1、2022 年湖北省潜江市中考数学诊断试卷年湖北省潜江市中考数学诊断试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1. 下列各数中，最小的数是( ) A. 3 B. 2 C. 3 D. 0 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( ) A. B. C. D. 3. 港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥整个大桥造价超过720亿元人民币， 720亿用科学记数法可表示为_元( ) A. 7.2 1010 B. 0.72 1011 C. 7.2 1011 D. 7.2 109 4. 小明准备到一家公司应聘职员，他了解到该公司17名员工的月收入如下 月收入(单位：元) 10000
2、 8000 5000 4500 3000 2000 人数(单位：名) 1 1 6 2 其中有两个数据被污损，根据这组数据，小明一定能确定的统计量是( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，/，直线分别交、于、，1 = 58，则2的度数是( ) A. 58 B. 148 C. 132 D. 122 6. 下列各式中，计算正确的是( ) A. 6 2= 3 B. (22)3= 66 C. 3 (2) = 5 D. 2;1=12 7. 一个圆锥形工艺品，它的高为33，侧面展开图是半圆则此圆锥的侧面积是( ) A. 9 B. 18 C. 272 D. 27 8. 已知在一
3、次函数 = 2 + 的图象上有三点(2,1)，(1,2)(1,3)，则1，2，3的大小关系( ) A. 1 2 3 B. 2 1 3 C. 3 2 1 D. 3 1 2 9. 如果一个一元二次方程的根是1= 2= 1，那么这个方程是 A. ( + 1)2= 0 B. ( 1)2= 0 C. 2= 1 D. 2+ 1 = 0 10. 抛物线 = 2+ + 的图象向左平移5个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则此抛物线的对称轴与轴的交点的横坐标是( ) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15 分） 11. 正八边形的每个内角为 12. 8个一样大小的长
4、方形恰好拼成一个大的长方形(如图所示)，若大长方形的宽为8，则每一个小长方形的面积为_ 13. 廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全， 在该抛物线上距水面高为8米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 (精确到1米) 14. 现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为1、2的两个小球，另一个装有标号分别为2、3、4的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出1个小球，两球标号恰好相同的概率是_ 15. 如图，将一个边长为1的正方形纸片折叠，使点落在边上(不与、 重合)， 为折痕， 折叠后与交于， 则四边形
5、面积最小值为_ 三、解答题（本大题共 9 小题，共 75 分） 16. 先化简，再取一个你喜欢的的值入并求值 2;12;2:1:1;11;1: 17. 如图， 中， = .按要求解答下面问题： (1)尺规作图：(保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 作的平分线交于点； 作边的垂直平分线，与相交于点； 连结、 (2)根据(1)中作出的正确图形，写出三条线段、之间的数量关系 18. 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12 (1)第二小
6、组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ 19. 某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示， 一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的点处的俯角 = ，点处的俯角 = 37，线段的长为无人机距地面的高度，点、在同一条水平直线上， = 3， = 25米 (1)求无人机的飞行高度 (2)求河流的宽度 (参考数据：37 0.60，37 0.80，37 0.75) 20. 如图，在 中， = 90， = 30，以为一边向上作等边三角形，点在垂直平分线上，且 ，连接， (1)判断 的形状，并说明理由； (2)求
7、证： = ； (3)填空： 若，相交于点，则的度数为_ 在射线上有一动点， 若 为等腰三角形， 则的度数为_ 21. 如图，直线经过点(4,0)，(0,3) (1)求直线的函数表达式； (2)若圆的半径为2，圆心在轴上，当圆与直线相切时，求点的坐标 22. 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为 ，单层部分的长度为 .经测量，得到表中数据 双层部分长度() 2 8 14 20 单层部分长度() 148 136 12
