC=3cm，圆锥体底部圆的半径r=BC=3cm，底部圆的周长，则侧面展开后扇形的弧长为l，AB=5cm，侧面展开图扇形所在圆的半径R=AB=5cm，侧面展开图扇形所在圆的周长，面积，扇形面积与其所在圆的面积的比率，圆锥侧面面积，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理、扇形面积和周长、圆锥侧面展开图及其面积的求解等问题，找到侧面展开图扇形的面积与其所在圆面积的比率是解答本题的关键15. 如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA2，OB1，斜边ACx轴若反比例函数y（k0，x0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 _【15题答案】【

20、答案】5【解析】【分析】作CEx轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE=OA=2，T通过证得AOBBEC，求得BE=4，进而得到D点坐标，代入y=，利用待定系数法求出k【详解】解：作CEx轴于E，ACx轴，OA=2，OB=1，OA=CE=2，ABO+CBE=90=OAB+ABO，OAB=CBE，AOB=BEC，AOBBEC，即，BE=4，OE=5，点D是AB的中点，D（，2）反比例函数y=（k0，x0）的图象经过点D，k=2=5故答案为：5【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质等知识，求出D点坐标是解题的关键16. 如图1是传统的手工推磨

21、工具，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，（1）如图2，当与相切时，则_（2）若磨盘转动10周，则点在轨道上滑动的路径长是_【16题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】（1）连接OP，利用勾股定理即可求出AP；（2）当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时，OP取得最小值，在RtOAP中，AO为定值，则有AP此时也最小，当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时，OP取得最大值，此时同理有此时AP也最大，即可求出AP的取值范围，可得磨盘转动1周，则点P在轨道AB上滑动的路径长，再乘以10即可

22、【详解】（1）连接OP，如图，PQ与O相切，QPOQ，在RtOQP中，利用勾股定理有，OAAB，在RtOAP中，利用勾股定理有，又OA=8，OQ=3，PQ=13（连杆的长度），代入数据，可得AP=（dm）;（2）如图所示，当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时，即Q点位于图中E点，P点在点F处，即连杆为EF，OP取得最小值，即OP=OF，此时在RtOAF中，AO为定值，则有AP此时也最小，即AP=AF，OAAB，在RtOAF中，利用勾股定理有，又OA=8，OE=3，EF=13（连杆的长度），OF=10，当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时，即Q点位于图中N点，P点在点M处，

23、即连杆为MN，OP取得最大值，即OP=OM，此时AP最大，即AP=AM，OAAB，在RtOAM中，利用勾股定理有，又OA=8，ON=3，MN=13（连杆的长度），OM=16，又，则AP的取值范围为，磨盘转动1周，点P在F、M两点之间移动一个来回，则点P在轨道AB上滑动的路径长为，则转动10周滑动的路径长为：（dm）,故答案为：，【点睛】本题考查轨迹，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题三、解答题（本题共有8小题，共66分请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：【17题答案】【答案】【解析】【分析】根据零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值求解即可【详

24、解】解：，【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键18. 先化简，再求值：，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的代入求值【18题答案】【答案】，1或【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可【详解】解：原式x210，当时，原式或当时，原式（选择一种情况即可）【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键19. 定义：等腰三角形，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形是等腰倍边三角形（1）如图1，在等腰倍边三角形中，求和的值（2）如图2，平行四

25、边形，对角线交于点，分成的四个以为顶点的三角形中，若和为等腰倍边三角形，请你求出的值【19题答案】【答案】（1） （2）24或64【解析】【分析】（1）过作于点，先根据等腰倍边三角形的定义可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后利用勾股定理可得，最后根据正切的定义即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰倍边三角形的定义分，和三种情况，分别求出的长即可得出答案【小问1详解】解：如图，过作于点，在等腰倍边三角形中，又，（等腰三角形的三线合一），【小问2详解】解：平行四边形，当时，此时和为等腰倍边三角形，；当时，此时和为等腰倍边三角形，；当时，此时和为等腰倍边三角形，综上，的值为24或

26、64【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、正切、平行四边形的性质等知识点，正确理解等腰倍边三角形的定义是解题关键21. 垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：根据图表解答下列问题：（1）在抽样数据中，产生的垃圾一共有多少吨？（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾有多少吨？并补全条形统计图.（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？【21题答案

27、】【答案】（1）50吨； （2）有害垃圾3吨；补全条形统计图见解析； （3）378吨.【解析】【分析】（1）根据D类垃圾量和所占的百分比即可求得垃圾总数，（2）求得C组所占的百分比，即可求得C组的垃圾总量，通过垃圾总数乘以B所占的百分比即可求得每个小组的频数从而补全统计图；（3）首先求得可回收垃圾量，然后求得塑料类垃圾量，最后再求出二级原料量即可.【小问1详解】解：观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%，垃圾总量为510%50吨；【小问2详解】解：C组所占的百分比为：110%30%54%6%，有害垃圾：506%3吨；B类垃圾共有5030%15吨，故统计表为：【小问3详解】（吨），答：每月回收的

