1、2022年四川省成都市青羊区九年级二诊数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ）A B. C. D. 3. 如图，在中，垂直平分，若，则的长为（ ）A. 5B. 10C. 12D. 134. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛应该选择( )甲乙丙丁平均数（cm）185180185180方差3.63.67.48.1A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 关于的方程的解为，则( )A. 1B.
2、3C. -1D. -36. 某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD，下列结论错误的是（ ）A. ACODB. BCBDC. AOD=CBDD. ABC=ODB8. 如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 若点在抛物线上，则C. 当时，y随x的增大而减小D. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分
3、，共20分）9. 人体中红细胞直径约为0.0000077 m，数据0.0000077用科学记数法表示为_10. 在平面直角坐标系中，点（3,2）关于轴的对称点的坐标是 11. 一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是_12. 化简：_13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则线段的长为_三、解答题14. （1）计算：（2）解不等式组：15. 根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索
4、减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：6090分钟；C：3060分钟；D：30分钟以下并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有_人；（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）全校约有学生1500人，估计“A”层级学生约有多少人？（4）学校从“A”层级的的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？17. 平放在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得为，为，边
5、的长为，边上露出部分的长为，求铁板边被掩埋部分的长（结果精确到参考数据：，）18. 如图1，是的直径，点在的延长线上，点，是上的两点，延长交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求直径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，求的值20. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点（在的左侧），与轴和轴分别交于，两点（1）当时，求，两点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接并延长交反比例函数图象的另一支于点，连接交轴于点若，求反比例函数的表达式四、填空
6、题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）22. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_23. 已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是_24. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点为线段上一点（不含端点），点是点关于的对称点，连接与相交于点若，则的长_25. 在三角形纸片中，将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的一点处，折痕记为（如图1），剪去后得到双层（如图2），再沿着过某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为_26. 如图，在等腰中，点是上一点，点为射线（除点外）上一个动点，直线交射线于点，若，的面积的
7、最小值为_五、解答题27. 2022年6月26日至7月7日，第31届世界大学生夏季运动会在成都举行某公司要印制大运会宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1600元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费；（1）分别写出两印刷厂的收费（元）与印制数量（份）之间的关系式；（2）在同一直角坐标系内画出它们的图象；（3）根据图象回答下列问题：印制600份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？该公司拟拿出5000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？29. 如图1，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，点是第二象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂
8、足为，交于点（1）求此抛物线表达式；（2）过点作，垂足为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？（3）如图2，连接，将线段绕点顺势针旋转，对应点为，连接和，若面积与面积比为3：2，求点坐标31. 在中，是边上一点，连接（1）如图1，是延长线上一点，与垂直求证：；（2）如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；（3）如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，最大值为，最小值为，求的值2022年四川省成都市青羊区九年级二诊数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1. 下列图形是中心对称图形的
9、是（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得C图形为中心对称图形故选：C【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，即在同一平面内，把一个图形绕某个点旋转180度能够与原图形重合，那么这个图形就是轴对称图形2. 下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】B【解析】【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可【详解】解：Ax5+x5=2x5，故A不符合题意；Ba10a9=a，故B符合题意；C（ab4）4=a4b16