8、4 112 (1)根据表中数据规律，求出与的函数关系式； (2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为130时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度； (3)设背带长度为 ，求的取值范围 23. 已知在等腰直角 中， = 90，点从点出发沿射线方向移动在右侧以为腰作等腰直角 ， = 90.连接 (1)求证： ； (2)点在移动过程中，请猜想，之间的数量关系，并说明理由； (3)若 = 2，当 = 1时，结合图形，请直接写出的长_ 24. 正方形，分别是边，上的点，且 = 45，将 绕点逆时针旋转90，得到 .求证： = + 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据实数的大小关系，得2
9、3 0 3 在2、3、0、3中最小的数为2 故选： 根据实数的大小关系、算术平方根是解决本题的关键 本题主要考查实数的大小比较、算术平方根，熟练掌握实数的大小关系、算术平方根是解决本题的关键 2.【答案】 【解析】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项 C的图形符合题意， 故选： 从上面看物体所得到的图形即为俯视图，因此选项 C的图形符合题意 本题考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形 3.【答案】 【解析】解：720亿= 7.2 1010， 故选： 科学记数法的表示形式为 10的形式， 其中1 | 10时，是正数；当原数的绝对
10、值 1时，是负数 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1 | 10，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值 4.【答案】 【解析】解：这组数据的样本容量为17， 这组数据的中位数是第9个数据，即中位数为4500， 则根据这组数据，小明一定能确定的统计量是中位数， 故选： 根据中位数的定义求解可得 本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的概念 5.【答案】 【解析】解： /， = 1 = 58， 2 = 180 58 = 122， 故选： 利用平行线的性质可得 = 1 = 58，再利用邻补角相等可得答案 此题主要考查了平行线的性质，
11、关键是掌握两直线平行，同位角相等 6.【答案】 【解析】解：、6 2= 4，错误； B、(22)3= 86，错误； C、3 (2) = 5，正确； D、2;1=2，错误； 故选： 根据同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂的乘法和负整数指数幂判断即可 此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂的乘法和负整数指数幂法则解答 7.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2
12、 =180180，所以 = 2，再利用勾股定理计算出 = 3，则 = 6，然后根据扇形的面积公式计算即可 【解答】 解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 则2 =180180， 所以 = 2， 所以圆锥的高= 2 2= 3， 即3 = 33，解得 = 3，则 = 6， 所以此圆锥的侧面积=12 2 3 6 = 18 故选： 8.【答案】 【解析】解：在 = 2 + 中， = 2 0， 随的增大而减小， 2 1 2 3 故选 A 根据一次函数的增减性进行判断即可 本题主要考查一次函数的增减性， 掌握一次函数的增减性是解题的关键， 即在 = + 中， 当 0时， 随的增大而增大，当 0时，随的增
13、大而减小 9.【答案】 【解析】分别求出四个选项中每一个方程的根，即可判断求解 解：、( + 1)2= 0的根是1 = 2 = 1，不符合题意； B、( 1)2= 0的根是：1= 2= 1，符合题意； C、2= 1的根是：1= 1，2= 1，不符合题意； D、2+ 1 = 0没有实数根，不符合题意； 故选 B 10.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，难度适中正确求出平移后的解析式是解题的关键，先根据解析式“上加下减，左加右减”的平移规律分别得到二次函数 = 2+ + 的图象向左平移5个单位或向右平移1个单位后的解析式，再
14、将原点(0,0)分别代入，得25 + 5 + = 0， + = 0，再将 ，得出 = 4，求出2= ;42= 2，进而得到二次函数 = 2+ + 图象的对称轴与轴的交点的横坐标 【解答】 解：二次函数 = 2+ + 的图象向左平移5个单位得到 = ( + 5)2+ ( + 5) + ， 将原点(0,0)代入，得25 + 5 + = 0; 二次函数 = 2+ + 的图象向右平移1个单位得到 = ( 1)2+ ( 1) + ， 将原点(0,0)代入，得 + = 0； ，得24 + 6 = 0， = 4， = 2= ;42= 2， 二次函数 = 2+ + 图象的对称轴与轴的交点的横坐标是2 故选 A
