1、2022 年长沙中考数学模拟试卷年长沙中考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2022黔东南州模拟）下列数中最大的数是（ ） A B2 C0 D3.14 2 （3 分） （2021 秋农安县期末）根据世界卫生组织的统计，截止 10 月 28 日，全球新冠确诊病例累计超过 4430 万，用科学记数法表示这一数据是（ ） A4.43107 B0.443108 C44.3106 D4.43108 3 （3 分） （2021 秋武昌区校级期末）下列图形中，为中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3
2、 分） （2022沈河区校级模拟）下列计算正确的是（ ） Ab3b32b3 Bx16x4x4 C2a2+3a26a4 D（a5）2a10 5 （3 分） （2021 秋庐江县期末）如图，将直尺与含 30角的三角尺摆放在一起，若124，则2 的度数是（ ） A54 B48 C46 D76 6 （3 分） （2021 秋进贤县校级期末） 如图， A， B， C 是O 上的三个点， 若B32， 则AOC （ ） A64 B58 C68 D55 7 （3 分） （2021 秋莱阳市期末）一次函数 y2021x2022 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8 （3
3、 分） （2022宁波模拟）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了 10 辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A220，220 B210，215 C210，210 D220，215 9 （3 分） （2021龙口市模拟） 有甲、 乙两把不同的锁， 各配有 2 把钥匙 若从这 4 把钥匙中任取 2 把钥匙，则打开甲、乙两把锁的概率为（ ） A B C D 10 （3 分） （2019 秋鲤城区校级月考）如图，在一个由 6 个圆圈组成的三角形里，把15 到20 这 6 个连续整数分别填入图的圆圈中， 要求三角形的每条边上的三个
4、数的和S都相等， 那么S的最小值是 （ ） A53 B54 C56 D57 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11（3 分） （2022安徽一模）因式分解：x（xy）+y（yx） 12 （3 分） （2021江西模拟）如图，在O 中，AD 为直径，弦 BCAD 于点 H，连接 OB已知 OB2cm，OBC30动点 E 从点 O 出发，在直径 AD 上沿路线 ODOAO 以 1cm/s 的速度做匀速往返运动，运动时间为 ts当OBE30时，t 的值为 13 （3 分） （2020 秋大东区期末）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，
5、BD 相交于点 O，H 为 BC 中点，AC6，BD8，则线段 OH 的长为 14（3 分）（2021 秋思明区校级期中） 若 m 是方程 x2x10 的一个根， 则 m2m+2020 的值为 15 （3 分） （2021福建）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD，则点 D 到 AC 的距离是 16 （3 分） （2019 秋舞钢市期末）小刚家 2017 年和 2018 年的家庭支出情况如图所示，则小刚家 2018 年教育方面支出的金额比 2017 年增加了 万元 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分） （2021 秋桐柏县期末）计算：
6、（1）； （2） 18 （6 分） （2021 秋沈丘县期末）先化简，再求值： （x2y）2+（x2y） （x+2y）2x（2xy）2x，其中 x1，y2 19 （6 分） （2021 秋襄城县期中）人教版初中数学教科书八年级上册第 3738 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：ABC，求作：ABC，使得ABCABC，作法：如图 （1）画DAEA； （2）以点 A为圆心，在射线 AD 上截取 ABAB，在射线 AE 上截取 ACAC； （3）连接线段 BC，则ABC即为所求作的三角形 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上） ：
7、证明：由作图可知，在ABC 和ABC 中， ， ABC （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 （填序号） AAS ASA SAS SSS 20 （8 分） （2021 春江宁区月考）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共 50 个，这些球除颜色外都相同小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率会接近 （精确到 0.1） ； （2）估算一下袋中黑球的个数有多少个； （3）若小明又将 x 个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在 左
8、右（用含 x 的式子表示） 21 （8 分） （2022中宁县模拟）如图，已知点 E 是ABCD 中 BC 边的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 AC，BF，AFBC （1）求证：四边形 ABFC 为矩形； （2）若AFD 是等边三角形，且边长为 4，求四边形 ABFC 的面积 22 （9 分） （2022长兴县开学）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少 30 元，用相同的费用，购买的足球数量与