10、，故C不符合题意；Da6a4=a10，故D不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键对相应的运算法则的掌握3. 如图，在中，垂直平分，若，则的长为（ ）A. 5B. 10C. 12D. 13【3题答案】【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求出AE，再由线段垂直平分线的性质得到BE=AE即可【详解】在中，垂直平分故选：D【点睛】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，灵活运用知识点是解题的关键4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛应
11、该选择( )甲乙丙丁平均数（cm）185180185180方差3.63.67.48.1A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【4题答案】【答案】A【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可【详解】=，从甲和丙中选择一人参加比赛，S甲2=S乙2S丙2S丁2，选择甲参赛；故选A【点睛】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键5. 关于的方程的解为，则( )A. 1B. 3C. -1D. -3【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值【详解】解：
12、把x=1代入原方程得:，去分母得，8a+12=3a-3，解得a=-3，故选D【点睛】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解6. 某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：依题意，得：1010（1x）10（1x）233.1故选：D【点睛】本题考查了
13、由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键7. 如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD，下列结论错误的是（ ）A. ACODB. BCBDC. AOD=CBDD. ABC=ODB【7题答案】【答案】A【解析】【分析】利用垂径定理，线段的垂直平分线的判定与性质，圆心角与圆周角的关系计算判断即可【详解】AB是直径，CD是弦，ABCD，直线AB是CD的垂直平分线，BC=BD，CBA=DBA，B选项正确；AOD=2DBA，AOD=DBA+CBA=CBD，C选项正确；OD=OB，ODB=DBA=CBA，D选项正确；无法证明AC=OD，A选项错误；故选A【点睛】本题
14、考查了圆的对称性，等腰三角形的性质，圆心角与圆周角关系定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用圆心角与圆周角关系定理是解题的关键8. 如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 若点在抛物线上，则C. 当时，y随x的增大而减小D. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解答即可【详解】解：A、由图象可知，抛物线与x轴交于两点，故A错误；B、抛物线在对称轴为直线x=3，点在抛物线上，m=n，故B错误；C、由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故C正确；D、抛物线的最小值为6，关于x的一元二次方程无实数根，故D错误，故选
15、：C【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解答的关键二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9. 人体中红细胞的直径约为0.0000077 m，数据0.0000077用科学记数法表示为_【9题答案】【答案】【解析】【分析】根据科学记数法的一般形式进行解答即可.【详解】解：0.0000077=.故答案为.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10-n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定10. 在平面直角坐标系中，点（3,2）关于轴的对称点的坐标是 【10题答案】【答案】(3,2)【解
16、析】【分析】可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪个坐标不变，关于原点对称都变【详解】解：（3,2）关于y轴的对称点的坐标是(3，2)故答案为：(3，2)考点：坐标的对称问题11. 一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是_【11题答案】【答案】红球（或红色的）【解析】【详解】解：因为有白球2个，黄球2个，红球1个，添加1个球后，摸到每一个颜色球的概率都是，所以添加的应该是红球.12. 化简：_【12题答案】【答案】【解析】【分析】先将括号里的异分母分式进行通分，再将各项
17、分解因式，进行分式的乘除运算【详解】故答案为： 【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意通分和约分是解题的关键13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则线段的长为_【13题答案】【答案】8【解析】【分析】连接CD，根据在ABC中，ACB=90，A=30，BC为x，可知AB=2BC=2x，再由作法可知BC=CD=x，CE是线段BD的垂直平分线，B=60可得出AD=BD=BC=CD，BD=x，进而可得出结论【详解】解：在ABC中，ACB=90，A=30，B=60，设BC=x，AB=2BC=2x作法可知BC=C
18、D=x，CE是线段BD的垂直平分线，BCD是等边三角形，AD=BD=BC=CD=x，BF=DF=x，AF=AD+DF=x+x=12解得：x=8故答案为：8【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键三、解答题14. （1）计算：（2）解不等式组：【14题答案】【答案】（1）3；（2）x2.【解析】【详解】解：（1）= = =3； （2）解得：x3，解得：x2，不等式组的解集为：x2. 15. 根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中
19、A：90分钟以上；B：6090分钟；C：3060分钟；D：30分钟以下并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有_人；（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？（4）学校从“A”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？【15题答案】【答案】（1）40 （2）72，见解析 （3）225人 （4）【解析】【分析】(1)根据C等级的信息，样本容量=频数百分比计算即可(2)根据公式圆心角度数=等级所占百分比