28、塑料类垃圾可以获得378吨二级原料【点睛】本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据23. 如图，是的外接圆，是的直径，与的延长线交于点，连结（1）求证：是的切线；（2）若，求与的长【23题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接，交于点，先在中，利用正切的定义、勾股定理可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后在中，利用勾股定理可得的长【小问

29、1详解】证明：如图，连接，垂直平分，又是半径，是的切线【小问2详解】解：如图，连接，交于点，由（1）已证：垂直平分，设，则，在中，即，解得，是的直径，在中，【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、正切等知识点，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解题关键25. 3月14日，衢州进行了第一次全民核酸检测，某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：时间（分）0153045759095100110人数（个）601151601952352401801200小明把数据在平面直角坐标系里，描成

30、点连成线，得到如图所示函数图象，在090分钟，是的二次函数，在90110分钟，是的一次函数（1）如果是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？（3）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？【25题答案】【答案】（1）y=-x2+4x+60 （2）分 （3）4【解析】【分析】（1）设二次函数解析式为y=a(x-90)2+240，将A点坐标代入二次函数解析式中即可；（2）利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y=220分别代入两个函数求出x，相

31、减即可得出答案；（3）首先利用一次函数求出一个窗口每分钟可以采样的人数，然后表示出总窗口数与时间的表达式，按照要求大于当前的人数即可；【小问1详解】解：B（90，240）是二次函数图象的顶点，设二次函数解析式为y=a(x-90)2+240，把A(0,60)代入，得60=a(0-90)2+240，解得：a=-,y=-(x-90)2+240=-x2+4x+60；【小问2详解】解：设BC的解析式为：y=kx+b，将B（90，240），C（110，0）代入，得解得：，BC的解析式为：y=-12x+1320，将y=220代入y=-12x+1320中，解得：x=将y=220代入y=-x2+4x+60中，解

32、得：x=60或x=120（舍去），-60=，满负荷状态时间为分；【小问3详解】解：设至少需要新增m个窗口，1个窗口1分钟采样的人数为：240206=2，将x=75代入y=-x2+4x+60中，解得：y=235，4：15分时的排队人数为：235人；3：45分至4：15分之间采样的人数为：2306=360，235+360=595，4点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕，2（m+6）30595，解得：m，m为整数，m4的整数，至少需新增4个采样窗口；【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图象信息，正确求解解析式，理解问题中

33、给出的限制条件，属于中考必考题27. 已知二次函数，（，为常数，）（1）若，求二次函数的顶点坐标（2）若，设函数的对称轴为直线，求的值（3）点在函数图象上，点在函数图象上若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小【27题答案】【答案】（1）（1，0）；（2）k=-2；（3）mn【解析】【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）根据对称轴公式即可求得；（3）根据题意求得a0，即可判断函数y2图象开口向下，令x2+ax+1=ax2+x+1，解得x=0或x=1，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求得mn【详解】解：（1）若a=-2，则y1=x2-2x+1，y1=

34、x2-2x+1=（x-1）2，二次函数y1的顶点坐标为（1，0）；（2）若b=4a，则y2=ax2+4ax+1，对称轴为直线x= =-2，设函数y2的对称轴为直线x=k，则k=-2；（3）函数y1图象的对称轴在y轴右侧，0，a0，函数y2=ax2+bx+1图象开口向下，b=1，y2=ax2+x+1，令x2+ax+1=ax2+x+1，整理得（a-1）x2-（a-1）x=0，解得x=0或x=1，两抛物线的交点的横坐标为0和1，如图，由图象可知，当0x01，mn【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键28. 在四边形中，与互相垂直且

35、平分（1）【推理探究】如图1，已知，点是线段上任意一点，交于点，垂足为点，求证：（2）【类比应用】如图2，已知，点在的延长线上，且，交的延长线于点，求的值（3）【拓展延伸】如图3，已知，点是的三等分点，交直线于点，垂足为点，求的值【28题答案】【答案】（1）见解析 （2） （3）的值为或【解析】【分析】（1）利用“ASA”证明即可；（2）先证明四边形ABCD为正方形，算出AC、OA、AE、OE、BE的长，证明，得出，推导出，根据“SSS”证明，得出，证明，根据相似三角形的性质，得出BF的长，利用勾股定理算出CF的长，计算的正切值即可；（3）分两种情况讨论，分别画出图形，算出OG、CF的值，然后

36、求的值即可【小问1详解】证明：四边形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分，又AC=BD，在COG和BOE中，OE=OG【小问2详解】四边形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分，四边形ABCD为菱形，又AC=BD，四边形ABCD为正方形，AB=BC=8，OA:AE=2:1，即，（SSS），即，【小问3详解】当E点为靠近O点的三等分点时，如图所示：四边形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，等边三角形，此时点F、G在点B上，；当E点为靠近A点的三等分点时，如图所示：此时，即，又，即，；综上分析可知，的值为或【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，画出图形，求出对应线段的长度是解题的关键