9、购买的篮球数量之比为 3：2 （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求足球和篮球的总费用不超过 15500元，学校最多可以购买多少个篮球？ 23 （9 分） （2022徐汇区校级模拟）RtABC 中，C90，AC6，BC8，P 为ABC 所在平面上一点，PAPB，且 SPBCSABC，求 PA 的长 24 （10 分） （2021 秋朝阳区期末）在平面直角坐标系中，抛物线 L：yx2mx+2m+3（m 是常数）的顶点为 A （1）用含 m 的代数式表示抛物线 L 的对称轴 （2）当 2x3，抛物线 L 的最高点的纵坐标为 6 时，
10、求抛物线 L 对应的函数表达式 （3）已知点 B（3，2） 、C（2，7） ，当3m2 时，设ABC 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式，并求 S 的最小值 （4）已知矩形 MNPQ 的四个顶点的坐标分别为 M（3，3m） 、N（3，3+m） 、P（5+m，3+m） 、Q（5+m，3m） ，当抛物线 L 与边 MN、PQ 各有 1 个交点分别为点 D、E 时，若点 D 到 y 轴的距离和点E 到 x 轴的距离相等，直接写出 m 的值 25 （10 分） （2020裕华区校级一模）如图，在DAM 内部做 RtABC，AB 平分DAM，ACB90，AB10，AC8，点 N 为 BC 的中
11、点，动点 E 由 A 点出发，沿 AB 运动，速度为每秒 5 个单位，动点 F由 A 点出发，沿 AM 运动，速度为每秒 8 个单位，当点 E 到达点 B 时，两点同时停止运动，过 A、E、F作O （1）判断AEF 的形状为 ，并判断 AD 与O 的位置关系为 ； （2）求 t 为何值时，EN 与O 相切？求出此时O 的半径，并比较半径与劣弧长度的大小； （3）直接写出AEF 的内心运动的路径长为 ； （注：当 A、E、F 重合时，内心就是 A 点） （4）直接写出线段 EN 与O 有两个公共点时，t 的取值范围为 （参考数据：sin37，tan37，tan74，sin74，cos74） 20
12、22 年长沙中考数学模拟试卷年长沙中考数学模拟试卷 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2022黔东南州模拟）下列数中最大的数是（ ） A B2 C0 D3.14 【考点】实数大小比较 【专题】实数；数感 【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可 【解答】解：203.14， 最大的数是 ， 故选：A 【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝
13、对值大的反而小 2 （3 分） （2021 秋农安县期末）根据世界卫生组织的统计，截止 10 月 28 日，全球新冠确诊病例累计超过 4430 万，用科学记数法表示这一数据是（ ） A4.43107 B0.443108 C44.3106 D4.43108 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：4430 万443000004.43
14、107 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分） （2021 秋武昌区校级期末）下列图形中，为中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B是中心对称图形，故本选项符合题意； C不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
15、D不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 4 （3 分） （2022沈河区校级模拟）下列计算正确的是（ ） Ab3b32b3 Bx16x4x4 C2a2+3a26a4 D（a5）2a10 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】整式；运算能力 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可 【解答】解：A、b3b3b6，故本选项不合题意； B、x16x4x12，故本选项不合题意； C、2a
16、2+3a25a2，故本选项不合题意； D、（a5）2a10，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键 5 （3 分） （2021 秋庐江县期末）如图，将直尺与含 30角的三角尺摆放在一起，若124，则2 的度数是（ ） A54 B48 C46 D76 【考点】平行线的性质 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观 【分析】首先根据三角形外角的性质求出BEF 的度数，再根据平行线的性质得到2 的度数 【解答】解：BEF 是AEF 的外角，124，F30， BEF1+F54， ABCD， 2BEF54 故选：A
17、 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大 6 （3 分） （2021 秋进贤县校级期末） 如图， A， B， C 是O 上的三个点， 若B32， 则AOC （ ） A64 B58 C68 D55 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【分析】利用圆周角定理即可求解 【解答】解：如图，B32， AOC2B23264 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键 7 （3 分） （2021 秋莱阳市期末）一次函数 y2021x2022 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第
