1、2022年四川省成都市武侯区中考数学试题一、选择题（本大题共小8题）1. 比大3的数是（ ）A. B. 0C. 1D. 52. 下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A B. C. D. 3. 2022年2月，北京冬奥会顺利举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受大家喜爱，据不完全统计，仅在中国的微博上已有45亿个关于冰墩墩的帖子，将数据45亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 45000000004. 下列计算正确的是（ ）A B. C. D. 5. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图所示的方法叠放在一起，若，则的度数为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 706
2、. 某校举办主题为“关爱身心健康，致敬可爱守护者”的演讲比赛，进入决赛的6名选手的成绩（单位：分）分别为：9.0，8.4，9.2，8.5，9.2，9.5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A. 9.1，9.2B. 9.1，9.5C. 9.0，9.2D. 8.5，9.57. 分式方程解为（ ）A. B. C. D. 8. 关于二次函数的图象及性质，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴是直线B. 当时，y取得最小值，且最小值为C. 顶点坐标为D. 当时，y的值随x值的增大而增大二、填空题（本大题共5小题）9. 代数式有意义，则x的取值范围是_10. 如图，已知，则的度数为_11. 若（其中a是常数
3、）是关于x的一元二次方程，则a的值为_12. 已知点，都在直线上，则_13. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，分别以点A和C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AC于点E，交AB于点F，若，则线段BF的长为_三、解答题（本大题共6小题）14. （1）计算：（2）解不等式组，并将其解集表示在下面的数轴上15. “五四”青年节来临之际，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，青春勇担当”的知识竞赛活动，将成绩分成A，B，C三个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有_人；（2）扇形统计图中“A”所对应
4、的扇形圆心角的度数为_；（3）将本次知识竞赛成绩获得A等级的新团员依次用，表示，该校团委决定从这些A等级的新团员中，随机选取两名新团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为青年”的发言，请用树状图或列表的方法求恰好抽到新团员，的概率17. 2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB的高度如图，已知测倾器的高度为1.2米，在测点C处安置侧倾器，测得点A的仰角，在与点C相距10米的测点F处安置侧倾器，测得点A的仰角（点C，F与B在一条直线上），求望江楼AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，
5、）18. 如图，AB为的直径，点C在上，连接AC，BC过点C作的切线，交BA的延长线于点P，过点B作于点D（1）求证：；（2）若，求的半径及线段PA的长20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B（1）求点A坐标及反比例函数的表达式；（2）点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标B卷一、填空题（本大题共5个小题，答案写在答题卡上）22. 已知，则的值
6、为_23. 若m是的小数部分，则_24. 如图，已知是的外接圆，为锐角，若的半径为4，则的值为_25. 如图，在矩形纸片ABCD中，按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M，且满足，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点，则得到的第一条折痕EF的长为_；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为，则点和之间的最小距离为_26. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”已知点A的坐标为，点B的坐标为(3，1)，P是y轴上一点，连接AP，BP，OA，OB现设直线AP的函数解析式为，记线段AP，BP，OA，OB所围成的封闭区域（不含边界）为
7、W，若区域W内的整点个数为6，则k的取值范围是_二、解答题（本大题共3个小题，解答过程写在答题卡上）27. 成都第31届世界大学生夏季运动会（以下简称“成都大运会”）将于2022年6月26日至7月7日在四川成都举行某商家购进一批成都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件，进价为20元/件，调查发现，日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件，且20x60）之间满足一次函数关系，其部分数据如表：x（元/件）303540y（件）605040（1）求y与x的函数关系式；（2）设日销售利润为w（单位：元），试问当售价为多少时，日销售利润达到最大？并求出该最大值29. 如图，将线段AB绕点A逆时针旋转得到AC，连