20、乘以360计算即可(3)运用样本估计总体的思想即等级频数样本容量总体计算即可(4)选择画树状图法或列表法计算即可【小问1详解】接受问卷调查的学生共有：（人），故答案为：40【小问2详解】扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：，“B”层级的人数为：40-6-16-8=10（人），补全条形统计图如下：【小问3详解】估计“A”层级的学生约有：（人）【小问4详解】画树状图得：共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，恰好抽到1个男生和1个女生的概率为【点睛】本题考查了统计图问题，概率计算，熟练掌握统计图的计算要领，会选择画树状图法或列表法计算概率是解题的关键17. 平放
21、在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得为，为，边的长为，边上露出部分的长为，求铁板边被掩埋部分的长（结果精确到参考数据：，）【17题答案】【答案】的长为0.6m【解析】【分析】根据已知条件可得，再解即可求得，然后利用线段的和差即可求得答案【详解】解：，在中，【点睛】本题考查了直角三角形的定义、解直角三角形的应用、线段的和差、按照要求求近似数等，正确选取三角函数解直角三角形是解题的关键18. 如图1，是的直径，点在的延长线上，点，是上的两点，延长交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求直径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，求的值【18题答案】【答案】（1
22、）见解析 （2）8 （3）【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质推出，然后根据余角的性质求出为90，即可证出结论；（2）利用（1）的结果证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求长，从而求出直径的长；（3）作，设，利用三角函数和中位线定理，结合线段的和差关系分别用含的代数式表示和，最后根据计算值即可【小问1详解】证明：如图，连接OC，是的直径，即BCOC，CD是O的切线；【小问2详解】由（1）知，又，即，解得，；【小问3详解】如图，作，是等腰三角形，是的中位线，由（2）知，设，则，【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，以及三角形的中位
23、线定理，解题的关键是综合运用所学的几何知识根据题意作出辅助线和利用三角函数解几何问题20. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点（在的左侧），与轴和轴分别交于，两点（1）当时，求，两点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接并延长交反比例函数图象的另一支于点，连接交轴于点若，求反比例函数的表达式【20题答案】【答案】（1）A（1，9），B（3，3） （2）（-27，-）或（-9，-1） （3）y=【解析】【分析】（1）把k=9代入反比例解析式，得y=，联立
24、两函数解析式，得方程组，求解即可；（2）分两种情况：当BAP=90，当ABP=90，分别求解即可；（3）过点B作BSy轴于点S，过点C作CTy轴于点T，证CTGBSG，得=2，所以BS=2CT，设C(-m,)，B(2m,)，则A（m，）,把A（m，），B(2m,)代入y=-3x+12，得，解之求出k值即可【小问1详解】解：当k=9时，则反比例函数解析式为y，联立得，解得：，在的左侧，A（1，9），B（3，3）；【小问2详解】解：当BAP=90，过点A作AHOE于H，设AP与x轴的交点为M，如图，令y=-3x+12=0，则x=4，点E（4，0），OE=4，A（1，9），OH=1，AH=9，HE=
25、3，AHOE，AHE=90，由勾股定理得：AE=3，又BAM=90，AHE=BAM=90，AEH=MEA，AHEMAE，即，ME=30，OM=ME-OE=26,M（-26，0），设直线AM解析式为：y=ax+b，解得：，直线AM解析式为：y=x+,联立，解得：，P（-27，-）；当ABP=90，如图，过点B作BHOE于H，由（1）知B（3，3），OH=3，BH=3，由（2）知OE=4，HE=1，BHOE于H，BHE=90，由勾股定理，得BE=，BHE=EBM=90，BEH=MEB，BHEMBE，即，ME=10，OM=ME-OE=10-4=6，,M（-6，0），设直线BM解析式为：y=mx+n，
26、解得：，直线AM解析式为：y=x+2,联立，解得：，P（-9，-1）；综上，点P的坐标为（-27，-）或（-9，-1）【小问3详解】解：过点B作BSy轴于点S，过点C作CTy轴于点T，则有BSCT，CTGBSG，=2，BS=2CT，设C(-m,)，B(2m,)，点A、C在反比例函数图象上，AC过原点，点A与点C关于原点对称，A（m，）,把A（m，），B(2m,)代入y=-3x+12，得，解得：，反比例函数的表达式为：y=【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键四、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）22. 关
27、于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_【22题答案】【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可【详解】关于的一元二次方程有实数根解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式，即当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；反之，亦成立23. 已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是_【23题答案】【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的增减性进行判断即可【详解】点，在反比例函数（为常数）的图象上在每个象限内，y随x的增大而减小解得故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键24. 如
28、图，四边形是矩形，对角线相交于点，点为线段上一点（不含端点），点是点关于的对称点，连接与相交于点若，则的长_【24题答案】【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质和翻折的性质得到，根据O是AC的中点，利用中位线性质求出AF，再求出OA即可【详解】解：点F是点E关于AD的对称点，EADFAD，AEAF，四边形ABCD是矩形，OADODA，FADODA，O是矩形ABCD的对角线的交点，O是AC的中点，、两点在线段上，且，由平行线分线段成比例定理可知，“A字形”中有，前面已证明O是AC的中点，即，G为CF的中点，OG是CAF的中位线，AF2OG224，AE4，OE4，OAAE+EO=8，AC2OA16