18、三象限 D第四象限 【考点】一次函数的性质 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限 【解答】解：一次函数 y2021x2022，k20210，b20220， 该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B 【点评】 本题考查一次函数的性质， 解答本题的关键是明确当 k0， b0 时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限 8 （3 分） （2022宁波模拟）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了 10 辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组
19、数据中，众数和中位数分别是（ ） A220，220 B210，215 C210，210 D220，215 【考点】众数；中位数 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可 【解答】解：数据 210 出现了 4 次，最多， 故众数为 210， 共 10 辆车，排序后位于第 5 和第 6 位的数分别为 210，220， 故中位数为（210+220）2215 故选：B 【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最
20、中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错 9 （3 分） （2021龙口市模拟） 有甲、 乙两把不同的锁， 各配有 2 把钥匙 若从这 4 把钥匙中任取 2 把钥匙，则打开甲、乙两把锁的概率为（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力 【分析】 画树状图， 共有 12 个等可能的结果， 打开甲、 乙两把锁的结果有 8 个， 再由概率公式求解即可 【解答】解：把打开甲的钥匙记为 A，打开乙的钥匙记为 B， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有 8
21、个， 打开甲、乙两把锁的概率为， 故选：C 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比 10 （3 分） （2019 秋鲤城区校级月考）如图，在一个由 6 个圆圈组成的三角形里，把15 到20 这 6 个连续整数分别填入图的圆圈中， 要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等， 那么S的最小值是 （ ） A53 B54 C56 D57 【考点】有理数的加法 【专题】规律型；创新意识 【分析】三个顶角分别是20，19，18，20 与19 之间是
22、15，20 和18 之间是16，19和18 之间是17，这样每边的和才能相等并且 S 有最小值 【解答】解：由图可知 S20191554 故选：B 【点评】考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是1520 这 6 个数最小的三个数字 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11（3 分） （2022安徽一模）因式分解：x（xy）+y（yx） （xy）2 【考点】因式分解提公因式法 【专题】整式；符号意识 【分析】直接提取公因式（xy）分解因式，即可得出答案 【解答】解：x（xy）+y（yx） x（xy）y（xy） （xy） （
23、xy） （xy）2 故答案为： （xy）2 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 12 （3 分） （2021江西模拟）如图，在O 中，AD 为直径，弦 BCAD 于点 H，连接 OB已知 OB2cm，OBC30动点 E 从点 O 出发，在直径 AD 上沿路线 ODOAO 以 1cm/s 的速度做匀速往返运动，运动时间为 ts当OBE30时，t 的值为 1s 或 3s 或 6s 【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力 【分析】分三种情况：E 第一次与 H 重合时；点 E 第二次与
24、H 重合时；E 与 A 重合；分别求出 E运动的路程，求解即可 【解答】解：分三种情况： E 第一次与 H 重合时， BCAD，OBC30， OHOB1（cm）， t111（s） ； 点 E 第二次与 H 重合时， 由得：OH1， DHODOH211（cm）， 点 E 运动的路程为：OD+DH3（cm） ， t313（s）； 在 RtOBH 中，由勾股定理得：BH（cm）， OBE30，EHB90， EHBH3（cm）， OEEHOH312（cm）， 即 E 与 A 重合， 点 E 运动的路程为 OD+AD2+46（cm） ， t616（s） ； 综上所述，当OBE30时，t 的值为 1s 或
25、 3s 或 6s， 故答案为：1s 或 3s 或 6s 【点评】本题考查了垂径定理、含 30角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，进行分类讨论是解题的关键 13 （3 分） （2020 秋大东区期末）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 BC 中点，AC6，BD8，则线段 OH 的长为 2.5 【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观 【分析】先根据菱形的性质得到 ACBD，OBODBD4，OCOAAC3，再利用勾股定理计算出 BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到 OH 的长 【解答】解：四边形
26、ABCD 为菱形， ACBD，OBODBD4，OCOAAC3， 在 RtBOC 中，BC5， H 为 BC 中点， OHBC2.5 故答案为：2.5 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角也考查了直角三角形斜边上的中线性质 14（3分）（2021秋思明区校级期中） 若m是方程x2x10的一个根， 则m2m+2020的值为 2021 【考点】一元二次方程的解 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力 【分析】把 xm 代入方程计算求出 m2m 的值，代入原式计算即可求出值 【解答】解：把 xm 代入方程