8、接BC，在线段BC上取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接CE（1）如图1，若当，且时，求的度数；试探究线段AD与CE之间满足的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若，当时，求的值31. 【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记，则称是直线l与抛物线C的“截积”【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为（1）若抛物线C的函数表达式为，分别求出点M，N的坐标及的值；（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线，现将抛物线C进行平移，
9、使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设抛物线C的函数表达式为，若，且点P在点Q的下方，求a的值2022年四川省成都市武侯区中考数学试题一、选择题（本大题共小8题）1. 比大3的数是（ ）A. B. 0C. 1D. 5【1题答案】【答案】C【解析】【分析】运用有理数运算中的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并把绝对值相减【详解】解：由题意得： 故选C【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握和理解有理数加法运算法则是关键2. 下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A. B. C. D. 【2题答案】
10、【答案】B【解析】【详解】解：球的主视图、左视图、俯视图都是圆，主视图、左视图、俯视图都相同的是B，故选B3. 2022年2月，北京冬奥会顺利举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受大家喜爱，据不完全统计，仅在中国的微博上已有45亿个关于冰墩墩的帖子，将数据45亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4500000000【3题答案】【答案】B【解析】【分析】利用科学记数法的表示方法即可求解，科学记数法是指把一个数表示成的形式（1a10，n 为整数）【详解】解：45亿=4500000000= ，故选B【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，表示形式为：（1a0，该二次函数图象开口向上，当时，y
11、的值随x值的增大而减小，故D不符合题意故选B【点睛】本题考查二次函数的图象和性质熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键二、填空题（本大题共5小题）9. 代数式有意义，则x的取值范围是_【9题答案】【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义条件列出不等式，解不等式即可求解【详解】解：要使有意义，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式是解答关键10. 如图，已知，则的度数为_【10题答案】【答案】50【解析】【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出即可【详解】解：，D=C=30BAD=180DABD=180-30
12、-100=50故答案为：50【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等11. 若（其中a是常数）是关于x的一元二次方程，则a的值为_【11题答案】【答案】3【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程直接利用一元二次方程的定义分析得出答案【详解】解：是关于x的一元二次方程，a10，解得：a3故答案为：3【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键12. 已知点，都在直线上，则_【12题答案】【答案】2【解析】【分析】分别把A、B的
13、坐标代入，求得、再计算即可【详解】解：把代入得2m3，把代入得2（m1）32m1，（2m1）（2m3）2m12m32故答案为：2【点睛】本题考查了一次函数，利用一次函数解析式求函数值，解题关键是熟练掌握整式的加减运算13. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AC于点E，交AB于点F，若，则线段BF的长为_【13题答案】【答案】【解析】【分析】连接CF，MN为AC的垂直平分线，则可得，由锐角三角函数和勾股定理可得DC、BC的长，再设，利用勾股定理列方程求解即可【详解】解：连接CF，由题意可知：MN为AC的垂直平分线，
14、 ，矩形ABCD， ， ，在中，AC=10， ， ，在中， ，设 ，则 ，在中， ，即： ，解得： ，故答案为：【点睛】本题考查了垂直平分线的画法和性质，矩形的性质，锐角三角函数以及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质以及应用勾股定理列方程是本题的关键三、解答题（本大题共6小题）14. （1）计算：（2）解不等式组，并将其解集表示在下面的数轴上【14题答案】【答案】（1）3；（2）11，解不等式得：x5不等式组的解集是1x5在数轴表示如下：【点睛】本题考查了零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等实数的计算，及解不等式组，熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，及解不等式组的步骤
