1、 湖北省武汉市硚口区湖北省武汉市硚口区 2021-2022 学年学年中考中考数学模拟试卷数学模拟试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1. 已知一元二次方程( + )2+ = 0( 0)的两根分别为3， 1， 则方程( + 2)2+ = 0( 0)的两根分别为( ) A. 1，5 B. 1，3 C. 3，1 D. 1，5 2. 下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有( ) A. 5个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 3. 下列说法：“可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生”；“367人中有2人同月同日生”为
2、必然事件( ) A. 只有正确 B. 只有正确 C. 都正确 D. 都错误 4. 关于的一元二次方程2+ + = ( 0)有两个实数根，则( ) A. 2 4 0 B. 2 4 0 C. 2 4 0)交轴， 轴于点， ， 点， 是， 上的点， 以为边作正方形， 恰好落在上， 已知 = 2， 则的值为( ) A. 1 + 5 B. 5 C. 755 D. 2 +55 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11. 如图，平面直角坐标系中，在轴上， = 90， = 1， = 2.将 绕点逆时针旋转到 ，点的对应点落在轴上，的对应点恰好落在双曲线 =( 0时，方程有两个不相等的两个实数根；
3、当= 0时，方程有两个相等的两个实数根； 当 0， = =755； 故选： 由直线的解析式可知tan =12， 结合正方形性质可得 = = ， 在 中， = 2，tan =12，则 = 5；在 中， = 2，tan =12，则 =255；又由 = 即可求解 本题考查一次函数的图象及性质，正方形的性质，直角三角形的性质；能够通过直线解析式，结合直角三角形性质确定 = = ，tan =12是解题的关键 11.【答案】34 【解析】试题分析：作 轴于点，首先利用旋转不变形求得 = = 1， = ，然后在直角三角形中利用解直角三角形求得和的长即可求得点的坐标，从而求得值 作 轴于点， 将 绕点逆时针旋
4、转到 ，点的对应点落在轴上， = = 1， = ， = 1， = 2， = = 60， = 30 =12， = 30 =32， 点的坐标为(12,32)， 恰好落在双曲线 =( 0，由于 轴，利用勾股定理易得 2+ 2= 2，即22+ ( 1)2= 2，解即可 本题考查了切线的性质、勾股定理、坐标与图形性质解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，并知道 = 【解答】 解：连接，过作 轴于， 设点的坐标是(0,)，且 0， 轴， = 90， 2+ 2= 2， 22+ ( 1)2= 2， 解得 = 2.5， 故答案是(0,2.5) 17.【答案】解：根据题意得1+ 2=52，12= 2 (1)原式=
5、 12 2(1+ 2) + 4 = 2 2 52+ 4 = 2 5 + 4 = 3； (2)原式= (1+ 2)2 212 = (52)2 2 (2) =254+ 4 =414 【解析】本题考查了根与系数的关系：若1， 2是一元二次方程2+ + = 0 ( 0)的两根时，1+ 2= ，12= 根据根与系数的关系得到1+ 2=52，12= 2， (1)利用乘法公式把(1 2)(2 2)展开，变形得到12 2(1+ 2) + 4，然后利用整体代入的方法计算； 第 16 页，共 24 页 (2)先利用完全平方公式变形得到(1+ 2)2 212，然后利用整体代入的方法计算 本题考查了根与系数的关系：若
6、1，2是一元二次方程2+ + = 0( 0)的两根时，1+ 2= ，1 2= 18.【答案】解： ， = 90， 1 + = 90， 2 + = 90， 1 = 2， = 1， 2 = ， / 【解析】先根据垂直的定义可得1 + = 90，则根据等角的余角相等得1 = 2，根据等量关系可得2 = ，然后根据平行线的判定可得/ 本题考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系 19.【答案】解：(1)共有6种等可能的结果，落回到圈的只有1种情况， 落回到圈的概率1=16； (2)画树状图为： 共有36种等可能的结果，最后落回到圈的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4
7、,2)，(5,1)，(6,6)， 小亮最后落回到圈的概率2=636=16 【解析】(1)直接利用概率公式求解； (2)先画树状图得到36种等可能的结果，再找出两数的和为6的倍数的结果数，然后根据概率公式求解 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出， 再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率 20.【答案】 等腰三角形三线合一 【解析】解：(1)如图所示： 即为所求 (2)在 和 中， = ， = ， = ， ()， = = = ， = ， (等腰三角形三线合一) 故答案为：，等腰三角形三线合一 (1)根据要求画出图形即可 (2)利用
8、全等三角形的判定，等腰三角形的性质解决问题即可 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 21.【答案】23 【解析】解：(1)如图 设是等边三角形的外接圆圆心， 则 = = = 2， 延长交于点，则 ， = =12， 是直角三角形， 第 18 页，共 24 页 = 60， = 120， = = 60， = sin， = = 2 60 = 2 32= 3， = 23， 故答案为：23； (2)由旋转的性质可得 = ， = ， = = 90， = ， = ， = ， = ， 在正方形中， = 90， + = 180， 点