27、得：m2m10， 整理得：m2m1， 则原式1+20202021 故答案为：2021 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 15 （3 分） （2021福建）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD，则点 D 到 AC 的距离是 【考点】角平分线的性质 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力 【分析】由角平分线的性质可求 DEBD，即可求解 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAC 于 E， AD 是ABC 的角平分线B90，DEAC， DEBD， 点 D 到 AC 的距离为， 故答案为 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点
28、到角的两边距离相等是解题的关键 16 （3 分） （2019 秋舞钢市期末）小刚家 2017 年和 2018 年的家庭支出情况如图所示，则小刚家 2018 年教育方面支出的金额比 2017 年增加了 0.216 万元 【考点】条形统计图；扇形统计图 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；模型思想；应用意识 【分析】分别计算 2018 年、2017 年小刚家的教育支出，即可求出增加了多少 【解答】解：2.1635%1.830%0.7560.540.216（万元）， 故答案为：0.216 【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题
29、的关键 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分） （2021 秋桐柏县期末）计算： （1）； （2） 【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂 【专题】二次根式；运算能力 【分析】 （1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而合并得出答案 【解答】解：（1）原式+211 1+111 0； （2）原式23+4 63 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确掌握相关运算法则是解题关键 18 （6
30、 分） （2021 秋沈丘县期末）先化简，再求值： （x2y）2+（x2y） （x+2y）2x（2xy）2x，其中 x1，y2 【考点】整式的混合运算化简求值 【专题】整式；运算能力 【分析】原式中括号里利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式（x24xy+4y2+x24y24x2+2xy）2x （2x22xy）2x xy， 当 x1，y2 时，原式1+21 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 （6 分） （2021 秋襄城
31、县期中）人教版初中数学教科书八年级上册第 3738 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：ABC，求作：ABC，使得ABCABC，作法：如图 （1）画DAEA； （2）以点 A为圆心，在射线 AD 上截取 ABAB，在射线 AE 上截取 ACAC； （3）连接线段 BC，则ABC即为所求作的三角形 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上） ： 证明：由作图可知，在ABC 和ABC 中， ， ABC ABC（SAS） （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 （填序号） AAS ASA SAS SSS 【考点】作图应用与设
32、计作图；全等三角形的判定与性质 【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力 【分析】 （1）根据作图过程即可完成证明； （2）结合（1）的证明过程即可得结论 【解答】 （1）证明：由作图可知，在ABC 和ABC 中， ， ABCABC（SAS）； 故答案为：ABC（SAS） ； （2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（填序号） AAS ASA SAS SSS 故答案为： 【点评】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质 20 （8 分） （2021 春江宁区月考）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共 50 个，这
33、些球除颜色外都相同小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率会接近 0.5 （精确到 0.1） ； （2）估算一下袋中黑球的个数有多少个； （3）若小明又将 x 个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在 左右（用含 x 的式子表示） 【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】 （1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案； （2）根据（1）的值求得答案即可； （3） 设向袋子中放入了黑个