15、是解题的关键15. “五四”青年节来临之际，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，青春勇担当”的知识竞赛活动，将成绩分成A，B，C三个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有_人；（2）扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数为_；（3）将本次知识竞赛成绩获得A等级的新团员依次用，表示，该校团委决定从这些A等级的新团员中，随机选取两名新团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为青年”的发言，请用树状图或列表的方法求恰好抽到新团员，的概率【15题答案】【答案】（1）20 （2）72 （3）【解析】【分析】（1）根据等级“B”对应
16、的人数和其所占百分比即可求解；（2）先求出等级“A” 对应的人数，再根据等级“A”所占百分比即可求得其对应的扇形圆心角的度数；（3）用列表法列出所有等可能的结果，再选出恰好抽到新团员，的结果数，进而利用概率公式即可求解【小问1详解】参加本次知识竞赛活动的新团员总人数：（人），故答案为：20；【小问2详解】等级“A” 的人数：（人），等级“A” 所对应的扇形圆心角的度数：，故答案为：72；【小问3详解】等级“A”的成员有4人，分别是：，列表格如下：根据表格可知：从4名新团员中任选2名新团员共有12种等可能的结果，其中恰好选到新团员，的结果有2种，恰好抽到新团员，的概率为：【点睛】本题考查扇形统计
17、图、条形统计图、列表法或树状图法求概率，正确理解题意并找出统计图隐含条件，解题的关键是掌握并熟练运用列表法或画树状图法求概率17. 2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB的高度如图，已知测倾器的高度为1.2米，在测点C处安置侧倾器，测得点A的仰角，在与点C相距10米的测点F处安置侧倾器，测得点A的仰角（点C，F与B在一条直线上），求望江楼AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，）【17题答案】【答案】望江楼AB的高度为米【解析】【分析】延长DG与AB交于H，设AH=x，分别在和中
18、用锐角三角函数列方程即可求解【详解】解：延长DG与AB交于H，由题意可知：四边形DCFG，四边形GFBH，四边形DCBH为矩形，则 ， ，设AH=x，在 中， ， ， ， ，在 中， ， ， ，解得： ，经检验：符合题意， ，望江楼AB的高度为米【点睛】本题考查的是锐角三角函数，仰角的定义，解直角三角形的应用，能正确构造直角三角形是解题的关键18. 如图，AB为的直径，点C在上，连接AC，BC过点C作的切线，交BA的延长线于点P，过点B作于点D（1）求证：；（2）若，求的半径及线段PA的长【18题答案】【答案】（1）答案见解析 （2）5，【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出AC
19、B为90，然后根据余角的性质，即可证得结果；（2）由等角的三角函数值相等得出由勾股定理表示出，连接，根据切线的性质和余角的性质，求出，则可利用三角函数求出长，再利用勾股定理求出AB长，从而求出 半径；设，证明，根据相似三角形的性质建立方程求解，即可解决问题【小问1详解】解：AB为直径，ACB=90，PCA+BCD=90，又BCD+CBD=90，PCA=CBD【小问2详解】解：如图，连接，由（1）得，BD=2CD=8，OB=OC，OCB=OBC，PD与相切于C，OCPD，BDPD，OCBD，OCB=CBD，OBC=CBD，tanOBC= ，AC= ， ，的半径为5；OA=OB=OC=5，设PA=
20、x，PO=x+5，PB=x+10，PCO=D=90，P=P，POCPBD， ， ，解得x= ，经检验x=是方程的根，PA=【点睛】本题考查了圆周角定理，切线性质，相似三角形的判定和性质，运用方程的思想解决几何问题是解题的关键20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标
21、【20题答案】【答案】（1）（-1，6）， （2）或（-3，2） （3）（-2，3）或（-6，1）【解析】【分析】（1）将点代入，即可求出点A的坐标，再将点A的坐标代入即可求出反比例函数的表达式；（2）设点P的坐标为，分情况讨论：点P在点A的上方时，如图，过点A作PM/y轴交直线AB于点M，根据，列方程求解即可；点P在点A的下方时，如图，作的外接矩形PEFG，因为，的面积为4，即可求出点P的坐标；（3）如图，过点P作RS/x轴，过点C，点A作于R，于S，证明，求出点C的坐标，取BC的中点H，过点H作交PC于点N，求出点N的坐标，作直线BN交双曲线于点M，点M即为所求【小问1详解】解：将点代入，
22、得，解得，点的坐标为，点A代入得，；反比例函数；【小问2详解】解：设点P的坐标为，分情况讨论：当点P在点A的上方时，如图，过点A作PM/y轴交直线AB于点M，则，解得，（不合题意，舍去）故点P的坐标为；当点P在点A的上方时，如图，作的外接矩形PEFG，点E的坐标为，点F的坐标为，点G的坐标为；，BE，FB2，AF1，PG， ，的面积为4，解得，（不合题意，舍去），点P的坐标为；综上，点P的坐标为或（-3，2）【小问3详解】解：如图，过点P作RS/x轴，过点C，点A作于R，于S，线段是由绕点逆时针旋转90得到， ，点C到x轴的距离为4，点C到y轴的距离为7， 点C的坐标为（-7，4），取BC的中