15、 11.【答案】135 【解析】试题分析：根据多边形的内角和和公式( 2) 180求出内角和，然后再除以边数即可； 或：先求出多边形的每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是平角，等于180列式计算 (8 2) 180 = 1080， 1080 8 = 135； 或：360 8 = 45， 180 45 = 135 故答案为：135 12.【答案】122 【解析】解：设每个小长方形的长为，宽为，根据题意得： + = 8 = 3， 解得： = 6 = 2 则每一个小长方形的面积为6 2 = 12(2). 故答案是：122 先设每个小长方形的长为，宽为，根据大长方形的宽为8，3个小长方形的宽等于
16、1个小长方形的长，列出方程组，再进行求解即可 此题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据图形找出其中的等量关系，列出方程组，用到的知识点是长方形的面积公式 13.【答案】 【解析】【解析】由于两盏、距离水面都是8，因而两盏景观灯之间的水平距离就 是直线 = 8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值 故有， 即， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： 14.【答案】16 【解析】解：画树状图得： 一共有6种等可能的结果， 两球标号恰好相同的有1种情况， 两球标号恰好相同的概率是16 首先根据题意画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球标号恰好相同的情况，即可根据概率公式求解 此题考查了树状图法与列
17、表法求概率树状图法与列表法适合两步完成的事件，可以不重不漏的表示出所有等可能的情况用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 15.【答案】38 【解析】解：如图，过作 与， 则 = = 1， 连，交于.则由折叠知， 与 关于直线对称，即 ， 有 = ， = ， = ， = ， ， = 设 = ，则 = 1 + 2， =121 + 2，代入上式得： = =12(1 + 2) + = 90， + = 90， = ， 在 和 中， = = = = 90， ()， = = 故 C = = = =12(1 + 2) =12( 1)2 梯形=1212( 1)2+12(2+ 1) 1 =12(2 +
18、1) =12( 12)2+38， 得当 =12时，梯形面积最小，其最小值38 故答案为：38 先证明 ，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目 16.【答案】解：原式=(:1)(;1)(;1)2;1:11;:1 = ;1:1， 当 = 2时，原=2;12:1= 13 【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题
19、的关键 17.【答案】解：(1)如图， (2) = = 理由： = ， ， = ，即垂直平分， = ， 垂直平分， = ， = = 【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可； (2)先利用等腰三角形的性质得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质得到 = = 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 18.【答案】解：(1) 从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3， 第二小组频数为12. 样本容量是(2:4
20、:17:15:9:3)124= 150， 第二小组的频率是12 150 = 0.08 (2) 次数在110以上为达标， 次数在110以上的有150 (1 650) = 132 全体高一学生的达标率为132 150 100% = 88% 【解析】(1)根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值求出样本容量用频数除以样本容量即可求得频率； (2)根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到达标率 本题考查频率分步直方图的应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清图中所给的条件，知道
21、小长方形的面积就是这组数据的频率 19.【答案】解：(1)由题意得：/， = = ， = = 37， 在 中，tan =， = 3， = 25米， = = 25 3 = 75(米)， 答：无人机的飞行高度为75米； (2)在 中，tan =， =tan=7537750.75= 100(米)， = 100 25 = 75(米)， 答：河流的宽度约为75米 【解析】(1)在 中，由锐角三角函数定义求出的长即可； (2)在 中，由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键 20.【答案】解：(1) 是等边三角