34、红球， 根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值， 列出方程求解可得 【解答】解： （1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数 0.5 附近， 故摸到黑球的频率会接近 0.5， 故答案为：0.5； （2）摸到黑球的频率会接近 0.5， 黑球数应为球的总数的一半， 估计袋中黑球的个数为 25 只， 故答案为：25； （3）设放入黑球 x 个， 当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在左右， 故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键 21 （8 分） （2022中宁县模拟）如图，已知点 E 是ABCD 中 BC
35、 边的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 AC，BF，AFBC （1）求证：四边形 ABFC 为矩形； （2）若AFD 是等边三角形，且边长为 4，求四边形 ABFC 的面积 【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力 【分析】 （1）证ABEFCE（AAS） ，得 ABFC，再由 ABFC，证四边形 ABFC 是平行四边形，然后由 AFBC 即可得出结论； （2）由矩形的性质得ACF90，再由等边三角形的性质得 AFDF4，CFDF2，然后由勾股定理
36、求出 AC2，即可求解 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BAECFE， 点 E 是ABCD 中 BC 边的中点， BECE， 在ABE 和FCE 中， ， ABEFCE（AAS）， ABFC， ABFC， 四边形 ABFC 是平行四边形， 又AFBC， 平行四边形 ABFC 为矩形； （2）解：由（1）得：四边形 ABFC 为矩形， ACF90， AFD 是等边三角形， AFDF4，CFDF2， AC2， 四边形 ABFC 的面积ACCF224 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及
37、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键 22 （9 分） （2022长兴县开学）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少 30 元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为 3：2 （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求足球和篮球的总费用不超过 15500元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【考点】一元一次不等式的应用；
38、一元一次方程的应用 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识 【分析】 （1）设足球的单价为 x 元，则篮球的单价为（2x30）元，根据用相同的费用购买的足球数量与购买的篮球数量之比为 3：2，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出足球的单价，再将其代入（2x30）中即可求出篮球的单价 （2）设购买篮球 m 个，则购买足球（200m）个，利用总价单价数量，结合总价不超过 15500 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论 【解答】解： （1）设足球的单价为 x 元，则篮球的单价为（2x30）元， 依题意得：3x2（2x30）
39、 ， 解得：x60， 2x302603090 答：足球的单价为 60 元，篮球的单价为 90 元 （2）设购买篮球 m 个，则购买足球（200m）个， 依题意得：90m+60（200m）15500， 解得：m 又m 为正整数， m 的最大值为 116 答：学校最多可以购买 116 个篮球 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 23 （9 分） （2022徐汇区校级模拟）RtABC 中，C90，AC6，BC8，P 为ABC 所在平面上一点，PAPB，且 SPBC
40、SABC，求 PA 的长 【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的面积 【分析】利用勾股定理列式求出 AB 的长度，根据等底等高的三角形面积相等可得点 P 到 BC 的距离等于点 A 到 BC 的距离相等，然后分点 A、P 在 BC 的同侧时，PABC，过点 P 作 PDAB 于点 D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点 D 是 AB 的中点，然后求出 AD 的长，再利用PAD 的余弦值列式求解即可；点 A、P 在 BC 异侧时，过点 P 作 PDAB 于 D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点 D是 AB 的中点，过点 D 作 DEBC，过点 P 作 PEBC 相交于点 E，先求出
41、PE 的长度，再根据同角的余角相等求出PDEBAC，然后利用PDE 的余弦值列式求解即可得到 PD，在 RtAPD 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解 【解答】解：C90，AC6，BC8， AB10， SPBCSABC， 点 P 到 BC 的距离等于 AC 的长度，为 6， 如图 1，点 A、P 在 BC 的同侧时，点 A、P 到 BC 的距离相等， PABC， PADABC， 过点 P 作 PDAB 于点 D， PAPB， ADAB105， cosPAD，cosABC， ， 解得 PA； 如图 2，点 A、P 在 BC 异侧时，过点 P 作 PDAB 于 D， PAPB， ADAB105，