23、点H，过点H作交PC于点N，作直线BN交双曲线于点M，则点M即为所求点的坐标为（-35，2），NCNB，设直线PC的解析式为： ，解得，直线PC的解析式为：，把代入直线PC得，点N的坐标为设直线BN的解析式为：， ，解得 ， 直线BN的解析式为：，解方程组，得， M点的坐标为（-2，3），（-6，1）【点睛】本题考查了一次反比例函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定和性质，用待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及方程组的解与交点坐标的关系，利用方程组求点的坐标是解题的关键B卷一、填空题（本大题共5个小题，答案写在答题卡上）22. 已知，则的值为_【2
24、2题答案】【答案】【解析】【分析】利用因式分解对代数式进行化简，再代入求值即可【详解】解：原式= 将代入原式= 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的约分，二次根式的化简，熟练掌握分式的约分是解题的关键23. 若m是的小数部分，则_【23题答案】【答案】5【解析】【分析】先估计的近似值，再求得m，代入计算即可【详解】解：m是的小数部分， ，故答案为：5【点睛】本题主要考查了无理数的估算、完全平方公式以及代数式求值，解题的关键是正确表示出24. 如图，已知是的外接圆，为锐角，若的半径为4，则的值为_【24题答案】【答案】【解析】【分析】作直径BD，连接AD，根据勾股定理求出AD，根
25、据圆周角定理求出D=ACB，DAB=90，解直角三角形求出即可【详解】解：作直径BD，连接AD，则BD=24=8，则ACB=D，DAB=90，在RtDAB中由勾股定理得：，O的半径为4，故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键25. 如图，在矩形纸片ABCD中，按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M，且满足，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点，则得到的第一条折痕EF的长为_；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为，则点和之间的最小距离为_【25题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】（1）、过点E作EH
26、垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD，根据折叠的性质，设未知数，在、分别用勾股定理列方程即可；（2）、根据线段长度可证明是平行四边形，则，则可得则在直线DM上，得到当时，此时最短，再证，对应线段成比例即可求解【详解】解：（1）、在矩形纸片ABCD中， ， ，过点E作EH垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD， 四边形BCHE，四边形AMGD，四边形EHGM都为矩形，折叠纸片，点C与点M重合，点B的对应点为点，设 ， ，在中， ，解得： ， ，设 ， ，在中， ，解得： ， ，在中， ；（2）、过 作DM的垂线，交其延长线于 ，在中， ， ，是平行四边形， ，第
27、二条折痕与EF垂直，第二条折痕与MD垂直，则在直线DM上，当时，此时最短， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ，【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各项性质和点到直线的距离最短是解题的关键26. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”已知点A的坐标为，点B的坐标为(3，1)，P是y轴上一点，连接AP，BP，OA，OB现设直线AP的函数解析式为，记线段AP，BP，OA，OB所围成的封闭区域（不含边界）为W，若区域W内的整点个数为6，则k的取值范围是_【26题答案】【答案】或#或【解析】
28、【分析】根据题意，画出图形，分别求出A、B、A、A、A的表达式，即可求出k的取值范围【详解】解：如图所示，当点P在点和之间时，区域W内的整点个数为6；当点P在点和之间时，区域W内的整点个数为6当点P在点和之间时，设直线A的表达式是，把点A的坐标（2，1）和点（0，3）代入得 解得直线A的表达式是，设直线B的表达式是，直线B经过B（3，1）和点C（1，2），代入得 解得直线B的表达式是，当x0时，y， 点的坐标是（0，）设直线A表达式是，直线A经过A（2，1）和点（0，），代入得 解得直线B的表达式是，当点P在点和之间时，即，区域W内的整点个数为6；当点P在点和之间时，设直线直线A的表达式是，可
29、知直线A经过A（2，1）和点（0，2），代入得 解得直线A的表达式是，设直线直线A的表达式是，可知直线A经过A（2，1）和点（0，3），代入得 解得直线A的表达式是，当点P在点和之间时，即时，区域W内的整点个数为6综上所述，k的取值范围是或故答案为：或【点睛】本题考查了整点、待定系数法求一次函数解析式等知识，待定系数法求解析式是基础， 数形结合并分类讨论是关键二、解答题（本大题共3个小题，解答过程写在答题卡上）27. 成都第31届世界大学生夏季运动会（以下简称“成都大运会”）将于2022年6月26日至7月7日在四川成都举行某商家购进一批成都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件，进价为20元/件，调查发现