22、形理由如下： 点在垂直平分线上， = ， ， = 90， = 30， = 60， 是等边三角形 (2) 是等边三角形， = ， = 60， = 30， = 90， ， = 90， = ， 由(1)可知： 是等边三角形， = ， () = ； (3)60 ；15或60或105 【解析】解：(1) 是等边三角形理由如下： 点在垂直平分线上， = ， ， = 90， = 30， = 60， 是等边三角形 (2) 是等边三角形， = ， = 60， = 30， = 90， ， = 90， = ， 由(1)可知： 是等边三角形， = ， () = ； (3)设与交于点， ， = ， 又 = ， = =
23、60 故答案为：60 为等腰三角形， 当 = 时，如图2， = + = 30， = 15， = 90 + 15 = 105； 当 = 时，如图3， = 30， = 30， = 90， = 60； 当 = 时，如图4， = 30， = =12(180 30) = 75， = 90 75 = 15 综合上述可得的度数为15或60或105 故答案为：15或60或105 (1)根据垂直平分线的性质可得 = ，再算出 = 60，可判定 是等边三角形； (2)根据可证明 ，即可得出结论； (3)由(2)中全等可得 = ，再根据三角形内角和可得的度数； 分 = ， = ， = 三种情况讨论，通过等腰三角形的
24、性质，借助的度数计算的度数 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及中垂线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 21.【答案】解： 方法一： (1) (4,0)，(0,3)， 直线的解析式为： = 34 + 3； (2)作 ，垂足为， 在轴上，设(0,)， 2 = = ， |3 | 4 = 5 2， 1 =12，2 =112， 1(0,12)，2(0,112). 答题人：万老师 方法二： (1) 直线经过点(4,0)，(0,3)， 设直线的解析式为： = + ， 0 = 4 + 3 = = 3 0)，即 = ，
25、 若在点下边时， = 3 ， = ， = = 90， ， =，即24=3;5， 解得： =12，此时(0,12)； 若在点上边时， = 3， 同理 ，则有=，即24=;35， 解得： =112.此时(0,112). 【解析】(1)把点(4,0)，(0,3)代入直线的解析式 = + ，即可求出结果 (2)先画出示意图，在 中求出sin，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出，继而可得点的坐标 本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般 22.【答案】解：(1)设与的函数关系式为 = + ( 0)， 由题知148
26、= 2 + 136 = 8 + ， 解得 = 2 = 152， 与的函数关系式为 = 2 + 152； (2)根据题意知 + = 130 = 2 + 152， 解得 = 22 = 108， 双层部分的长度为22； (3)由题知，当 = 0时， = 152， 当 = 0时， = 76， 76 152 【解析】(1)设出与的函数关系式为 = + ，代入表中数据求系数即可； (2)根据函数关系式和背带长度为130列出二元一次方程组解方程组即可； (3)根据和都为非负数求出的最大值和最小值即可确定取值范围 本题主要考查一次函数的应用，利用一次函数的性质解决实际问题是解题的关键 23.【答案】2或10
27、【解析】(1)证明： ， 是等腰直角三角形， = = 90， = ， = ， = = = = 45， + = + ， = ， 在 与 中， = = = ， () (2)解：结论：2+ 2= 2 当点在线段上时， ， = = 45， = = + = 90， 是直角三角形， 2+ 2= 2 当点在线段的延长线上时，证明方法类似 (3)点在线段上时，如图1， = = 2， = 90， = 2+ 2= 2 = 1， = 2 1 = 1 ， = = 1 = 90， = 2+ 2= 12+ 12= 2 点在线段延长线上时，如图2， = 2 + 1 = 3 ， = = 3， = 90， = 90， = 2+
28、 2= 32+ 12= 10 综上所述：的长为2或10 故答案为2或10 (1)由 和 都是等腰 可得， = ， = ， = = 90， 则有 = ， 从而可证到 ； (2)由 可得 = = 45，从而得到 = + = 90，利用勾股定理可得结论 (3)可分点在线段上时(如图1)和点在线段延长线上时(如图2)两种情况讨论，在 中运用勾股定理可求出， 从而得到， 由 可得 = ， 在 中运用勾股定理就可求出 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 24.【答案】证明：如图，由题意得： ， = ， = ， = ； = + ； + = + ； = 45， = 90， + = 90 45 = 45， = 45， = ； 在 与 中， = = = ， ()， = ，而 = + ， = + 【解析】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质等知识点；解题的关键是抓住旋转变换过程中的不变量 首先证明 = + ；然后证明 = ， = ，再证明 ，得到 = ，即可解决问题
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