29、，BDAC16，故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质以及三角形中位线的性质，关键是利用中位线性质得出AF的长25. 在三角形纸片中，将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的一点处，折痕记为（如图1），剪去后得到双层（如图2），再沿着过某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为_【25题答案】【答案】20或【解析】【分析】先由折叠的性质及勾股定理求出DE的长度，再分和两种情况分类讨论即可【详解】，由勾股定理得由折叠可得设，则在中，即解得如图当时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形是一个特殊的平行四边形-菱形平行四边形
30、的周长为如图当时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形是一个特殊的平行四边形-菱形平行四边形的周长为综上，所得平行四边形的周长为20或故答案为：20或【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键26. 如图，在等腰中，点是上一点，点为射线（除点外）上一个动点，直线交射线于点，若，的面积的最小值为_【26题答案】【答案】6【解析】【分析】设点M是PD的中点，过点M作直线与射线CA、CB分别交于点，得到当点M是PD的中点时，的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可【详解】设点M是PD的中点，过点M作直线与射线CA、CB分别
31、交于点，则点M不是的中点当时，在上截取，连接DE当时，同理可得当点M是PD的中点时，的面积最小如图，作于H则，在等腰中，过点D作交于K四边形AKDH矩形故答案：6【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键五、解答题27. 2022年6月26日至7月7日，第31届世界大学生夏季运动会在成都举行某公司要印制大运会宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1600元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费；（1）分别写出两印刷厂的收费（元）与印制数量（份）之间的关系式；（2）在同一直角坐标系内画出它们的图象；（3）根
32、据图象回答下列问题：印制600份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？该公司拟拿出5000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？【27题答案】【答案】（1）甲厂：；乙厂： （2）作图见解析 （3）印制600份宣传材料时，选择乙印刷厂比较合算；公司拟拿出5000元用于印制宣传材料时，选择甲印刷厂比较合算【解析】【分析】（1）根据甲印刷厂和乙印刷厂的收费，可将两个厂的收费y（元）与印刷数量x（套）之间的函数关系式表示出来；（2）根据y与x之间的函数关系式，可在直角坐标系中，将两个函数所在的直线作出；（3）通过图象，辅助简单计算便可清晰直观的看出选择哪个印刷厂较为合算【小问1详解】解：
33、甲印刷厂：每份材料收1元印制费，另收1600元制版费，；乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费，；【小问2详解】解：将（1）中的函数在同一个平面直角坐标系中作出图象，如图所示：【小问3详解】解：印制600份宣传材料时，甲印刷厂费用；乙印刷厂费用，结合图象可得，选择乙印刷厂比较合算；公司拟拿出5000元用于印制宣传材料，甲印刷厂印刷份数为（份）；乙印刷厂印刷份数为（份），结合图象可得，选择甲印刷厂比较合算【点睛】本题主要考查一次函数图象和应用，以及从图象上获取信息的能力29. 如图1，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，点是第二象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，
34、交于点（1）求此抛物线的表达式；（2）过点作，垂足为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？（3）如图2，连接，将线段绕点顺势针旋转，的对应点为，连接和，若面积与面积比为3：2，求点坐标【29题答案】【答案】（1） （2）；当时，有最大值，最大值是 （3）【解析】【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线，利用待定系数法直接求解即可；（2）先根据等腰直角三角形的性质及平行线的判定和性质得出，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，根据求解，再将二次函数化为顶点式即可求解；（3）过点作轴交于点K，先证明，可表示出，再由割补法表示出和，然后根据面积与面积比为3：2，建立方程
35、求解即可【小问1详解】将，两点坐标代入抛物线，得解得 此抛物线的表达式为【小问2详解】抛物线的表达式为轴设设直线AC的解析式为把、代入，得解得直线AC的解析式为当时，有最大值，最大值是【小问3详解】过点作轴交于点K轴由题意得由（2）得由图得面积与面积比为3：2解得或（舍去）【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点及灵活运用是解题的关键31. 在中，是边上一点，连接（1）如图1，是延长线上一点，与垂直求证：；（2）如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；（3）如图3，将（1）中的以
36、点为中心逆时针旋转得，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，最大值为，最小值为，求的值【31题答案】【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）证明即可得出结论；（2）作，交BP延长线于点D，证明和，二者结合即可得到结论；（3）点C运动的轨迹是以B为圆心，BC为半径的圆，点N运动的轨迹是以B为圆心，BN为半径的圆，故CN运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，结合图形找到点E的位置，确定m、n的值，即可求解【小问1详解】解：如图1，延长AM交CN于D，与垂直，在和中，；【小问2详解】解：如图2，作，交BP的延长线于点D，在和中，；【小问3详解】解：如图3，点C运动的轨迹是以B为圆心，BC为半径的圆，点N运动的轨迹是以B为圆心，BN为半径的圆，CN运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，当点E运动到点M处时，DE最小，延长CB交大圆于点，当点E在处时，DE最大，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形
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