30、，日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件，且20x60）之间满足一次函数关系，其部分数据如表：x（元/件）303540y（件）605040（1）求y与x的函数关系式；（2）设日销售利润为w（单位：元），试问当售价为多少时，日销售利润达到最大？并求出该最大值【27题答案】【答案】（1） （2）当售价为40元，日销售利润达到最大，最大为800元【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据题意可求出w与x的二次函数关系，再根据二次函数的性质即可解答【小问1详解】设y与x的函数关系式为，则有，解得：,故y与x的函数关系式为；【小问2详解】根据题意可知，整理，得：，20x60，当时，有
31、最大值，最大值为800故当售价为40元，日销售利润达到最大，最大为800元【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用掌握利用待定系数法求一次函数解析式和二次函数的性质是解题关键29. 如图，将线段AB绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC，在线段BC上取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接CE（1）如图1，若当，且时，求的度数；试探究线段AD与CE之间满足的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若，当时，求的值【29题答案】【答案】（1）DAC=80；AD=CE，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）由得B=ACB=30，所以BAC=120，DAE= ，进而可求解；过A作A
32、FBC交BC于F，过E作EGAC于G，可证AGEADF，得AG=AF，由，设AF=，则BF=3a，AC=AB=，CG=AC-AG=，可知G为AC的中点，根据等腰三角形的三线合一可证；（2）过点A作AMBC于M，过E作ENAC于N，由tanB=，设AM=3b，则BM=CM=4b，AC=AB ，由（1）可知AENADM，AN=AM=3b，CN=AC-AN=2b，由CEBC，AMBC，得CEAM，所以ECN=CAM，根据tanCAM= 可得DM=EN=CNtanECN=2b=，根据勾股定理求得CE=，代入计算即可求解【小问1详解】解：由旋转的性质可知，AB=AC，B=ACB=30，BAC=120，D
33、AE=，又CAE=20，CAD=40，DAC=80；AD=CE，理由是：如图，过A作AFBC交BC于F，过E作EGAC于G，B=BCA=30，AFBC，AB=AC，CAF=，由题意得，旋转角DAE=60，AD=AE，DAF=CAF-CAD=60-CAD，EAG=DAE-CAD=60-CAD，DAF=EAG，AFD=AGE=90，AGEADF（AAS），AG=AF，设AF=，则，BF=3a，AC=AB=，CG=AC-AG=，G为AC的中点，又EGAC，CE=AE=AD【小问2详解】解：过点A作AMBC于M，过E作ENAC于N，tanB=，设AM=3b，则BM=CM=4b，AC=AB= ，由（1）
34、同理可证AENADM，AN=AM=3b，CN=AC-AN=2b，CEBC，AMBC，CEAM，ECN=CAM，tanCAM=，DM=EN=CNtanECN=2b=，CE=，又CD=CM-DM=4b-，【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形31. 【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记，则称是直线l与抛物线C的“截积”【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数
35、表达式为（1）若抛物线C的函数表达式为，分别求出点M，N的坐标及的值；（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设抛物线C的函数表达式为，若，且点P在点Q的下方，求a的值【31题答案】【答案】（1） （2）为定值，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组求解M，N的坐标，再求解Q的坐标，MN，PQ的长度，再进行计算即可；（2）如图， 先求解为：由在上，设 求解 设 则两点坐标为：的解，再利用根与系数的关系及勾股定理求解，再利用新
36、定义进行计算即可；（3）先求解 如图，由点P在点Q的下方，则 由抛物线可得： 过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为： 求解 结合（2）的结论可得 利用 再列方程求解即可.【小问1详解】解：如图，由题意得： 解得：或 而抛物线的对称轴为： 代入一次函数解析式，此时 抛物线的顶点 【小问2详解】解：如图，抛物线的顶点P平移到，而 设为： 则 所以 所以为：由在上，设 平移后的抛物线为： 则 设 则两点坐标为：的解，整理方程组得： 又 为定值.【小问3详解】解： ， 如图，由点P在点Q的下方，则 由抛物线可得： 过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为： 由（2）同理可得： 即 平移后的抛物线的顶点为 解析式为： 整理得： 解得：或 经检验舍去，综上：【点睛】本题考查的是一次函数与抛物线的交点坐标问题，新定义的理解，一元二次方程根与系数的关系，理解新定义，熟练的运用已经推导得到的结论进行解题是关键.
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