9、，四点共线， = + ， = 90， = 45， + = 45， = 90，且 = 45， + = 45， = ， = ， = ， ()， = ， = + ， = ， = + ； (3)连接， = 2 = 2， = = = = = ， 和 均是等边三角形， = = = 60 = = ， = 60， 也是等边三角形， = = ， = 60， 将 绕点顺时针旋转120，则与重合，点落在延长线上处， ， = ， = ， = = 120， = = 60， = ， ()， = ，= ， 过点作 于点， = sin = 20 60 = 103， =12 =12 103 = 53， 点在上， = 60， 点
10、在线段上，当点与点重合时，与重合，当点与重合时，与重合； 在从向移动过程中，与在增大， 与重合时，最小，此时 = 20， 面积的最小值2032， 故 面积的最小值2032 (1)设是等边三角形的外接圆圆心，延长交于点，根据圆周角定理结合勾股定理，通过解直角三角形，求出的长即可得出结论； (2)由 可得， = = 90， = ， = ， = ， = ，再证明 = + ，最后证明 ，即可得到结论； (3)连接，证明 、 、和 均是等边三角形；将 绕点顺时针旋转120，则与重合，点落在延长线上处，过点作 于点，得到= 53，最后根据与重合时，最小，此时 = 20，从而可得结论 此题主要考查了全等三角
11、形的判定与性质，旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握以上相关性质是解答此题的关键 22.【答案】解：设路的宽度为，由图可以修建的小路可以等价为：一条横着的小路和一条竖着的小路，两条路的长分别为：32，20，但是小路重叠交叉处算了两次， 所以小路的总面积为：(32 + 20) 2，由题意得： (32 + 20) 2= 32 20 540， 第 20 页，共 24 页 整理得，2 52 + 100 = 0， 解之得，1= 2，2= 50(舍去) 即：路的宽度应该为：2 【解析】要求路宽，应先设路宽为： ，由图可以修建的小路可以等价为：一条横着的小路和一条
12、竖着的小路， 两条路的长分别为： 32， 20； 宽为： ， 但交叉处算了两次， 所以路所占的面积为： (32 + 20) 2，根据草坪的面积为5402，列出方程求解即可得到小路的宽度 本题的关键在于准确理解题意， 所修建的小路应等价于一条横着的小路和一条竖着的小路， 且长度分别为：32，20，以路的面积为等价关系，对小路交叉处算了两次的处理是本题的易错之处，同学们一定要注意 23.【答案】解：(1) ， ， /， = ， 点是边中点， = ， 在 与 中， = = = ， ，()， = ； = = = 90， ， =12， = 4， = 5， /， ， =45， 连接， =12， =45，
13、=45， =59， =59， =59， =518， = ， = ， = ， = ， = ， 过作 于， = = ， = 2， = = ， = 2， 2+ 2= 2， 2+ 42= 4， =255， =455， =12 = 1， =45，= 2， =25， =19； (2) = 2， = 4， = 1， = 2+ 2= 25， =12 =12 ， =455， 由(1)知 =59 =459， = =459， = = ， 以、为顶点的三角形与 相似， =或=， 第 22 页，共 24 页 459=41或1=4459， =1659或955 【解析】(1)根据平行线的性质得到 = ，根据全等三角形的性质
14、即可得到结论； 根据相似三角形的性质得到=12，求得 = 4，得到 = 5，根据相似三角形的性质得到=45，连接，求得 =59，根据等腰三角形的性质得到 = ，过作 于，根据勾股定理得到三角形的边长，根据三角形的面积公式即可得到结论； (2)根据勾股定理得到 = 2+ 2= 25，根据三角形的面积公式得到 =455，由(1)知 =59 =459，求得 = =459，根据相似三角形的性质即可得到结论 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，则的作出辅助线是解题的关键 24.【答案】解：(1)设抛物线解析式为 = 2+ + ， 把、三点坐标代入可得： + = 0
15、16 + 4 + = 0 = 4， 解得： = 1 = 3 = 4， 抛物线解析式为 = 2 3 4； (2)存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， = ，此时点即为满足条件的点， (0,4)， (0,2)， 点纵坐标为2， 代入抛物线解析式可得2 3 4 = 2，解得 =3;172(小于0，舍去)或 =3:172， 存在满足条件的点，其坐标为(3:172,2)； (3) 点在抛物线上， 可设(,2 3 4)， 过作 轴于点，交直线于点，如图2， (4,0)，(0,4)， 直线解析式为 = 4， (, 4)， = ( 4) (2 3 4) = 2+ 4， = +
16、=12 +12 =12 ( + ) =12 =12(2+ 4) 4 =2( 2)2+ 8， 当 = 2时，最大值为8，此时2 3 4 = 6， =12 = 8， 四边形的最大面积为16， 当点坐标为(2,6)时，四边形的最大面积为16 【解析】(1)由、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； (2)由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； (3)过作 轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出 的面积，利用二次函数的性质可求得四边形的最大面积及点的坐标 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、四边形的面积、方程思想等知识在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出点的位置是解题的关键，在(3)中用点坐第 24 页，共 24 页 标表示出 的面积是解题的关键
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