42、 过点 D 作 DEBC，过点 P 作 PEBC 相交于点 E， 点 D 是 AB 的中点， 点 E 到 BC 的距离为AC63， PE3+69， BAC+ADE90，ADE+PDE90， PDEBAC， cosPDE，cosBAC， ， 解得 PD， 在 RtAPD 中，PA， 综上所述，PA 的长为或 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积勾股定理，锐角三角函数，根据等底等高的三角形的面积相等得到点 A、P 到 BC 的距离相等是解题的关键，要注意分两种情况讨论求解 24 （10 分） （2021 秋朝阳区期末）在平面直角坐标系中，抛物线 L：yx2mx+2m+3（m 是
43、常数）的顶点为 A （1）用含 m 的代数式表示抛物线 L 的对称轴 （2）当 2x3，抛物线 L 的最高点的纵坐标为 6 时，求抛物线 L 对应的函数表达式 （3）已知点 B（3，2） 、C（2，7） ，当3m2 时，设ABC 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式，并求 S 的最小值 （4）已知矩形 MNPQ 的四个顶点的坐标分别为 M（3，3m） 、N（3，3+m） 、P（5+m，3+m） 、Q（5+m，3m） ，当抛物线 L 与边 MN、PQ 各有 1 个交点分别为点 D、E 时，若点 D 到 y 轴的距离和点E 到 x 轴的距离相等，直接写出 m 的值 【考点】二次函数综合题
44、【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力 【分析】 （1）根据抛物线对称轴公式 x求得结果； （2）分成三种情形：2m3，m2 和 m3，根据二次函数的性质，找出符合条件的值； （3）先求出在3m2 时，A 点纵坐标的值小于 7，从而以 BC 为底，求出 BC 的高即可； （4）表示出 D 到 y 轴距离是 3，把 x5+m 代入抛物线解析式，可求得 E 点到 x 轴距离，列出方程求得结果 【解答】解： （1）对称轴是直线：xm； （2）当 2m3 时， yx2mx+2m+3（xm）2+（， 6， 方程无解， 当 m2 时， a0， 当 x3 时，y6， 3m+2m+36， m， 当 m3
45、时， 当 x2 时，y6， 2m+2m+356， m， yx+6； （3）令 n+2m+3， 其对称轴是：m2， 当3m2 时，n5， A（m，+2m+3），C（2，7），B（3，2）， BC 的关系式是 yx+5， 作 ADy 轴交 BC 于 D， D（m，m+5）， AD（m+5）（+2m+3）m+2， SAD（xcxB）m+2）（x1）2+ 当 x2 时，S最小； （4）由题意得， D 到 y 轴距离是 3， 当 x5+m 时，y（m+5）2m（m+5）+2m+3+2m+， E 到 y 轴的距离是：|+2m+|， 当+2m+3 时， m12+，m22（舍去） ， 当+2m+3 时， m3
46、2+，m42（舍去） ， 综上所述 m2+或 2+ 【点评】本题是二次函数的综合运用，考查了求二次函数的对称轴，二次函数性质，二次函数的求值等知识，解决问题的关键是数形结合，理解题意 25 （10 分） （2020裕华区校级一模）如图，在DAM 内部做 RtABC，AB 平分DAM，ACB90，AB10，AC8，点 N 为 BC 的中点，动点 E 由 A 点出发，沿 AB 运动，速度为每秒 5 个单位，动点 F由 A 点出发，沿 AM 运动，速度为每秒 8 个单位，当点 E 到达点 B 时，两点同时停止运动，过 A、E、F作O （1）判断AEF 的形状为 等腰三角形 ，并判断 AD 与O 的位
47、置关系为 相切 ； （2）求 t 为何值时，EN 与O 相切？求出此时O 的半径，并比较半径与劣弧长度的大小； （3）直接写出AEF 的内心运动的路径长为 ； （注：当 A、E、F 重合时，内心就是 A 点） （4）直接写出线段 EN 与O 有两个公共点时，t 的取值范围为 1t （参考数据：sin37，tan37，tan74，sin74，cos74） 【考点】圆的综合题 【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力 【分析】 （1）过点 E 作 EHAF 于 H，连接 OA、O
48、E、OH，由勾股定理求出 BC6，设运动时间为 t，则 AE5t，AF8t，证明EAHBAC，得出，求出 AH4t，则 FHAFAH4t，AHFH，得出AEF 是等腰三角形，证明 E、H、O 三点共线，得出OAF+AOE90，由 AB 平分DAM，得出DAEEAFEFA，由圆周角定理得出AOE2EFA，则DAF+OAF90DAO，即 OAAD，即可得出 AD 与O 相切； （2）连接 OA、OF、OE，OE 于 AC 交于 H，易证四边形 EHCN 为矩形，得出 EHNC，由勾股定理得出 EH3t，则 NC3t，BC2NC6t，由 BC6，得出 t1，则 AH4，EH3，设O的半径为 x，则
49、OHx3，由勾股定理得出 OA2OH2+AH2，解得 x，得出 OH，tanAOH，得出AOH74，由AOH60时，AOE 是等边三角形，AEOA，7460，得出AEOA，则劣弧长度的大于半径； （3）当点 E 运动到 B 点时，t2，AF16，AEEFAB10，此时AEF 的内心记为 G，当 A、E、F重合时，内心为 A 点，AEF 的内心运动的路径长为 AG，作 GPAE 于 P，GQEF 于 Q，连接 AG、GF，则 CGPGNQ，SAEFAFBC48，设 CGPGNQa，则 SAEFSAGF+SAEB+SFEGAFCG+AEPG+EFGQ （16+10+10） a48， 解得 a， 由
50、勾股定理得出 AC2+CG2AG2，得出 AG； （4）分别讨论两种极限位置，当 EN 与O 相切时，由（2）知，t1； 当 N 在O 上，即 ON 为O 的半径，连接 OA、ON、OE，OE 交 AC 于 H，过点 O 作 OKBC 于 K，则四边形 OKCH 为矩形，OAOEON，得出 OHCK，AH4t，EH3t，设O 的半径为 x，由勾股定理得出 AH2+OH2OA2，解得 xt，则 OHCKt，由勾股定理得出 OK2+KN2ON2，解得 t，即可得出结果 【解答】解： （1）过点 E 作 EHAF 于 H，连接 OA、OE、OH，如图 1 所示： ACB90，AB10，AC8， BC
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